专题06 椭圆的方程及其几何性质9大题型（专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题06 椭圆方程及其几何性质（9大题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、椭圆的定义及其应用 1 题型二、求椭圆的标准方程 3 题型三、椭圆的焦点三角形 5 题型四、椭圆距离和差的最值与范围 9 题型五、椭圆的几何性质 12 题型六、求椭圆的离心率 13 题型七、求椭圆离心率的取值范围 17 题型八、椭圆的实际问题 21 题型九、椭圆的轨迹问题 25 B综合攻坚·能力跃升 27 题型一、椭圆的定义及其应用 1．已知定点，平面上满足下列条件的动点的轨迹是椭圆的是（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，动点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 3．已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D． 题型二、求椭圆的标准方程 6．若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 7．若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 8．已知椭圆方程为，若椭圆上的点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是 ． 9．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)过两点、的椭圆． 题型三、椭圆的焦点三角形 10．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 11．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点.若，是线段的三等分点，则的周长为（    ） A．20 B．10 C． D． 12．设，分别是椭圆的左、右焦点，以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点为，延长，与椭圆交于点，延长，与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．3 13．设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，且的面积为，则C的标准方程为 . 15．设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 . 题型四、椭圆距离和差的最值与范围 16．已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 17．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为 ，的最大值为 ． 18．已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，则的最大值是 ． 19．点P在椭圆上运动，分别在圆，圆上运动，则的最大值为，最小值为，则 . 20．已知椭圆，、分别是其左右焦点，点是上的动点，求的取值范围． 题型五、椭圆的几何性质 21．已知椭圆的离心率为，则的一个顶点与两个焦点构成的三角形是（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰非直角三角形 D．直角非等腰三角形 22．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”正式亮相后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在科技课上，老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为（    ）. A．15 B．20 C．22 D．25 23．已知椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，经过点，的圆与轴相切于点，则 . 24．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则椭圆短轴长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的．下列椭圆中，形状更接近圆的是（   ） A． B． C． D． 题型六、求椭圆的离心率 26．工程师将飞机最开始的方形窗户改为椭圆形窗户，如图1所示，使其均匀受压，飞机更为安全．一缕阳光从飞机窗户射入，在机舱地面上形成轮廓为圆的光斑，如图2所示．若光线与地面所成角为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 27．设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（   ） A． B． C． D． 28．设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上一点，若点关于的角平分线l的对称点恰好是点P，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 29．如图，已知椭圆，点分别是椭圆的上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线与椭圆交于另一点，直线的斜率的乘积恒为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 30．如图，已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为 ． 题型七、求椭圆离心率的取值范围 31．已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 33．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为 . 34．已知椭圆的左，右焦点分别为，，其中，直线与椭圆C交于P，Q两点，记的面积为S，若时，，则椭圆C的离心率的取值范围为 . 35．已知直线与椭圆：交于两点，线段的中点为，则的离心率的取值范围为 ． 题型八、椭圆的实际问题 36．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 37．某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 38．韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 39．（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 题型九、椭圆的轨迹问题 40．已知，点分别在轴、轴上运动，为坐标原点，点在线段上，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 41．已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则点的轨迹方程为 ． 42．已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 43．已知定点，动点满足直线的斜率，求点的轨迹方程. 44．设是椭圆上一点，分别为关于轴、原点、轴的对称点，为椭圆上异于的点，且，与的交点为，当沿椭圆运动时，求动点的轨迹方程． 1．已知点，C，D是与x轴的交点，P为动点，以为直径的圆与相内切，则面积的最大值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．15 2．已知椭圆 （）的离心率为 ，且过点 .若直线 与椭圆相切于点 ，且 （ 为坐标原点），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 4．我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体2：黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力材料（SIM）所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（    ） A． B． C． D．和的大小关系无法确定 5．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束，根据规划，国家体育馆成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆，国家体育馆内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列正确的是（   ） A． B． C．如果两个椭圆，分别是同一个矩形的内切椭圆和外接椭圆，则 D．由外层椭圆的左顶点向内层椭圆分别作两条切线与交于两点，的右顶点为，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为 7．已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形的面积为8，原点到直线的距离为，则椭圆的方程为 ． 8．已知椭圆的一个焦点为，长轴长为4，若过的直线与椭圆交于点，当椭圆的离心率为时，的最小值为 ． 9．已知椭圆的离心率为，且过点，其右焦点，上顶点，直线与椭圆交于两点，若的重心为，则直线的方程是 ． 10．如图，已知椭圆，，是椭圆上的两个动点，，直线，关于直线对称，求证：直线的斜率为定值．    11．如图，已知，分别为椭圆的右顶点和上顶点，设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．    11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 椭圆方程及其几何性质（9大题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、椭圆的定义及其应用 1 题型二、求椭圆的标准方程 3 题型三、椭圆的焦点三角形 5 题型四、椭圆距离和差的最值与范围 9 题型五、椭圆的几何性质 12 题型六、求椭圆的离心率 13 题型七、求椭圆离心率的取值范围 17 题型八、椭圆的实际问题 21 题型九、椭圆的轨迹问题 25 B综合攻坚·能力跃升 27 题型一、椭圆的定义及其应用 1．已知定点，平面上满足下列条件的动点的轨迹是椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】之间的距离， 根据椭圆的定义，距离之和 对于A，不满足椭圆的定义，无轨迹，A错误； 对于B，，轨迹是线段，不是椭圆，B错误； 对于C，符合椭圆的定义，轨迹是椭圆，C正确； 对于D，这不是距离之和的条件，不直接符合椭圆的定义，实际上，这描述的轨迹不是椭圆.轨迹是以原点为中心的圆（如图），D错误.    故选：C 2．已知点，，动点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【详解】因为，，则，所以， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹为椭圆. 故选：A． 3．已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【详解】由题意知，，由椭圆的定义知， 四边形的周长为. 故选：C 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由椭圆的定义得， 结合， 解得，， 所以， 从而， 所以 故选：D. 5．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【详解】在中，顶点，，所以的长度为. 因为顶点在椭圆上，所以. 根据正弦定理：. 则. 故选：A. 题型二、求椭圆的标准方程 6．若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 根据椭圆定义知，故，．因此所求椭圆方程为． 故选：B. 另解  由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 直接代入 因为椭圆过点，所以，解得，所以所求椭圆方程为． 故选： 7．若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为焦距为8，所以，即． 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，椭圆不存在，舍去； 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，，所以，椭圆存在， 故椭圆的焦点在轴上，标准方程为． 故选：C 8．已知椭圆方程为，若椭圆上的点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是 ． 【答案】 【详解】椭圆上的点到左焦点距离的最大值为，最小值为， 联立，解得，，根据，得， 则椭圆方程是. 故答案为： 9．