2.1平方根（第1课时） 教案 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2.1平方根（第1课时） 【教学目标】 1. 知道算术平方根的定义，会用符号表示一个正数的算术平方根. 2. 会求一个正数的算术平方根. 3. 理解算术平方根的双重非负性，并能解决相关问题. 【教学重点】 算术平方根的定义. 【教学难点】 求一个正数的算术平方根. 1、 创设情境： 一张正方形纸片的面积为25，它的边长为多少？ 我们知道，正方形的面积是边长的平方，因此，面积为25的正方形的边长为5. 2、 探究新知： 问题一： 一张正方形纸片的面积为14，它的边长是多少？ 假设这个正方形纸片的边长为x，那么由题意知，，x是多少？ 问题二： 一张正方形纸片的面积为a，它的边长是多少？ 假设这个正方形纸片的边长为x，那么由题意知，，x怎么表示？ 用我们目前学过的知识无法解决这个问题，需要引入新的数学符号. 这就是我们今天要学习的算术平方根. 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫作a的算术平方根. a的算术平方根记为_____，读作“根号a”. 规定：0的算术平方根是0. 3、 例题精讲： 例1求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 例2填空： ； ； ； ； = ；= ；= ；= . 巩固练习： 1．如图，将5个边长为1的小正方形的组合图通过“剪拼”得一个无缝大正方形，则大正方形的边长是（   ） A． B．3 C． D．2 2．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 3．下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行            1     第二行            2          第三行          3                第四行            4                ……           …… 根据数阵规律，第八行第十五个数是（   ） A． B． C． D． 4．一个自然数的算术平方根是x，则它后面的一个数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 5．4的算术平方根是 ． 6．已知某数的算术平方根是，则这个数是 ． 7．定义运算：，则 ． 8．若是的算术平方根，而的算术平方根是，则 ． 9．已知一个正方形的面积为，则它的周长为 ． 10．若实数满足，则 ． 11．已知，则 ． 12．计算： ． 13．求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)． 14．已知，，，因为，所以． (1)计算下列各式的值：______，_____， ________； (2)观察（1）中的结果，，，之间存在怎样的关系？直接写出关系式：________； (3)由（2）猜想：________（，）； (4)根据（3）计算：． 15．（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ___ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 参考答案 例1（1）解：的算术平方根为； （2）解：的算术平方根为； （3）解：的算术平方根为； （4）解：的算术平方根为100 例2 3；2；9；2； 5；9；； 巩固练习 1．A 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据面积不变得大正方形的面积为，即可求出大正方形的边长． 【详解】解：“剪拼”过程，两个图形的面积不变， 即大正方形的面积为， 则大正方形的边长是， 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出正方形花坛的边长为，再进行估算即可得解． 【详解】解：设正方形边长为， 则面积， 解得：， ， ， 边长介于和之间， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查数阵的排列规律，需确定第八行第十五个数对应的被开方数．通过观察数阵，每行末尾数的被开方数为行数与的乘积，且每行有个数．利用此规律推导第八行的起始和末尾数，进而定位第十五个数的位置． 【详解】解：根据题中规律确定每行末尾数：， 则第行的末尾数为． 故第八行末尾数为． 根据题中规律每行数的个数是：， 则第行有个数， 故第八行共有个数． 定位第八行第十五个数：第十五个数为倒数第二个数（因总数为16）．末尾数的被开方数为，倒数第二个数的被开方数为，故该数为． 综上，第八行第十五个数为， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据题意，自然数的算术平方根为x，则该自然数为，下一个自然数为，其算术平方根即为． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根是x， ∴这个自然数是，下一个自然数是， ∴下一个自然数的算术平方根是：． 故选：D． 5．2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根定义，进行求解即可．熟练掌握算术平方根定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 故答案为：2． 6． 【分析】直接根据算术平方根的定义可得结果． 【详解】∵， ∴算术平方根是 的数是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了已知一个数的算术平方根求这个数，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 7．6 【分析】本题考查的是算术平方根的计算，把，代入中计算即可． 【详解】解：， ∴． 故答案为：6． 8． 【分析】本题主要考查了算术平方根，代数式求值等知识点，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 先根据算术平方根的定义求出、的值，然后即可求出的值． 【详解】解：是的算术平方根， ， 又的算术平方根是， ， ， 故答案为：． 9． 【分析】设正方形的边长为x，根据题意，得，求算术平方根，后计算周长即可． 本题考查了正方形的性质，算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为x，根据题意，得， ， 故正方形的周长为． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了二次根式、偶次方的非负性，根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 11．1 【分析】根据得，解方程即可． 本题考查了算术平方根，一元一次方程的解法，熟练掌握算术平方根，解方程是解题的关键． 【详解】解：根据根据得，解得， 故答案为：1． 12．2 【分析】此题考查求一个数的算术平方根，计算平方，再计算算术平方根即可 【详解】解：， 故答案为：2 13．(1) (2) (3) 【分析】本题考查算术平方根的概念，关键是掌握算术平方根的定义．如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，由此可计算． （1）由从而可得答案； （2）由从而可得答案； （3）由从而可得答案 【详解】（1）解：∵， 的算术平方根是； （2）解：∵， 的算术平方根是； （3）解：∵， 的算术平方根是 14．(1)4；5；20 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求解； （2）根据（1）的结果即可求解； （3）根据（2）所得的关系即可求解； （4）根据（3）所得猜想计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， 故答案为：4；5；20； （2）解：由（1）的结果可得，， 故答案为：； （3）解：由（2）猜想：， 故答案为：； （4）解：． 15．（1），；（2）两，向左（或右），一；（3）；（4）①时：；②或时：；③时： 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； （4）分或三种情况作答即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 故答案为：两，向左（或右），一； （3）， ， ． （4）由表格可知，①时：，则； ②或时：； ③时：，则． 学科网（北京）股份有限公司 $$