专题02 小数除法（计算专项训练）数学冀教版五年级上册

专题02：小数除法 （一）除数是整数的小数除法 计算方法：除数是整数的小数除法与整数除法类似，但需要注意小数点的位置。计算时，先按照整数除法的方法除，商的小数点要与被除数的小数点对齐。如果被除数的末尾有余数，可以添0继续除，直到除尽或达到所需精度。 例如计算时，先算整数部分，12除以3等于4，商先写4；再点上小数点，商的小数点直接对准被除数的小数点；最后算小数部分，把十分位上的6落下来，6除以3等于2，商写2。 （二）一个数除以小数 1.商不变的规律 商不变的规律：指被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。这用于将除数转化为整数，从而简化计算。具体操作时，根据除数的小数位数，将被除数和除数同时扩大10倍、100倍等。即除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位，位数不够的，在被除数末尾用0补足，然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 例如计算时，可以将被除数和除数都乘10，将转化成，再计算。 2.除数是一位数的小数除法 计算方法：除数是一位小数时，根据商不变规律，将除数和被除数都扩大10倍（即乘10），转化为整数除法，然后计算。 例如计算时，将被除数和除数都乘10，转化为再计算。 3.除数是两位数的小数除法 计算方法：除数是两位小数时，根据商不变规律，将除数和被除数都扩大100倍（即乘100），转化为整数除法，然后计算。 例如计算时，将被除数和除数都乘100，转化为再计算。 4.除数是三位数的小数除法 计算方法：除数是三位小数时，根据商不变规律，将除数和被除数都扩大1000倍（即乘1000），转化为整数除法，然后计算。 例如计算时，将被除数和除数都乘1000，转化为再计算。 5.小数除法的验算方法 ①商×除数=被除数(通用) ②被除数÷商=除数 重点提示： 如果除数是小于1的小数，那么商大于被除数。 如果除数是大于1的小数，那么商小于被除数。 如果被除数比除数小，商就小于1。 （三）混合运算 计算方法：算式中包含多种运算，如加、减、乘、除，可能有括号。计算时需遵循运算顺序，先乘除后加减，有括号先算括号内的。小数除法在混合运算中，需先处理除法部分，但整体按顺序计算。 例如计算时，算式中有括号、除法、加法，先算括号内，然后计算。 （四）求商的近似值 在实际计算中，商有时是无限小数，需要根据要求取近似值。常用方法有： 1.“四舍五入”法：根据保留位数的后一位数字，如果大于或等于5，就进一；如果小于5，就舍去。 2.去尾法：不管保留位数的后一位数字是多少，都直接舍去。 3.进一法：不管保留位数的后一位数字是多少，都进一。 例如计算，分别用三种方法保留两位小数。 四舍五入法：第三位是5（等于5），进一，≈。 去尾法：直接舍去第三位及以后，≈。 进一法：无论第三位是什么，都进一，≈。 （五）循环小数 有限小数：小数部分的位数是有限的小数。如0.37、1.4135。 无限小数：小数部分的位数是无限的小数。如5.3……、7.145145……。 循环小数：是指小数部分有一个或多个数字不断重复出现的小数。循环小数是无限小数。 循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字。写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位上面各点一个圆点。 例如，小数部分重复出现3，则的商是一个循环小数，，3是这个小数的循环节。 题型1：除数是整数的小数除法 题型特征：除数是不带小数点的整数，被除数是小数或整数。 典型例题：计算： 解题思路：先算整数部分，18除以8可以商2，商先写2；再点上小数点，商的小数点直接对准被除数的小数点；最后算小数部分，个位上剩下的2和十分位上的4合起来，24除以8等于3，商写3。 解题过程： 跟踪训练： 1.口算 ①45÷100＝ ②0.32÷10＝ ③0.063÷3＝ ④4.5÷5＝ ⑤0.36÷4＝ ⑥3.2÷8＝ 2.竖式计算（带*号的需要验算） ①6.6÷4= ②18.9÷27= ③1.35÷15= ④28.6÷11= ⑤37.5÷6= *⑥ 20.4÷24= 题型2：除数是一位数的小数除法 题型特征：除数是一位小数，被除数是小数或整数。 典型例题：计算： 解题思路：运用商不变规律，将除数和被除数同时扩大10倍，变为，再按整数除法进行计算。 解题过程： 跟踪训练： 1.口算 ①4.5÷0.5＝ ②0.36÷0.4＝ ③3.2÷0.8＝ ④2.4÷0.2＝ ⑤0.16÷0.4＝ ⑥4.8÷0.8＝ 2.