专题06 全等三角形章末压轴满分题型（专项训练）数学冀教版2024八年级上册

专题06 全等三角形章末压轴满分题型 目录 压轴题型一、命题与证明的综合题型 压轴题型二、全等三角形的判定与性质 压轴题型三、全等三角形的动点问题 压轴题型四、倍长中线模型 压轴题型五、一线三等角模型 压轴题型六、手拉手模型 压轴题型七、旋转模型 压轴题型八、垂线模型 压轴题型九、全等三角形的综合问题 压轴题型十、尺规作图 压轴题型一、命题与证明的综合题型 1．有五个足球队、、、、分入同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，如果队的积分为9分，讨论： (1)队的战绩是几胜，几平，几负？ (2)如果小组赛中有一个队的战绩为全胜，队能否出线？ (3)如果小组赛中有一个队的积分为10，队能否出线？ 【答案】(1)3胜0平1负 (2)A队能出线 (3)队能出线 【分析】本题考查了不等式的应用，二元一次方程的应用及逻辑推理，根据球队的积分判断出胜负的场次是解题的关键． （1）五个队分在同一小组进行单循环赛，则每个组只进行4场比赛，队的积分为9分，就可以得到队的胜负情况； （2）利用队的胜负以及另一队战绩为全胜情况，进而就可以得到其它队的胜负的情况，就可以进行判断； （3）利用队的胜负以及另一队战绩为积分10分情况，进而就可以得到其它队的胜负的情况，就可以进行判断． 【详解】（1）解：个队进行单循环足球比赛， 每2个队间只比赛1次，每个队和其他队比赛4次， 设队胜，平， ． ， 得：，，故队的战绩是3胜0平1负． （2）解：小组赛中有一个队的战绩为全胜，队的积分为9分， 其他队最多可以胜2场比赛，故最多可得6分， 队能出线； （3）解：假设是队的战绩为10分．它就是3胜1平0负， 可以看出，队只败给了队，即、、都负于队了， 3队里有1队和队平了1次，其他2队都负于队， 、、，3队里积分最高的是2胜1平1负，有7分． ∴队出线了． 2．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式：______________________________； (2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，，______．求证：______． 【答案】(1)如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】（1）依据“如果……那么……”形式的要求，梳理命题条件与结论进行改写； （2）先补充已知和求证，再利用垂直定义得到角的度数，结合平行线判定定理完成证明 ． 本题主要考查了命题的改写、垂直的定义以及平行线的判定定理，熟练掌握命题的结构、垂直定义和平行线判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：将此命题改写成“如果……那么……”的形式为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 故答案为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； （2）解：，． 证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义）， ∴．（同位角相等，两直线平行） 3．张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题： 请观察以下算式：①；②；③；…… (1)请你写出第④个符合上述规律的算式___________； (2)验证规律：设两个连续奇数为（其中为正整数），请验证它们的平方差是8的倍数； (3)拓展延伸：命题“两个连续偶数的平方差是8的倍数”是___________命题．（填“真”或“假”） 【答案】(1) (2)见解析 (3)假 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，规律探索问题； （1）根据前三个式子的规律即可写出第四个式子的规律； （2）对于，利用完全平方公式展开，再合并同类项即可； （3）设两个连续偶数为，计算，根据结果即可判断真假． 【详解】（1）解：由前三个式子知，第四个式子为：； 故答案为：； （2）解： ； 而是8的倍数，则是8的倍数， 即两个连续奇数的平方差是8的倍数； （3）解：设两个连续偶数为， 则， 而是奇数，故不是8的倍数， 即命题：两个连续偶数的平方差是8的倍数是假命题； 故答案为：假． 4．若一个四位正整数满足千位上的数字比百位上的数字大2，十位上的数字比个位上的数字大2，千位上的数字与十位上的数字不相等且各个数位上的数字都不为零，则称为“双减数”．将“双减数”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为．例如：四位正整数，且，是“双减数”，此时． (1)判断“8631”是否是双减数？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． (2)命题“对于任意双减数都能被11整除”是真命题还是假命题？说明你的理由． 【答案】(1)是， (2)真命题，理由见解析 【分析】本题考查的是新定义的含义，真假命题的判断，整式的加减运算的应用； （1）运用“双减数”的定义判断解题即可； （2）设千位数字为，十位数字为，然后表示“双减数”并化简为解题即可． 【详解】（1）解：， ∴是双减数，此时， （2）解：设千位数字为，十位数字为，则百位数字为，个位数字为，且， ∴双减数， 由题意，， 能被11整除， ∴命题“对于任意双减数都能被11整除”是真命题. 压轴题型二、全等三角形的判定与性质 5．如图，在中，，，在外的中，，，连接，转动使的延长线与线段相交于点M，点M为中点，连接，下列几人的结论： 甲同学说：为直角三角形且； 乙同学说：的长是的长的2倍； 丙同学说：与的面积相等． 其中正确的是（   ） A．甲的说法正确 B．乙的说法正确 C．丙的说法正确 D．三人的说法都正确 【答案】D 【分析】延长，过点A作于点F，证明，得出，，，证明，得出，，，得出为直角三角形且，故甲说法正确；根据，，得出，故乙说法正确；根据，，即可证明，故丙说法正确． 【详解】解：延长，过点A作于点F，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴为直角三角形且，故甲说法正确； ∵，， ∴，故乙说法正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故丙说法正确； 综上分析可知：三个人的说法都正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 6．已知如图，于点D，于点E，下列说法：①；②；③平分；④；⑤．其中一定正确的是（   ） A．①③⑤ B．①③④ C．①②④ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明，即可得到一定正确的结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴；故①，②都正确； ∴，故④正确； 无法证明平分，．故③⑤不正确， 故选：C． 【点睛】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键． 7．在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连结、，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键． 【详解】解：∵点是边的中点，， ∴， 在上取点，使得， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见详解 (2)48 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，证明、是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，然后由四边形的面积求解即可； （3）由可得，结合，可得，再结合即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积； （3）∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 压轴题型三、全等三角形的动点问题 9．对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人的结果合起来才对 B．乙、丙两人的结果合起来才对 C．甲、丙两人的结果合起来才对 D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得，； 当时， ∴， ∴， 解得，． 综上所述，乙、丙两人的结果合起来才对． 故选：B． 10．如图，在中，，，点D为的中点．若点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动，当以点B，点P，点D为顶点的三角形与全等时，点Q的运动速度是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质．设点Q的运动速度为，运动的时间为，则，，，先根据等腰三角形的性质得到，再根据全等三角形的判定方法，当，时，，即，；当，时，，即，，然后分别解方程组求出x即可． 【详解】解：设点Q的运动速度为，运动的时间为，则，，， ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴当，时，， 即，， 解得，； 当，时，， 即，， 解得，， 综上所述，点Q的速度为或． 故选：D． 11．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 时，能够使与全等． 【答案】厘米秒或厘米秒 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用（行程问题）等知识点．利用全等三角形的判定方法，分两种情况讨论：或，分别求解即可． 【详解】解：设点运动的时间为秒， 则（厘米），厘米， ， 当，时，， ，，运动的时间相等， 的运动速度是厘米秒； 当，时，， 是中点， （厘米）， ∵， ∴， 解得：， ∴厘米秒； 当点的运动速度为厘米秒或厘米秒时，能够使与全等， 故答案为：厘米秒或厘米秒． 12．如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)或 (2)点Q的运动速度为或 【分析】本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理解题意，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可求出，分类讨论：①当点P在上时；②当点P在上时；③当点P在上时，分别列方程求解即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴． 分类讨论：①当点P在上时，不存在； ②当点P在上时，此时，如图， ∴， ∴； ③当点P在上时，此时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴． 综上可知当或时，的面积等于面积的一半； （2）解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 压轴题型四、倍长中线模型 13．已知ABC． (1)如图1，按如下要求用尺规作图： ①作出ABC的中线CD； ②延长CD至E，使DE＝CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．） (2)在（1）中，直线AE与直线BC的关系是 ； (3)如图2，若∠ACB＝，CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由； (4)如图3，若∠ACB＝，AC＝BC，CD是ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接DE．若CF＝4，则DE的长是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）①根据三角形的中线的定义，作的垂直平分线，交于点，连接即可． ②根据要求，延长CD至E，使DE＝CD，连接AE即可． （2）结论：，利用全等三角形的判定和性质证明即可． （3）结论：．利用全等三角形的判定和性质证明即可． （4）利用全等三角形的性质证明，再利用（3）中结论解决问题． 【详解】（1）①如图1所示，作的垂直平分线，交于点，连接，则线段CD即为所求； ②如图1中，线段DE，AE即为所求； （2）结论：． 理由：在△CDB和△EDA中， ， ∴△CDB≌△EDA（SAS）， ∴∠B=∠DAE， ∴． 故答案为：． （3）AB与CD的数量关系是：AB=2CD，理由如下： 如图3-2，延长CD至E，使DE=DC，连接BE， ∵CD是中线， ∴AD=BD， 在△ADC和△BDE中， ， ∴△ADC≌△BDE（SAS）， ∴∠E=∠ACD，AC=BE， ∴， ∴∠ACB+∠EBC=， ∵∠ACB=， ∴∠EBC=， 在△ACB和△EBC中， ， ∴△ACB≌△EBC（SAS）， ∴AB=CE， ∵CE=2CD， ∴AB=2CD． （4）如图3中， ∵BE⊥AC，∠ACB=， ∴∠CEB=∠BEA=，∠ECB=∠EBC=， ∴EC=EB， ∵AC=BC，CD是中线， ∴CD⊥AB， ∵∠CEF=∠BDF=，∠CFE=∠BFD， ∴∠ECF=∠ABE， 在△CEF和△BEA中， ， ∴△CEF≌△BEA（ASA）， ∴CF=AB=4， ∵AD=BD，∠AEB=， ∴DE=AB=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的中线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，等腰三角形的性质，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 14．（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 　 　； （2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF； （3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】（1）1＜AD＜6；（2）见解析；（3）结论：EF＝BE﹣FD，证明见解析． 【分析】（1）先证明△CDE≌△BDA（SAS）可得CE＝AB＝5，在△ACE中，利用三角形的三边关系解答即可； （2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．再证明△BDE≌△CDH（SAS）可得BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系解答即可； （3）如图3，作辅助线，构建△ABG，同理证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的结论：EF＝BE﹣DF． 【详解】（1）解：如图1：∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB， ∴△CDE≌△BDA（SAS）， ∴EC＝AB＝5， ∵7﹣5＜AE＜7+5， ∴2＜2AD＜12， ∴1＜AD＜6， 故答案为1＜AD＜6． （2）证明：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH． ∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH， ∴△BDE≌△CDH（SAS）， ∴BE＝CH， ∵FD⊥EH．DE＝DH， ∴EF＝FH， 在△CFH中，CH+CF＞FH， ∵CH＝BE，FH＝EF， ∴BE+CF＞EF． （4）结论：EF＝BE﹣FD 证明：如图3中，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF， ∵AB＝AD，BG＝DF， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF， ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD， ∴∠GAE＝∠EAF， ∵AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG＝EF， ∵EG＝BE﹣BG， ∴EF＝BE﹣FD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线的性质、三角形的三边关系等知识，掌握倍长中线、构造全等三角形成为本题的关键． 15．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．    求证：． 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使，    ∵是边上的中线∴ 在和中 ∴（依据一）∴ 在中，（依据二） ∴． 任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______________________________________________； 依据2：______________________________________________． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；    任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．    【答案】任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；依据2：三角形两边的和大于第三边；任务二：；任务三：EF=2AD，见解析 【分析】任务一：依据1：根据全等的判定方法判断即可； 依据2：根据三角形三边关系判断； 任务二：可根据任务一的方法直接证明即可； 任务三：根据任务一的方法，延长中线构造全等三角形证明线段关系即可． 【详解】解：任务一： 依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边． 任务二： 任务三：EF=2AD．理由如下： 如图延长AD至G，使DG=AD，    ∵AD是BC边上的中线 ∴BD=CD 在△ABD和△CGD中 ∴△ABD≌△CGD ∴AB=CG，∠ABD=∠GCD 又∵AB=AE ∴AE=CG 在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°， ∴∠GCD+∠BAC+∠ACB=180° 又∵∠BAE=90°，∠CAF=90° ∴∠EAF+∠BAC=360°-（∠BAE+∠CAF）=180° ∴∠EAF=∠GCD 在△EAF和△GCA中 ∴△EAF≌△GCA ∴EF=AG ∴EF=2AD． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键． 16．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中一组全等三角形_______________； （2）如图2，是的中线，若，设，则x的取值范围是_________． 【理解与应用】 （3）如图3，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据是的中线，得，再结合，通过定理证明； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长到，使，连接，证明三角形全等可得，，得，由此可得结论； 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，中线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： 是的中线， ， 在和中， ， ； 故答案为：； （2）解：如图2，延长至点，使，连接， 是的中线， ， 在与中， ， ， ， 在中，， 即， 的取值范围是：； 故答案为：； （3）解：延长到，使，连接，如图②所示： ，， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； 压轴题型五、一线三等角模型 17．问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由． 问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由． 问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由． 【答案】问题1，AD＝EC，证明见解析；问题2：DE+BE＝AD；问题3：DE＝AD+BE，证明见解析． 【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到△ADC≌△CEB，即可得出AD=EC； （2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案； （3）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到DE、AD、BE之间的等量关系． 【详解】解：（1）AD＝EC； 证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， ∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC， ∴△ADC≌△CEB， ∴AD＝EC； （2）DE+BE＝AD； 由（1）已证△ADC≌△CEB， ∴AD＝EC，CD=EB，CE=AD ∴CE=CD+DE=BE+DE=AD 即DE+BE＝AD； （3）DE＝AD+BE． 证明：∵BE⊥BC，AD⊥CE， ∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°， ∴∠EBC+∠ECB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECB+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE， ∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC， ∴△ADC≌△CEB， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∵CD+CE＝DC， ∴DE＝AD+BE． 【点睛】此题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． 18．（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下： ∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 19．如图，已知：在中，，，直线经过点，，． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD 【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案； （2）结论：DE=AD-BE．与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案． （3）结论：DE=BE-AD．证明方法类似． 【详解】解：（1）证明：如图1， ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠EBC+∠ECB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECB+∠ACE=90°， ∴∠ACD=∠EBC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=EC-CD=AD-BE． （3）DE=BE-AD； 如图3，∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90° ∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠DAC=∠ECB， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=CD-CE=BE-AD． 【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD≌△CBE是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． 20．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作，交于点H，，交延长线于点K，构造三对全等三角形：，，，根据全等三角形的面积相等，即可得出，，，根据，即可得出结论③；最后根据，得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 作，交于点H，，交延长线于点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即，故③正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 压轴题型六、手拉手模型 21．如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 先证明，即可证明得到，即可判断①②；设于的交点为E，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③，无法得出，进而判断④． 【详解】解：在和中，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确，符合题意； ∴，故②正确，符合题意； 设与的交点为E， 在中由三角形外角的性质可得， 在中由三角形外角的性质可得， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 同理可得，而未知，则未知，故④不一定正确， 故选：B． 22．如图，已知： ，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，先证明，进而可证明，据此可判断①；由全等三角形的性质得到，，据此可判断③；再导角即可判断②；根据三角形内角和定理可证明，据此可判断④． 【详解】解：， ∴ ， 在和中， ，故①正确； ，，故③正确； ， ， ， ，故②正确； 延长交于F， ， ， ，故④正确； 故选：D． 23．已知：如图在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．结论正确的序号的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． ①由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用全等三角形的判定定理中的可得出，由全等三角形的对应边相等得到； ②由得到一对角相等，再由等腰直角三角形的性质及等量代换得到； ③由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到； ④由全等三角形的对应角相等可知：，根据三角形的外角定理得出， 即可解答． 【详解】解：①∵，,, ∴，, 即． ∵在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵，， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论有①②③④个． 故答案为：①②③④． 24．综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形：______； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，；连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】初步把握：；深入研究：；拓展延伸：，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法为解题的关键． 初步把握：利用证出，即可解答； 深入研究：利用证出，再利用角的等量代换解答即可； 拓展延伸：利用证出，再利用角的等量代换解答即可． 【详解】初步把握：解：∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， 故答案为：； 深入研究：解：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 设与的交点为，如图所示： ∴在和中， ， ∴； 拓展延伸：解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 设与的交点为，如图所示： ∴在和中， ， ∴， ∴． 压轴题型七、旋转模型 25．在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN． 探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下： 如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，，连接MN． （1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明． （2）∠MDN绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答． 【答案】【探究】AM＋BN＝MN，证明见解析；（1）AM＋BN＝MN，证明见解析；（2）BN−AM＝MN，证明见解析 【分析】探究：延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可； （1）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可； （2）在CB截取BE＝AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可． 【详解】探究：AM＋BN＝MN， 证明：延长CB到E，使BE＝AM， ∵∠A＝∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠EBD＝90°， 在△DAM和△DBE中 ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE. ∵∠MDN＝∠ADC＝60°， ∴∠ADM＝∠NDC， ∴∠BDE＝∠NDC， ∴∠MDN＝∠NDE. 在△MDN和△EDN中， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE. ∵NE＝BE＋BN＝AM＋BN， ∴AM＋BN＝MN． 解：（1）AM＋BN＝MN. 证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE， ∠ACD＝45°，，。 ∠MDN＋∠ACD＝90°， ∵∠A＝∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠DBE＝90°. ∵∠CDA＋∠ACD＝90°，∠MDN＋∠ACD＝90°， ∴∠MDN＝∠CDA. ∵∠MDN＝∠BDC， ∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB. 在△DAM和△DBE中, ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE. ∵∠MDN＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠ADC＝90°， ∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB， ∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE. ∵∠CDM＝∠NDB ∴∠MDN＝∠NDE. 在△MDN和△EDN中, ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE. ∵NE＝BE＋BN＝AM＋BN， ∴AM＋BN＝MN． 解：（2）BN−AM＝MN， 证明：在CB截取BE＝AM，连接DE， ∠ACD＝45°，， ∠MDN＋∠ACD＝90°. ∵∠CDA＋∠ACD＝90°，∠MDN＋∠ACD＝90°， ∴∠MDN＝∠CDA. ∵∠ADN＝∠ADN， ∴∠MDA＝∠CDN. ∵∠B＝∠CAD＝90°， ∴∠B＝∠DAM＝90°. 在△DAM和△DBE中 ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE. ∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN， ∴∠MDN＝∠EDN. 在△MDN和△EDN中, ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE. ∵NE＝BN−BE＝BN−AM， ∴BN−AM＝MN． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等是解题的关键． 26．（1）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见证明；（2）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD，证明见详解． 【分析】（1）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM．先证明△ABM≌△ADF，得到AF＝AM，∠2＝∠3，再证明△AME≌△AFE，得到EF＝ME，进行线段代换，问题得证； （2）在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．先证明△ABG≌△ADF，得到AG＝AF，再证明△AEG≌△AEF，得到EG＝EF，进行线段代换即可证明EF＝BE﹣FD． 【详解】解：（1）证明：如图，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM． ∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°， ∴∠1＝∠D， 在△ABM与△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）． ∴AF＝AM，∠2＝∠3． ∵∠EAF∠BAD， ∴∠2+∠4∠BAD＝∠EAF． ∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF． 在△AME与△AFE中， ， ∴△AME≌△AFE（SAS）． ∴EF＝ME，即EF＝BE+BM， ∴EF＝BE+DF； （2）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD． 证明：如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF， ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD， ∴∠GAE＝∠EAF． 在△AGE与△AFE中， ， ∴△AEG≌△AEF， ∴EG＝EF， ∵EG＝BE﹣BG， ∴EF＝BE﹣FD． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题． 27．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF． （2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． （3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）见解析；（2）AE+CF＝EF，证明见解析；（3）AE﹣CF＝EF，证明见解析 【分析】（1）利用SAS定理证明△ABE≌△CBF； （2）延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，分别证明△BAE≌△BCK、△KBF≌△EBF，根据全等三角形的性质、结合图形证明结论； （3）延长DC至G，使CG＝AE，仿照（2）的证明方法解答． 【详解】（1）证明：在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）； （2）解：AE+CF＝EF， 理由如下：延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK， 在△BAE与△BCK中， ， ∴△BAE≌△BCK（SAS）， ∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC， ∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°， ∴∠FBC+∠ABE＝60°， ∴∠FBC+∠KBC＝60°， ∴∠KBF＝∠FBE＝60°， 在△KBF与△EBF中， ， ∴△KBF≌△EBF（SAS）， ∴KF＝EF， ∴AE+CF＝KC+CF＝KF＝EF； （3）解：AE﹣CF＝EF， 理由如下：延长DC至G，使CG＝AE， 由（2）可知，△BAE≌△BCG（SAS）， ∴BE＝BG，∠ABE＝∠GBC， ∠GBF＝∠GBC﹣∠FBC＝∠ABE﹣∠FBC＝120°+∠FBC﹣60°﹣∠FBC＝60°， ∴∠GBF＝∠EBF， ∵BG＝BE，∠GBF＝∠EBF，BF＝BF， ∴△GBF≌△EBF， ∴EF＝GF， ∴AE﹣CF＝CG﹣CF＝GF＝EF． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 28．（1）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：________________． （2）探索延伸： 如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠BAD．上述结论是否仍然成立？请说明理由． （3）方法应用：如图3，E、F分别是正方形ABCD边BC、CD上的动点，连接AE、AF，并且始终保持∠EAF=45°，连接EF并延长与AD的延长线交于点G，说明AG=EG．（正方形四边相等，四个角均为90°） 【答案】（1）EF= BE+FD，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）将△ABE逆时针旋转得到△ADG，使得AD与AB重合,即△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGD，可得EF=FG即可； （2）如图2，将△ADF顺时针旋转得到△ABG，使得AD与AB重合，即△ADF≌△ABG；然后再证△EAG≌△EAF，可得GE=EF，再根据线段的和差即可解答； （3）将△ABE逆时针旋转得到△ADH，使得AD与AB重合,即△ABE≌△ADH，然后再证△EAF≌△HAF可得∠H=∠AEF，再根据直角三角形的性质得到∠EAG=∠H，即，∠EAG=∠AEF，最后根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：(1) EF= BE+FD，理由如下： 如图1，将△ABE逆时针旋转得到△ADG，使得AD与AB重合,即△ABE≌△ADG（SAS） ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG. ∵∠EAF=60°，∠BAD=120° ∵∠EAF=∠BAD ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF=60° ∴∠EAF=∠GAF 在△AEF和△GAF中 AE=AG ，∠EAF=∠GAF，AF=AF ∴△EAG≌△EAF（SAS） ∴EF=FG ∴FG=DG+DF=BE+DF ∴EF=BE+DF； 故答案为EF=BE+DF； （2）证明：如图2，将△ADF顺时针旋转得到△ABG，使得AD与AB重合 ∴△ADF≌△ABG ∴∠FAG=∠BAD，AF=AG，DF=GB ∵∠EAF=BAD ∴∠EAF=∠EAG. 在△EAG和△EAF中 ∵AG=AF，∠EAF=∠EAG，AE=AE ∴△EAG≌△EAF（SAS） ∴GE=EF， ∵GE=GB+BE=DF+BE ∴EF=BE+FD； （3）如图3，将△ABE逆时针旋转得到△ADH，使得AD与AB重合,即△ABE≌△ADH ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH. ∵∠EAF=45°，∠BAD=90° ∵∠EAF=∠BAD ∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF=60° ∴∠EAF=∠HAF 在△AEF和△HAF中 AE=AH ，∠EAF=∠HAF，AF=AF ∴△EAF≌△HAF（SAS） ∴∠H=∠AEF ∵∠EAF=90°，∠HAD=90° ∴∠HAD+∠EAG=∠HAD+∠H ∴∠EAG=∠H ∵∠H=∠AEF ∴∠EAG=∠AEF ∴AG=EG． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及旋转的性质，通过旋转作出全等三角形是解答本题的关键． 压轴题型八、垂线模型 29．如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 【答案】(1)点到直线的距离为1； (2)证明见解析； (3)或6． 【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解； （2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明； （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动，分2类情况讨论：①若在线段上；②若在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：作交于，则， ， ， ， ， ， 又， ， ， 点到直线的距离为1． （2）作交直线于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动， 下面分2类情况讨论： ①若在线段上，同（2）作辅助线， 由（2）得，，， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； ②若在延长线上，同（2）作辅助线， 同①可得：， 设，则， ，， ， 解得：， ． 综上所述，的长为或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、作垂线辅助线构造全等、三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形并证明，以及学会将三角形面积关系转化为线段关系并通过方程思想解决问题，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 30．如图，在中，，．过点的射线交边于点，于点，于点，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）易证∠CAD=∠BCE，即可证明△ACD≌△BCE； （2）利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵∠BCE+∠ACD=90°，∠ACD+∠CAD=90°， ∴∠CAD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（AAS）； （2）解：∵△ACD≌△BCE， ∴CD=BE，AD=CE， ∵AD=3，BE=1， ∴DE=CE-CD=3-1=2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 31．如图1，在长方形中，，，点在线段上以的速度由向终点运动，同时，点在线段上由点向终点运动，它们运动的时间为. 【解决问题】 若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，回答下面的问题： (1)； (2)此时与是否全等，请说明理由； (3)求证：； 【变式探究】 若点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，请直接写出相应的的值；若不存在，请说明理由.                           【答案】解决问题（1）1；（2）全等；（3）见解析；变式探究：1或. 【分析】解决问题 （1）当t=1时，AP的长=速度×时间； （2）算出三角形的边，根据全等三角形的判定方法判定； （3）利用同角的余角相等证明∠DPQ=90°； 变式探究 若与全等，则有两种情况：①≌②≌，分别假设两种情况成立，利用对应边相等求出t值. 【详解】解：解决问题 （1）∵t=1，点P的运动速度为， ∴AP=1×1=1cm； （2）全等，理由是： 当t=1时，可知AP=1，BQ=1， 又∵AB=4，BC=3， ∴PB=3， 在△ADP与△BPQ中， ， ∴△ADP≌△BPQ（SAS） （3）∵△ADP≌△BPQ， ∴∠APD=∠PQB， ∵∠PQB+∠QPB=90°， ∴∠APD+∠QPB=90°， ∴∠DPQ=90°，即DP⊥PQ. 变式探究 ①若≌， 则AP=BQ， 即1×t=x×t， x=1；      ②若≌， AP=BP，即点P为AB中点， 此时AP=2，t=2÷1=2s， AD=BQ=3， ∴x=3÷2=cm/s. 综上：当与全等时，x的取值为1或. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，注意在运动中对三角形全等进行分类讨论，从而得出不同情况下的点Q速度. 32．已知，BF、CE交于点M，连接AM. （1）求证：. （2）求的度数. 【答案】（1）详见解析；（2） 【分析】（1）由已知可得得，从而得到.因此，，所以，所以，即. （2）作于点H，于点G.由（1）所得结论得到，所以，，因此. 【详解】（1）    证明：∵ ∴∠CAE=∠EAF+∠FAC=∠BAC+∠FAC， ∴ 在△ABF和△ACE中 ∴. ∴， ∵， ∴ ， ∴，即. （2）    作于点H，于点G.由（1）所得结论， ∴ ∴， ∴，因此. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，其中全等三角形的证明和作辅助线是解答本题的关键． 压轴题型九、全等三角形的综合问题 33．（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边上，且，于点F，于点D．求证：； （2）如图②，点B、C分别在的边上，点E、F都在内部的射线上．已知，且．求证：； （3）如图③，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为20，求与的面积之和． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据证明三角形全等即可． （2）根据证明即可证明结论． （3）根据证明，得出，即可求出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：的面积为20，， ， ， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 34．如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)当的面积为时，的值为或 (3)或时，与全等 【分析】（1）根据原理证明即可； （2）由题意，，当点在线段上时，， 当点在延长线上时，，根据三角形的面积列式解答即可． （3）分类解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，分类证明全等，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ． （2）解：由知， ， ， ， 由题意，， 当点在线段上时，， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 解得：； 综上，当的面积为时，的值为或． （3）解：存在．理由如下： 如图中，当时， ，， ． ， ， 解得， 如图中，当时， ，， ． ， ， 解得， 综上所述，或时，与全等． 35．如图，在中，平分交于点，平分交于点交于点，连接． (1)求的度数； (2)判断与的大小关系，并证明； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）求解，结合角平分线的定义可得，进一步可得答案； （2）如图，作，连接，，证明，，可得，可得，从而可得答案； （3）如图，过作于，过作于，证明，，，可得，，结合，进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分交于点，平分交于点， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，理由见解析： 如图，作，连接，， ∵平分交于点，平分交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过作于，过作于， ∴， 由（1）得：， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 36．如图1，图2，点O是线段的中点，，． (1)如图1，若，求的长； (2)如图1，在（1）的条件下，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求的长度； (3)如图2，在（1）的条件下，若点M在线段上，是等边三角形，求的度数． 【答案】(1)18 (2)18 (3)或或 【分析】（1）根据直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半，求的长即可． （2）先证明是等边三角形，再证明，最后利用直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半解答即可． （3）取的中点G，分点M在上，M与点G重合，在上三种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：取的中点G， 当点M在上时，如图3所示，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当M与点G重合时，； 当M在上时，如图4，同理可证，， ∴； ． 综上所述，的度数为或或． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，分类思想，熟练掌握三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． 压轴题型十、尺规作图 37．如图，已知，线段、、． (1)请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①求作：，使． ②延长线段到，使，再反向延长线段到，使． (2)在（1）②问的条件下，如果，，，且点为的中点，求线段的长度． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查了角和线段的尺规作图，线段中点的运算，熟悉掌握线段的运算方式是解题的关键． （1）根据角和线段的作法直接作图即可； （2）根据线段的长度求出线段的长，再根据线段中点的定义求出的长，即可由得到答案． 【详解】（1）解：①如图即为所求 ②如图所示，线段AD即为所求； （2）∵，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴． 38．阅读与思考：等角线的奥秘 【概念理解】 在平面几何中，我们引入“等角线”的概念：如图1，若在中，射线、是内部的两条射线，且，则称射线与是的一对等角线． 【问题探究】 (1)基础应用 如图2，已知在中，，射线、是的一对等角线，且，则 ． (2)性质拓展 如图3，在中，、是的一对等角线，过点作交于点，过点作交于点．证明：． (3)尺规作图 已知和内部的一条射线，请用尺规作图的方法，过点作射线，使、成为的一对等角线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—作与已知角相等的角，平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用角的和差定义求解； （2）根据平行线的性质以及一对等角线的定义证明即可； （3）以A为顶点，为边，在左侧作，交于点N． 【详解】（1）（1）解：如图2中，由题意， ． 故答案为：； （2）证明：是的一对等角线， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3中，射线即为所求． 39．已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为 (1)如图，请你用直尺和圆规画出一个满足题设条件的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度． (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，则用直尺和圆规画出所有这样的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度；若不能，则说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有______个，请用直尺和圆规画出所有这样的三角形．并标记已知角的度数和已知边的长度． 【答案】(1)见解析 (2)能，见解析 (3)4，见解析 【分析】本题考查了尺规作图，尺规作图主要是五种基本作图，本题主要考查了作已知线段和作已知角等知识的综合作图．解决此类题目的关键是熟悉五中基本作图及基本作图的原理，然后把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，同时也考查了全等三角形的判定．特别注意，本题未告知直尺是否有刻度，因此利用无刻度直尺进行作图的方式解答． （1）利用“”画图； （2）画出所对的边长为即可； （3）以和所夹的角为画三角形或以的角所对的边为画三角形或以的角所对的边为画三角形． 【详解】（1）解：如图1，为所作； （2）能．如图2，为所求； （3）所求图形如图3所述， 故答案为：4． 40．综合与实践 用一般观念研究筝形 研究对象：筝形 研究思路：类比线段、角、三角形，按“定义一性质一应用”的路径，由特殊到一般进行研究． 研究角度：整体——对称性 要素——边角及相关元素的关系 研究方法：观察（度量、实验）——猜想——验证 研究内容： 【一般概念】如图，在四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探索】根据定义，探索筝形的性质，得出如下结论： 内角：筝形有一组对角相等 对角线：…… 问题解决： (1)尺规作图：如图2，已知，求作一点，使得四边形是等形．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)已知：如图3，在筝形中，．证明：． (3)如图4，连接筝形的对角线，相交于点． ①猜想与的位置关系，与的数量关系，请分别说明理由． ②如图4，在筝形中，已知，则筝形的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①，见解析；② 【分析】本题主要考查筝形四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据筝形四边形的定义进行画图即可； （2）根据证明即可得到结论； （3）证明，即可得到与的数量关系，再由得到位置关系； （4）根据进行计算即可． 【详解】（1）如图，四边形即为所求 （2）如图，连接 在与中， ， ； （3）①；，理由如下 由（2）可得， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； ②四边形是筝形， ， ∵ ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 全等三角形章末压轴满分题型 目录 压轴题型一、命题与证明的综合题型 压轴题型二、全等三角形的判定与性质 压轴题型三、全等三角形的动点问题 压轴题型四、倍长中线模型 压轴题型五、一线三等角模型 压轴题型六、手拉手模型 压轴题型七、旋转模型 压轴题型八、垂线模型 压轴题型九、全等三角形的综合问题 压轴题型十、尺规作图 压轴题型一、命题与证明的综合题型 1．有五个足球队、、、、分入同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，如果队的积分为9分，讨论： (1)队的战绩是几胜，几平，几负？ (2)如果小组赛中有一个队的战绩为全胜，队能否出线？ (3)如果小组赛中有一个队的积分为10，队能否出线？ 2．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式：______________________________； (2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，，______．求证：______． 3．张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题： 请观察以下算式：①；②；③；…… (1)请你写出第④个符合上述规律的算式___________； (2)验证规律：设两个连续奇数为（其中为正整数），请验证它们的平方差是8的倍数； (3)拓展延伸：命题“两个连续偶数的平方差是8的倍数”是___________命题．（填“真”或“假”） 4．若一个四位正整数满足千位上的数字比百位上的数字大2，十位上的数字比个位上的数字大2，千位上的数字与十位上的数字不相等且各个数位上的数字都不为零，则称为“双减数”．将“双减数”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为．例如：四位正整数，且，是“双减数”，此时． (1)判断“8631”是否是双减数？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． (2)命题“对于任意双减数都能被11整除”是真命题还是假命题？说明你的理由． 压轴题型二、全等三角形的判定与性质 5．如图，在中，，，在外的中，，，连接，转动使的延长线与线段相交于点M，点M为中点，连接，下列几人的结论： 甲同学说：为直角三角形且； 乙同学说：的长是的长的2倍； 丙同学说：与的面积相等． 其中正确的是（   ） A．甲的说法正确 B．乙的说法正确 C．丙的说法正确 D．三人的说法都正确 6．已知如图，于点D，于点E，下列说法：①；②；③平分；④；⑤．其中一定正确的是（   ） A．①③⑤ B．①③④ C．①②④ D．②③⑤ 7．在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连结、，则的最大值是 ． 8．如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 压轴题型三、全等三角形的动点问题 9．对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人的结果合起来才对 B．乙、丙两人的结果合起来才对 C．甲、丙两人的结果合起来才对 D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对 10．如图，在中，，，点D为的中点．若点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动，当以点B，点P，点D为顶点的三角形与全等时，点Q的运动速度是（   ） A． B． C． D．或 11．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 时，能够使与全等． 12．如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 压轴题型四、倍长中线模型 13．已知ABC． (1)如图1，按如下要求用尺规作图： ①作出ABC的中线CD； ②延长CD至E，使DE＝CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．） (2)在（1）中，直线AE与直线BC的关系是 ； (3)如图2，若∠ACB＝，CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由； (4)如图3，若∠ACB＝，AC＝BC，CD是ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接DE．若CF＝4，则DE的长是 ． 14．（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 　 　； （2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF； （3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明． 15．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．    求证：． 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使，    ∵是边上的中线∴ 在和中 ∴（依据一）∴ 在中，（依据二） ∴． 任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______________________________________________； 依据2：______________________________________________． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；    任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．    16．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中一组全等三角形_______________； （2）如图2，是的中线，若，设，则x的取值范围是_________． 【理解与应用】 （3）如图3，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 压轴题型五、一线三等角模型 17．问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由． 问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由． 问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由． 18．（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 19．如图，已知：在中，，，直线经过点，，． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________． 20．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 压轴题型六、手拉手模型 21．如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 22．如图，已知： ，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．已知：如图在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．结论正确的序号的有 ． 24．综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形：______； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，；连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 压轴题型七、旋转模型 25．在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN． 探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下： 如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，，连接MN． （1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明． （2）∠MDN绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答． 26．（1）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 27．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF． （2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． （3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 28．（1）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：________________． （2）探索延伸： 如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠BAD．上述结论是否仍然成立？请说明理由． （3）方法应用：如图3，E、F分别是正方形ABCD边BC、CD上的动点，连接AE、AF，并且始终保持∠EAF=45°，连接EF并延长与AD的延长线交于点G，说明AG=EG．（正方形四边相等，四个角均为90°） 压轴题型八、垂线模型 29．如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 30．如图，在中，，．过点的射线交边于点，于点，于点，，． （1）求证：； （2）求的长． 31．如图1，在长方形中，，，点在线段上以的速度由向终点运动，同时，点在线段上由点向终点运动，它们运动的时间为. 【解决问题】 若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，回答下面的问题： (1)； (2)此时与是否全等，请说明理由； (3)求证：； 【变式探究】 若点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，请直接写出相应的的值；若不存在，请说明理由.                           32．已知，BF、CE交于点M，连接AM. （1）求证：. （2）求的度数. 压轴题型九、全等三角形的综合问题 33．（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边上，且，于点F，于点D．求证：； （2）如图②，点B、C分别在的边上，点E、F都在内部的射线上．已知，且．求证：； （3）如图③，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为20，求与的面积之和． 34．如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 35．如图，在中，平分交于点，平分交于点交于点，连接． (1)求的度数； (2)判断与的大小关系，并证明； (3)若，求的值． 36．如图1，图2，点O是线段的中点，，． (1)如图1，若，求的长； (2)如图1，在（1）的条件下，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求的长度； (3)如图2，在（1）的条件下，若点M在线段上，是等边三角形，求的度数． 压轴题型十、尺规作图 37．如图，已知，线段、、． (1)请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①求作：，使． ②延长线段到，使，再反向延长线段到，使． (2)在（1）②问的条件下，如果，，，且点为的中点，求线段的长度． 38．阅读与思考：等角线的奥秘 【概念理解】 在平面几何中，我们引入“等角线”的概念：如图1，若在中，射线、是内部的两条射线，且，则称射线与是的一对等角线． 【问题探究】 (1)基础应用 如图2，已知在中，，射线、是的一对等角线，且，则 ． (2)性质拓展 如图3，在中，、是的一对等角线，过点作交于点，过点作交于点．证明：． (3)尺规作图 已知和内部的一条射线，请用尺规作图的方法，过点作射线，使、成为的一对等角线．（保留作图痕迹，不写作法） 39．已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为 (1)如图，请你用直尺和圆规画出一个满足题设条件的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度． (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，则用直尺和圆规画出所有这样的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度；若不能，则说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有______个，请用直尺和圆规画出所有这样的三角形．并标记已知角的度数和已知边的长度． 40．综合与实践 用一般观念研究筝形 研究对象：筝形 研究思路：类比线段、角、三角形，按“定义一性质一应用”的路径，由特殊到一般进行研究． 研究角度：整体——对称性 要素——边角及相关元素的关系 研究方法：观察（度量、实验）——猜想——验证 研究内容： 【一般概念】如图，在四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探索】根据定义，探索筝形的性质，得出如下结论： 内角：筝形有一组对角相等 对角线：…… 问题解决： (1)尺规作图：如图2，已知，求作一点，使得四边形是等形．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)已知：如图3，在筝形中，．证明：． (3)如图4，连接筝形的对角线，相交于点． ①猜想与的位置关系，与的数量关系，请分别说明理由． ②如图4，在筝形中，已知，则筝形的面积是 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$