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)过两点、的椭圆． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设圆的方程为， 由题可得，解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程得. （2）设椭圆方程为， 由题可得，解得， 所以所求椭圆标准方程为. 题型三、椭圆的焦点三角形 10．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，不妨令分别为椭圆的左、右焦点，由，得， 所以，所以． 设的内切圆半径为， 因为， 所以，得． 故选：C. 11．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点.若，是线段的三等分点，则的周长为（    ） A．20 B．10 C． D． 【答案】D 【详解】不妨设点在第一象限，，分别为椭圆的左右两焦点，令椭圆半焦距为c， 由，是线段的三等分点，得是线段的中点，而坐标原点是的中点， 则，轴，把代入椭圆方程，得，而，则， 由为线段的中点，得，因此， 解得，而，于是， 所以的周长为. 故选：D 12．设，分别是椭圆的左、右焦点，以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点为，延长，与椭圆交于点，延长，与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】设，则，如下图所示： 由椭圆定义可知，． 又因为为直径，所以， 可得，即， 解得， 所以． 故选：B． 13．设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【详解】由题，又，. ，即（t为参数）， 取上顶点时最大，此时. 不会为直角，只有当或是直角才符合题意， 所以由对称性可知满足是直角三角形的点P的个数为4. 故选：C. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，且的面积为，则C的标准方程为 . 【答案】 【详解】由题设，可得， 又为上顶点，则，故， 所以，则，故标准方程为. 故答案为： 15．设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 . 【答案】 【详解】 将椭圆化为标准方程可得，. 所以，，，. 所以，，，所以，. 根据正弦定理可得，，所以. 设，则. 由余弦定理可得，， 所以，， 整理可得，，显然、是方程的两个解， 所以， 所以的面积. 又， 所以，所以，. 故答案为：. 题型四、椭圆距离和差的最值与范围 16．已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【详解】设为椭圆的上焦点，椭圆中，，则， 所以焦点坐标分别为，． 连接，由椭圆定义得． 由于，所以点在椭圆内． 如图所示，，    将代换为来求的最小值，也就是求的最大值， 当三点共线时，的最大值为， 所以的最小值为． 故选：D 17．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【详解】设右焦点为，椭圆中，，则，所以焦点坐标分别为，，由椭圆的定义得． 将点的坐标代入椭圆方程得，所以点在椭圆外，连接，如图所示． ， 将代换为，转移到中， 连接，因为， 所以，当且仅当点为线段与椭圆的交点（点）时，取等号， 所以的最小值为． 因为，当点为线段的延长线与椭圆的交点时， 取得最大值，故的最大值为． 故答案为：；． 18．已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，则的最大值是 ． 【答案】30 【详解】由椭圆的定义得，， 则，又点在椭圆内部，， 所以， 即，当点在的延长线上时，等号成立， 所以的最大值为30. 故答案为：30. 19．点P在椭圆上运动，分别在圆，圆上运动，则的最大值为，最小值为，则 . 【答案】8 【详解】根据由题意可知椭圆的左、右焦点坐标恰好为两圆圆心； 易知两圆半径都为，由椭圆定义可得，如下图所示： 因此可得的最大值为，即图中的位置； 最小值为；即图中的位置； 所以可得. 故答案为：8 20．已知椭圆，、分别是其左右焦点，点是上的动点，求的取值范围． 【答案】 【详解】因为， 所以， 由题意可得， 如图，根据三角形两边之差小于第三边可知， ，当且仅当点三点共线时取等号， 所以， 所以的取值范围为. 题型五、椭圆的几何性质 21．已知椭圆的离心率为，则的一个顶点与两个焦点构成的三角形是（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰非直角三角形 D．直角非等腰三角形 【答案】B 【详解】由椭圆离心率为，则，， 所以，， 所以的一个顶点与两个焦点构成的三角形是等腰直角三角形， 故选：B． 22．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”正式亮相后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在科技课上，老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为（    ）. A．15 B．20 C．22 D．25 【答案】B 【详解】根据题意，在大椭圆中，，解得， 则在大椭圆中，， 又两个椭圆扁平度相同，即离心率相等， 根据题意，在小椭圆中，，解得， 则在小椭圆中，， 即，解得，， 所以小椭圆的长轴长为. 故选：B． 23．已知椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，经过点，的圆与轴相切于点，则 . 【答案】 【详解】由可知，则，，， 由题意可设圆的方程为，则， 解得，所以，所以. 故答案为： 24．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则椭圆短轴长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，椭圆的长半轴长为6，短半轴长为，则， 所以椭圆短轴长的取值范围是. 故选：B 25．椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的．下列椭圆中，形状更接近圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：A、B、C、D四个选项中离心率分别为，B选项最小. 法二：当椭圆的时可看成圆，最趋近于1的即满足要求，A、B、C、D四个选项中分别为，B选项最接近. 故选：B． 题型六、求椭圆的离心率 26．