竖式计算（带*号的需要验算） ①58.5÷1.5＝ ②2.53÷2.3＝ ③0.308÷2.2＝ ④4.14÷1.8= ⑤2.25÷0.9= *⑥6.24÷0.4= 题型3：除数是两位数的小数除法 题型特征：除数是两位小数，被除数是小数或整数。 典型例题：计算： 解题思路：运用商不变规律，将除数和被除数同时扩大100倍，变为，再按整数除法进行计算。 解题过程： 跟踪训练： 1.口算 ①2.4÷0.02＝ ②0.16÷0.04＝ ③4.8÷0.08＝ ④4.5÷0.01＝ ⑤0.96÷0.32＝ ⑥0.049÷0.07＝ 2.竖式计算（带*号的需要验算） ①12÷0.04＝ ②20.4÷0.24＝ ③0.627÷0.19＝ ④0.864÷0.36＝ ⑤18.5÷0.25＝ *⑥87÷0.03＝ 题型4：除数是三位数的小数除法 题型特征：除数是三位小数，被除数是小数或整数。 典型例题：计算： 解题思路：运用商不变规律，将除数和被除数同时扩大1000倍，变为，再按整数除法进行计算 解题过程： 跟踪训练： 1.口算 ①4.5÷0.001＝ ②0.96÷0.032＝ ③0.049÷0.007＝ ④45÷0.009＝ ⑤0.32÷0.016＝ ⑥0.063÷0.003＝ 2.竖式计算（带*号的需要验算） ①10÷0.125＝ ②1.24÷0.008＝ ③5.6÷0.014＝ ④9÷0.375＝ ⑤12.5÷0.625＝ *⑥3.6÷1.125＝ 题型5：混合运算 题型特征：算式中包含小数除法和其他运算（加、减、乘、括号等）。 典型例题：计算： 解题思路：按运算顺序逐步计算。先算括号内的加法，再算除法，运用商不变规律将小数除法转化为整数除法。 解题过程： 跟踪训练：脱式计算 ①9.36×9÷0.45 ②32.34÷2.1×0.5 ③12.6÷3－0.4 ④0.22＋3.22÷1.4 ⑤（4.35＋7.65）÷2.5 ⑥ 2.16×（0.81÷5.4） 题型6：求商的近似值 题型特征：要求按照指定方法和精度求商的近似值。 典型例题：计算： （保留两位小数，用四舍五入法） 解题思路：先进行除法计算，计算到比要求多一位小数（保留两位要算到第三位），根据四舍五入法进行取舍，注意循环小数的处理。 解题过程： 第三位小数是7，大于等于5，向前进一位，1 （保留两位小数） 跟踪训练： 1.竖式计算（得数保留两位小数） ①24.56÷3.2≈ ②4.32÷1.9≈ ③6.5÷0.21≈ ④2.68÷0.32≈ ⑤47÷1.6≈ ⑥0.77÷2.3≈ 2.用“四舍五入法”求出商的近似值，填入下表。 保留整数 保留一位小数 保留两位小数 32÷9 45.8÷15 72.6÷0.7 题型7：循环小数 题型特征：涉及小数除法的竖式计算，要求通过计算判断商是否为循环小数，计算时需要观察余数是否重复出现。如果余数重复，则商为循环小数；否则，商为有限小数。 典型例题1：计算： 解题思路：直接竖式计算即可。 解题过程： 商是循环小数。 跟踪训练： ①用竖式计算下面各题，指出哪些商是循环小数。 0.94÷6= 18÷125= 38.2÷72= 题型特征：这类题目通常涉及除以9、99、999等数字的除法运算，结果会产生循环小数，循环节与被除数相关。通过计算器计算几个示例，观察结果并发现规律，然后应用规律直接写出其他除法的得数。 典型例题2：用计算器计算下面各题并填空。                                                        我发现：（           ）。 不用计算，根据规律直接写出下面各题的得数。                                    解题思路：使用计算器计算、、、，得到结果分别为0.111……、0.222……、0.444……、0.555……。观察这些结果，可以发现当被除数是1到8的整数时，除以9的结果是一个循环小数，循环节就是被除数本身。例如，，循环节是1；，循环节是2。根据这个规律，可以直接写出、、的得数。 解题过程： 计算填空：、、、、 当整数n（1≤n≤8）除以9时，商是一个循环小数，循环节是n。 根据规律，、、 跟踪训练： ②用计算器计算下面各题并填空。 1÷99＝                  3÷99＝                  4÷99＝                  6÷99＝ 我发现：（           ）。 不用计算，根据规律直接写出下面各题的得数。 2÷99＝                  5÷99＝                  7÷99＝ 题型特征：给出一个循环小数的具体表示（通常是省略号或明确标出循环节），然后提出两个问题： 1.确定小数点后任意第n位上的数字是什么。 2.计算小数点后前n位所有数字的和。 典型例题3：在循环小数（也可写作）中， 1.小数点后面第50位上的数字是（ ）。 2.小数部分前50位数字之和是（ ）。 解题思路：1.识别循环节：循环节是“891”，其长度为3位。 2.解决第1问（找数字）：要找到第50位的数字，就是找这个数字在循环节“891”中的位置。用位置数50除以循环节的长度3，得到的余数就对应了循环节中的第几位数字。 3.解决第2问（求和）：先计算出一个完整的循环节“891”的数字和。用50除以3，商16表示有16个完整的循环节，余数2表示第17个循环节的前2位数字（即“8”和“9”）。 解题过程： 1.确定第50位上的数字： 。余数2表示第50位数字是循环节“891”中的第2位数字9。 所以小数点后面第50位上的数字是9。 2.计算前50位数字之和： 因此，前位数字的总和为305。 跟踪训练： ③在循环小数0.370205402054……中，小数点后面第100位上的数字是（ ），小数部分前100位数字之和是（ ）。 题型1：除数是整数的小数除法 跟踪训练： 1.口算 ①45÷100＝0.45 ②0.32÷10＝0.032 ③0.063÷3＝0.021 ④4.5÷5＝0.9 ⑤0.36÷4＝0.09 ⑥3.2÷8＝0.4 2.竖式计算（带*号的需要验算） ①6.6÷4＝1.65 ②18.9÷27＝0.7 ③1.35÷15＝0.09 ④28.6÷11＝2.6 ⑤37.5÷6＝6.25 *⑥20.4÷24＝0.85 验算： 题型2：除数是一位数的小数除法 跟踪训练： 1.口算 ①4.5÷0.5＝9 ②0.36÷0.4＝0.9 ③3.2÷0.8＝4 ④2.4÷0.2＝12 ⑤0.16÷0.4＝0.4 ⑥4.8÷0.8＝6 2.竖式计算（带*号的需要验算） ①58.5÷1.5＝39 ②2.53÷2.3＝1.1 ③0.308÷2.2＝0.14 ④4.14÷1.8＝2.3 ⑤ 2.25÷0.9＝2.5 *⑥6.24÷0.4＝15.6 验算： 题型3：除数是两位数的小数除法 跟踪训练： 1.口算 ①2.4÷0.02＝120 ②0.16÷0.04＝4 ③4.8÷0.08＝60 ④4.5÷0.01＝450 ⑤0.96÷0.32＝3 ⑥0.049÷0.07＝0.7 2.竖式计算（带*号的需要验算） ①12÷0.04＝300 ②20.4÷0.24＝85 ③0.627÷0.19＝3.3 ④0.864÷0.36＝2.4 ⑤18.5÷0.25＝74 *⑥87÷0.03＝2900 验算： 题型4：除数是三位数的小数除法 跟踪训练： 1.口算 ①4.5÷0.001＝4500 ②0.96÷0.032＝30 ③0.049÷0.007＝7 ④45÷0.009＝5000 ⑤0.32÷0.016＝20 ⑥0.063÷0.003＝21 2.竖式计算（带*号的需要验算） ①10÷0.125＝80 ②1.24÷0.008＝155 ③5.6÷0.014＝400 ④9÷0.375＝24 ⑤12.5÷0.625＝20 *⑥3.6÷1.125＝3.2 验算： 题型5：混合运算 跟踪训练：脱式计算 ①9.36×9÷0.45 ②32.34÷2.1×0.5 ③12.6÷3－0.4 ＝84.24÷0.45 ＝15.4×0.5 ＝4.2－0.4 ＝187.2 ＝7.7 ＝3.8 ④0.22＋3.22÷1.4 ⑤（4.35＋7.65）÷2.5 ⑥2.16×（0.81÷5.4） ＝0.22＋2.3 ＝12÷2.5 ＝2.16×0.15 ＝2.52 ＝4.8 ＝0.324 题型6：求商的近似值 跟踪训练： 1.竖式计算（得数保留两位小数） ①24.56÷3.2≈7.68 ②4.32÷1.9≈2.27 ③6.5÷0.21≈30.95 ④2.68÷0.32≈8.38 ⑤47÷1.6≈29.38 ⑥0.77÷2.3≈0.33 2.用“四舍五入法”求出商的近似值，填入下表。 保留整数 保留一位小数 保留两位小数 32÷9 4 3.6 3.56 45.8÷15 3 3.1 3.05 72.6÷0.7 104 103.7 103.71 题型7：循环小数 跟踪训练： ①用竖式计算下面各题，指出哪些商是循环小数。 0.94÷6= 18÷125=0.144 38.2÷72=  和是循环小数。 跟踪训练： ②1÷99＝ 3÷99＝ 4÷99＝ 6÷99＝ 观察发现：一个一位数除以99的商是循环节为0和这个数的循环小数。 2÷99＝ 5÷99＝ 7÷99＝ 跟踪训练： ③100－2＝98 98÷5＝19……3 余数是3，则第100位数字是周期里面的第3个数字，也就是0。 （0+2+0+5+4）×19+（0+2+0）+3+7 =11×19+2+3+7 =209+2+3+7 =221 小数部分前100位数字之和是221。 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $$