精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

2025-2026学年度第一学期高二开学考试数学试卷 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知分别为三个内角所对的边，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 3. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ） A. 11，4 B. 8，8 C. 11，8 D. 4，2 7. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，元件通过电流的概率均为0．9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是 A. 0．729 B. 0．8829 C. 0．864 D. 0．9891 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列四个命题中，假命题有（ ） A. 对立事件一定是互斥事件 B. 若为两个事件，则 C. 若事件彼此互斥，则 D. 若事件满足，则是对立事件 10. 函数（）的图象的一个对称中心为 ，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是函数的图象的一条对称轴 B. 函数在上单调递减 C. 函数的图象向右平移个单位可得到的图象 D. 函数在上的最大值为 11. 已知正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A. 平面被正方体内切球所截，则截面面积为 B. 四棱锥与四棱锥公共部分的体积为 C. 若点P在线段上运动，则 D. 以D为球心，为半径作球，则球面与正方体的表面的交线长为 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. ______. 13. 已知函数的部分图像如图所示，则______． 14. 南宋数学家秦九韶在数书九章中提出“三斜求积木”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅．开平方得积．现设中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为面积，则“三斜求积木”可用公式表示．若，且，则面积的最大值为______． 四、解答题：（本大题共5小题，共计77分） 15. 已知，，是同一平面内的三个向量，． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角． 16. 已知在锐角中，内角的对边分别为，且满足 （1）求； （2）若，点在延长线上，且，求． 17. 杭州亚运会期间，某大学有名学生参加体育成绩测评，将他们的分数单位：分按照，，，，分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值及这组数据的第百分位数； （2）按分层随机抽样的方法从分数在和内的学生中抽取人，再从这人中任选人，求这人成绩之差的绝对值大于分的概率． 18. 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值． 19. 某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H. （1）求； （2）若点T为劣弧上一动点，求的最小值； （3）若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高二开学考试数学试卷 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法法则进行运算，再利用复数的几何意义进行判断即可. 【详解】， 则z在复平面内所对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 2. 已知分别为三个内角所对的边，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角. 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 故选：A. 3. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据，套入平面向量平行坐标公式即可求解. 【详解】 . . 解得. . 故选：C. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“1”的代换及均值不等式计算可求解． 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 故选：D. 5. 已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线与平面的相关判定与性质定理可逐一排除A，B，C项，对于D，应作出图形，利用线面平行的性质定理和线面垂直的性质，以及面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】对于A ，若，，则、相交或异面，故错误； 对于B，若，，则或相交；故B错误； 对于C，若，，则或，故C错误； 对于D，如图，因，经过直线和平面内一点可作平面， 设，则，因，故，又因，故，即D正确. 故选：D. 6. 已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ） A. 11，4 B. 8，8 C. 11，8 D. 4，2 【答案】C 【解析】 【分析】根据数据()的平均数、方差分别、求解. 【详解】根据题意，数，，，的平均数是，方差， 则，，，的平均数为， 方差为. 故选：C 7. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，从而得解. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意. 所以，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则，解得. 故选：C． 8. 如图，元件通过电流的概率均为0．9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是 A. 0．729 B. 0．8829 C. 0．864 D. 0．9891 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：电流能通过的概率为，电流能通过的概率为，故电流不能通过也不能通过的概率为，所以电流能通过系统的概率为，而电流能通过的概率为，所以电流能在之间通过的概率为，故选B． 考点：相互独立事件的概率乘法公式． 【方法点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式．所求事件的概率与它的对立事件之间概率的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．求出电流不能通过也不能通过的概率，用减去此概率即得到电流能通过系统的概率，再根据电流能通过的概率，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求得电流在之间通过的概率． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列四个命题中，假命题有（ ） A. 对立事件一定是互斥事件 B. 若为两个事件，则 C. 若事件彼此互斥，则 D. 若事件满足，则是对立事件 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对立事件和互斥事件的关系可判断A；根据事件的和事件的概率可判断B；举反例可判断C，D, 【详解】对于A，因为对立事件一定是互斥事件，A正确； 对B，当且仅当A与B互斥时才有， 对于任意两个事件，满足，B不正确； 对C，若事件彼此互斥，不妨取分别表示掷骰子试验中的事件“掷出1点”，“掷出2点”，“掷出3点”， 则，所以C不正确； 对于D，例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球， 从袋中任摸一个球，设事件A={摸到红球或黄球}，事件B={摸到黄球或黑球）， 满足， 但事件A与B不互斥，也不对立，D错误， 故选：BCD. 10. 函数（）的图象的一个对称中心为 ，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是函数的图象的一条对称轴 B. 函数在上单调递减 C. 函数的图象向右平移个单位可得到的图象 D. 函数在上的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式化简函数解析式，再根据对称中心可得，再根据三角函数性质分别判断各选项. 【详解】由， 由是函数图象的一个对称中心， 即，， 解得，， 又，所以， 所以， 对于A选项：令，，解得，，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故A选项正确； 对于B选项：令，，解得，， 即函数的单调递减区间为，，当时，函数在单调递减，所以函数在上单调递增，B选项错误； 对于C选项：函数的图象向右平移个单位可得，C选项正确； 对于D选项：当时，，所以函数，即最大值为，D选项错误； 故选：AC. 11. 已知正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A. 平面被正方体内切球所截，则截面面积为 B. 四棱锥与四棱锥公共部分的体积为 C. 若点P在线段上运动，则 D. 以D为球心，为半径作球，则球面与正方体的表面的交线长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：分析知平面被正方体内切球所截得的圆为的外接圆，结合正弦定理运算求解；对于B：结合图形分析可知公共部分为三棱柱和四棱锥的组合体，进而可得体积；对于C：设，求相应长度，结合余弦定理分析判断；对于D：分析知球面与正方体的表面的交线由3段半径为，圆心角为和3段半径为，圆心角为的圆弧组成，进而可得结果. 【详解】于A：分别取侧面、侧面和底面的中心， 则为平面与正方体内切球的交点， 可知平面被正方体内切球所截得的圆为的外接圆， 且，可知是以边长为的等边三角形， 其外接圆半径，截面面积为，故A错误； 对于B：取的中点，设， 四棱锥与四棱锥公共部分为三棱柱和四棱锥的组合体， 所以其体积为，故B正确； 对于C：设， 则， 由余弦定理可得， 因为，则，在三角形中可得，故C正确； 对于D：因为球的半径， 则，且，可知， 结合图形可知：球面与正方体的表面的交线由3段半径为，圆心角为和3段半径为，圆心角为的圆弧组成， 所以其长度为，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：对于选项BD：需要结合图形分析结构特征，进而得出结果. 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数、对数运算胶对数换底公式计算得解. 【详解】. 故答案为： 13. 已知函数的部分图像如图所示，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】由五点法求函数解析式再计算函数值. 【详解】由函数过点和，由五点作图法可知，解得. 又函数的图象过点，则，解得． 所以，则． 故答案为：4. 14. 南宋数学家秦九韶在数书九章中提出“三斜求积木”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅．开平方得积．现设中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为面积，则“三斜求积木”可用公式表示．