导数中的参数的取值范围题型 讲义-2026届高三数学一轮复习

导数中的参数取值范围 一、知识点讲解 1函数的单调性与极值 （1）极值的概念：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或），则称为函数的一个极大（小）值，称为极大（小）值点. （2）求可导函数极值的步骤: ①求导数，求方程的根；②求方程的根；③检验在方程的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数在这个根处取得极小值. 2.函数的最大值和最小值 （1）设是定义在区间上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行： ①求在内的极值。 ②将在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. （2）若函数在上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值。 二、函数的极值点偏移问题 在导数中求参数取值范围时，常用方法围绕函数的单调性，最值对比法，分离参数法， 分类讨论法和与极值和零点有关等方法。 1. 分离参数法 将含参数的不等式变形，使参数与自变量分离（如 或 ）。 转化为求函数 f(x) 的最值：若恒成立，则；若恒成立，则。 适用题型：参数易从不等式中分离，且分离后函数的最值易求。 【例1】当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） 解：当x＝0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立； 当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥， 令f（x）＝，则f′（x）＝＝﹣（*）， 当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增， f（x）max＝f（1）＝﹣6，∴a≥﹣6； 当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤， 由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， f（x）min＝f（﹣1）＝﹣2，∴a≤﹣2； 综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]． 【例2】已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（　　） 解：将方程ax3﹣3x2+1＝0， 变形为a＝﹣+， 可令t＝，则a＝﹣t3+3t， 此问题即g（t）＝﹣t3+3t的图象与直线y＝a有且只有一个交点， 则交点的横坐标大于0，如图作出g（t）的图象， 由图象可得a的范围是（﹣∞，﹣2）． 2. 分类讨论法 当参数无法直接分离，或函数单调性受参数影响时，按参数的取值范围分类。 常见分类依据：导数等于0的根的个数、根的大小关系、参数符号等。 逐类分析函数的单调性、极值，进而确定参数满足的条件。 适用题型景：参数影响导数的符号或函数的定义域。 【例1】已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝ex（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2． （Ⅰ）求a，b，c，d的值； （Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围． 解：（Ⅰ）由题意知f（0）＝2，g（0）＝2，f′（0）＝4，g′（0）＝4， 而f′（x）＝2x+a，g′（x）＝ex（cx+d+c），故b＝2，d＝2，a＝4，d+c＝4， 从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2； （Ⅱ）由（I）知，f（x）＝x2+4x+2，g（x）＝2ex（x+1） 设F（x）＝kg（x）﹣f（x）＝2kex（x+1）﹣x2﹣4x﹣2， 则F′（x）＝2kex（x+2）﹣2x﹣4＝2（x+2）（kex﹣1）， 由题设得F（0）≥0，即k≥1， 令F′（x）＝0，得x1＝﹣lnk，x2＝﹣2， ①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0， 即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1）， 而F（x1）＝﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立． ②若k＝e2，则F′（x）＝2e2（x+2）（ex﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0， 即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）＝0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立． ③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（ex﹣e﹣2）， 而F（﹣2）＝﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立， 综上，k的取值范围是[1，e2]． 【例2】（2022年新课标2）已知函数f（x）＝ax﹣﹣（a+1）lnx． （1）当a＝0时，求f（x）的最大值； （2）若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围． 解：（1）当a＝0时，，则， 易知函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴f（x）在x＝1处取得极大值，同时也是最大值， ∴函数f（x）的最大值为f（1）＝﹣1； （2）＝， ①当a＝0时，由（1）可知，函数f（x）无零点； ②当a＜0时，易知函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 又f（1）＝a﹣1＜0，故此时函数f（x）无零点； ③当0＜a＜1时，易知函数f（x）在上单调递增，在单调递减， 且f（1）＝a﹣1＜0，，且当x→+∞时，f（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点； ④当a＝1时，，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增， 又f（1）＝0，故此时函数f（x）有唯一零点； ⑤当a＞1时，易知函数f（x）在上单调递增，在上单调递减， 且f（1）＝a﹣1＞0，且当x→0时，f（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点； 综上，实数a的取值范围为（0，+∞）． 3.单调性法 已知函数的单调性，则或，确定参数范围。 - 适用题型：已知函数在特定区间的单调性，求参数的取值范围。 【例1】若函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（　　） 解：f′（x）＝k﹣，∵函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增， ∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立． ∴k≥， 而y＝在区间（1，+∞）上单调递减， ∴k≥1． ∴k的取值范围是：[1，+∞）． 【例2】若函数f（x）＝x2+ax+在是增函数，则a的取值范围是（　　） 解：∵在（，+∞）上是增函数， 故≥0在（，+∞）上恒成立， 即a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立， 令h（x）＝﹣2x， 则h′（x）＝﹣﹣2， 当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数． ∴h（x）＜h（）＝3，∴a≥3． 4. 最值对比法 若不等式在特定的区间上，或（或）恒成立，求参数的取值范围。 适用题型：，或（或）恒成立。 【例1】设函数f（x）＝ex﹣1﹣x﹣ax2． （1）若a＝0，求f（x）的单调区间； （2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围． 解：（1）a＝0时，f（x）＝ex﹣1﹣x，f′（x）＝ex﹣1． 当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0． 故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加 （II）f′（x）＝ex﹣1﹣2ax 由（I）知ex≥1+x，当且仅当x＝0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax＝（1﹣2a）x， 从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）＝0， 于是当x≥0时，f（x）≥0． 由ex＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）． 从而当时，f′（x）＜ex﹣1+2a（e﹣x﹣1）＝e﹣x（ex﹣1）（ex﹣2a）， 故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）＝0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0与已知矛盾． 综合得a的取值范围为． 【例2】已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围． 解：∵f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）， ∴f′（x）＝1++lnx﹣a， ∴f″（x）＝， ∵x＞1，∴f″（x）＞0， ∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增， ∴f′（x）＞f′（1）＝2﹣a． ①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0， ∴f（x）在（1，+∞）上单调递增， ∴f（x）＞f（1）＝0，满足题意； ②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）＝0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增， 由f（1）＝0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意． 综上所述，a≤2． 