精品解析：山西省阳泉市第一中学校2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

阳泉一中2025年高二分班考试试题 学科： 数学 考试时间 120 分钟 分值 150分 客观题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知随机事件中，与互斥，与对立，且，，则（ ） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 5. 已知为锐角，，则（ ）． A. B. C. D. 6. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且， A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 8. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某地一年之内12个月的降水量分别为：56，46，53，48，51，53，71，58，56，56，64，66，则关于该地区的月降水量，以下说法正确的是（ ） A. 20%分位数为51 B. 75%分位数为61 C. 中位数为56 D. 平均数为57 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为3 B. 若，则函数的最小值为4 C. 函数的最小值为 D. 若，且，则的最小值为 11. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 主观题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，则______． 13. 函数的定义域为，且满足，函数的值域是，若集合可取得中所有值，则的取值范围为______. 14. 设，则使得的的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示的是总体的一个样本频率直方图，且在内的频数为8． （1）求样本在内的频率； （2）求样本容量； （3）若在内的小矩形面积为0.06，求样本在内的频数． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为.已知. （1）求的值； （2）若，求的面积. 17. 已知函数为奇函数，对，恒成立，且. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 18. 已知函数，为偶函数． （1）求k的值. （2）若函数，是否存在实数m使得的最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 19. 如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阳泉一中2025年高二分班考试试题 学科： 数学 考试时间 120 分钟 分值 150分 客观题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，集合，，可得，满足充分性， 若，则或，不满足必要性， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：B. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 4. 已知随机事件中，与互斥，与对立，且，，则（ ） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件对立事件的概率公式进行求解. 【详解】由于与对立，，则， 又与互斥，，则. 故选：B 5. 已知为锐角，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 6. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且， A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得， 可得 考点：空间线面平行垂直的判定与性质 7. 正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解. 【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图， 因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2， 所以该棱台的高， 下底面面积，上底面面积， 所以该棱台的体积. 故选：D. 8. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解. 【详解】，， ，， ，， . 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某地一年之内12个月的降水量分别为：56，46，53，48，51，53，71，58，56，56，64，66，则关于该地区的月降水量，以下说法正确的是（ ） A. 20%分位数为51 B. 75%分位数为61 C. 中位数为56 D. 平均数为57 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先将数据从小到大排列，然后根据分位数的概率来判断A、B选项的正误，根据中位数及平均数的概念判断C、D选项的正误. 【详解】将数据从小到大排列得：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71； 共12个数据， 因为，所以分位数为第三个数据，即为，故A选项正确； 因为，所以分位数为，故B选项正确； 该组数据的中位数为，故C选项正确； 该组数据的平均数为，故D选项错误. 故选：ABC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为3 B. 若，则函数的最小值为4 C. 函数的最小值为 D. 若，且，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】A：， 当且仅当，即时取得最大值，故A错； B：， 当且仅当，时，，故B正确； C： 当且仅当时，，故C正确； D：， 当且仅当，时，，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 主观题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解. 【详解】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 13. 函数的定义域为，且满足，函数的值域是，若集合可取得中所有值，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，解得，分类讨论当和时，由的取值范围结合条件，可得出函数的值域，从而得出实数的取值范围. 【详解】令，即，解得或（舍去）， 当时，， 故对任意，都存在，使得， 所以，； 当时，， 故对任意，都存在，使得， 所以，. 综上，函数的值域. 因为集合可取得中所有值， 所以，，则实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 设，则使得的的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】构造新函数，判断其奇偶性，然后利用导数判断单调性，结合奇偶性和单调性去掉函数符号即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移1个单位长度，所得图象对应的函数即为， 则，易知， 所以是定义在上的偶函数， ， 当时，，所以， 所以函数在上单调递减， 又， 所以，即，即，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示的是总体的一个样本频率直方图，且在内的频数为8． （1）求样本在内的频率； （2）求样本容量； （3）若在内的小矩形面积为0.06，求样本在内的频数． 【答案】（1） （2）50 （3）39 【解析】 【分析】(1)根据条件计算出的面积； (2)样本容量 频率=频数，计算出样本容量； (3)根据内的频数=样本容量-内的频数-内的频数计算. 【小问1详解】 由题中样本频率直方图可知组距为3； 由题中样本频率直方图得样本在内的频率为； 【小问2详解】 样本在内的频数为8，频率为，∴样本容量为 ； 【小问3详解】 ∵在内的小矩形面积为0.06， ∴样本在内的频率为0.06， 故样本在内的频数为， 又在内的频数为8， ∴在内的频数为； 综上，样本在内的频率为 ，样本容量为50，在内的频数为39. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为.已知. （1）求的值； （2）若，求的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（1）利用两角和与差的正切公式，得到，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；（2）利用正弦定理得到边的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积. 试题解析：（1）由，得， 所以. （2）由可得，. ，由正弦定理知：. 又， 所以. 考点：1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式. 17. 已知函数为奇函数，对，恒成立，且. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件要得周期为，利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，可得，由函数为奇函数可求出的值，由周期可求出的值，从而可求出函数解析式，由可求出函数的增区间， （2）由三角函数图象变换规律求出的解析式，由，得，再利用正弦函灵敏的性质可求出函数的值域 【小问1详解】 ，， . ， 因为为奇函数， 所以，，即，， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 由，得 所以的单调递增区间为， 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位，得， 再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，， 由，得， 所以， 所以， 所以的值域为. 18. 已知函数，为偶函数． （1）求k的值. （2）若函数，是否存在实数m使得的最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在使得的最小值为0 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义可得，化简可得对一切恒成立，进而求得的值； （2）由（1）知，，令，则，再分、、进行讨论即可得解． 【小问1详解】 解：由函数是偶函数可知，，即， 所以，即对一切恒成立， 所以； 【小问2详解】 解：由（1）知，，，令，则， ①当时，在上单调递增，故，不合题意； ②当时，图象对称轴为，则在上单调递增，故，不合题意； ③当时，图象对称轴为， 当，即时，，令，解得，符合题意； 当，即时，，令，解得（舍； 综上，存在使得的最小值为0． 19. 如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点， 于是，即，则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2） 法一：由（1）可知，则，得， 因此，则，有， 又，平面， 则有平面，又平面，所以平面平面. 法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 在中，， 在中，， 设，所以由可得：， 可得：，所以， 则，所以，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， ， 所以平面平面BEF； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答. （2）法一：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以由求出点坐标，再求出平面与平面BEF的法向量，由即可证明； （3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 法一：过点作交于点，设， 由，得，且， 又由（2）知，，则为二面角的平面角， 因为分别为的中点，因此为的重心， 即有，又，即有， ，解得，同理得， 于是，即有，则， 从而，， 在中，， 于是，， 所以二面角的正弦值为. 法二：平面的法向量为， 平面的法向量为， 所以， 因为，所以， 故二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $