湖北省孝感高级中学2025-2026学年高三上学期8月测试数学试卷

孝感高中2023级高三年级测试 数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，则曲线在点处的切线的斜率为(   ) A. B. C. D. 2.已知命题：：，，命题：，，则(    ) A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3.已知，，若，则(     ) A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最大值 4.已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则下列结论错误的是(      ) A. B. C. D. 5. 5.函数的部分图象可能为(     ) A. B. C. D. 6.按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，年为碳达峰时期，年实现碳中和，到年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．于年提出蓄电池的容量单位：，放电时间单位：与放电电流单位：之间关系的经验公式：，其中为常数．为了测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间则该蓄电池的常数大约为(     ) 参考数据：， A. B. C. D. 7.若，，则(     ) A. B. C. D. 8.设，，，，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9. 设函数，则(    ) A. 当时，有三个零点 B. 当时，无极值点 C. ，使在上是减函数 D. ，图象对称中心的横坐标不变 10.若函数既有极大值也有极小值，则(      ) A. B. C. D. 11.对于函数，下列说法正确的是(      ) A. 函数的单调递减区间为 B. C. 若方程有个不等实数根，则 D. 对任意正实数，，且，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是           13.已知直线是曲线和的公切线，则实数          ． 14. 已知函数，若在其定义域上没有零点，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点、、分别是椭圆的上、右、左顶点，且，点是的中点，且． Ⅰ求椭圆的标准方程； Ⅱ过点的直线与椭圆相交于点、，若的面积是，求直线的方程． 16.本小题分如图，四边形中，，，，且为锐角．    (1)求； (2)求的面积． 17.本小题分如图，三棱台中，面面，，． 证明：； 求与面所成角的正弦值． 18.本小题分一种掷骰子走跳棋的游戏：如图，棋盘上有编号依次为0，1，2，3，…，20的格子，共21个.一枚棋子开始在0号格子中，玩家每掷一次骰子（一种质地均匀的正方体形状玩具，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），棋子向前跳动一次.若掷出的骰子子点数不小于3点，则跳1格（从号格子跳到号格子，）；否则，跳2格（从号格子跳到号格子，）.当棋子跳到19号格子或20号格子时，游戏结束. (1)棋子跳动3次后，记棋子所在格子编号为，求的分布列； (2)设棋子跳到编号为的格子的概率为，其中规定. ①求证：为等比数列； ②游戏组织者规定：跳到19号格子，游戏失败，玩家付给组织者元；跳到20号格子，游戏胜利，组织者付给玩家8a元.问此种规则对游戏组织者是否有利？说明理由. 0 1 2 3 4 …… 19 20 19.本小题分已知函数． 当时，讨论的单调性 当时，，求实数的取值范围 设，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 孝感高中2023级高三年级测试 数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，则曲线在点处的切线的斜率为( A   ) A. B. C. D. 2.已知命题：：，，命题：，，则( B   ) A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3.已知，，若，则( A   ) A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最大值 4.已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则下列结论错误的是(  D   ) A. B. C. D. 5.函数的部分图象可能为(  A  ) A. B. C. D. 6.按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，年为碳达峰时期，年实现碳中和，到年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．于年提出蓄电池的容量单位：，放电时间单位：与放电电流单位：之间关系的经验公式：，其中为常数．为了测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间则该蓄电池的常数大约为(  B   ) 参考数据：， A. B. C. D. 7.若，，则(  D  ) A. B. C. D. 【详解】设，由可得：，代入，可得：，即，解得：或舍去． 所以，即，又因为，所以，则， 解得：，，所以，故选：． 8.设，，，，则（  C  ） A． B． C． D． 【详解】解：，，，， 对于A，设，则，令，则恒成立， 所以在上单调递增，则恒成立，所以在上单调递增， 则，即，所以，故A正确； 对于B，设，则，故在上单调递增， 则，整理得，所以，故B不正确； 对于D，设，则， 当时，，所以在上单调递增， 所以有，即，所以，则，故D错误 由前面可知，所以，故C正确. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9. 设函数，则(  BD  ) A. 当时，有三个零点 B. 当时，无极值点 C. ，使在上是减函数 D. ，图象对称中心的横坐标不变 10.若函数既有极大值也有极小值，则(   BCD  ) A. B. C. D. 11.对于函数，下列说法正确的是( BCD    ) A. 函数的单调递减区间为 B. C. 若方程有个不等实数根，则 D. 对任意正实数，，且，若，则 【解答】解：对于，因为定义域为，， 由，得 或，所以单调递减区间为和，A错误；对于，因为当时，，函数在内单调递增，所以，而，所以，B正确；对于，因为 为偶函数，当 时， ，由选项A知函数 的单调递减区间为 ， ，增区间为 ，又当 时， ，当 时， ，当 时， ， 时，当 时， ，当 时， ， 时， ， 所以函数 的图象如图所示，直线 与函数 有个不同交点，则 ，所以C正确；   对于 ，当  时，若  ，则，因为函数  在  单调递减，在  单调递增， 所以不妨设  ，由可得，即，不妨取，设， 则，则当时，，，故， 在上单调递增，又，而，，即因为，当时，，在上单调递减，因为，，故可得，即得，故D正确．故选BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是          ． 【答案】． 13.已知直线是曲线和的公切线，则实数          ． 【答案】  14. 已知函数，若在其定义域上没有零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】注意到，从而可得在定义域内恒成立，进一步可得，从而可得恒成立，故只需求出的最大值即可. 【详解】因为在上连续，又，所以要使无零点，需使在其定义域上恒成立．于是原问题转化为，求的取值范围．当时，，不合题意；当时，， ，，，，当时，恒成立，下面讨论的情况， 令，所以在上单调递增，又由式得，所以，即恒成立．令，令得．因为当时，，所以在上单调递增； 因为当时，，所以在上单调递减，所以是的极大值点，，所以，即． 综上所述，的取值范围为． 四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 本小题分已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点、、分别是椭圆的上、右、左顶点，且，点是的中点，且． Ⅰ求椭圆的标准方程；（4分） Ⅱ过点的直线与椭圆相交于点、，若的面积是，求直线的方程．（9分） 【答案】解：Ⅰ由题意知，，， 点是的中点，且，，，， 故所求椭圆方程为． Ⅱ设，，直线：， 联立，得， ，，，，．直线的方程为或． 16. 本小题分如图，四边形中，，，，且为锐角．    (1)求；（7分） (2)求的面积．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形面积公式求得，利用余弦定理求得，分析可知BD是四边形外接圆的直径，再利用正弦定理可求解； （2）由面积公式即可得解. 【详解】（1）由已知， ∵是锐角，∴． 由余弦定理可得，则． ∵，∴BD是四边形外接圆的直径， ∴BD是外接圆的直径，利用正弦定理知 （2）由，，，， 则,, 又，则， 因此， 故的面积为． 17.本小题分 如图，三棱台中，面面，，． 证明：；（7分） 求与面所成角的正弦值．（8分） 【详解】作交于，连接． ∵平面平面，而平面平面，平面，∴平面，而平面，即有． ∵， ∴． 在中，，即有，∴． 由棱台的定义可知，，所以，，而， ∴平面，而平面，∴． （2）设平面BCD的法向量为, 由（）得,, ∴令,则,,, ，, 由于，∴直线与平面所成角的正弦值为． 18. 本小题分 一种掷骰子走跳棋的游戏：如图，棋盘上有编号依次为0，1，2，3，…，20的格子，共21个.一枚棋子开始在0号格子中，玩家每掷一次骰子（一种质地均匀的正方体形状玩具，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），棋子向前跳动一次.若掷出的骰子子点数不小于3点，则跳1格（从号格子跳到号格子，）；否则，跳2格（从号格子跳到号格子，）.当棋子跳到19号格子或20号格子时，游戏结束. (1)棋子跳动3次后，记棋子所在格子编号为，求的分布列； (2)设棋子跳到编号为的格子的概率为，其中规定.（6分） ①求证：为等比数列；（4分） ②游戏组织者规定：跳到19号格子，游戏失败，玩家付给组织者元；跳到20号格子，游戏胜利，组织者付给玩家8a元.问此种规则对游戏组织者是否有利？说明理由. （7分） 0 1 2 3 4 …… 19 20 【答案】(1)分布列见解析 (2)①证明见解析；②有利，理由见解析 【分析】（1）得到棋子跳1格的概率后，求出的可能取值及其对应概率即可得分布列； （2）①由全概率公式可得，即可得证；②由①中所得结合等比数列定义可得数列的通项公式，再借助累加法可得，即可得，再计算是否为正即可得. 【详解】（1）棋子跳1格的概率为，则跳2格的概率为， 棋子跳动3次后，的可能取值为：、、、， ，， ，， 则其分布列为： （2）①由题意可得， 即，又，，则， 故数列是等比数列； ②由①可得当时，有， 则、、、， 累加有， 即， 故，， 有 ， 19.本小题分已知函数． 当时，讨论的单调性（3分） 当时，，求实数的取值范围（7分） 设，证明：．（7分） 【答案】解： 当时，，单调递减当时，，单调递增． 令对恒成立又 令，则 若，即， 所以使得当时，有单调递增，矛盾 若，即时， 在上单调递减，，符合题意． 综上所述，实数的取值范围是． 取，则，总有成立，令，则，故即对任意的恒成立. 所以对任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.   学科网（北京）股份有限公司 $$