5 与极值和零点有关的题型 已知函数有零点或者极值点，求参数的取值范围 【例1】（2025秋•武汉月考）已知，若0是的极小值点，则的取值范围为　　 解：因为，因此， 因为是函数的极小值点，因此恒成立， 令，则， ， 当时，，在附近单调递增， 又，因此当时，在附近， 当时，在附近，满足0是的极小值点； 当时，，即，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 因此，因此单调递增，此时无极小值点； 当时，，在附近单调递减，又， 因此当时，在附近， 当时，在附近， 此时0是的极大值点，不符合题意， 综上，的取值范围为． 【例2】（2025秋•惠州月考）已知，若有三个零点，则实数的取值范围是　　 解：由题意可得，且， 所以是奇函数， 有三个零点方程有三个不相等的实数根， 又，可知在上单调递减，所以有，即， 所以问题等价于方程在上有三个不同的实数根， 的图象与直线有三个不同的交点， 令，则，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以的极大值为，极小值为（1），的取值范围为． 根据具体题目特征选择合适方法，复杂问题可能需要多种方法结合使用。 3、 加强练习，巩固理解 1已知函数f（x）＝x3﹣kx+k2． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有三个零点，求k的取值范围． 解：（1）f（x）＝x3﹣kx+k2．f′（x）＝3x2﹣k， k≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R递增， k＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣， 令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜， ∴f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，+∞）递增， 综上，k≤0时，f（x）在R递增， k＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，+∞）递增； （2）由（1）得：k＞0，f（x）极小值＝f（），f（x）极大值＝f（﹣）， 若f（x）有三个零点， 只需，解得：0＜k＜，故k∈（0，）． 2已知函数，当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围． 解当x≥0时，f（x）≥x3+1恒成立， ①当x＝0时，不等式恒成立，可得a∈R； ②当x＞0时，可得a≥恒成立， 设h（x）＝，则h′（x）＝＝ ＝＝， 可设m（x）＝ex﹣x2﹣x﹣1，可得m′（x）＝ex﹣x﹣1， 设k（x）＝ex﹣x﹣1，k′（x）＝ex﹣1， 由x＞0，可得k′（x）＞0恒成立，可得k（x）在（0，+∞）递增， m′（x）在（0，+∞）递增， 所以m′（x）＞m′（0）＝0， 即m′（x）＞0恒成立，即m（x）在（0，+∞）递增，所以m（x）＞m（0）＝0， 再令h′（x）＝0，可得x＝2，当0＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）在（0，2）递增； x＞2时，h′（x）＜0，h（x）在（2，+∞）递减，所以h（x）max＝h（2）＝， 所以a≥， 综上可得a的取值范围是[，+∞）． 3已知函数f（x）＝ex﹣a（x+2）． （1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 解：由题意，f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），且f′（x）＝ex﹣a． （1）当a＝1时，f′（x）＝ex﹣1，令f′（x）＝0，解得x＝0． ∴当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增． ∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增； （2）当a≤0时，f′（x）＝ex﹣a＞0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，不合题意； 当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝lna， 当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增． ∴f（x）的极小值也是最小值为f（lna）＝a﹣a（lna+2）＝﹣a（1+lna）． 又当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞． ∴要使f（x）有两个零点，只要f（lna）＜0即可， 则1+lna＞0，可得a＞． 综上，若f（x）有两个零点，则a的取值范围是（，+∞）． 4（2024甲卷）曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，则a的取值范围为 　　． 解：令x3﹣3x＝﹣（x﹣1）2+a，则a＝x3﹣3x+（x﹣1）2， 令φ（x）＝x3﹣3x+（x﹣1）2，则φ′（x）＝3x2﹣3+2（x﹣1）＝（x﹣1）（3x+5）， 因为x＞0， 故当x＞1时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，当0＜x＜1时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减， 因为φ（0）＝1，φ（1）＝﹣2，x→+∞时，φ（x）→+∞， 若使得a＝x3﹣3x+（x﹣1）2有两个不同零点， 则a的范围为（﹣2，1）． 故答案为：（﹣2，1）． 5（2024年甲卷）已知函数f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x． （1）当a＝﹣2时，求f（x）的极值； （2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围． 解：（1）当a＝﹣2 时，f（x）＝（1+2x）ln（1+x）﹣x，x＞﹣1， f′（x）＝2ln（1+x）+， 当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0， 所以f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， 故f（x）的极小值为 f（0）＝0，无极大值； （2）由f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x，得f′（x）＝﹣aln（1+x）﹣， 令g（x）＝f′（x），则g′（x）＝﹣﹣， 当x≥0时，f（x）≥0，且f（0）＝0，f′（0）＝0， 所以g′（0）＝﹣1﹣2a≥0，， 当时，g′（x）≥＝≥0， 所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）＝f′（x）≥g（0）＝0， 故f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）＝0恒成立， 即a的取值范围为． 6已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣a3，若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 解：∵函数f（x）＝ex﹣ax﹣a3，∴f′（x）＝ex﹣a， 当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增，此时函数f（x）无极值， ∴a＞0， 令f′（x）＝ex﹣a＝0，得x＝lna， 当x＜lna时，f′（x）＜0，当x＞lna时，f′（x）＞0， ∴函数f（x）的增区间为（lna，+∞），减区间为（﹣∞，lna）， ∴f（x）极小值＝f（lna）＝a﹣alna﹣a3＜0， ∴1﹣lna﹣a2＜0， 令g（a）＝﹣a2﹣lna+1，＜0， g（a）在（0，+∞）上单调递减， ∵g（1）＝0，∴g（a）＜0等价于a＞1， ∴a的取值范围是（1，+∞）． 7（2023乙卷）设a∈（0，1），若函数f（x）＝ax+（1+a）x在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围是 　　． 解：∵函数f（x）＝ax+（1+a）x在（0，+∞）上单调递增， ∴f′（x）＝axlna+（1+a）xln（1+a）≥0在（0，+∞）上恒成立， 即（1+a）xln（1+a）≥﹣axlna，化简可得在（0，+∞）上恒成立， 而在（0，+∞）上＞1， 故有，由a∈（0，1），化简可得ln（1+a）≥ln， 即1+a，a2+a﹣1≥0， 解答，故a的取值范围是[，1）．故答案为：[，1）． 8（2023甲卷）已知f（x）＝ax﹣，x∈（0，），若f（x）＜sin2x恒成立，求a的取值范围． 解：不妨设g（x）＝ax﹣﹣sin2x，函数定义域为（0，）， g′（x）＝a﹣﹣2cos2x＝a﹣﹣2（2cos²x﹣1）， 令cos²x＝t，0＜t＜1， 此时g′（t）＝a+2﹣4t+﹣， 不妨令k（t）＝a+2﹣4t+﹣， 可得k′（t）＝﹣4﹣+＝﹣＞0， 所以k（t）单调递减， 此时k（t）＜k（1）＝a﹣3， ①当a≤3时，g′（x）＝k（t）＜a﹣3≤0， 所以g（x）在（0，）上单调递减， 此时g（x）＜g（0）＝0， 则当a≤3时，f（x）＜sin2x恒成立，符合题意； ②当a＞3时， 当t→0时，﹣＝﹣3（﹣）²+→﹣∞， 所以k（t）→﹣∞， 又k（1）＝a﹣3＞0， 所以在区间（0，1）上存在一点t0，使得k（t0）＝0， 即存在x0∈（0，），使得g′（x0）＝0， 当t0＜t＜1时，k（t）＞0， 所以当0＜x＜x0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增， 可得当0＜x＜x0时，g（x）＞g（0）＝0，不符合题意， 综上，a的取值范围为（﹣∞，3]． 9（2023年甲卷）已知函数f（x）＝ax﹣，x∈（0，），若f（x）+sinx＜0，求a的取值范围． 解：设g（x）＝f（x）+sinx＝，x∈（0，）， 则，x∈（0，）， ＜0， ∴g′（x）在（0，）上单调递减， 若g（x）＝f（x）+sinx＜0，又g（0）＝0，则g′（0）＝a﹣1+1≤0，∴a≤0， 当a＝0时，∵， 又x∈（0，），∴0＜sinx＜1，0＜cosx＜1，∴， ∴，满足题意； 当a＜0时，∵x∈（0，），∴ax＜0， ∴f（x）+sinx＝＜sinx＜＜0，满足题意； 综合可得：若f（x）+sinx＜0，则a≤0，所以a的取值范围为（﹣∞，0]． 10已知函数f（x）＝（+a）ln（1+x），若f（x）在（0，+∞）存在极值，求a的取值范围． 解：f′（x）＝ln（x+1）+（+a）（）＝[ln（x+1）﹣]， 要使f（x）在（0，+∞）存在极值点，则方程ln（x+1）﹣＝0有正根， 记g（x）＝ln（x+1）﹣，x＞0，g′（x）＝， ①当a≤0时，g′（x）＞0，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）＞g（0）＝0，不符合题意； ②当a≥时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）＜g（0）＝0，不符合题意； ③当0＜a＜时，令g′（x）＞0，0＜x＜，令g′（x）＜0，x＞， 故g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）＞g（0）＝0，不符合题意； 易知x→+∞时，g（x）→﹣∞， 故只需g（x）≤g（）＝ln（）﹣＝ln（﹣1）+4a﹣2＞0， 记h（t）＝ln（t﹣1）+﹣2，t＞2，h′（t）＝＝＞0， 故h（t）在（2，+∞）上单调递增， ∴h（t）＞h（2）＝0， 故取t＝，0＜a＜，有ln（﹣1）+4a﹣2＞0，即g（）＞0，符合题意； 综上所述，a∈（0，）时，f（x）在（0，+∞）存在极值点． 11已知函数f（x）＝（+a）ln（1+x）．若函数f（x）在（0，+∞）单调递增，求a的取值范围． 解：f（x）＝（+a）ln（1+x）， 则f'（x）＝， 函数f（x）在（0，+∞）单调递增， 则，化简整理可得，﹣（x+1）ln（x+1）+x+ax2≥0， 令g（x）＝ax2+x﹣（x+1）ln（x+1）（x＞0）， 求导可得，g'（x）＝2ax﹣ln（x+1）， 当a≤0时， 则2ax≤0，ln（x+1）＞0， 故g'（x）＜0，即g（x）在区间（0，+∞）上单调递减， g（x）＜g（0）＝0，不符合题意， 令m（x）＝g'（x）＝2ax﹣ln（x+1）， 则m'（x）＝2a﹣， 当a，即2a≥1时， ，m'（x）＞0， 故m（x）在区间（0，+∞）上单调递增，即g'（x）在区间（0，+∞）上单调递增， 所以g'（x）＞g'（0）＝0，g（x）在区间（0，+∞）上单调递增， g（x）＞g（0）＝0，符合题意， 当0＜a＜时，令m'（x）＝＝0，解得x＝， 当x∈时，m'（x）＜0，m（x）在区间（0，）上单调递减，即g'（x）单调递减， g'（0）＝0， 当x∈时，g'（x）＜g'（0）＝0，g（x）单调递减， ∵g（0）＝0， ∴当x∈时，g（x）＜g（0）＝0，不符合题意， 综上所述，a的取值范围为． 12已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．若f（x）在区间（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围． 解：， 若a≥0，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，则f（x）＜f（0）＝0，不合题意； 故a＜0，，令，注意到， 令g′（x）＜0，解得或，令g′（x）＞0，解得， ∴g（x）在单调递减，在单调递增，且x＞1时，g（x）＞0， ①若g（0）＝1+a≥0，当x＞0时，g（x）＞0，f（x）单调递增，不合题意； ②若g（0）＝1+a＜0，g（0）g（1）＜0，则存在x0∈（0，1），使得g（x0）＝0， 且当x∈（0，x0）时，g（x）＜g（0）＝0，f（x）单调递减，则f（x0）＜f（0）＝0， 当x＞1时，f（x）＞ln（1+x）+a＞0，f（e﹣a﹣1）＞0，则由零点存在性定理可知f（x）在（1，e﹣a﹣1）上存在一个根， 当时，g（x）＜0，f（x）单调递减，， 当时，f（x）＜ln（1+x）﹣ae＜0，f（eae﹣1）＜0，则由零点存在性定理可知f（x）在上存在一个根． 综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）． 13已知函数f（x）＝x3﹣x，g（x）＝x2+a，曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线也是曲线y＝g（x）的切线．求a的取值范围． 解：f'（x）＝3x2﹣1，则y＝f（x）在点处的切线方程为，整理得， 设该切线与g（x）切于点（x2，g（x2）），g'（x）＝2x，则g'（x2）＝2x2，则切线方程为，整理得， 则，整理得， 令，则h'（x）＝9x3﹣6x2﹣3x＝3x（3x+1）（x﹣1），令h'（x）＞0，解得或x＞1， 令h'（x）＜0，解得或0＜x＜1，则x变化时，h'（x），h（x）的变化情况如下表： x 0 （0，1） 1 （1，+∞） h′（x） ﹣ 0 + 0 ﹣ 0 + h（x） 单调递减 单调递增 单调递减 ﹣1 单调递增 则h（x）的值域为[﹣1，+∞），故a的取值范围为[﹣1，+∞）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 导数中的参数取值范围 一、知识点讲解 1函数的单调性与极值 （1）极值的概念：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或），则称为函数的一个极大（小）值，称为极大（小）值点. （2）求可导函数极值的步骤: ①求导数，求方程的根；②求方程的根；③检验在方程的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数在这个根处取得极小值. 2.函数的最大值和最小值 （1）设是定义在区间上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行： ①求在内的极值。 ②将在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. （2）若函数在上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值。 二、函数的极值点偏移问题 在导数中求参数取值范围时，常用方法围绕函数的单调性，最值对比法，分离参数法， 分类讨论法和与极值和零点有关等方法。 1. 分离参数法 将含参数的不等式变形，使参数与自变量分离（如 或 ）。 转化为求函数 f(x) 的最值：若恒成立，则；若恒成立，则。 适用题型：参数易从不等式中分离，且分离后函数的最值易求。 【例1】当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） 【例2】已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（　　） 2. 分类讨论法 当参数无法直接分离，或函数单调性受参数影响时，按参数的取值范围分类。 常见分类依据：导数等于0的根的个数、根的大小关系、参数符号等。 逐类分析函数的单调性、极值，进而确定参数满足的条件。 适用题型景：参数影响导数的符号或函数的定义域。 【例1】已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝ex（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2． （Ⅰ）求a，b，c，d的值； （Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围． 【例2】（2022年新课标2）已知函数f（x）＝ax﹣﹣（a+1）lnx． （1）当a＝0时，求f（x）的最大值； （2）若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围． 3.单调性法 已知函数的单调性，则或，确定参数范围。 - 适用题型：已知函数在特定区间的单调性，求参数的取值范围。 【例1】若函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（　　） 【例2】若函数f（x）＝x2+ax+在是增函数，则a的取值范围是（　　） 4. 最值对比法 若不等式在特定的区间上，或（或）恒成立，求参数的取值范围。 适用题型：，或（或）恒成立。 【例1】设函数f（x）＝ex﹣1﹣x﹣ax2． （1）若a＝0，求f（x）的单调区间； （2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围． 【例2】已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围． 5 与极值和零点有关的题型 已知函数有零点或者极值点，求参数的取值范围 【例1】（2025秋•武汉月考）已知，若0是的极小值点，则的取值范围为　　 【例2】（2025秋•惠州月考）已知，若有三个零点，则实数的取值范围是　　 根据具体题目特征选择合适方法，复杂问题可能需要多种方法结合使用。 3、 加强练习，巩固理解 1已知函数f（x）＝x3﹣kx+k2． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有三个零点，求k的取值范围． 2已知函数，当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围． 3已知函数f（x）＝ex﹣a（x+2）． （1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 4（2024甲卷）曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，则a的取值范围为 　　． 5（2024年甲卷）已知函数f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x． （1）当a＝﹣2时，求f（x）的极值； （2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围． 6已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣a3，若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 7（2023乙卷）设a∈（0，1），若函数f（x）＝ax+（1+a）x在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围是 　　． 8（2023甲卷）已知f（x）＝ax﹣，x∈（0，），若f（x）＜sin2x恒成立，求a的取值范围． 9（2023年甲卷）已知函数f（x）＝ax﹣，x∈（0，），若f（x）+sinx＜0，求a的取值范围． 10已知函数f（x）＝（+a）ln（1+x），若f（x）在（0，+∞）存在极值，求a的取值范围． 11已知函数f（x）＝（+a）ln（1+x）．若函数f（x）在（0，+∞）单调递增，求a的取值范围． 12已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．若f（x）在区间（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围． 13已知函数f（x）＝x3﹣x，g（x）＝x2+a，曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线也是曲线y＝g（x）的切线．求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$