专题05 全等三角形章末易错考点题型（专项训练）数学冀教版2024八年级上册

专题05 全等三角形章末易错考点题型 目录 易错题型一、命题的概念 易错题型二、命题的真假 易错题型三、写出命题的题设与结论 易错题型四、逆命题 易错题型五、举反例 易错题型六、逻辑推理与论证 易错题型七、全等图形 易错题型八、网格中的全等图形 易错题型九、全等三角形的性质 易错题型十、用SSS证明三角形全等 易错题型十一、用SAS证明三角形全等 易错题型十二、用ASA（AAS）证明三角形全等 易错题型十三、用HL证明三角形全等 易错题型十四、全等的性质与判定综合 易错题型十五、灵活选用判定方法证明三角形全等 易错题型十六、全等三角形的证明步骤 易错题型十七、尺规作图中的全等三角形 易错题型十八、倍长中线模型 易错题型十九、旋转模型 易错题型二十、垂直模型 易错题型二十一、尺规作图—角 易错题型二十二、尺规作图—线 易错题型一、命题的概念 1．有下列语句：（1）画线段AB=2cm；（2）两条直线相交，有几个交点？（3）内错角相等；（4）直角都相等；（5）若 ，则． 其中是命题的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列语句中，是命题的是（　　） ①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a＞b，b＞c，那么a＞c；⑤直角都相等． A．①④⑤ B．①②④ C．①③④ D．②③④⑤ 3．在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断 的说法是正确的． 易错题型二、命题的真假 4．下列命题中，是真命题的有（   ） ①对顶角相等；②内错角相等；③如果直线，直线，那么；④同旁内角相等，两直线平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列命题①同旁内角相等，两直线平行，②内错角相等，③对顶角相等，④垂直于同一直线的两直线平行，是真命题的是 ． 6．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例说明． (1)一个角的补角必是钝角； (2)过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线． 易错题型三、写出命题的题设与结论 7．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 8．请将命题“平行于同一直线的两直线互相平行”改成“如果…，那么…”的形式： 9．如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．    (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 易错题型四、逆命题 10．下列三个定理中，存在逆定理的有（   ） ①同角的余角相等； ②同位角相等，两直线平行； ③同角的补角相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等”的逆命题是 ． 12．写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等． 易错题型五、举反例 13．为说明命题“若，则”是假命题，下列反例正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 14．举反例说明命题对于“对于任意实数x，代数式的值总是正数”是假命题，你举的反例是 （写出一个x的值即可）． 15．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 易错题型六、逻辑推理与论证 16．A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制，现在知道A、B、C、D、E五人已经分别赛过5、4、3、2、1盘， 问这时F已赛过（　　）盘． A．5 B．4 C．3 D．2 17．数独是一款风靡全球的逻辑推理填数游戏，起源于18世纪瑞士数学家莱昂哈德•欧拉研究的“拉丁方块”．其玩法规则是在一个的方格网格中，用数字1到9填满整个网格，这个网格又被划分为9个的小宫格，要求每一行、每一列、每一个的小宫格都必须包含数字1到9，且不能重复．如图，在下面的数独游戏中，◆的位置应该填的数字是（   ） A．3 B．6 C．4 D．7 18．刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断正确的密码是 ． ①6、5、3、8只有两个数字正确且位置正确； ②6、0、5、7只有两个数字正确但位置都不正确； ③3、4、2、9四个数字都不正确； ④1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确． 易错题型七、全等图形 19．下列各组图形中，属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 20．下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ④面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是 ． 21．如图所示的是两个全等的五边形，，，，，，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的 ， °． 易错题型八、网格中的全等图形 22．如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 23．如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 24．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 易错题型九、全等三角形的性质 25．如图，，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 26．如图，，，，如果点P在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则t的值是 ． 27．【数材呈现】 活动2用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点、、是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）嘉嘉得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，． 求证：． 证明： （3）淇淇连接筝形ABCD的对角线，交于点，发现“筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线”请你帮他补全证明过程． 已知：如图3，在筝形中，，，分别连接筝形的对角线，交于点． 求证：垂直平分． 证明： 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 易错题型十、用SSS证明三角形全等 28．如图，①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D；②画一条射线，以点为圆心，为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步所画的弧交于点；④过点画射线，则有．其依据是（    ） A． B． C． D． 29．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，，，要使，根据还需要添加一个条件是 ． 30．这是小明同学作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． ①分别以点A，B为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点D； ②连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴( )． (2)小甜看到小明的作图有一个特别的想法，若连接，交于点E，已知与的线段长能否求出的面积呢？假设，请你尝试求出. 易错题型十一、用SAS证明三角形全等 31．如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 32．如图，在中，，．将从点处沿虚线剪开，当线段的长度为 时，剪下的两个三角形全等． 33．如图，已知，．点B、E、C、F在同一条直线上并且． (1)试说明：； (2)判断线段与线段的数量关系和位置关系，说明理由． 易错题型十二、用ASA（AAS）证明三角形全等 34．已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 35．如图，四边形的对角线交于点，．若_________，则． 从①，②，③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 36．已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．    易错题型十三、用HL证明三角形全等 37．如图，在和中，，要使≌，则需再添加一个条件为 ．（写出一个即可） 38．如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等： ． 39．如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿行走，小芳沿行走，两人分别同时到达，点C，D，若． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 易错题型十四、全等的性质与判定综合 40．如图，中，分别是边上的点，． (1)若，求证：； (2)把（1）中的条件和结论反过来，即若，则，这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 41．如图，在中，为高，，点E为上的一点，，连接，交于O，若． (1)求的度数； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为秒， ①设的面积为．请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围； ②点是直线上一点，且．当与全等时，求的值． 42．（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________． （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________． （3）如图3，在四边形中，，分别是直线上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系，并证明． 易错题型十五、灵活选用判定方法证明三角形全等 43．如图，已知E，F是线段AB上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 证明： 44．如图，点四点在一条直线上，，老师说：再添加一个条件就可以使．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加，乙说：添加；丙说：添加． (1)甲、乙、丙三个同学说法错误的是______； (2)请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明． 45．【问题呈现】 我们学习了三角形全等的判定方法（即“”、“”、“”、“”）和直角三角形全等的判定方法（即“”），事实上，在一定条件下，“”定理是能够用来论证三角形全等的．下面我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 〔初步探究〕 如图，不妨设：在和中，，，，然后对且进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 〔深入探究〕 第一种情况：当是直角时，． （1）如图①，在和中，，，，根据___________，可以得到． 第二种情况：当是钝角时，． （2）如图②，在和中，，，，且、都是钝角，求证：．（请写出证明过程） 第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． （3）如图③，在和中，，，，且、都是锐角，请你根据图③作出，使得和不全等．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （4）当和满足什么条件时，则．请直接写出结论：在和中，，，，且、都是锐角，当__________，则． 易错题型十六、全等三角形的证明步骤 46．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． (2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 47．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，．有下列三个条件：①，②，③． (1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分）， 你判定的依据是（填“”或“”或“”或“”）； (2)利用（1）中选取的方法说明与的位置关系． 48．如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号）， ①；②；③；④； (2)分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法． 易错题型十七、尺规作图中的全等三角形 49．根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 50．如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 51．作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使，    作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． (1)请你证明． (2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 易错题型十八、倍长中线模型 52．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______； (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明； (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并加以证明． 53．如图，在中，， (1)求边的长的取值范围？ (2)若是的中线，求取值范围？ 54．佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)为什么？写出推理过程； (2)求出的取值范围； (3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：． 易错题型十九、旋转模型 55．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 56．如图，将绕点顺时针旋转得到，点、、在同一条直线上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 57．在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 易错题型二十、垂直模型 58．如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 59．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 60．如图，已知：在中，，，直线经过点，，． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________． 易错题型二十一、尺规作图—角 61．如图，已知是内部的一条射线，且． (1)求的度数； (2)①尺规作图：在内部，过点作射线，使（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②在①的条件下，求的度数． 62．如图，点在的边上． (1)画射线； (2)用量角器测量，_______； (3)尺规作图：作，使（不写过程，需保留作图痕迹）． 63．如图，中，， (1)用直尺和圆规在的内部作射线，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中的射线交于点D，，，求的度数． 易错题型二十二、尺规作图—线 64．如图，用直尺和圆规作一条直线，使这条直线过的顶点A，并且与边平行． 65．如图，已知线段a和，求作，使，，根据作图痕迹补全作法．      作法： (1)作________； (2)以点________为圆心，以________的长为半径在射线上画弧，交于点B； (3)以点________为顶点作________，交射线于点C，则即为所求作的三角形． 66．如图，已知，用尺规作，使得． 小明准备按以下作图步骤完成： 作法：①作射线，在射线上截取________； ②以点为圆心，以________长为半径作弧，再以点为圆心，以________长为半径作弧，两弧交于点； ③连接，，即为所求（依据：________）． 请补全作图步骤及作图依据，并作出所求三角形． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 全等三角形章末易错考点题型 目录 易错题型一、命题的概念 易错题型二、命题的真假 易错题型三、写出命题的题设与结论 易错题型四、逆命题 易错题型五、举反例 易错题型六、逻辑推理与论证 易错题型七、全等图形 易错题型八、网格中的全等图形 易错题型九、全等三角形的性质 易错题型十、用SSS证明三角形全等 易错题型十一、用SAS证明三角形全等 易错题型十二、用ASA（AAS）证明三角形全等 易错题型十三、用HL证明三角形全等 易错题型十四、全等的性质与判定综合 易错题型十五、灵活选用判定方法证明三角形全等 易错题型十六、全等三角形的证明步骤 易错题型十七、尺规作图中的全等三角形 易错题型十八、倍长中线模型 易错题型十九、旋转模型 易错题型二十、垂直模型 易错题型二十一、尺规作图—角 易错题型二十二、尺规作图—线 易错题型一、命题的概念 1．有下列语句：（1）画线段AB=2cm；（2）两条直线相交，有几个交点？（3）内错角相等；（4）直角都相等；（5）若 ，则． 其中是命题的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，所以需要找到可以判断真假的语句，对各个选项各个分析即可． 【详解】解：根据命题的定义，需要可以判断真假的语句． （1）画线段AB=2cm，不是判断真假的语句，故不是命题； （2）两条直线相交，有几个交点？，不是判断真假的语句，故不是命题； （3）内错角相等，是判断真假的语句，是命题； （4）直角都相等，是判断真假的语句，是命题； （5）若 ，则，是命题． 所以属于命题的是（3）（4）（5），共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题的定义，要求对命题的定义有很好的掌握，属于基本的题型，比较简单． 2．下列语句中，是命题的是（　　） ①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a＞b，b＞c，那么a＞c；⑤直角都相等． A．①④⑤ B．①②④ C．①③④ D．②③④⑤ 【答案】A 【分析】根据命题的定义分别进行判断即可． 【详解】解：①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2，是命题，符合题意； ②同位角相等吗？是疑问句，不是命题，不符合题意； ③画线段AB＝CD，没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意； ④如果a＞b，b＞c，那么a＞c，是命题，符合题意； ⑤直角都相等，是命题，符合题意， 命题有①④⑤． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，命题有题设与结论两部分组成；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 3．在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断 的说法是正确的． 【答案】乙 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．根据命题的定义对两种说法进行判断． 【详解】解：乙的说法正确．因为“对顶角不相等”是一个判断语句，所以它是命题，根据对顶角的性质可得到它是假命题． 故答案为：乙． 易错题型二、命题的真假 4．下列命题中，是真命题的有（   ） ①对顶角相等；②内错角相等；③如果直线，直线，那么；④同旁内角相等，两直线平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据平行线的性质、对顶角、平行线的判定判断即可． 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②两直线平行，内错角相等，原命题是假命题； ③如果直线，直线，那么，真命题； ④同旁内角互补，两直线平行，原命题是假命题； 故选：B． 5．下列命题①同旁内角相等，两直线平行，②内错角相等，③对顶角相等，④垂直于同一直线的两直线平行，是真命题的是 ． 【答案】③ 【分析】本题考查了真假命题判断与定理，平行线的性质和判定，对顶角相等，熟练掌握定理，并能准确判断真假命题是解题的关键． 对于选项①②④利用平行线的判定和性质进行判断，对于选项③利用对顶角的概念进行判断． 【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行，故①是假命题，不符合题意； ②两直线平行，内错角相等，故②是假命题，不符合题意； ③对顶角相等，是真命题，故③符合题意； ④垂直于同一直线的两条直线位置不确定，故④是假命题，不符合题意； 故答案为：③． 6．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例说明． (1)一个角的补角必是钝角； (2)过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线． 【答案】(1)假命题，反例见解析 (2)真命题 【分析】本题考查命题，关键是掌握补角，钝角的定义． （1）如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角，由此即可判断； （2）由相交线的定义，即可判断． 【详解】（1）解：假命题， 反例：如果一个角是，则它的补角是，而的角不是钝角． （2）解：过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线是真命题． 易错题型三、写出命题的题设与结论 7．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成．根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】解：命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选：D． 8．请将命题“平行于同一直线的两直线互相平行”改成“如果…，那么…”的形式： 【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线相互平行 【分析】本题考查了命题与定理，平行线公理，把命题的题设部分写在如果的后面，把结论部分写在那么的后面． 【详解】解：命题“平行于同一直线的两直线互相平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线相互平行， 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线相互平行． 9．如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．    (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是命题与定理，掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）根据题意写出命题即可； （2）根据平行线的判定和性质证明． 【详解】（1）解：可构造三个命题： 命题一：如果，，那么； 命题二：如果，，那么； 命题三：如果，，那么； （2）解：①选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ②选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ③选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ∴综上所述，三个命题都是真命题． 易错题型四、逆命题 10．下列三个定理中，存在逆定理的有（   ） ①同角的余角相等； ②同位角相等，两直线平行； ③同角的补角相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查的是真假命题的判断，逆命题，逆定理的含义，先分别写出命题的逆命题，再判断逆命题的真假即可得到答案． 【详解】解：同角的余角相等的逆命题是：相等的两个角是同一个角的余角；该逆命题是假命题，不存在逆定理，故①不符合题意； 同位角相等，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同位角相等；该逆命题是真命题，存在逆定理；故②符合题意； 同角的补角相等的逆命题是：相等的两个角是同一个角的补角；该逆命题是假命题，不存在逆定理，故③不符合题意； 故选：B 11．命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等”的逆命题是 ． 【答案】如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等 【分析】本题考查命题与定理，关键掌握三角形全等的判定定理及性质．将原命题的条件与结论互换即可得到其逆命题． 【详解】解：∵原命题的条件是：如果两个三角形全等， 结论是：那么这两个三角形的对应边相等， ∴其逆命题是：如果两个三角形的对应边相等，那么两个三角形全等． 故答案为：如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等． 12．写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行，该真命题 (2)如果两个实数的绝对值相等，那么它们也相等，为假命题 (3)如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题 【分析】本题主要考查了逆命题以及判定命题的真假，熟练掌握相关知识是解题关键．一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆的命题，我们称其中的一个命题为原命题，另一个则为逆命题． （1）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据平行线的判定定理即可确定该逆命题为真命题； （2）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据绝对值的性质即可确定该逆命题为假命题； （3）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定定理可知该逆命题为假命题． 【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行，该真命题； （2）解：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，为假命题； （3）解：如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题． 易错题型五、举反例 13．为说明命题“若，则”是假命题，下列反例正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了举反例说明命题为假命题，理解举反例的方法是解题的关键． 举例符合已知条件，但得出的结论与已知的结论矛盾，可说明原命题是假命题，据此逐一判断，即可求解． 【详解】解：A.当，时，可得出，是反例，符合题意； B. 当，时，可得出，不符合题意； C. 当，时，可得出，不是反例，不符合题意； D. 当，时，可得出，不符合题意； 故选：A． 14．举反例说明命题对于“对于任意实数x，代数式的值总是正数”是假命题，你举的反例是 （写出一个x的值即可）． 【答案】0 【分析】本题考查的是举反例及代数式的值问题，掌握代数式的求值方法是解题关键．把代入即可得出答案． 【详解】解：当时，， ∴“对于任意实数x，代数式的值总是正数”是假命题， 故答案为：0 15．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 【答案】(1)假命题，见解析； (2)假命题，见解析； (3)真命题，证明见解析； (4)假命题，见解析． 【分析】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条件，不具备命题的结论的例子）即可 根据真命题和假命题的定义判断并说明即可． 【详解】（1）解：是假命题，反例： 当时， ，， ∴结论不成立； （2）解：是假命题，反例： 当时， ， ∴结论不成立； （3）解：是真命题，证明： 设两个连续的正奇数为，（为正整数）， 则 ∵为正整数， ∴是8的倍数， ∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）解：是假命题，反例： 当四边形为等腰梯形时结论不成立． 易错题型六、逻辑推理与论证 16．A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制，现在知道A、B、C、D、E五人已经分别赛过5、4、3、2、1盘， 问这时F已赛过（　　）盘． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查代数推理，根据单循环赛制，每人最多赛5盘．通过逐步分析各选手的对阵情况，确定F的已赛场数． 【详解】1．A赛过5盘，在6人单循环赛中，说明A与其余所有人（B、C、D、E、F）都赛了一盘． 2．E赛过1盘，由第1点可知，E的这一盘对手必然是A．因此，E没有与B、C、D、F比赛． 3．B赛过4盘，已知B与A赛过一盘，且B没有与E比赛，所以B的另外三盘是与C、D、F赛的． 4．D赛过2盘，已知D与A赛过一盘，且D没有与E比赛．由第3点可知，B与D赛过一盘，因此D的2盘对手分别是A和B． 5．C赛过3盘，已知C与A赛过（由第1点），与B赛过（由第3点），且C没有与E、D比赛（由第2、4点），因此C的第三盘对手是F． 综上，F的对手有：A（来自第1点）、B（来自第3点）、C（来自第5点）．所以F一共赛了3盘． 故选：C． 17．数独是一款风靡全球的逻辑推理填数游戏，起源于18世纪瑞士数学家莱昂哈德•欧拉研究的“拉丁方块”．其玩法规则是在一个的方格网格中，用数字1到9填满整个网格，这个网格又被划分为9个的小宫格，要求每一行、每一列、每一个的小宫格都必须包含数字1到9，且不能重复．如图，在下面的数独游戏中，◆的位置应该填的数字是（   ） A．3 B．6 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了“拉丁方块”，逻辑推理与论证，观察规律，理解其玩法规则是解题的关键．观察发现第一列的6出现在第一个小宫格，第二列的6出现在第二个小宫格，第三列的6可以出现在第三个小宫格的◆的位置和的位置，通过观察可以发现，所在的行已有6出现，那么6只能在◆的位置． 【详解】解：根据题意，要求每一行、每一列、每一个的小宫格都必须包含数字1到9，且不重复，那么每一列都要出现一个6，第一列的6出现在第一个小宫格，第二列的6出现在第二个小宫格，第三列的6可以出现在第三个小宫格的◆的位置和的位置，通过观察可以发现，所在的行已有6出现，那么6只能在◆的位置． 故选：B． 18．刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断正确的密码是 ． ①6、5、3、8只有两个数字正确且位置正确； ②6、0、5、7只有两个数字正确但位置都不正确； ③3、4、2、9四个数字都不正确； ④1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】0518 【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知推断求解即可． 【详解】解：由③可知，3、4、2、9四个数字都不正确， 即密码中没有3、4、2、9四个数字； 由④可知，1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确， 即密码中一定有1、8、0三个数字，且位置都不正确； 由①可知，6、5、3、8只有两个数字正确且位置正确； 即密码中数字8在第四位，另一个正确的数字为6在第一位或5在第二位； 若6在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为5在第二位； 由②④可知，密码数字0不在第二位和第三位，即在第一位。 则数字1在第三位， 即正确的密码是， 故答案为：． 易错题型七、全等图形 19．下列各组图形中，属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等图形的概念，正确理解全等图形的概念是解题的关键．根据全等图形的概念判断即可． 【详解】解：根据全等图形的概念可得：选项C的图形是全等形． 故选：C． 20．下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ④面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是 ． 【答案】④ 【分析】此题主要考查了全等形．根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可． 