2025届江苏省海门中学高考押题卷1数学试题

江苏省海门中学 2025 届高三数学 押题卷 1 2025.05 学科网（北京）股份有限公司 - 1 - 2025 届高三数学押题卷 1 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的） 1．已知集合  35 5 , { 3, 1, 0, 2,3}A x x B      ∣ ，则 A B  （ ） A．{ 1,0} B．{2,3} C．{ 3, 1,0}  D．{ 1,0,2} 2．记 nS 为等差数列 na 的前 n项和，若 3 33, 3a S  ，则 12S （ ） A．144 B．120 C．100 D．80 3．已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点为 F，过点 F的直线与该抛物线交于 A，B两点， 10AB  ，AB的中 点横坐标为 4，则 p （ ）． A．2 B．2 3 C． 4 D．4 3 4．已知一组数据为 1 ，1，3，4，5，7，10，11，若 n为这组数据的70%分位数，则 (2 )nx y 的展开式中 4 3x y 的系数为（ ） A．280 B． 280 C．560 D． 560 5．函数 2ln( 1 )( ) e ex x x xf x      的图象大致为（ ） A． B． C． D． 6．在 ABCV 中，角 A、B、C所对的边为 a、b、c若 2 2 tan tan b B c C  ，则 ABCV 的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 7．已知函数 exy  的图象在点  ,P a b （其中 2a  ）处的切线与圆心为  1,0Q 的圆相切，则圆Q的最大面积 是（ ） A． π B．2π C．3π D． 4π 8．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三 角形 ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为菜洛三角形，已知正 三角形 ABC的边长为 1，点 P为AB的中点，则 ( )PC PA PB     的值为（ ） A．1 B． 2 3 C． 1 2 D． 3 2 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.） 9．若复数 z满足  1 i 1 5iz    （ i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A． z的虚部为 2i B． z的模为 13 C． z的共轭复数为3 2i 江苏省海门中学 2025 届高三数学 押题卷 1 2025.05 学科网（北京）股份有限公司 - 2 - D． z在复平面内对应的点位于第三象限 10．我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉 三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ） A．第 6行、第 7行、第 8行的第 7个数之和为第 9行的第 8个数 B． 1 2 3 35 6 7 81 C C C C    C．第 2020行的第 1010个数最大 D．第 12行中从左到右第 2个数与第 3个数之比为 2 :11 11．已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的边长为 2，M为 1CC 的中点，P为侧面 1 1BCC B 上的动点，且满足 / /AM 平 面 1A BP，则下列结论正确的是（ ） A． 1AM BM B． 1 / /CD 平面 1A BP C． AM 与 1 1A B 所成角的余弦值为 2 3 D．动点 P的轨迹长为 2 13 3 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12．已知平面向量      5,1 , 1, 1 , 1,a b c k      ，若  a b c  ，则 k  ． 13．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的左、右焦点分别为 1 2,F F ．O为坐标原点，点M 在双曲线C的 一条渐近线 l上，且 1FM l ，若 2 1 5 2 F M FM  ，则双曲线的渐近线方程为 . 14．某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课， 每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同 方案共有 种；若定义事件A为甲和乙选择的课程不同，事件 B为丙和丁恰好有一人选择的是“九章 算术”，则  P B A ∣ ． 四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15．（本题 13分）某人工智能公司从某年起 7年的利润情况如下表所示． 第 x年 1 2 3 4 5 6 7 利润 y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)计算出 y与 x之间的相关系数（精确到 0.01），并求出 y关于 x的回归直线方程． (2)根据回归直线方程，分别预测该人工智能公司第 8年和第 9年的利润． 江苏省海门中学 2025 届高三数学 押题卷 1 2025.05 学科网（北京）股份有限公司 - 3 - 16．（本题 15分）在 ABCV 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且    2 sin 2sin 3 sin 2sin 3 sina A b B C c C B    ． (1)求角 A的大小； (2)若 2 3b  ， 2c  ，点 D为边 BC上一点，且 2π 3 ADC  ，求 ABD△ 的面积大小． 17．（本题 15分）如图 1，等腰梯形 ABCD中， // , 2, ,AB CD CD AB E F  分别为 ,AB CD的中点，且 6EF  ， 将梯形 AEFD沿EF翻折至梯形 1 1AEFD，使得平面 1 1A EFD 平面 BEFC，得到如图的多面体 1 1A BEDCF，且 1BF CA . (1)证明： 1 1, , ,A B C D 四点共面； (2)求 BE的长； (3)在 1DC上取一点 P，使得平面 EFP 平面 1 1ABCD ，求平面 BFP与平面 BEFC夹角的余弦值. 江苏省海门中学 2025 届高三数学 押题卷 1 2025.05 学科网（北京）股份有限公司 - 4 - 18．（本题 17分）已知点  2,0A 为椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yE a b a b     的右端点，椭圆 E的离心率为 3 2 ，过点  2, 2P 的直线 l与椭圆交于B C、 两点，直线 AB AC、 分别与 y轴交于M N、 点. (1)求椭圆 E的标准方程; (2)试判断线段MN的中点是否为定点，若是，求出该点纵坐标，若不是，说明理由. 19．（本题 17分）定义： 1 2 1 n i n i a a a a       ，其中 *nN ． (1)求证：当 0x  时， ln 1x x  （当且仅当 1x  时取等号）． (2)对于任意正整数 n，是否存在正整数m，使得不等式 1 11 2 n i i m         恒成立？若存在，请求出m的最小值； 若不存在，请说明理由． (3)若正项数列 na 满足 2 212 n na b a b   ， 10 b a  ， *nN ，求证：   2 2 1 1 1 1 2 1 n k k k j j a b a b        ． 江苏省海门中学 2025 届高三数学 押题卷 1 2025.05 学科网（北京）股份有限公司 - 5 - 答案 1．A 【详解】因为    3 3| 5 5 , 3, 1,0, 2,3A x x B       ，且注意到 31 5 2  ， 从而 A B   1,0 . 2．B 【详解】因为 3 23 3S a  ，所以 2 1a  ，又 3 3a  ，所以 3 2 2d a a   ，则 1 2 1a a d    ， 所以  12 12 1112 1 2 120 2 S       3．A 【详解】由抛物线定义知： 10A BAB x x p    ，而 AB的中点横坐标为 4，即 42 A Bx x  ， 所以8 10p  ，即 2p  . 4．D 【详解】由8 70% 5.6  ，得 7n  ，则 7(2 )x y 展开式中含 4 3x y 的项为 3 4 3 4 37C (2 ) ( ) 560x y x y    ，所以所 求的系数为 560 . 5．A 【详解】 2 1 0x x   恒成立，故   2ln 1 ( ) e ex x x x f x      的定义域为 R，           1 2 2 2ln 1 ln 1 ln 1 e e e e e ex x x x x x x x x x x x f x f x                     ， 故 ( )f x 为奇函数，BD错误； 当 x趋向于 时， e ex xy   的增长速度远大于  2ln 1y x x   的速度， 故  2ln 1( ) e ex x x x f x      趋向于 0，C错误，A正确. 6．C 【详解】在 ABCV 中，由 2 2 tan tan b B c C  及正弦定理得 2 2 sin sin cos sinsin cos B C B C C B  ，而 sin 0,sin 0A B  ， 整理得 sin cos sin cosB B C C ，即 sin 2 sin 2B C ，而 0 π,0 πB C    ， 则0 2 2π,0 2 2πB C    ，因此2 2B C 或 2 2 πB C  ，即 B C 或 π 2 B C  ， 所以 ABCV 是等腰三角形或直角三角形. 7．B 【详解】依题意，切点  , eaP a ， eay  ， eak  ， 所以切线为：  e ea ay x a   ，即  e 1 e 0a ax y a    ， 因为切线与圆相切，所以 d r ，     2 2 2 e 2 e , e 1 e 1 a a a a a a d       所以   2 2 e e 1 a a a r    ，令       2 2 e 2 e 1 x x x f x x     ， 则       2 2 2 2 2 2e1 e e 1 2 e 2 e 1( ) e 1 x x x x x x x x f x        江苏省海门中学 2025 届高三数学 押题卷 1 2025.05 学科网（北京）股份有限公司 - 6 -             2 3 2 3 3 2 2 1 e e 1 2 e e e 1 e 1 e 1 x x x x x x x x x x           ， 令 ( ) 0f x  ，解得 0x  ， 所以当  , 0x  时， ( ) 0f x  ，当  0,2x 时， ( ) 0f x  ， 所以  f x 在  , 0 上单调递增，在  0,2 上单调递减， 所以    max 20 2 2 f x f   ，即 max 2r  ， 所以  2max maxπ 2πS r  . 8．B 【详解】根据题意，以C为坐标原点， BC所在的直线为 x轴，过点C且垂直于 BC的直线为 y轴，建立平 面直角坐标系，如图所示， 因为正 ABCV 的边长为 1，且点 P为AB的中点，所以 30PCB  ， 点 P在以C为圆心， BC为半径的圆上，则 1 3 3 1(0,0), ( 1,0), ( , ), ( , ) 2 2 2 2 C B A P   , 所以 3 1 3 1 3 1 3 1( , ), ( , ), ( 1, ) 2 2 2 2 2 2 2 2 PC PA PB           ， 则 3 3( 3 , 1) 2 2 PA PB      ，所以   3 3 1 3( 3 ) ( 1) 2 32 2 2 2PC PA PB             . 9．BC 【详解】由  1 i 1 5iz    ，所以        2 2 1 5i 1 i1 5i 1 i 5i 5i 6 4i 3 2i 1 i 1 i 1 i 1 i 2 z                 ， 所以 z的虚部为 2，故 A错误； 2 23 2 13z    ，故B正确； z的共轭复数为3 2i ，故C正确； z在复 平面内对应的点为  3,2 ，位于第一象限，故 D错误. 10．ABD 【详解】对于 A：第6行，第7行，第8行的第 7个数字分别为：1， 7， 28，其和为1 7 28 36   ； 而第9行第8个数字就是36，故 A正确； 对于 B：因为 1 2 35 6 7 61 1 C C 6 5 7 6 51 5 5 2 3 C 2 1               ， 38 8 7 6C 56 3 2 1       ， 所以 1 2 3 3 5 6 7 81 C C C C    ，故 B正确； 对于 C：由图可知：第 n行有 1n  个数字， 如果 n是偶数，则第 1 2 n  （最中间的）个数字最大； 如果 n是奇数，则第 1 2 n 和第 1 1 2 n  个数字最大，并且这两个数字一样大， 所以第 2020行的第1011个数最大，故 C错误； 对于 D：依题意：第12行从左到右第 2个数为 112C 12 ，第12行从左到右第3个数为 2 12C 66 ， 所以第12行中从左到右第 2个数与第3个数之比为12 : 66 2 :11 ，故 D正确； 11．BCD 【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2， 江苏省海门中学 2025 届高三数学 押题卷 1 2025.05 学科网（北京）股份有限公司 - 7 - 则 1(0,0,2), (0,2,2), (0,0,0), (2,1,0), ( , ,0)A A B M P x y ， 所以 1 (0, 2, 2), ( , ,0), (2,1, 2)AB BP x y AM         ， 由 //AM 平面 1A BP，得 1AM aA B bBP     ，即 0 2 2 1 2 2 bx a by a          ， 化简可得：3 2 0x y  ，所以动点 P在直线3 2 0x y  上， 对于选项 A： 1 1(2,1, 2), (2, 1,0), 2 2 1 ( 1) ( 2) 0 3 0AM BM AM BM                   ，所以 AM  与 1BM  不 垂直，所以 A选项错误；对于选项 B： 1 1 1// ,CD A B A B 平面 1 1,A BP CD 平面 1A BP，所以 1 //CD 平面 1A BP， B选项正确；对于选项 C： 1 1 1 1 2 2 2 4 2(0,0, 2), cos , 32 2 1 ( 2) A B AM A B            ，C选项正确； 对于选项 D：动点 P在直线3 2 0x y  上，且 P为侧面 1 1BCC B 上的动点，则 P在线段 1PB上， 1 4 ,2,0 3 P      ， 所以 2 2 2 1 4 2 132 0 3 3 PB         ，D选项正确； 12． 2 【详解】  4,2a b   ，因为  a b c  ，所以   0a b c    ，即 4 2 0k  ，解得 2k   . 13． 4 21 21 y x  【详解】 由 2 1 5 2 F M FM  ，不妨设 1 2FM m ，则 2 5F M m 因为 1FM l ，由焦点到渐近线的距离就是b，可知 2b m 在直角 1OFM 中， 2 1 2cos mF FM c   在 2 1F FM 中， 2 2 2 2 2 2 1 4 4 25 4 21 2cos 8 8 m c m c m mF FM mc mc c        则解得 2 2 37 4 c m 故 2 2 2 2 37 21 214 4 4 2 a m m m a m     ，所以 4 21 21 b a  江苏省海门中学 2025 届高三数学 押题卷 1 2025.05 学科网（北京）股份有限公司 - 8 - 综上，渐近线方程为 4 21 21 y x  14． 30 8 15 【详解】四个人参加三门选修课程共有 2 3 4 3C A 36 种方案，其中甲和乙选择的课程相同共有 3 3A 6 种方案， 所以甲和乙选择的课程不同共有 2 3 3 4 3 3C A A 36 6 30    种方案； 事件A共有30种方案，以下考虑事件 AB，即“甲和乙选择的课程不同，丙和丁恰好有一人选择的是九章算 术”，先从丙、丁两个人中选一个人选择“九章算术”，则有 12C 2 种方案， 若四个人中只有一个人选择“九章算术”，则甲、乙分别选择另外两门课程，有 22A 2 种方案， 丙、丁中没选择“九章算术”的也从另外两门中选择一门，有 12C 2 种方案， 根据分步乘法计数原理，共有 2 1 2 2A C 2 2 4   种方案； 若四个人中有两人选择“九章算术”，则除了包含丙、丁中的一个人外，还包含甲、乙中的一个人，有 12C 2 种方案， 其余两人分别选择另外两门课程，有 2 2A 2 种方案， 根据分步乘法计数原理，共有 1 2 2 2C A 2 2 4   种方案； 根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理，事件 AB中共有    1 2 1 1 22 2 2 2 2C A C C A 2 4 4 16     种方案， 根据条件概率公式，      16 8 30 15 n AB P B A n A    15．【详解】（1）由表中数据可得  1 1 2 3 4 5 6 7 4 7 x          ，  1 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 4.3 7 y          ，                7 1 1 4 2.9 4.3 2 4 3.3 4.3 3 4 3.6 4.3i i i x x y y                               4 4 4.4 4.3 5 4 4.8 4.3 6 4 5.2 4.3 7 4 5.9 4.3 14                 ，                 7 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4 7 4 28i i x x                  ，             7 2 2 2 2 2 2 1 2.9 4.3 3.3 4.3 3.6 4.3 4.4 4.3 4.8 4.3i i y y                2 25.2 4.3 5.9 4.3 7.08     ， 所以 14 0.99 28 7.08 r    ， 14 0.5, 28 b̂   ˆ 4.3 0.5 4 2.3a     ， 回归直线方程为 ˆ 0.5 2.3y x  ． （2）在回归直线方程中令 8x  ，得 ˆ 0.5 8 2.3 6.3y     ， 因此预测第 8年的利润为 6.3亿元． 在回归直线方程中令 9x  ，得 ˆ 0.5 9 2.3 6.8y     ， 因此可预测第 9年的利润为 6.8亿元． 16．【详解】（1）由正弦定理可得 2 2 2 3a b c bc   ， 根据余弦定理得 2 2 2 3cos 3 2 2 2 b c aA bc bc bc      ， 又  0,πA ，所以 5π 6 A  ． （2）因为 2 3b  ， 2c  ， 又 2 2 2 3a b c bc   ，解得 2 7a  ， 江苏省海门中学 2025 届高三数学 押题卷 1 2025.05 学科网（北京）股份有限公司 - 9 - 由余弦定理得 2 2 2 28 4 12 5 7cos 2 142 2 2 7 a c bB ac          ， 于是 2 2 5 7 21sin 1 cos 1 14 14 B B            ， 因为 2π 3 ADC  ，所以 π 3 1 3 21sin sin cos sin 3 2 2 14 BAD B B B          ， 在 ABD△ 中，由正弦定理得 sin sin AB BD ADB BAD    ， 所以 2 3 21 sin 6 714 sin 73 2 c BADBD ADB       ， 于是 1 1 6 7 21 3 3sin 2 2 2 7 14 7ABD S AB BD B        △ ， 所以 ABD△ 的面积大小为 3 3 7 ． 17．【详解】（1）因为平面 1 1A EFD 平面 BEFC，平面 1 1A EFD I平面 BEFC EF ， 且 1D F EF ， 1D F 平面 1 1AEFD， 所以 1D F 平面 BEFC，又 EF CF ， 以F 为原点，以 1, ,FE FC FD 所在直线为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系， 设BE a ，易得            1 16,0,0 , 0,0,0 , 6,0, , 6, ,0 , 0, 1,0 , 0,0, 1E F A a B a C a D a  ， 则    16, ,0 , 6, 1,BF a AC a a         ， 由 1BF CA ，则  1 6 1 0BF AC a a       ，解得 3a   （舍去）或 2a  ， 则    1 10,2, 2 , 0,3, 3AB DC      ， 则 1 1 3 2 DC AB   ，则 1 1//DC A B   ， 即 1 1//DC AB，所以 1 1, , ,A B C D 四点共面. （2）由（1）知， 2BE a  . （3）由（1）知，  1 6,3, 2AC     ，  1 0,2, 2AB    ，  6,0,0EF   ，  1 0,3, 3DC    ， 设   1 0,3 , 3 0 1DP DC          ，则  0,3 ,3 3P   ，则  0,3 ,3 3FP     ， 设平面 1 1ABCD 的一个法向量为  1 1 1, ,m x y z  ， 则 1 1 1 1 1 1 1 6 3 2 0 2 2 0 m AC x y z m A B y z               ，取 1 6y  ，得  1, 6, 6m  ， 设平面EFP的一个法向量为  2 2 2, ,n x y z  ， 则   2 2 2 6 0 3 3 3 0 n EF x n FP y z               ，取 2z  ，得  0, 1,n     ， 由平面EFP 平面 1 1ABCD ，则  6 1 6 0m n         ，解得 1 2   ， 则 3 30, , 2 2 P     ，则 1 36, , 2 2 BP         ，又  6, 2,0BF    ， 设平面BFP的一个法向量为  3 3 3, ,p x y z  ， 江苏省海门中学 2025 届高三数学 押题卷 1 2025.05 学科网（北京）股份有限公司 - 10 - 则 3 3 3 3 3 1 36 0 2 2 6 2 0 p BP x y z p BF x y                 ，取 3 2x  ，得  2, 6, 6p   ， 易得平面 BEFC的一个法向量为  0,0,1q  ， 则 6 6cos , 416 1 p qp q p q            ， 则平面BFP与平面BEFC夹角的余弦值为 6 4 . 18．【详解】（1）由题意得 3 2 c a  ， 2a  ，又 2 2 2a b c  ， 解得 2a  ， 1b  ， 3c  ， 所以椭圆 E的标准方程为 2 2 1 4 x y  ； （2）设  1 1,B x y ，  2 2,C x y ， 因为直线 l经过 (2,2)且与椭圆交于 BC两点，所以直线 BC的斜率一定存在， 故设直线 BC的方程为： y kx m  ，其中  2 1m k  ， 由 2 2 1 4 y kx m x y       得：  2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m     ，   2 2 2 2Δ 64 16 1 4 1 0k m k m     ，得 3 8 k  ； + 2 2 8 1 4 kmx k    ， 2 1 2 2 4 4 1 4 mx x k    ， 又因为直线 AB的方程:  1 1 2 2 yy x x    ，得 1 1 20, 2 yM x      ， 同理 2 2 20, 2 yN x      由 1 1 2 2 y x   + 2 2 2 2 y x   =               1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ( 2) 2 2 4 2 2 ( 2) 2 2 4 kx m x kx m x kx x m k x x m x x x x x x                  江苏省海门中学 2025 届高三数学 押题卷 1 2025.05 学科网（北京）股份有限公司 - 11 - =           2 2 2 2 2 4 4 8 2 4 1 4 2 4 4 16 4 1 4 k m km m k m k m km k           =      22 2 2 2 2 4 4 18 4 4 22 1 4 16 16 4 4 4 1 8 1 4 k kk m k m m km k m km k k k k k                 故 MN的中点为 10, 2       . 19．【详解】（1）设   ln 1h x x x   ，   1 11 xh x x x     ， 当  0,1x 时，   0h x  ；当  1,x  时，   0h x  ．  h x 在  0,1 上单调递增，在  1, 上单调递减，    1 0h x h   ， 当 0x  时， ln 1x x  ，当且仅当 1x  时取等号． （2）由（1）可得  ln 1x x  ，当且仅当 0x  时取等号， 当 1 2k x ， *k N 时， 1 1ln 1 2 2k k       ， 1 1 1 1 1ln 1 ln 1 1 2 2 2 n n i i n i i              ， 2 1 1 1 1 1 1 1ln 1 ln 1 1 1 ln 1 2 2 2 2 2n nn i i i i                                        1 1ln 1 1 2 n i i         ， 1 11 e 2 n i i         ， 当 3n  时， 2 3 1 1 1 1 1 1351 1 1 1 2 2 2 2 2 64 n i i                         ， 当 3n  时，   1 11 2,e 2 n i i        ， 存在正整数m，对于任意正整数 n，使得不等式 1 11 2 n i i m         恒成立， m 的最小值为 3． （3） 2 212 n na b a b   ， 当 2k  时，有         2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 kk k k k k j j j j j j a ba b a b a b a b a b                     1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 k k j j j j a b a b           ，     2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 2 1 1 n k j n k k k k k j j j a b a b a b a b                   2 2 12 2 2 2 2 221 1 1 1 1 1 1 1 1n k k k j j j j a b a b a b a b                          江苏省海门中学 2025 届高三数学 押题卷 1 2025.05 学科网（北京）股份有限公司 - 12 -   2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 k j j a b a b a b a b                      2 2 1 1 1 1 1 k j j a b       ，   2 2 1 1 1 1 2 1 n k k k j j a b a b         ．