若，且，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理对已知等式进行化简，可得，代入S中，将其转化为关于c的函数，再根据二次函数的图象与性质，即可得解． 【详解】， 由余弦定理知，， ， ， 化简得，， ， 当，即时，S取得最大值 故答案为： 四、解答题：（本大题共5小题，共计77分） 15. 已知，，是同一平面内的三个向量，． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由向量坐标形式的共线定理和模长公式即可求解. （2）由向量垂直得，进而得，接着由向量夹角余弦公式结合向量夹角范围即可求解. 【小问1详解】 设向量， 因为，，，所以， 解得或， 所以或. 【小问2详解】 由题， 因为与垂直，所以， 又，所以，得， 所以， 又，故. 16. 已知在锐角中，内角的对边分别为，且满足 （1）求； （2）若，点在延长线上，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将角化为边，再用余弦定理即可求出角B的值 （2）利用正弦定理先求出，进而得到，再利用余弦定理即可求得结果. 【小问1详解】 由正弦定理，得， 由余弦定理，得，所以． 因为为三角形内角，所以． 【小问2详解】 在中，由正弦定理，得， 所以． 因为为锐角三角形，所以．所以． 在中，由余弦定理，得， 所以，所以． 所以． 17. 杭州亚运会期间，某大学有名学生参加体育成绩测评，将他们的分数单位：分按照，，，，分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值及这组数据的第百分位数； （2）按分层随机抽样的方法从分数在和内的学生中抽取人，再从这人中任选人，求这人成绩之差的绝对值大于分的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为可求出的值，再利用百分位数的定义求这组数据的第百分位数即可； （2）利用古典概型的概率公式求解． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，， 解得， 因为，， 所以这组数据的第百分位数位于，设其为， 则， 解得，即这组数据的第百分位数为； 【小问2详解】 由题可知，从分数在内的学生中抽取人，记为，， 则分数在内的学生中抽取人，记为，，，， 从中任选人，则所有可能结果有：，，，，，，，， ，，，，，，共个， 满足这人成绩之差的绝对值大于分的有，，，，，，，共个， 故所求的概率． 18. 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1） ，，为等边三角形， 为的中点，， 取中点，连接，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，． 又，，、平面，平面． 平面ABD，． 又，、平面， 平面． （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形得到，取中点，结合平面平面得平面，从而，进而平面，再得到，平面； （2）过点作，垂足为，则为与平面所成角，从而通过解三角形可得； （3）取的中点为，连接，过点作，垂足为，连接，则为二面角的平面角，由此通过解三角形可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作，垂足为．如图所示 由（1）知，平面．平面，． 又，平面，平面， 为与平面所成角． 由（1）知，平面ABD，平面，． 在中，，，， 为的中点，． 在中，，， 在中，， 在中，由余弦定理得， ． 与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 取的中点为，连接， 为线段的中点，，， 由（1）知，平面，平面． 又平面，所以． 过点P作，垂足为，连接． ，平面，平面． 又平面，， 为二面角的平面角． 在中，， 由（1）知，为等边三角形，为的中点，． 由（1）知，平面ACD． 又平面，所以． 在中，， 由（2）知，，即，解得． 平面，平面，． 在中，，． 所以二面角的平面角的余弦值为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是通过作辅助线找到二面角的平面角，再结合勾股定理、等面积法等求出相关长度，最后再利用三角函数定义即可. 19. 某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H. （1）求； （2）若点T为劣弧上一动点，求的最小值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在锐角中，由正弦定理求出，利用同角三角函数的平方关系求出.利用三角形垂心性质可得，结合三角形诱导公式即可求解； （2）设点M为的边所对的外接圆的劣弧，点D为边的中点. 由题意及对称性可知.故要使取得最小值，只需最小.分析可知当三点共线最小，即可求解. （3）由向量减法运算可知，由圆的性质可知，，从而.由（1）可求，可求解.在锐角中，由二倍角公式、三角形内角和定理、诱导公式及正弦定理可解.由点H是的垂心可得，，. 在中，由正弦定理可求得，同理可求，，本题即可求解. 【小问1详解】 在锐角中，∵，其外接圆O的半径为， ∴由正弦定理可得：，解得. . 由题可知，. 【小问2详解】 设点M为的边所对的外接圆的劣弧，点D为边的中点. 由题意及对称性可知. 故要使取得最小值，只需最小. 在圆上，由三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时取等号，此时. ∴， 即的最小值为. 【小问3详解】 由（1）可知：，. ，. 又， ∴由圆的性质可知. 又， ∴，解得. ∴在锐角中，，， ，. ∴由正弦定理可得：， ∴，. 在中，由点H是的垂心可得，，. 在中，由正弦定理可得，. 同理可得， ， ∴. 【点睛】本题的解题关键是利用点H是的垂心找到角与内角的关系，用诱导公式和正弦定理即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $