第三章 简单的几何图形（复习课件）数学北京版2024七年级上册

单元复习课件 第三章 简单的几何图形 北京版2024·七年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 5 题型剖析/针对训练 4 6 课堂总结 模型讲解 1.梳理本章知识，构建合理完整的知识结构; 2.通过从不同方向看立体图形和展开立体图形，发展空间观念和空间想象能力; 3.在解决一些有关线段及角的问题中，体会数形结合、分类讨论和方程思想. 1.难点在于立体图形与平面图形的转化（如展开图、三视图）； 2.几何语言的规范运用； 3.动态问题的分类讨论及用方程思想解决复杂计算 1.认识立体与平面图形的转化； 2.掌握直线射线线段的性质及运算； 3.理解角的概念与计算. 单元学习目标 画框内容为易错点 单元知识图谱 考点一 平面图形与立体图形 几何图形: 从实物中抽象出来的___________叫做几何图形，几何图形分为_________和________. 立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分_______________，它们是立体图形. 常见的立体图形：见下表： 各种图形 平面图形 立体图形 不都在同一平面内 名称 图例 特点 柱体 圆柱 底面是______， 侧面是______. 上下底面是互相_____的 棱柱 底面是______， 侧面都是______. 锥体 圆锥 底面是_____， 侧面是______. 有一个_______ 棱锥 底面是______， 侧面都是_____. 各侧面有一个_______ 球体 表面是________ 圆 曲面 多边形 四边形 平行 圆 曲面 顶点 多边形 三角形 公共顶点 曲面 考点串讲 考点一 平面图形与立体图形 平面图形的概念：有些几何图形（如线段、角、三角形、圆等）的各部分都在_____________的图形，它们是平面图形. 常见立方体图形平面展开图： 从不同方向观察立体图形:对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理，用画出的从不同方向观察得到的平面图形来表示它们.我们从不同的方向观察同一物体时，可以看到不同的图形.其中，我们把从_____看到的图形叫做主视图，从______看到的图形叫做左视图，从_______看到的图形叫做俯视图. 同一平面内 正面 左面 上面 考点串讲 题型一 平面图形与立体图形 类型一 平面图形与立体图形的分类 例1．下面几种几何图形中，属于平面图形的有（   ） ①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱；⑦线段；⑧点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ①平面图形是各个部分存在于一个平面上的图形； ②立体图形是由一个或者多个平面形成的图形，各部分不在同一平面内. D 1．下列几何体中，柱体的个数是（    ）   A．4 B．3 C．2 D．1 A 题型剖析 2．如图所示的几何体是由5个面组成的，其中平面有 个，曲面有 个；面与面相交形成 条线，其中直线有 条，曲线有 条；线与线相交形成的点共有 个. 4 1 9 7 2 6 3．将下列几何体进行分类：（在横线处写明序号即可） （1）有顶点的几何体是 ． （2）截面可能为四边形的是 ． （3）能由平的面旋转形成的是 ． （4）截面不可能是圆形的是 ． ①②⑤⑥⑦ ①②④⑥⑦ ③④⑤ ①②⑥⑦ 针对训练 题型一 平面图形与立体图形 类型二 正方体几种展开图的识别 例2．年月日，我国成功发射天链二号星．小亮准备制作一个正方体，使其每个表面上分别写有“天”“链”“二”“号”“”“星”．如图是他做的无盖的正方体的展开图，需再补充一个写着“星”的正方形，则该正方形不能补充在（   ） A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 B 题型剖析 1．将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，应剪去（   ） A．1或2或3 B．3或4或5 C．4或5或6 D．1或2或6 2．如图，纸板上有9个小正方形（其中5个有阴影，4个无阴影），从图中4个无阴影的小正方形中选出一个（剩余的剪形一起折成一个正方体的包装盒，不同的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 D A 针对训练 题型一 平面图形与立体图形 类型三 正方体相对两个面上的字/图案 例3．如图是一个正方体的表面展开图，将它折成正方体后，与“绿”字相对面上的字是（    ） A．碳 B．低 C．保 D．色 解题方法：找对立面的方法: 1）同一行或同一列，间隔一个面的两个面是相对面； 2）“Z”字型图案中，两端点处的两个面是相对面.（例如：A与B） 3）其他剩余的两个面是相对面. B 题型剖析 1．如图是一个正方体的展开图，若该正方体相对的面所标注的数字互为相反数，则的值为（   ） A． B．0 C．12 D．2 2．一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图所示．下列判断正确的是（   ） C A 3．小丽制作了一个如图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的平面展开图可能是（   ） A 题型剖析 题型一 平面图形与立体图形 类型四 几何体展开图的相关计算 例4．一个无盖的三棱柱笔筒（底部为直角三角形）的尺寸如图所示（单位：厘米），若要制作这个笔筒至少要用（　　）平方厘米的铁皮． A．1440 B．1536 C．1632 D．1648 【详解】解：由题意知，笔筒的表面积为：（平方厘米）．故答案为：B． 1．一个半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积是 ．（结果保留） 题型剖析 2．如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母和数据，请根据要求回答 （1）如果A面在长方体的底部，那么 面会在上面； （2）这个长方体的体积为 ． 针对训练 题型一 平面图形与立体图形 类型五 点、线、面、体间的关系 例5 选择题 1）下面现象中，能说明“线动成面”的是（    ） A．天空划过一道流星 B．时钟的钟摆摆动留下的痕迹 C．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线 D．一枚硬币在桌面上旋转的轨迹 2）几何图形都是由点、线、面、体组成，点动成线，线动成面，面动成体．下列生活现象中，可以反映“面动成体”的是（　　） A．粉笔写字 B．流星划过夜空 C．硬币在桌上旋转 D．汽车雨刷转动 3）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上三个均有 B C A 题型剖析 1．一个长方形（如图），小欣以长所在的直线为轴旋转，得到一个圆柱甲；小红以宽所在的直线为轴旋转，得到一个圆柱乙．比较甲、乙两个圆柱的体积，下列说法正确的是（ ） A．圆柱甲的体积大 B．圆柱乙的体积大 C．体积相等 D．无法比较 【详解】解：圆柱甲的体积：， 圆柱乙的体积：， ∵，∴圆柱乙的体积大，故选：． 【提示】选择不同的边为轴旋转，得到两个圆柱体，通过计算，求出两个圆柱的体积，再比较大小. 针对训练 题型一 平面图形与立体图形 类型六 判断简单几何体三视图 例6．如图，是由几个大小相同的小正方体搭建的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的正面、左面、上面看到的形状图； (2)若每个小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积（包括底部）为______． 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体 1）确定主视图的位置，画出主视图； 2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 【注意】几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线，看得见的部分的轮廓线应画成实线. （2）这个几何体的表面积为 ． 题型剖析 2．用小正方体搭成一个几何体，使得从正面看、从上面看该几何体得到的图形如图所示．这样的几何体只有一种吗？ (1)它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？ (2)求用最多的小正方体搭成几何体的表面积． 【详解】（1）解：根据主视图和俯视图可得这个几何体共3层， 第一层最多7个小正方体，第二层最多5个小正方体，第三层最多2个小正方体，最多需要14个小正方体， 第一层最少7个小正方体，第二层最少2个小正方体，第三层最少1个小正方体，最少需要10个小正方体； （2）解：用最多的小正方体搭成几何体的表面积是． 解题方法： 1）若已知左视图和俯视图，将左视图中每一列小正方形的个数填入俯视图中对应行的每个小正方形内，此时俯视图的每个小正方形内都填入了1个数字，将这些数字相加就得到所求的最多个数. 2）若已知主视图和俯视图，将主视图中每一列小正方形的个数填入俯视图中对应列的每个小正方形内，此时俯视图的每个小正方形内都填入了1个数字，将这些数字相加就得到所求的最多个数. 针对训练 考点二 直线、射线、线段 线段、射线、直线的区别与联系   直线 射线 线段 概念 略 直线上一点和它一旁的部分叫做射线. 直线上两点和它们之间的部分叫做线段. 图形 表示方法 直线AB（BA），直线m 射线OA，射线n 线段AB（BA），线段l   区别 端点个数 无 1个 2个 度量性 不可度量 不可度量 可度量 延伸性 向两方无限延伸 只能向一方无限延伸 不能延伸 延长性 不存在延长 可反向延长 可向两方任意延长 联系 射线、线段都是_____的一部分，线段向一方无限延伸就成为_____，向两方无限延伸就成为了_____，射线向______无限延伸就成为直线. 共同点 都是直的，不是曲线 直线 射线 直线 反方向 考点串讲 题型二 直线、射线、线段 类型一 理解直线、射线、线段的概念 例1．下列说法正确的是（　　） A．画一条长的射线 B．线段和线段不是同一条线段 C．射线是直线的一部分 D．延长直线至点 1．下列说法中，正确的是（　　） A．射线a比直线b短 B．已知C、D为线段上的两点，若，则 C．若，则点C为线段的中点 D．射线与射线是同一条射线 2．如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．射线和射线不是同一条射线 C．点在线段上 D．点是直线的一个端点 C B C 题型剖析 题型二 直线、射线、线段 类型二 用数学知识解释生活中的情景 例2．李明值日时，发现桌子不整齐，他想了一下，先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿就把课桌摆整齐了．这是因为 ． 1．秦岭终南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，隧道线形为直线，一度被誉为“天下第一隧”．建成后新里程和行车时间都大大缩短．请用学过的数学知识解释路程缩短的原因是 ． 两点确定一条直线 两点确定一条直线 题型剖析 题型二 直线、射线、线段 类型三 线段的计数问题 例3．（）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）应用（）中的结论，若火车的行驶路线上有个车站， ①问用于这条线路的车票最多有多少种不同的票价． ②若火车在这条线路上往返行车，则需要印制多少种火车票． 解题方法：该问题可以转换为线段计数问题，由于线段没有方向，在实际应用中，从A地B地和从B地A地方向是不同的，那么在票务印制中，所制的票务也是不同的. 【注意】题目要求单向车票还是往返车票. 1 3 题型剖析 题型二 直线、射线、线段 类型三 线段的计数问题 例3．（）应用（）中的结论，若火车的行驶路线上有个车站， ①问用于这条线路的车票最多有多少种不同的票价． ②若火车在这条线路上往返行车，则需要印制多少种火车票． （）①火车车票票价问题可以抽象成直线上有个点的线段条数问题， 当时，， ∴这条线路的车票最多有种不同的票价； ②∵火车往返是双向的， ∴需要印制种火车票． 题型剖析 1．观察图形，并回答下列问题： (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路； (2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题； (3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 【详解】（1）解：图中共有10条线段，分析思路如下： 以为端点的线段有：、、、，共4条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：、、，共3条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：、，共2条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：，共1条； 答：图中共有条线段； 针对训练 1．观察图形，并回答下列问题： (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路； (2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题； (3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ （2）解：将人演化成点，根据（1）结论可知， 握手的次数为：， 答：十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了105次； （3）解：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次， ， 答：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了210张． 针对训练 题型二 直线、射线、线段 类型四 与线段中点有关的计算 例4．如图，已知，且点是的中点． (1)求的长； (2)若线段上有一点，且，求的长． 【详解】（1）解：∵， ， 点是的中点， ； （2）解：， ∴， 当点在之间时，； 当点在之间时，； 综上，的长为2或4． 【易错点】点H的位置不确定，注意分类讨论. 题型剖析 1．如图所示，线段被点、分成了三部分，且，、分别为、的中点，求的长 【详解】线段被点、分成了三部分，且， ，，， 、分别为、的中点， ，， ． 针对训练 题型二 直线、射线、线段 类型五 线段双中点模型 条件：点A，点B，点C在一条直线上，点M为线段AB的中点，点N为线段BC的中点，求MN.   MN= MN =  MN = 解题大招： 抵消同点取一半. 题型剖析 题型二 直线、射线、线段 类型五 线段双中点模型 1．三点在一条直线上，， ， 的中点是 ，的中点是 ，求线段的长． 解题大招：无图必有坑，定点左右落. 【详解】解：当点在线段上时，如图， ∵， ， ∴， ∵点是的中点， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图， ∵， ， ∴， ∵点是的中点， ∴； 综上，线段的长为或． 题型剖析 1．如图所示，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求长． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点，， ∴． ∵， ∴． ∵点是线段的中点， ∴； （2）解：∵点是线段的中点，点是线段的中点，， ∴，， ∴， ∴． 针对训练 考点三 角   定义 图形 解读 “静止”的观点 由公共端点的两条_____所组成的图形叫做角 这个公共端点是角的______，这两条_____是角的两条边 “运动”的观点 由一条________绕着它的端点旋转一定______而形成的图形 起始位置的边叫角的_____，终止位置的边叫角的_____ 1、角的定义 射线 顶点 射线 射线 角度 始边 终边 2、角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 关系 0＜∠β＜90° ∠β= 90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β= 360° 1周角 = 2平角 = 4直角 【易错点】平角的两边成一条直线，但不能说平角就是直线；周角的两边重合成一条射线但不能说周角就是射线. 考点串讲 类型一 理解角的概念 题型三 角 例1．