【详解】解：①两个形状相同的图形大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ②两个圆形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ③两个正方形形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ④全等图形的形状和大小都相同，说法正确； ⑤面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等图形，原说法错误； 正确的说法只有④， 故答案为：④． 21．如图所示的是两个全等的五边形，，，，，，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的 ， °． 【答案】 11 115 【分析】此题考查了全等多边形的性质，根据全等多边形对应边相等，对应角相等求解即可． 【详解】∵五边形和五边形全等 ∴， 故答案为：11，115． 易错题型八、网格中的全等图形 22．如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意证明，得到，由得到． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ， ∴， 故选：B． 23．如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．如图，先根据判定，可得，然后可得，同理，，，，进一步即可求出答案． 【详解】解：如图，在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同理，，， ， ∴， 故选：A． 24．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 易错题型九、全等三角形的性质 25．如图，，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理．根据全等三角形的性质得出对应角相等，，在中，根据三角形内角和为，可得，通过角的和差关系求的度数． 【详解】解：由题可知，， ， ，， ，， ， ． 故选：B． 26．如图，，，，如果点P在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则t的值是 ． 【答案】1或2/2或1 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当和②当时，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解，利用全等三角形对应边相等，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意知，，， ， ①当时， ∴， ， ； ②当时， ∴， ， ， 综上，当的值是1或2时，能够使与全等， 故答案为：1或2． 27．【数材呈现】 活动2用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点、、是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）嘉嘉得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，． 求证：． 证明： （3）淇淇连接筝形ABCD的对角线，交于点，发现“筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线”请你帮他补全证明过程． 已知：如图3，在筝形中，，，分别连接筝形的对角线，交于点． 求证：垂直平分． 证明： 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）或 【分析】（1）取格点的关于的对称点，连接、即可求解； （2）连接，利用证得即可求解； （3）利用（2）的证得，得、，再利用即可求解； （4）根据题意，分两种情况：①当筝形中，，时；②当筝形中，，时，分别求解即可． 【详解】解：（1）如图，四边形为所求． （2）如图，连接， 在和中， ， ， ． （3）由（2）得， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 垂直平分． （4）根据题意，可分两种情况： ①如图，当筝形中，，， 由（2）得：， ； ②当筝形中，，， ， 在中，， ， 是的一个外角， ， ． 综上所述，当四边形为筝形时， 的度数为或． 【点睛】本题主要考查了网格作图，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角的性质，熟练掌握全等三角形的各种判定方法是解题关键． 易错题型十、用SSS证明三角形全等 28．如图，①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D；②画一条射线，以点为圆心，为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步所画的弧交于点；④过点画射线，则有．其依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图-基本作图和全等三角形的判定．利用基本作图得到，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：由作法得， 所以， 所以， 即． 故选：A． 29．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，，，要使，根据还需要添加一个条件是 ． 【答案】（或） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．根据定理即可得． 【详解】解：①根据还需要添加一个条件是， ∴，即， 在和中， ， ∴． ②根据还需要添加一个条件是， 在和中， ， ∴， 故答案为：（或）． 30．这是小明同学作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． ①分别以点A，B为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点D； ②连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴( )． (2)小甜看到小明的作图有一个特别的想法，若连接，交于点E，已知与的线段长能否求出的面积呢？假设，请你尝试求出. 【答案】(1)，， (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由作图可得，即可由求证； （2）先证明，则，再由三角形面积公式求解． 【详解】（1）证明：由作图可知，在和中， ∴； （2）解：∵ ∴， ∴在和中 ∴， ∴ ∵ ∴ 易错题型十一、用SAS证明三角形全等 31．如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ， 用“”证明，则还需添加 故选： 32．如图，在中，，．将从点处沿虚线剪开，当线段的长度为 时，剪下的两个三角形全等． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，当时，利用即可证明两个三角形全等． 【详解】解：如图所示，当时， 则， ∴， 故答案为：2． 33．如图，已知，．点B、E、C、F在同一条直线上并且． (1)试说明：； (2)判断线段与线段的数量关系和位置关系，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件． （1）直接利用全等三角形的判定方法可得出答案； （2）由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：．理由如下： ∵， ∴， ∴． 易错题型十二、用ASA（AAS）证明三角形全等 34．已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定、线段的和差． （1）由线段的和差得，由即可得证； （2）由线段的和差得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即：， 在和中 ， （）； （2）解： ， ， ， ． 35．如图，四边形的对角线交于点，．若_________，则． 从①，②，③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】①（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由边的关系与角的关系得到三角形全等是解决本题的关键． 选择①：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得，再由角边角的证明方法即可证明与全等，由此可得结论； 选择②：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得，再由角角边的证明方法即可证明与全等，由此可得结论． 【详解】解：选择①， ∵， ∴， ∵，且， 在与中， 由， ∴≌， ∴； 故答案为：①． 选择②， ∵， ∴， ∵， 在与中， 由， ∴≌， ∴． 故答案为：②． 36．已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据垂直的定义和余角的性质得到，再根据证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 易错题型十三、用HL证明三角形全等 37．如图，在和中，，要使≌，则需再添加一个条件为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据推出，再考虑添加的条件即可． 【详解】解：条件可以是：； 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴≌． 故答案为： （答案不唯一）． 38．如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等： ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，，题目比较典型，难度适中． 根据直角三角形的全等判定解答即可． 【详解】解：补充， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 39．如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿行走，小芳沿行走，两人分别同时到达，点C，D，若． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形全等判定的特殊方法是解题的关键． （1）根据题意，得到，又，利用直角三角形全等的判定方法证明；从而得证； （2）由（1）得，得到，结合，即可得解． 【详解】（1），理由如下： ∵小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，两人分别同时到达， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， 又， ． 易错题型十四、全等的性质与判定综合 40．如图，中，分别是边上的点，． (1)若，求证：； (2)把（1）中的条件和结论反过来，即若，则，这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了角的和差，全等三角形的判定与性质，三角形的外角与不相邻两个内角的关系，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点作辅助线构建全等三角形． （1）证明即可； （2）过点、分别作于点M，于点N，证明，得到，再结合条件可以证明，进而得到即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示： 由三角形的外角定理可知：， 且，， ， 在和中，， ； （2）解：成立，理由如下： 过点、分别作于点M，于点N，如图2所示： ，， ， 又， 在和中， ． ， 又， ， ， 又，． ． 即若，则此命题成立． 41．如图，在中，为高，，点E为上的一点，，连接，交于O，若． (1)求的度数； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为秒， ①设的面积为．请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围； ②点是直线上一点，且．当与全等时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，得出，进而等量代换，即可得证； （2）①分两种情况，当时，当时，分别利用三角形面积公式即可求解； ②两种情况，点在线段延长线上，当时，，得，解得 ；点在线段上，当时，，得，解得即可． 【详解】（1）解：∵在中，为高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， 当点Q运动到点E时，，当点运动到点时，， 当时， 如图，； 当时，如图， ． 综上所述，； ②∵， ∴， 当点F在线段延长线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， 解得：； 当点在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴当时，， ∴， 解得：． 综上所述，当与全等时，t的值为或． 42．（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________． （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________． （3）如图3，在四边形中，，分别是直线上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系，并证明． 【答案】（1）．（2）．（3），理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的． （1）设，则，延长到点，使，连接，证明，即可解答； （2）延长到点，使，连接，证明，，即可解答； （3）在上截取，连接，同理得，，即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： 设，则， 如图1，延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）三条线段间的数量关系为：，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3），理由如下： 如图3，在上截取，连接， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 易错题型十五、灵活选用判定方法证明三角形全等 43．如图，已知E，F是线段AB上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 证明： 【答案】①③、②；见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法（SAS，ASA，AAS，SSS，还有直角三角形的HL）是解题的关键． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选的补充条件是①③，结论是②，证明即可. 【详解】证明：， ，即 在与中 . 44．如图，点四点在一条直线上，，老师说：再添加一个条件就可以使．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加，乙说：添加；丙说：添加． (1)甲、乙、丙三个同学说法错误的是______； (2)请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明． 【答案】(1)甲、丙 (2)答案不唯一，见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据平行线的性质，由可得，再加上条件，只需要添加一个能得出边相等的条件即可证明两个三角形全等，添加不能证明； （2）添加，然后再利用判定即可． 【详解】（1）解：， ， ， 甲说：添加，由两个三角形全等的判定定理即可判定全等； 乙说：添加，只能得到角度相等，无法确定边的相等关系，无法确定全等； 丙说：添加，则，由两个三角形全等的判定定理即可判定全等； 综上所述，说法正确的是：甲、丙， 故答案为：甲、丙： （2）解：选择甲， 证明如下： ， ， 在和中， ， ． 45．【问题呈现】 我们学习了三角形全等的判定方法（即“”、“”、“”、“”）和直角三角形全等的判定方法（即“”），事实上，在一定条件下，“”定理是能够用来论证三角形全等的．下面我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 〔初步探究〕 如图，不妨设：在和中，，，，然后对且进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 〔深入探究〕 第一种情况：当是直角时，． （1）如图①，在和中，，，，根据___________，可以得到． 第二种情况：当是钝角时，． （2）如图②，在和中，，，，且、都是钝角，求证：．（请写出证明过程） 第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． （3）如图③，在和中，，，，且、都是锐角，请你根据图③作出，使得和不全等．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （4）当和满足什么条件时，则．请直接写出结论：在和中，，，，且、都是锐角，当__________，则． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）或． 【分析】本题属于三角形的综合应用，主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）直接利用定理得出即可解答； （2）首先得出则，进而得出，再求出； （3）利用已知图形再做一个钝角三角形即可解答； （4）利用（3）中方法可得出当时，则；另外当也可得到． 【详解】（1）解：如图①， ∵， 在和中， ∴． 故答案为：． （2）证明：如图②，过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H， ∵，且都是钝角， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （3）解：如图③中，在和，， 和不全等； （4）解：由图③可知，， ∴， ∴当时，就唯一确定了，则． 当时，即， 在和中， ， ∴． 故答案为：或． 易错题型十六、全等三角形的证明步骤 46．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． (2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 【答案】(1)②③ (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质， （1）根据全等三角形的判定定理逐一判断即可； （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 又， 添加①无法证得； 添加②根据可证得； 添加③根据可证得； 所有可以添加的条件的序号是②③， 故答案为：②③； （2）添加②， 在与中， )， ； 添加③，在与中， )， ． 47．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，．有下列三个条件：①，②，③． (1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分）， 你判定的依据是（填“”或“”或“”或“”）； (2)利用（1）中选取的方法说明与的位置关系． 【答案】(1)选择①结合，可利用证明； 选择②结合，可利用证明；（任选一个即可） (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定： （1）根据全等三角形的判定定理求解即可； （2）选择①或②都可通过证明，得到，进而证明． 【详解】（1）解：选择①结合，可利用证明； 选择②结合，可利用证明； （2）解：选择①， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 选择②： 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 48．如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号）， ①；②；③；④； (2)分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法． 【答案】(1)①③ (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）利用，，，的判定定理进行判断； （2）利用，进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意知：，可利用，证明两三角形全等，故选：①③， 故答案为：①③． （2）解：选①时， 在和中， ， ； 选③时， 在和中， ， ． 易错题型十七、尺规作图中的全等三角形 49．根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，画出的不唯一，该选项符合题意； 故选：． 50．如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 【答案】任务1：①见解析 ；②； 任务2：①90； ②． 【分析】本题考查应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 任务一：根据作出三角形即可； 任务二：①猜想：； ②利用平行线的性质以及角平分线的定义证明即可． 【详解】解：任务一： ①如图1中，即为所求； ②依据是：， 故答案为：； 任务2： ①猜想：． 故答案为：90； ②， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 51．作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使，    作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． (1)请你证明． (2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由作图过程得到相应条件，再根据证明即可； （2）根据作图过程可得这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 【详解】（1）解：证明：在和中， ， ， ． （2）这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 故答案为： 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 易错题型十八、倍长中线模型 52．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______； (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明； (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)，．理由见解析 (3)，．证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理．通过“倍长中线法”构造全等三角形，将分散的边、角条件集中到同一三角形中，结合三角形三边关系、全等三角形性质及角度推导解决问题．灵活运用全等判定（）和性质，以及角度之间的转化（如补角、内错角等）是解题的关键． （1）利用倍长中线构造全等，将转化为，再用三边关系确定范围； （2）由全等三角形对应边、角相等，推导与的数量和位置关系； （3）再次倍长中线构造全等，结合角度关系证明三角形全等，进而确定与的数量和位置关系． 【详解】（1）解：延长到点M，使，连接， D是中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，即， 又， ，即． 故答案为：． （2），．理由如下： ， ，， ． （3），．证明如下： 如图，延长到点Q，使得，连接． 同理可证， ，． ， ． 在中，， ， ． ， ， ． 在和中 ， ，． 如图，延长交于点P． ， ， ， ， ． ， ． ， ． 综上所述，，． 53．如图，在中，， (1)求边的长的取值范围？ (2)若是的中线，求取值范围？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形三边的关系求解即可； （2）延长至E，使，连接，证明，得到，由三角形三边关系得到，则． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知：， ∵， ∴； （2）解：延长至E，使，连接， 在中，∵， ∴， ∴， 由三角形的三边关系：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 54．佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)为什么？写出推理过程； (2)求出的取值范围； (3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3）延长至，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，可得． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， 延长到，使，且， ∴． （2）解：由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴． （3）证明：如图，延长至，使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中线的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 易错题型十九、旋转模型 55．