工程师将飞机最开始的方形窗户改为椭圆形窗户，如图1所示，使其均匀受压，飞机更为安全．一缕阳光从飞机窗户射入，在机舱地面上形成轮廓为圆的光斑，如图2所示．若光线与地面所成角为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨设圆的半径为，则有，， 所以，故离心率． 故选：C. 27．设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，如图，P，D是内切圆与的切点， 因为左、右焦点分别为，上顶点为A，椭圆参数关系， 由，结合对称性、圆的切线性质， 令，且， 所以， 所以，可得，故， 故选：D． 28．设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上一点，若点关于的角平分线l的对称点恰好是点P，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由关于的角平分线l的对称点恰好是点P，得， 由椭圆的定义得，设，    在中，由余弦定理得， 由，得，则， 整理得：，即，又，所以. 故选：A 29．如图，已知椭圆，点分别是椭圆的上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线与椭圆交于另一点，直线的斜率的乘积恒为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点的坐标为，有，得， 点的坐标为，点的坐标为，则直线的斜率为， 可得直线的方程为，代入， 可求得点的坐标为， 而直线的斜率为，直线的斜率为， 有， 可得，即，则，即， 则. 故选：D. 30．如图，已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】不妨设椭圆方程为，如图，，设， 由可得，解得，即， 因点在椭圆上，可得，解得. 故答案为：. 题型七、求椭圆离心率的取值范围 31．已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，由知为平行四边形，则、关于轴对称， 设，（不妨设），将点坐标代入椭圆方程可得， 因为，设为直线的倾斜角，则， 所以，所以， . 所以椭圆离心率的取值范围为.    故选：B. 32．如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解法一：因为线段的中垂线恰好过焦点，所以， 由焦半径的范围可知，即， 则且，解得， 故选：B． 解法二：设≠，则线段的中点坐标为，， 可得线段的中垂线所在的直线方程为， 把点代入得， 从而得到，则或（舍去）， 因为，所以， 则且，解得， 故选：B． 33．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上，则直线与圆相离，    所以，，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：. 34．已知椭圆的左，右焦点分别为，，其中，直线与椭圆C交于P，Q两点，记的面积为S，若时，，则椭圆C的离心率的取值范围为 . 【答案】 【详解】连接，，由题意得，， 所以四边形为矩形，所以，故， 又，由勾股定理得， 即， 则，故， 即，即，解得， 又点P在直线上，且，所以，即， 所以，，解得， 综上，椭圆C的离心率的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用已知得到，进而利用椭圆的几何性质与勾股定理可得，进而计算即可，需注意. 35．已知直线与椭圆：交于两点，线段的中点为，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设，， 则，所以， 故， 由题意可得，， 故，又， 所以，即， 因为，所以，所以的离心率， 又，所以的离心率的取值范围为， 故答案为： 题型八、椭圆的实际问题 36．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点. 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题可知，，即． 因为天平三号卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径约为0.65万千米， 所以，可得， 因此，结合选项可知A满足． 故选：A. 37．某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 【答案】C 【详解】如图，以线段的中点为原点，所在直线为轴， 以的方向为轴正方向建立直角坐标系， 则可设轨道所在的椭圆的标准方程为， 则由已知，， 所以，，故离心率为，故A正确； 以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为， 所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为， 故B正确，C错误， 因为近火星点与远火星点的距离为，故D正确. 故选：C． 38．韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 39．（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 【答案】ACD 【详解】由椭圆方程可知：，，. 对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确； 对于B：因为，则， 可得， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，取到最大， 所以的最大值为7，故B错误； 对于C：由椭圆的光学性质，得点与垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则，， 可得，，，， 则， 即， 整理可得，解得或， 当时，，与重合，不合题意， 所以，即，故C正确： 对于D：如图，延长，交于点， 则在中，，， 则且为中点，连， 在中，， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D正确. 故选：ACD. 题型九、椭圆的轨迹问题 40．已知，点分别在轴、轴上运动，为坐标原点，点在线段上，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，，由，可得①． 设，由于点在线段上，且，即， 所以，可得，即， 代入①式，可得，整理得. 故选：A 41．已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则点的轨迹方程为 ． 【答案】（其中）（答也对） 【详解】设动点，由题意得，即， 整理得， 由，可令，所以点的轨迹方程为（其中）． 故答案为：（其中）. 42．已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【详解】设， 因为，可得， 可知动点M的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，则， 所以动点M的轨迹方程是. 故答案为：. 43．已知定点，动点满足直线的斜率，求点的轨迹方程. 【答案】 【详解】如图，令，则，， 因为，所以，即， 交叉相乘可得，即，, 所以点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆（不包括端点）. 故答案为：. 44．设是椭圆上一点，分别为关于轴、原点、轴的对称点，为椭圆上异于的点，且，与的交点为，当沿椭圆运动时，求动点的轨迹方程． 【答案】． 【详解】设是椭圆上的任意一点，，动点的坐标为， 则，，． 由，两式作差可知，即， 又，，所以，从而， 所以直线的方程为， 又直线的方程为，联立得，， 因为点在上，所以， 动点的轨迹方程． 1．已知点，C，D是与x轴的交点，P为动点，以为直径的圆与相内切，则面积的最大值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】D 【详解】如图，设以为直径的圆心为E，半径为r， 因为与相内切，则． 设，连接，则， ，又， 所以，， 所以，点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆， 由，得，又，所以． 显然P为椭圆短轴端点即或时的面积最大，为． 故选：D 2．已知椭圆 （）的离心率为 ，且过点 .若直线 与椭圆相切于点 ，且 （ 为坐标原点），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由离心率 ，得 ，结合 ，解得 . 将点代入椭圆方程，得 ，解得 ，故椭圆方程为 . 设，则切线的方程为 . 当时，即，此时直线方程为，满足， 当时，即，此时直线方程为，满足 当，时，得斜率关系 ，则不满足， 结合选项，正确答案为. 故选：A 3．如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点关于原点的对称点为，由椭圆的对称性，得点在椭圆上，    由互相平分于点，得四边形为平行四边形，则且， 又且，则点与点重合，因此， 而过椭圆焦点的最短弦长为通径，最长弦长为实轴长， 椭圆的通径长为，实轴长为，由知，线段与椭圆实轴不重合， 所以. 故选：C 4．我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体2：黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力材料（SIM）所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（    ） A． B． C． D．和的大小关系无法确定 【答案】A 【详解】将水滴轴截面看成圆的一部分时，如图1，设圆的半径为，为切线， 为弦的中点，连接，， 则水滴角，所以，由题知，， 所以，解得，所以． 将水滴轴截面看成椭圆的一部分时，建立如图2所示的平面直角坐标系， 设椭圆方程为，则切点为， 易知椭圆在点处的切线方程为， 则此直线的斜率即水滴角的正切值，即． 因为点在切线上，所以，所以， 所以， 因为，所以，因为， 所以. 故选：A． 5．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，点，，，，， 则线段的方程为，则， 在线段上取一点， ，， 所以 ， 由，得， 因为，所以， 从而，整理得，即， 即，即， 结合，解得． 故选：B． 6．（多选）第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束，根据规划，国家体育馆成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆，国家体育馆内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列正确的是（   ） A． B． C．如果两个椭圆，分别是同一个矩形的内切椭圆和外接椭圆，则 D．由外层椭圆的左顶点向内层椭圆分别作两条切线与交于两点，的右顶点为，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为 【答案】BCD 【详解】选项A：因为离心率相同，所以，即，且， 所以，所以，故A错误； 选项B： 因为，所以， 由选项A解析 ，可得，即， 所以，故B正确； 选项C：由题意可得满足椭圆方程， 又因为，所以，所以，所以，故C正确； 选项D：因为，所以，. 设，由椭圆对称性知关于x轴对称，所以, 所以直线斜率，直线斜率， 所以， 所以，故D正确． 故选：BCD． 7．已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形的面积为8，原点到直线的距离为，则椭圆的方程为 ． 【答案】 【详解】 由椭圆的性质和题给条件可知，四边形为菱形， 则，，且, 所以四边形的面积为：，即． 由，，得直线的方程为， 整理可得， 原点到直线的距离为：，解得， 联立解得或（，舍去）， 所以椭圆的方程为． 故答案为：. 故答案为：. 8．已知椭圆的一个焦点为，长轴长为4，若过的直线与椭圆交于点，当椭圆的离心率为时，的最小值为 ． 【答案】 【详解】 因为椭圆长轴长为4，所以， 由得，，则， 由焦点弦的性质得， 故，当且仅当时等号成立． 故答案为：. 9．已知椭圆的离心率为，且过点，其右焦点，上顶点，直线与椭圆交于两点，若的重心为，则直线的方程是 ． 【答案】 【详解】由题意可得，设，，． 代入得，则椭圆为， 由于直线与椭圆交于两点，若的重心为，则直线的斜率存在，设直线的方程为，联立， 设，，，，可得 即解得. 所以，即． 故答案为： 10．如图，已知椭圆，，是椭圆上的两个动点，，直线，关于直线对称，求证：直线的斜率为定值．    【答案】证明见解析 【详解】因为，点在椭圆上，直线，的斜率都存在， 设直线，的方程分别为，， ，． 联立，得， 解得，同理得． 所以， ， . 即直线的斜率为定值． 11．如图，已知，分别为椭圆的右顶点和上顶点，设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．    【答案】证明见解析 【详解】设，则，易知，． 直线的方程为，令得，故， 直线的方程为，令得，故． 四边形的面积 . 所以四边形的面积为定值． 25 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$