下列正确的个数为（    ） ①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关．⑤线段上有无数个点；⑥两点之间线段最短； A．2 B．3 C．4 D．5 C 1．已知，如果用10倍的放大镜看，那么的度数（   ） A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大到原来的10倍 D．扩大到原来的100倍 B 【总结】明确角度的大小由角的两边张开的程度决定，与边的长短无关是解决本题的关键． 根据角的大小的概念，即“角的大小是指角的两边张开的程度”，由此可求解． 题型剖析 2．下列四个图形中，能用三种方法表示同一个角的是（    ） B 3．如图，下面的说法正确的是（　　） A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．可以表示成或 D．射线和射线表示同一条射线 B 针对训练 类型二 度、分、秒的换算 题型三 角 例2．用度分秒表示下列各角： ；         ． 【详解】解：（1） ，再用， 故； 故答案为： （2）； 故： 故答案为：. 题型剖析 1．比较角度的大小： 2． ． 【详解】解：∵，∴，∴， 故答案为：． 【详解】解： 故答案为：． 针对训练 类型三 角的四则运算 题型三 角 例3．计算： (1)； (2)． （2） ． （1）解： ； 题型剖析 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1）； （2）； （3）； （4）． 针对训练 类型四 钟面上的角度计算 题型三 角 例4．（1）时钟的时针旋转多少度？ （2）时钟的分针旋转多少度？ （3）3时25分，时钟的时针与分针所成的角是多少度？ 题型剖析 类型四 钟面上的角度计算 题型三 角 例4．（1）时钟的时针旋转多少度？ （2）时钟的分针旋转多少度？ （3）3时25分，时钟的时针与分针所成的角是多少度？ （3）如图， 由钟面角的定义可知，， ， ∴， 即3时25分，时钟的时针与分针所成的角是． 题型剖析 1．（1）钟表的分针每分钟转_________，时针每分钟转_________； （2）若时针由2点30分走到2点55分，问：分针，时针各转过多大的角度？ （3）当钟表上的时间是2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？ 【详解】解：（1）钟表的分针每分钟转，时针每分钟转， 故答案为：6，0.5； （2）分针转过的角度为，时针转过的角度为 ． 答：分针转过的角度为，时针转过的角度为； （3）． 答：时针与分针所成的锐角的度数是． 针对训练 类型五 几何图形中的角度计算 题型三 角 例5．如图，点是直线上的一点，，平分． (1)试说明； (2)求的度数． 解： （1）∵， ∴，∴． （2）解：∵平分∴， ∵∴， ∴， ∴，∴， ∵， ∴， ∴ ． 题型剖析 1．如图，已知为直线上一点，与互补，，分别是，的平分线，． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求的度数． 【详解】（1）解：， 理由如下： ∵点在直线上， ∴， 又∵与互补， ∴， ∴． （2）解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 针对训练 类型六 双角平分线模型 题型三 角 条件：∠AOC，∠BOC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON 两角无包含关系 两角有包含关系 ∠MON = ∠AOC+ ∠BOC= ∠AOB （抵消相同字母C，∠AOB取一半） ∠MON = ∠AOC - ∠BOC= ∠AOB （抵消相同字母C，∠AOB取一半） 解题大招：保留顶点，抵消相同取一半 题型剖析 例6．已知与射线．射线，分别是，的平分线． (1)如图1，当射线在的内部时，若，则______°； (2)如图2，当射线在的外部时，猜想与的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：∵射线，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 针对训练 例6．已知与射线．射线，分别是，的平分线． (1)如图1，当射线在的内部时，若，则______°； (2)如图2，当射线在的外部时，猜想与的数量关系，并说明理由． （2）解： 理由：∵射线，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∴． 针对训练 一、易错点总结 1）概念混淆：误判直线、射线可度量；角的表示出错（顶点字母位置不对或单字母表多角）。 2）图形转化误区：错认正方体展开图中相对面 / 相邻面；圆柱展开图中混淆底面周长与半径；三视图不符合 “长对正、高平齐、宽相等”。 3）计算疏漏：线段 / 角的计算漏考虑点 / 射线的不同位置（如点在延长线上）；角度换算错用十进制；立体表面最短路径漏算不同展开方式。 4）语言与画图不规范：错误描述（如 “延长射线”）；画图漏标字母、度数，三视图虚实线混淆。 课堂总结 感谢聆听! 解题方法：钟表中共有12大格，把周角12等分，每个大格对应30°的角.解决此类问题可结合题意画出相应刻度的示意图，并准确把握时针、分针的旋转规律： 1）时针转一圈12小时，则它1小时转过的角度为，1分钟转过的角度为 2）分针转一圈是1小时，分针每分钟转过的角度为 3）分针走一圈 360°，时针走了 30°，所以，时针和分针所走度数的比例关系为1:12. 利用这些规律，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题. $$