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 56．如图，将绕点顺时针旋转得到，点、、在同一条直线上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和定理解答即可； 【详解】∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，，， ∴， ∵点、、在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，准确计算是解题的关键． 57．在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 【答案】（1）；（2），证明过程见解析；（3） 【分析】（1）根据已知条件证明即可得解； （2）根据已知条件证明即可得解； （3）根据已知条件证明即可得解； 【详解】（1）在和中， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又， ∴， 即； 故答案是：； （2）答：； 证明：∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； （3）∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合应用，准确分析证明是解题的关键． 易错题型二十、垂直模型 58．如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 59．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，，． 【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论； （2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系； 【详解】（1）证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质． 60．如图，已知：在中，，，直线经过点，，． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD 【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案； （2）结论：DE=AD-BE．与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案． （3）结论：DE=BE-AD．证明方法类似． 【详解】解：（1）证明：如图1， ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠EBC+∠ECB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECB+∠ACE=90°， ∴∠ACD=∠EBC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=EC-CD=AD-BE． （3）DE=BE-AD； 如图3，∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90° ∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠DAC=∠ECB， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=CD-CE=BE-AD． 【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD≌△CBE是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． 易错题型二十一、尺规作图—角 61．如图，已知是内部的一条射线，且． (1)求的度数； (2)①尺规作图：在内部，过点作射线，使（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②在①的条件下，求的度数． 【答案】(1) (2)①作图见解析；② 【分析】本题考查几何图形角度的计算，尺规作一个角等于已知角， （1）设，根据题意可得，解方程，即可求解； （2）①根据题意，作，即可求解； ②由（1）得因为，可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：设 因为所以 解得：所以． （2）①如图所示 ②由（1）得因为所以 所以． 62．如图，点在的边上． (1)画射线； (2)用量角器测量，_______； (3)尺规作图：作，使（不写过程，需保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了射线，角的度量，尺规作图—作一个角等于已知角等知识，解题的关键是： （1）根据射线的定义即可求解； （2）根据用量角器度量角的方法，即可解答； （3）根据作一个角等于已知角的方法，分别在上方和下方作角即可． 【详解】（1）解∶如图，射线即为所求， ； （2）解∶ 用量角器测量，， 故答案为∶ ； （3）解：如图，、即为所求， ． 63．如图，中，， (1)用直尺和圆规在的内部作射线，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中的射线交于点D，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了基本作图以及三角形外角的性质； （1）根据尺规作图的方法，以为一边，在的内部作即可； （2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可． 【详解】（1）解：射线就是所要求作的射线； （2）解：由（1）可知，， 所以． 易错题型二十二、尺规作图—线 64．如图，用直尺和圆规作一条直线，使这条直线过的顶点A，并且与边平行． 【答案】见解析 【分析】利用“内错角相等，两直线平行”这一判定定理，通过作一个角等于已知角，构造出与 平行且过点 的直线． 本题主要考查了平行线的判定（内错角相等，两直线平行）以及尺规作图作一个角等于已知角，熟练掌握平行线判定定理和尺规作等角的方法是解题的关键． 【详解】解：如图，直线即为所求， 以为顶点，作 ，则直线即为所求， ∵， 直线 （内错角相等，两直线平行）． 65．如图，已知线段a和，求作，使，，根据作图痕迹补全作法．      作法： (1)作________； (2)以点________为圆心，以________的长为半径在射线上画弧，交于点B； (3)以点________为顶点作________，交射线于点C，则即为所求作的三角形． 【答案】(1) (2)A；a (3)B； 【分析】本题考查了基本的尺规作图及作法，熟练掌握基本的尺规作图及作图语言的规范性是解题的关键． （1）根据作一个角等于已知角解答； （2）根据作一条线段等于已知线段解答； （3）根据作一个角等于已知角解答． 【详解】（1）解：作； 故答案为：； （2）解：以点A为圆心，以a的长为半径在射线上画弧，交于点B； 故答案为：A；a； （3）解：以点B为顶点作，交射线于点C，则即为所求作的三角形． 故答案为：． 66．如图，已知，用尺规作，使得． 小明准备按以下作图步骤完成： 作法：①作射线，在射线上截取________； ②以点为圆心，以________长为半径作弧，再以点为圆心，以________长为半径作弧，两弧交于点； ③连接，，即为所求（依据：________）． 请补全作图步骤及作图依据，并作出所求三角形． 【答案】；；；三边分别相等的两个三角形全等（或SSS或边边边），作图见解析 【分析】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定方法． 根据几何语言画出对应的几何图形得到，然后根据全等三角形的判定方法得到． 【详解】解：作法：①作射线，在射线上截取； ②以点为圆心，以长为半径作弧，再以点为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点； ③连接，，即为所求（依据：三边分别相等的两个三角形全等（或SSS或边边边））． 如图所示， 即为所求． 由作图可知：在与中， 故答案为：；；；三边分别相等的两个三角形全等（或SSS或边边边）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$