第11章 平面直角坐标系（单元测试卷）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（沪科版2024）

第11章 平面直角坐标系 单元测试卷 （考试时间：120分钟  试卷满分：150分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题4分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（﹣3，2），则点P所在的象限是（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（本题4分）在平面直角坐标系中，对于坐标P（3，4），下列说法错误的是（    ） A．P（3，4）表示这个点在平面内的位置 B．点P的纵坐标是4 C．点P到x轴的距离是4 D．它与点（4，3）表示同一个坐标 3．（本题4分）在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的平行四边形，点的坐标是现将这张胶片平移，使点落在点处，则此平移可以是（ ） A．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 B．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 D．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 4．（本题4分）若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（本题4分）如图，点A，B分别在x轴和y轴上，，若将线段平移至线段的位置，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 6．（本题4分）线段是由线段平移得到的，点对应点为，则点的对应点的坐标为（  ） A． B． C． D． 7．（本题4分）气象台为预报台风，给出台风位置的几种说法： ①北纬，东经；②上海东北方向处；③上海与深圳之间；④渤海；⑤大连正东方向；其中能确走台风位置的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（本题4分）已知点P不在第一象限，则点在(    ) A．x轴正半轴上 B．y轴负半轴或原点上 C．x轴负半轴上 D．y轴正半轴或原点上 9．（本题4分）若关于，的方程组与方程组的解相同，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点．规定把正方形“先沿轴翻折，再向下平移1个单位”为1次变换，这样连续经过2026次变换后，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（本题5分）点为平面直角坐标系中第三象限内一点，已知点A到y轴的距离为5．且，则的值为 ． 12．（本题5分）如果点在坐标轴上，那么点坐标为 ． 13．（本题5分）如图，在平面直角坐标系中，点从点出发，第1次由点跳动至点，第2次由点跳动至点，第3次由点跳动至点，第4次由点跳动至点根据这个规律，则点的坐标是 ． 14．（本题5分）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶开心点”（其中为常数，且），例如点的“2阶开心点”为，即．若点的坐标为，则点的“3阶开心点”的坐标为 ；若点的“阶开心点”在第一象限，且到轴的距离为9，则点的坐标为 ． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题8分）在平面直角坐标系中： (1)若点在x轴上，求点P的坐标； (2)已知点在第四象限，求a的取值范围． 16．（本题8分）在平面直角坐标系中，已知点，． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若轴，且，求的值． 17．（本题8分）已知点在平面直角坐标系中． (1)若点在第三象限且到两坐标轴的距离相等，求点坐标； (2)若点在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点坐标． 18．（本题8分）如图是中国象棋一次对局时的部分示意图，若“帅”所在的位置用有序数对表示．    (1)请你用有序数对表示其他棋子的位置； (2)我们知道马行“日”字，如：下一步可走到，则与成“日”字，图中的“马”下一步还可以走到的位置有几个分别如何表示 19．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B在x轴的负半轴上，，点在第二象限，轴，且，点在第一象限． (1)求两点的坐标； (2)是否存在m，使以为顶点的四边形的面积等于？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 20．（本题10分）如图，已知，将三角形向右平移个的单位长度，再向下平移个单位长度，得到对应的三角形． （1）画出三角形； （2）直接写出点的坐标； （3）求三角形的面积． 21．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将1变换成，第三次将变换成. (1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将变换成，则的坐标是　 　，的坐标是　 　． (2)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测的坐标是　 　，的坐标是　 　． (3)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，则的面积S为　 　． 22．（本题12分）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点． (1)若点P的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为__________； (2)若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标； (3)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点．点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标． 23．（本题14分）规定：对于平面直角坐标系中任意一点，若，则我们称点为“雅赞点”．例如：对于点，因为，所以点是“雅赞点”． (1)以下各点：①；②；③中，是“雅赞点”的是______（请填写序号）； (2)若点是“雅赞点”，且点A向右平移3个单位长度后得到点，点到两坐标轴的距离相等，求此时“雅赞点”点A的坐标； (3)已知“雅赞点”，关于的方程组与有相同的解． ①用含的式子表示和； ②若对于任意，等式恒成立，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 平面直角坐标系 单元测试卷 （考试时间：120分钟  试卷满分：150分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题4分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（﹣3，2），则点P所在的象限是（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限 【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案． 【详解】解：∵点P的坐标为（﹣3，2），−3＜0， 2＞0， ∴点P在第二象限． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标特点，解决本题的关键是准确掌握平面直角坐标系中各个象限内点的坐标的特点． 2．（本题4分）在平面直角坐标系中，对于坐标P（3，4），下列说法错误的是（    ） A．P（3，4）表示这个点在平面内的位置 B．点P的纵坐标是4 C．点P到x轴的距离是4 D．它与点（4，3）表示同一个坐标 【答案】D 【知识点】用有序数对表示位置、求点到坐标轴的距离 【分析】根据根据点的坐标的含义，对四个说法逐一辨别即可． 【详解】A、平面直角坐标系中点的位置可由一对有序实数对表示，故说法正确； B、坐标P（3，4），其横坐标为3，纵坐标为4，故此说法正确； C、点P到x轴的距离为4，点P到y轴的距离为3，故此说法正确； D、点P（3，4）与点（4，3）表示两个不同的点，故此说法错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标的意义，关键是理解平面直角坐标系中点的坐标的含义． 3．（本题4分）在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的平行四边形，点的坐标是现将这张胶片平移，使点落在点处，则此平移可以是（ ） A．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 B．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 D．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 【答案】C 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】此题主要考查了平面坐标系中点的平移，熟记左右移动横坐标，左减右加，上下移动纵坐标，上加下减是解题的关键．利用平面坐标系中点的坐标平移方法，利用点的坐标是，点得出横纵坐标的变化规律，即可得出平移特点． 【详解】解：根据的坐标是，点， 横坐标加，纵坐标减得出，故先向右平移个单位，再向下平移个单位， 故选：C． 4．（本题4分）若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知平移后的坐标求原坐标 【分析】本题考查了平移的变坐标换，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得，再根据可得，，然后再解方程即可． 【详解】解：设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得， ∵得到的， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 5．（本题4分）如图，点A，B分别在x轴和y轴上，，若将线段平移至线段的位置，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】先求出线段平移的方向和距离，再求出a，b的值即可求解． 本题考查了线段的平移、点的平移，点的平移规律是横坐标左减，右加；纵坐标上加，下减，根据点的平移规律得出线段的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵点A，B分别在x轴和y轴上，， ∴点， ∵， ∴点A向右平移3个单位到达点，点B向下平移1个单位到达点， ∴线段向右平移3个单位，再向下平移1个单位至线段的位置， ∴， ∴． 故选：B 6．（本题4分）线段是由线段平移得到的，点对应点为，则点的对应点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】先根据点A和它的对应点C的坐标之间的变化规律得到图形的变换规律，然后利用此规律写出点B的对应点D的坐标即可. 【详解】∵点对应点为 ∴线段CD是由线段AB先向右平移3-（-1）=4个单位，向上平移5-2=3个单位。 ∵点是点的对应点 ∴点D的横坐标为-2+4=2，纵坐标为-1+3=2 ∴点D的坐标为（2,2） 故答案选D. 【点睛】本题考查的是图形的平移的特征，能够根据点A与点C的坐标总结出图形的平移规律是解题的关键. 7．（本题4分）气象台为预报台风，给出台风位置的几种说法： ①北纬，东经；②上海东北方向处；③上海与深圳之间；④渤海；⑤大连正东方向；其中能确走台风位置的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题考查表示实际位置，根据表示实际位置至少需要两个元素，利用经度和维度，方向角和距离，坐标均可表示实际位置，据此进行判断即可． 【详解】解：①北纬，东经：经纬度精确对应唯一位置，能确定． ②上海东北方向处：东北方向（角）和距离可确定唯一位置，能确定． ③上海与深圳之间：区域范围过大，无法精确定位． ④渤海：海域范围广，无法确定具体点． ⑤大连正东方向：缺少距离，无法确定具体位置． 综上，①和②能确定台风位置，共2个． 故选B． 8．（本题4分）已知点P不在第一象限，则点在(    ) A．x轴正半轴上 B．y轴负半轴或原点上 C．x轴负半轴上 D．y轴正半轴或原点上 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集、判断点所在的象限 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限及坐标轴上点的坐标特征，解题的关键是根据点 P"不在第一象限”的条件推导 a 的取值范围，进而判断点 Q的位置． 【详解】∵点P纵坐标为1（正数）， ∴点P在第一或第二象限或y轴正半轴上， ∵点P不在第一象限， ∴横坐标需满足（否则横、纵坐标均正，会在第一象限）， 解得． 因点横坐标为0，故在y轴上； 又因，则点Q在y轴正半轴（）或原点（）上． 故选：D． 9．（本题4分）若关于，的方程组与方程组的解相同，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】方程组相同解问题、加减消元法、判断点所在的象限 【分析】本题考查了同解方程组，二元一次方程组的解法及象限的点的坐标特点．解决本题的关键是根据题意打乱原方程组，构造新的方程组．由于x、y是两个方程组的公共解，所以适合组中的四个方程．先由方程组求得x、y的值，把x、y的值代入方程组求得n、m的值，最后判断点所在的象限即可． 【详解】解：∵x、y是方程组和的公共解， ∴满足方程组 解这个方程组得 把代入 ， 解得 ∴点在第四象限． 故选D． 10．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点．规定把正方形“先沿轴翻折，再向下平移1个单位”为1次变换，这样连续经过2026次变换后，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了坐标规律探究，通过变换找到变换规律为，，即可求解． 【详解】解：正方形的顶点， ， 正方形“先沿轴翻折，再向下平移1个单位”， 第次变换后， 第次变换后， 第次变换后， 第次变换后：，， 连续经过2026次变换后，点C的坐标为； 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（本题5分）点为平面直角坐标系中第三象限内一点，已知点A到y轴的距离为5．且，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值、已知点所在的象限求参数 【分析】此题主要考查了点的坐标，绝对值的非负性，代入求值，熟练掌握点在各象限内的特点以及点到坐标轴的距离是解题关键． 【详解】解：∵点A到y轴的距离为5，且， ∴，或， 又∵点为平面直角坐标系中第三象限内一点， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（本题5分）如果点在坐标轴上，那么点坐标为 ． 【答案】或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可以得解 ． 【详解】解：由题意可得：m+3=0或m+1=0； （1）当m+3=0时，m= -3，此时m+1= -3+1= -2，P点坐标为（0，-2）； （2）当m+1=0时，m= -1，此时m+3= -1+3=2，P点坐标为（2，0）； 所以P点坐标为(0,−2)或 (2,0)； 故答案为(0,−2)或 (2,0)． 【点睛】本题考查平面直角坐标系的基础知识，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题关键． 13．（本题5分）如图，在平面直角坐标系中，点从点出发，第1次由点跳动至点，第2次由点跳动至点，第3次由点跳动至点，第4次由点跳动至点根据这个规律，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，由题知点移动5次坐标为一次完整过程，每一次完整循环横坐标比上一次循环依次多4，据此得到点的位置规律与题图上的位置规律相同，即可解答，解题的关键是寻找点的变化规律． 【详解】解：观察题图坐标系中图形的规律可得，，； 则移动5次坐标为一次完整过程，每一次完整循环横坐标比上一次循环依次多4． 因为， 所以点的位置规律与题图上的位置规律相同， 所以点的坐标为，即． 故答案为：． 14．（本题5分）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶开心点”（其中为常数，且），例如点的“2阶开心点”为，即．若点的坐标为，则点的“3阶开心点”的坐标为 ；若点的“阶开心点”在第一象限，且到轴的距离为9，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查点的坐标，新定义运算，整式的加减，解一元一次方程等知识点，正确理解题目中“阶开心点”的定义是解题的关键． 根据“阶开心点”的定义求解即可；先根据新定义求出点的“阶开心点”的坐标，再根据到轴的距离为9列方程求解即可． 【详解】解：依题意得， ∴点的“3阶开心点”的坐标为； ∵点的“阶开心点”为， ∴点的坐标为，即， ∵点在第一象限，且到轴的距离为9， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题8分）在平面直角坐标系中： (1)若点在x轴上，求点P的坐标； (2)已知点在第四象限，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点在坐标轴上和点在象限内的坐标特征，解一元一方程，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据轴上点的纵坐标为0列方程求解即可； （2）根据第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负进行列不等式组求解即可． 【详解】解：（1）点在x轴上， ， 解得， 点P的坐标为； （2）点在第四象限， ， 解得 16．（本题8分）在平面直角坐标系中，已知点，． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若轴，且，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或0． 【知识点】已知点所在的象限求参数、坐标系中的平移 【分析】本题考查了点的坐标特征，熟练掌握在轴上的点的坐标的纵坐标为零，平行于轴的两个点的横坐标相等是解此题的关键． （1）根据在轴上的点的坐标的纵坐标为零，求解即可； （2）根据平行于轴的两个点的横坐标相等得到，根据得到，先求出a的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：点在x轴上， ， 解得． ∴； （2）解：轴， ∴点A与点B的横坐标相同， ∴， ∵， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， 即的值为或0． 17．（本题8分）已知点在平面直角坐标系中． (1)若点在第三象限且到两坐标轴的距离相等，求点坐标； (2)若点在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点的坐标以及一元一次方程的应用，理解题意得出方程是解题关键． （1）根据第三象限角平分线上的点的特征，可得答案； （2）根据到两坐标轴的距离之和可得方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 点的坐标为． （2）解：由题意，得， 则，解得， 此时点的坐标为． 18．（本题8分）如图是中国象棋一次对局时的部分示意图，若“帅”所在的位置用有序数对表示．    (1)请你用有序数对表示其他棋子的位置； (2)我们知道马行“日”字，如：下一步可走到，则与成“日”字，图中的“马”下一步还可以走到的位置有几个分别如何表示 【答案】(1)卒；马；车；炮． (2)还可以和组成“日”的点有，，． 【知识点】用有序数对表示位置、实际问题中用坐标表示位置 【分析】（1）根据有序实数对的意义可直接得出； （2）根据图形直接得出结论． 【详解】（1）解：由帅的位置可知，先写横着的数字，再找数着的数字可得：卒；马；车；炮． （2）解：由马走“日”的规矩可知，马还可以走3个位置，如下图：    ∴还可以和组成“日”的点有，，． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中的点的坐标-有序实数对．根据图形理解“马”走“日”是解题关键． 19．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B在x轴的负半轴上，，点在第二象限，轴，且，点在第一象限． (1)求两点的坐标； (2)是否存在m，使以为顶点的四边形的面积等于？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点的坐标为 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了点坐标与图形、点所在的象限，熟练掌握点坐标的应用是解题关键． （1）先根据点在轴的负半轴上，可得；再根据点在第二象限，轴，且，可得； （2）先求出的面积和的面积，再根据使以为顶点的四边形的面积等于可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵点在轴的负半轴上，， ∴； ∵点在第二象限，轴，且，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵点在第一象限， ∴， ∴的边上的高为， ∴， ∵以为顶点的四边形的面积等于， ∴， ∴， ∴， ∴存在，使以为顶点的四边形的面积等于，此时点的坐标为． 20．（本题10分）如图，已知，将三角形向右平移个的单位长度，再向下平移个单位长度，得到对应的三角形． （1）画出三角形； （2）直接写出点的坐标； （3）求三角形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）点A1、B1、C1的坐标分别为（1，1），（-2，-6），（6，-1）；（3）． 【知识点】平移(作图)、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）利用点平移的坐标规律写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到三角形A1B1C1；（2）根据（1）中画得的，得到点A1、B1、C1的坐标； （3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可计算出△ABC的面积． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）点A1、B1、C1的坐标分别为（1，1），（-2，-6），（6，-1）； （3）三角形ABC的面积=8×7-×2×5-×3×7-×5×8=． 【点睛】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 21．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将1变换成，第三次将变换成. (1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将变换成，则的坐标是　 　，的坐标是　 　． (2)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测的坐标是　 　，的坐标是　 　． (3)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，则的面积S为　 　． 【答案】(1)， (2)， (3) 【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索、利用网格求三角形面积 【分析】（1）根据点的变化，可找出点的坐标；同理可得出点的坐标； （2）结合（1）中点的坐标的变化，可找出点的坐标； （3）由点的坐标可得出的长度，再根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）∵， ∴； ∵， ∴． 故答案为：；． （2）解：由（1）可知的横坐标每次扩大2倍,纵坐标为3，的横坐标每次扩大2倍，纵坐标不变， ∴，， 故答案为：，； （3）∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，点的坐标规律探索，三角形面积，正确找到点的坐标变化规律是解题的关键． 22．（本题12分）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点． (1)若点P的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为__________； (2)若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标； (3)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点．点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】加减消元法、坐标与图形、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查点的坐标，“派生点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据派生点的定义，结合点的坐标即可得出结论． （2）根据派生点的定义，结合点的坐标即可得出结论． （3）判断出的坐标，构建方程求出即可． 【详解】（1）；， 点的坐标为，则它的“3级派生点”的坐标为． 故答案为：； （2）设点的坐标为， 由题意可知， 解得：， 点的坐标为； （3）由题意，， 的“阶派生点“为：，，即， 在坐标轴上， 或， 或， 或，． 23．（本题14分）规定：对于平面直角坐标系中任意一点，若，则我们称点为“雅赞点”．例如：对于点，因为，所以点是“雅赞点”． (1)以下各点：①；②；③中，是“雅赞点”的是______（请填写序号）； (2)若点是“雅赞点”，且点A向右平移3个单位长度后得到点，点到两坐标轴的距离相等，求此时“雅赞点”点A的坐标； (3)已知“雅赞点”，关于的方程组与有相同的解． ①用含的式子表示和； ②若对于任意，等式恒成立，求的值． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)①；②2024418 【知识点】方程组相同解问题、坐标系中的平移 【分析】（1）根据定义进行判断即可求解； （2）根据题意得出平移后的坐标为，根据B点到坐标轴的距离相等，列出方程，解方程即可求解； （3）①根据同解方程组得出，根据新定义得出，代入方程组，解方程组即可求解； ②根据等式恒成立，得出，得出与代入代数式，即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以①③是“雅赞点”． （2）解∶因为点是“雅赞点”，所以． 因为点向右平移3个单位长度后得到点， 所以点的坐标为，即． 因为点到两坐标轴的距离相等，所以， 所以或0，所以点的坐标为或． （3）解∶①由题意，得与有相同的解． 解方程组得 因为是“雅赞点”，所以， 所以所以 ②因为，所以， 所以． 因为对于任意恒成立，所以， 所以． 又因为 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$