第八单元 方程（知识清单）数学冀教版五年级上册

第八单元 方程 单元知识清单讲义 知识点一：方程 1. 天平的使用方法。 (1)将天平水平放置,指针对准中央0刻度线,天平处于平衡状态。 (2)一般情况下,左边托盘里放称量的物体,右边托盘里放砝码。 (3)称量物体时,天平的指针对准中央0刻度线,天平平衡,两边物体的质量相等;指针偏右,说明右边重,指针偏左,说明左边重。 2. 认识等式和方程。 (1)等式:像20+30=50、30+x=80、2x=100……这些表示相等关系的式子,叫做等式。其中,30+x=80、2x=100……叫做方程。 (2)含有未知数的等式叫做方程。方程具有两个特征;一是含有未知数;二必须是等式。 (3)等式和方程的关系:方程一定是等式,等式不一定是方程。用集合图表示为: 知识点二：等式的性质 1. 等式的性质(一)。 通过用天平做实验发现:等式的两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立。 2. 等式的性质(二)。 通过用天平做实验发现:等式的两边同时乘或除以同一个数(除数不能为0),等式仍然成立。 知识点三：解方程 1. 根据等式的性质解一步计算的方程,在方程的两边同时加上或减去、乘或除以同一个数(除数不能为0),使方程的一边只剩下未知数x,求出x的值。 2. 使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。 3. 求方程的解的过程叫做解方程。 4. 解形如ax±b=c的两步计算的方程,先将ax看作一个数,求出ax的值后,再按照一步方程的解法求出x的值。 5. 解形如ax±bx=c的两步计算的方程,先求出有几个x,再按照一步方程的解法求出x的值。 知识点四：列方程解决问题 1. 列方程解决一步计算的实际问题的方法。 (1)列方程解题时,先找出题中的等量关系,把未知数用x表示出来,再根据等量关系列出方程。 (2)解决已知一个数的几倍是多少,求这个数的实际问题时,可以先设这个数为x,根据等量关系列出形如ax=c的方程,再进行解答。 2. 列方程解决两步计算的实际问题的方法。 已知数量甲及数量甲比数量乙的几倍多(少)几,求数量乙的实际问题,可以先设数量乙为x,根据数量乙×倍数±几=数量甲,列出形如ax±b=c的方程,再解答。 3. 列方程解决稍复杂的相遇问题。 相遇问题的特征:两个运动的物体同时从两地出发,相向而行,在途中相遇,等量关系式:速度和×相遇时间=总路程。 4. 列方程解决求两个未知数的实际问题。 已知两个数的和(差)及两个数的倍数关系,求这两个数的实际问题,通常设标准量为x,比较量用含有x的式子表示出来;然后根据题中的等量关系列出方程,再进行解答。 题型1：用等式的性质（一）解方程 【例1】解方程。                   【练1】解下列方程。 x＋3.2＝4.6               x－1.8＝4             15－x＝2 题型2：用等式的性质（一）（二）解方程 【例1】解方程。                  【练1】解方程。 3.5x＋2.5×6＝85         12y－5y＝294         x＋2.5x＝24.5 题型3：解含括号的方程 【例1】解下列方程。 80－6（x＋1）＝5                4.5（2x＋0.4）÷3＝1.2 【练1】解方程。 （2.3－0.4x）÷0.6＝2.9           5（6x－4.7）＝12.5 题型4：用方程解决几倍多几（少几）的应用题 【例1】亮亮铅笔的支数比红红的6倍还多3只，亮亮有15支铅笔，问红红有多少支铅笔？ 【练1】向阳小学五年级有学生120人，比六年级学生人数的2倍少46人，向阳小学六年级有学生多少人？ 题型5：用方程解决行程问题 【例1】甲、乙两艘轮船同时从相距360千米的两个港口相对开出，甲船每小时行驶25千米，乙船每小时行驶的路程是甲船的1.4倍。经过多少小时两船相遇？（用方程解答） 【练1】货车和客车同时从甲乙两地相对开出，经过2小时24分相遇。相遇时，客车比货车多行了19.2千米，已知客车从甲地到乙地要行4小时30分钟，客车和货车的速度各是多少千米？ 题型6：用方程解决稍复杂的应用题 【例1】祖父、儿子、孙子三人的年龄加在一起正好是100岁。祖父过的年数正好等于孙子过的月数，儿子过的星期数正好等于孙子过的天数，祖父、儿子、孙子各多少岁？（用方程解） 【练1】近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活。某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送。若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件。该分派站现有包裹多少件？快递员多少名？ 一、填空题 1．在①x＋7.9＜16，②0.23m＝4.6，③55＞m÷0.4，④15×2.4＝36，⑤66－x＝38中，等式有( )，方程有( )。（填序号） 2．工程队修一条公路，每天修x千米，24天修完，这条公路长( )千米，如果这条公路长31.2千米，工程队每天修( )千米。 3．如果2x－1.5＝0.7，那么5（x＋1.2）＝( )。 4．根据图a和图b，可以判断图c中的天平( )边下沉。（填“左”或“右”） 5．商店运来香蕉和葡萄共120千克，其中香蕉比葡萄多25千克。设运来的葡萄是x千克，可列出方程为( )。 6．x的4倍减去10等于6，列方程为( )，解得x＝( )。 7．□、△各代表一个数，已知，，可以推出( )；( )。 8．如果，那么( )。 9．在2个相同的大盒和5个相同的小盒里装满球，正好能装100个。每个大盒比小盒多装8个，每个大盒装( )个，每个小盒装( )个。 10．张师傅每小时做46个零件，王师傅每小时做52个零件。两人同时开始工作，共同加工294个零件，需要( )小时。 二、选择题 11．下面是方程的式子是（    ）。 A．7x＋10＞30 B．4x＋x－10 C．a÷b＝8 D．15－3＝12 12．学校给部分住宿的女生安排宿舍，若每间宿舍住4人，则多出26人；若每间宿舍住6人，则正好安排完。由此可知，一共有（    ）间女生宿舍。 A．12 B．13 C．14 D．15 13．从西宁站到拉萨站全长1956千米。两列火车相向同时出发，经过12小时相遇。已知快车平均每小时行驶90千米，慢车平均每小时行驶多少千米？设慢车平均每小时行x千米，则下列方程错误的是（    ）。 A．12×（90＋x）＝1956 B．90＋x＝1956÷12 C．12×90＋12x＝1956 D．12×90＋x＝1956 14．x＝3是（    ）的解。 A．2x＋9＝15 B．4x＝1.2 C．3x÷3＝9 D．7x－2＝21 15．若2m＝6n，那么m＝（    ）。 A．n B．2n C．3n D．6n 三、判断题 16．如果6x＝7a，那么6x÷6＝7a÷6。( ) 17．x＝1.8是方程6x＋1.2＝9.6的解。( ) 18．7a＋13＝45是方程。( ) 19．x＝0.6是方程8x＝3.6＋2x的解。( ) 20．方程与方程的解相同。( ) 四、计算题 21．解下列方程。 8x÷6＝0.48            12x－5x＝8.4            4.8÷0.8x＝3 2.4×4－2.9x＝3.8       7.6×5－7x＝10         6.12×0.5＋0.6x＝7.2 五、解答题 22．甲、乙两个粮仓存粮数相等，从甲仓运出150吨粮食后，又从乙仓运出250吨，这时甲粮仓余粮数是乙粮仓余粮数的3倍。原来每个粮仓存粮各是多少吨？ 23．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行驶84.8千米，乙车每小时行驶72.6千米，两车在距离中点19.52千米处相遇，A、B两地相距多少千米？ 24．师傅加工了100个零件，比徒弟加工零件个数的2倍少10个。徒弟加工了多少个零件？ 25．幼儿园小班买来一箱苹果，每个小朋友分4个，还剩48个。每个小朋友分6个，又少8个。幼儿园小班有多少个小朋友？这箱苹果一共有多少个？ 26．王老师买6个篮球和6个足球，一共用去450元。每个篮球的价钱是46元，每个足球的价钱是多少元？ 27．一架飞机的飞行速度是火车行驶速度的7倍，飞机的速度比火车的速度快816千米/时。飞机和火车的速度分别是多少千米/时？ 28．甲、乙两地之间的路程是600千米。一辆汽车上午8时从甲地开往乙地，前3小时平均每小时行驶75千米。照这样的速度连续行驶，到达乙地的时间是几时？ 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八单元 方程 单元知识清单讲义 知识点一：方程 1. 天平的使用方法。 (1)将天平水平放置,指针对准中央0刻度线,天平处于平衡状态。 (2)一般情况下,左边托盘里放称量的物体,右边托盘里放砝码。 (3)称量物体时,天平的指针对准中央0刻度线,天平平衡,两边物体的质量相等;指针偏右,说明右边重,指针偏左,说明左边重。 2. 认识等式和方程。 (1)等式:像20+30=50、30+x=80、2x=100……这些表示相等关系的式子,叫做等式。其中,30+x=80、2x=100……叫做方程。 (2)含有未知数的等式叫做方程。方程具有两个特征;一是含有未知数;二必须是等式。 (3)等式和方程的关系:方程一定是等式,等式不一定是方程。用集合图表示为: 知识点二：等式的性质 1. 等式的性质(一)。 通过用天平做实验发现:等式的两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立。 2. 等式的性质(二)。 通过用天平做实验发现:等式的两边同时乘或除以同一个数(除数不能为0),等式仍然成立。 知识点三：解方程 1. 根据等式的性质解一步计算的方程,在方程的两边同时加上或减去、乘或除以同一个数(除数不能为0),使方程的一边只剩下未知数x,求出x的值。 2. 使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。 3. 求方程的解的过程叫做解方程。 4. 解形如ax±b=c的两步计算的方程,先将ax看作一个数,求出ax的值后,再按照一步方程的解法求出x的值。 5. 解形如ax±bx=c的两步计算的方程,先求出有几个x,再按照一步方程的解法求出x的值。 知识点四：列方程解决问题 1. 列方程解决一步计算的实际问题的方法。 (1)列方程解题时,先找出题中的等量关系,把未知数用x表示出来,再根据等量关系列出方程。 (2)解决已知一个数的几倍是多少,求这个数的实际问题时,可以先设这个数为x,根据等量关系列出形如ax=c的方程,再进行解答。 2. 列方程解决两步计算的实际问题的方法。 已知数量甲及数量甲比数量乙的几倍多(少)几,求数量乙的实际问题,可以先设数量乙为x,根据数量乙×倍数±几=数量甲,列出形如ax±b=c的方程,再解答。 3. 列方程解决稍复杂的相遇问题。 相遇问题的特征:两个运动的物体同时从两地出发,相向而行,在途中相遇,等量关系式:速度和×相遇时间=总路程。 4. 列方程解决求两个未知数的实际问题。 已知两个数的和(差)及两个数的倍数关系,求这两个数的实际问题,通常设标准量为x,比较量用含有x的式子表示出来;然后根据题中的等量关系列出方程,再进行解答。 题型1：用等式的性质（一）解方程 【例1】解方程。                                      【答案】；； 【分析】（1）直接运用等式的基本性质，方程两边同时加上即可； （2）直接运用等式的基本性质，方程两边同时减去即可； 【详解】（1） 解： （2） 解： 【练1】解下列方程。 x＋3.2＝4.6               x－1.8＝4             15－x＝2 【答案】x＝1.4；x＝5.8；x＝13； 【分析】（1）根据等式的性质1，方程左右两边同时减去3.2，解出方程； （2）根据等式的性质1，方程左右两边同时加1.8，解出方程； （3）根据等式的性质1，方程左右两边先同时加x，再同时减去2，解出方程； 【详解】x＋3.2＝4.6 解：x＋3.2－3.2＝4.6－3.2 x＝1.4 x－1.8＝4 解：x－1.8＋1.8＝4＋1.8 x＝5.8 15－x＝2 解：15－x＋x＝2＋x 15＝2＋x x＋2＝15 x＋2－2＝15－2 x＝13 题型2：用等式的性质（一）（二）解方程 【例1】解方程。                  【答案】；； 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边先同时减去14，再同时除以2，求出方程的解； （2）方程两边先同时乘4.2，再同时除以4，求出方程的解； （3）先把方程化简成，然后方程两边先同时加上10，再同时除以5，求出方程的解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 【练1】解方程。 3.5x＋2.5×6＝85         12y－5y＝294         x＋2.5x＝24.5 【答案】x＝20；y＝42；x＝7 【分析】根据等式的性质求出方程的解。 （1）先把方程化简成3.5x＋15＝85，然后方程两边先同时减去15，再同时除以3.5，求出方程的解； （2）先把方程化简成7y＝294，然后方程两边同时除以7，求出方程的解； （3）先把方程化简成3.5x＝24.5，然后方程两边同时除以3.5，求出方程的解。 【详解】（1）3.5x＋2.5×6＝85 解：3.5x＋15＝85 3.5x＋15－15＝85－15 3.5x＝70 3.5x÷3.5＝70÷3.5 x＝20 （2）12y－5y＝294 解：7y＝294 7y÷7＝294÷7 y＝42 （3）x＋2.5x＝24.5 解：3.5x＝24.5 3.5x÷3.5＝24.5÷3.5 x＝7 题型3：解含括号的方程 【例1】解下列方程。 80－6（x＋1）＝5                     4.5（2x＋0.4）÷3＝1.2 【答案】x＝11.5；x＝0.2 【分析】先把6（x＋1）看成整体，利用等式性质1，两边同时加上6（x＋1），左右两边交换位置，再同时减去5，得到6（x＋1）＝75；接着用等式性质2，两边同时除以6，得x＋1＝12.5；最后再用等式性质 1，两边同时减去1求解出x； 先把4.5（2x＋0.4）看成整体，依据等式性质2，两边同时乘3，得4.5（2x＋0.4）＝3.6；再用等式性质2，两边同时除以4.5，得2x＋0.4＝0.8；然后用等式性质1，两边同时减去0.4，得2x＝0.4；最后用等式性质2，两边同时除以2求解出x。 【详解】80－6（x＋1）＝5 解：80－6（x＋1）＋6（x＋1）＝5＋6（x＋1） 5＋6（x＋1）＝80 5＋6（x＋1）－5＝80－5 6（x＋1）＝75 6（x＋1）÷6＝75÷6   x＋1＝12.5 x＋1－1＝12.5－1   x＝11.5   4.5（2x＋0.4）÷3＝1.2 解：4.5（2x＋0.4）÷3×3＝1.2×3 4.5（2x＋0.4）＝3.6 4.5（2x＋0.4）÷4.5＝3.6÷4.5 2x＋0.4＝0.8 2x＋0.4－0.4＝0.8－0.4 2x＝0.4                          2x÷2＝0.4÷2 x＝0.2 【练1】解方程。 （2.3－0.4x）÷0.6＝2.9          5（6x－4.7）＝12.5 【答案】x＝1.4；x＝1.2 【分析】（2.3－0.4x）÷0.6＝2.9，先根据等式的性质2，将方程左右两边同时乘0.6，再根据等式的性质1，将方程左右两边同时加上0.4x，然后交换左右两边的位置，再根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时减去1.74，再同时除以0.4即可； 5（6x－4.7）＝12.5，根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时除以5，再同时加上4.7，然后同时除以6即可。 【详解】（2.3－0.4x）÷0.6＝2.9 解：（2.3－0.4x）÷0.6×0.6＝2.9×0.6 2.3－0.4x＝1.74 2.3－0.4x＋0.4x＝1.74＋0.4x 2.3＝1.74＋0.4x 1.74＋0.4x＝2.3 1.74＋0.4x－1.74＝2.3－1.74 0.4x＝0.56 0.4x÷0.4＝0.56÷0.4 x＝1.4 5（6x－4.7）＝12.5 解：5（6x－4.7）÷5＝12.5÷5 6x－4.7＝2.5 6x－4.7＋4.7＝2.5＋4.7 6x＝7.2 6x÷6＝7.2÷6 x＝1.2 题型4：用方程解决几倍多几（少几）的应用题 【例1】亮亮铅笔的支数比红红的6倍还多3只，亮亮有15支铅笔，问红红有多少支铅笔？ 【答案】2支 【分析】设红红有x支铅笔，根据亮亮的铅笔数量＝红红铅笔数量的6倍＋3支，列出方程求解即可。 【详解】解：设红红有x支铅笔。 6x＋3＝15 6x＋3－3＝15－3 6x＝12 6x÷6＝12÷6 x＝2 答：红红有2支铅笔。 【练1】向阳小学五年级有学生120人，比六年级学生人数的2倍少46人，向阳小学六年级有学生多少人？ 【答案】83人 【分析】可以设六年级的人数有x人，由于五年级的人数＝六年级的人数×2－46，据此即可列方程，再根据等式的性质解方程即可。 【详解】解：设六年级的人数有x人。 2x－46＝120 2x－46＋46＝120＋46 2x＝166 2x÷2＝166÷2 x＝83 答：向阳小学六年级有83人。 【点睛】本题主要考查列方程解应用题，关键是找准等量关系是解题的关键。 题型5：用方程解决行程问题 【例1】甲、乙两艘轮船同时从相距360千米的两个港口相对开出，甲船每小时行驶25千米，乙船每小时行驶的路程是甲船的1.4倍。经过多少小时两船相遇？（用方程解答） 【答案】6小时 【分析】由题可得等量关系式：甲船行驶的路程＋乙船行驶的路程＝360千米；甲船每小时行驶25千米，则乙船每小时行驶的路程是（25×1.4）千米。设经过x小时两船相遇，根据路程＝速度×时间，可得甲船行驶的路程是25x千米，乙船行驶的路程是（25×1.4×x）千米，再根据等量关系式可列方程：25x＋25×1.4×x＝360，解出方程，即可求出经过多少小时两船相遇。 【详解】解：设经过x小时两船相遇。 25x＋25×1.4×x＝360 25x＋35x＝360 60x＝360 60x÷60＝360÷60 x＝6 答：经过6小时两船相遇。 【练1】货车和客车同时从甲乙两地相对开出，经过2小时24分相遇。相遇时，客车比货车多行了19.2千米，已知客车从甲地到乙地要行4小时30分钟，客车和货车的速度各是多少千米？ 【答案】客车：64千米/时；货车：56千米/时 【分析】根据1小时＝60分，先把2小时24分化为2.4小时，4小时30分钟化为4.5小时，设客车的速度是x千米/小时，则甲乙两地的路程为4.5x千米，根据路程÷相遇时间＝速度和，用4.5x÷2.4求出速度和，再用速度和减去x就是货车的速度，相遇时客车走了2.4x千米，货车走了（4.5x÷2.4－x）×2.4千米，再根据相遇时，客车走的路程－货车走的路程＝19.2千米列方程解答即可求出客车的速度，再用4.5x÷2.4减去客车的速度就是货车的速度。 【详解】解：设客车的速度是x千米/小时。 2.4x－（4.5x÷2.4－x）×2.4＝19.2 2.4×（x－4.5x÷2.4＋x）＝19.2 2.4×（2x－1.875x）＝19.2 2.4×（2x－1.875x）÷2.4＝19.2÷2.4 2x－1.875x＝8 0.125x＝8 8×0.125x＝8×8 x＝64 4.5×64÷2.4－64 ＝288÷2.4－64 ＝120－64 ＝56（千米/小时） 答：客车的速度是64千米/小时，货车的速度是56千米/小时。 题型6：用方程解决稍复杂的应用题 【例1】祖父、儿子、孙子三人的年龄加在一起正好是100岁。祖父过的年数正好等于孙子过的月数，儿子过的星期数正好等于孙子过的天数，祖父、儿子、孙子各多少岁？（用方程解） 【答案】祖父60岁，儿子35岁，孙子5岁 【分析】根据题意，设孙子岁，那么祖父岁，儿子岁，祖父的年龄＋儿子的年龄＋孙子的年龄＝100，据此列方程求解即可。 【详解】解：设孙子岁，那么祖父岁，儿子岁， 祖父：（岁） 儿子：（岁） 答：祖父60岁，儿子35岁，孙子5岁。 【练1】近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活。某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送。若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件。该分派站现有包裹多少件？快递员多少名？ 【答案】快递员：6名；包裹：66件 【分析】根据题意可知，无论按哪种派送方法，包裹的总件数是一定的。若每个快递员派送10件，还剩6件，则包裹的总件数是10×快递员的人数＋6；若每个快递员派送12件，还差6件，则包裹的总件数是12×快递员的人数－6。所以此题的等量关系为“10×快递员的人数＋6＝12×快递员的人数－6”。设快递员x名，则可列出方程10x＋6＝12x－6，解方程即可求出快递员的人数；再用10×快递员的人数＋6可求出包裹的件数。 【详解】解：设快递员x名。 10x＋6＝12x－6 10x＋6＋6＝12x－6＋6 10x＋12＝12x 10x＋12－10x＝12x－10x 12＝2x 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 10×6＋6 ＝60＋6 ＝66（件） 答：该分派站现有包裹66件，快递员6名。 【点睛】此题考查了运用抓不变量法列方程解决问题。根据包裹的总件数不变建立等量关系是解答此题的关键。 一、填空题 1．在①x＋7.9＜16，②0.23m＝4.6，③55＞m÷0.4，④15×2.4＝36，⑤66－x＝38中，等式有( )，方程有( )。（填序号） 【答案】 ②④⑤ ②⑤ 【分析】方程是指含有未知数的等式。所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。由此进行选择。 【详解】①x＋7.9＜16，含有未知数，但不是等式，所以不是方程；②0.23m＝4.6，含有未知数且是等式，所以是方程；③55＞m÷0.4，含有未知数，但不是等式，所以不是方程；④15×2.4＝36，是等式，但不含有未知数，所以不是方程；⑤66－x＝38，含有未知数且是等式，所以是方程；则等式有②④⑤，方程有②⑤。 2．工程队修一条公路，每天修x千米，24天修完，这条公路长( )千米，如果这条公路长31.2千米，工程队每天修( )千米。 【答案】 24x 1.3 【分析】将24天乘每天修x千米，表示出公路的全长。将全长31.2千米除以24天，求出每天具体修多少千米。 【详解】31.2÷24＝1.3（千米） 所以，这条公路长（24x）千米，如果这条公路长31.2千米，工程队每天修1.3千米。 3．如果2x－1.5＝0.7，那么5（x＋1.2）＝( )。 【答案】11.5 【分析】2x－1.5＝0.7，方程两边同时加上1.5，再同时除以2，求出方程的解，再代入5（x＋1.2）计算即可。 【详解】2x－1.5＝0.7 解：2x－1.5＋1.5＝0.7＋1.5 2x＝2.2 2x÷2＝2.2÷2 x＝1.1 5（x＋1.2） ＝5×（1.1＋1.2） ＝5×2.3 ＝11.5 即，如果2x－1.5＝0.7，那么5（x＋1.2）＝11.5 4．根据图a和图b，可以判断图c中的天平( )边下沉。（填“左”或“右”） 【答案】右 【分析】根据天平原理，可知5个○＝2个□，2个△＝1个□，所以4个△＝2个□，5个○＝4个△，所以1个○一定比1个△小，据此解答。 【详解】根据分析可知，1个○一定比1个△小，天平重的那边会下沉，所以图c中的天平右边下沉。 5．商店运来香蕉和葡萄共120千克，其中香蕉比葡萄多25千克。设运来的葡萄是x千克，可列出方程为( )。 【答案】x＋x＋25＝120 【分析】设运来的葡萄是x千克，香蕉比葡萄多25千克，则香蕉的质量是（x＋25）千克。根据题意，葡萄的质量＋香蕉的质量＝120千克，据此列出方程。 【详解】根据题中的等量关系式，设运来的葡萄是x千克，可列出方程为x＋x＋25＝120。（答案不唯一） 【点睛】列方程解含有两个未知数的问题时，设其中的一个未知数是x，用含有x的式子表示另一个未知数，再根据等量关系即可列出方程。 6．x的4倍减去10等于6，列方程为( )，解得x＝( )。 【答案】 4x－10＝6 4 【分析】分析题目，等量关系为：x的4倍－10＝6，据此列出方程；再根据等式的基本性质解方程即可。 【详解】列方程为：4x－10＝6 4x－10＝6 解：4x＝16 4x÷4＝16÷4 x＝4 【点睛】解答本题的关键是正确找出等量关系并列出对应的方程。 7．□、△各代表一个数，已知，，可以推出( )；( )。 【答案】 18 6 【分析】根据题意，△＋□＝24；△＝□＋□＋□，即△＝3×□；把△＝3×□带入△＋□＝24，即可求出□，进而求出△。 【详解】△＝□＋□＋□ △＝3×□ 3×□＋□＝24 4×□＝24 □＝24÷4 □＝6 △＝6×3＝18 【点睛】利用□和△之间的关系和等量代换的知识进行解答。 8．如果，那么5x =( )。 【答案】15 【分析】根据等式的性质。 【详解】 5x＝30 【点睛】等式的性质，等式两边同时加或减相同的数，等式仍然成立； 9．在2个相同的大盒和5个相同的小盒里装满球，正好能装100个。每个大盒比小盒多装8个，每个大盒装( )个，每个小盒装( )个。 【答案】 20 12 【分析】设每个小盒装x个，那么每个大盒装（x＋8）个，每个大盒装球的个数×大盒个数＋每个小盒装球的个数×小盒个数＝总球个数，据此列方程解答。 【详解】解：设每个小盒装x个。 5x＋2（x＋8）＝100 7x＝100－16 7x＝84 x＝12 12＋8＝20（个） 每个大盒装20个，每个小盒装12个。 【点睛】此题考查了用方程解答的实际应用，题目中的数量较多，找出等量关系是解题关键。 10．张师傅每小时做46个零件，王师傅每小时做52个零件。两人同时开始工作，共同加工294个零件，需要( )小时。 【答案】3 【分析】设需要x小时，根据张师傅每小时做的个数×时间＋王师傅每小时做的个数×时间＝总个数，列出方程求出x的值即可。 【详解】解：设需要x小时。 46x＋52x＝294 98x＝294 98x÷98＝294÷98 x＝3 需要3小时。 二、选择题 11．下面是方程的式子是（    ）。 A．7x＋10＞30 B．4x＋x－10 C．a÷b＝8 D．15－3＝12 【答案】C 【分析】方程是含有未知数的等式，方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。方程一定是等式，等式不一定是方程。据此判断即可。 【详解】根据分析可得： A．7x＋10＞30是含有未知数的不等式，它不是方程； B．4x＋x－10是含有未知数的式子，它不是方程； C．a÷b＝8是含有未知数的等式，它是方程； D．15－3＝12是等式，不是方程。 故答案为：C 12．学校给部分住宿的女生安排宿舍，若每间宿舍住4人，则多出26人；若每间宿舍住6人，则正好安排完。由此可知，一共有（    ）间女生宿舍。 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】设这个学校有x间宿舍，每间安排4人，x间安排4x人，再加上26人，就是住宿人数；每间安排6人，x间安排6x人，正好全部住满；由于人数不变，列方程：4x＋26＝6x，解方程，求出学校有宿舍的间数。 【详解】解：设这个学校有x间宿舍。 4x＋26＝6x 4x＋26－4x＝6x－4x 26＝2x 2x÷2＝26÷2 x＝13 一共有13间女生宿舍。 故答案为：B 13．从西宁站到拉萨站全长1956千米。两列火车相向同时出发，经过12小时相遇。已知快车平均每小时行驶90千米，慢车平均每小时行驶多少千米？设慢车平均每小时行x千米，则下列方程错误的是（    ）。 A．12×（90＋x）＝1956 B．90＋x＝1956÷12 C．12×90＋12x＝1956 D．12×90＋x＝1956 【答案】D 【分析】根据题意，速度和×相遇时间＝路程和，路程和÷相遇时间＝速度和，快车行驶的路程＋慢车行驶的路程＝总路程，据此逐项分析。 【详解】A．12×（90＋x）＝1956的等量关系是：速度和×相遇时间＝路程和，符合题意，正确； B．90＋x＝1956÷12的等量关系是：速度和＝路程和÷相遇时间，符合题意，正确； C．12×90＋12x＝1956的等量关系是：快车行驶的路程＋慢车行驶的路程＝总路程，符合题意，正确； D．12×90＋x＝1956的等量关系是：快车行驶的路程＋慢车的速度＝总路程，不符合题意，方程错误。 故答案为：D 14．x＝3是（    ）的解。 A．2x＋9＝15 B．4x＝1.2 C．3x÷3＝9 D．7x－2＝21 【答案】A 【分析】根据等式的性质解出各个选项方程即可。 【详解】A．2x＋9＝15 解：2x＋9－9＝15－9 2x＝6 2x÷2＝6÷2 x＝3 x＝3是2x＋9＝15的解，符合题意。 B．4x＝1.2 解：4x÷4＝1.2÷4 x＝0.3 x＝3不是4x＝1.2的解，故不符合题意。 C．3x÷3＝9 解：3x÷3＝9 x＝9 x＝3不是3x÷3＝9的解，故不符合题意。 D．7x－2＝21 解：7x－2＋2＝21＋2 7x＝23 7x÷7＝23÷7 x＝ x＝3不是7x－2＝21的解，故不符合题意。 故答案为：A 15．若2m＝6n，那么m＝（    ）。 A．n B．2n C．3n D．6n 【答案】C 【分析】根据等式的性质2，等式两边同时除以2即可得解。 【详解】由分析可得： 2m＝6n 解：2m÷2＝6n÷2 m＝3n 故答案为：C 【点睛】本题考查了等式的性质，等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 三、判断题 16．如果6x＝7a，那么6x÷6＝7a÷6。( ) 【答案】√ 【分析】等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。据此解答。 【详解】根据等式的性质2，如果6x＝7a，那么6x÷6＝7a÷6。原题说法正确。 故答案为：√ 17．x＝1.8是方程6x＋1.2＝9.6的解。( ) 【答案】× 【分析】要将求出的未知数值x＝1.8代入到原方程6x＋1.2＝9.6，分别计算等号左右两边的结果，如果两边相等，则为原方程的解；如不相等，则不是原方程的解。 【详解】检验：将x＝1.8代入原方程6x＋1.2＝9.6中， 左边＝6×1.8＋1.2 ＝10.8＋1.2 ＝12 右边＝9.6 左边≠右边 所以x＝1.8不是方程6x＋1.2＝9.6的解。 故答案为：× 【点睛】此题主要考查方程的解，通过方程的检验，即可判断正误，也可利用等式的性质解方程求解。 18．7a＋13＝45是方程。( ) 【答案】√ 【分析】含有未知数的等式叫做方程；据此解答。 【详解】7a＋13＝45中含有未知数，且是等式，所以7a＋13＝45是方程。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查方程的定义。 19．x＝0.6是方程8x＝3.6＋2x的解。( ) 【答案】√ 【分析】将x＝0.6带入方程左右两边，求出左右两边的值，相等则是方程的解，否则就不是方程的解。 【详解】方程的左边＝0.6×8＝4.8 方程的右边＝3.6＋2×0.6＝3.6＋1.2＝4.8 左边＝右边，所以x＝0.6是方程8x＝3.6＋2x的解。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查方程的检验。 20．方程与方程的解相同。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意，求出x÷1.2＝4的解，再代入方程2x＋4x＝28.8，如果左右相等，说明它们的解相同，反之不同，据此解答。 【详解】x÷1.2＝4 解：x＝4×1.2 x＝4.8 2×4.8＋4×4.8 ＝9.6＋19.2 ＝28.8 左边＝28.8 右边＝28.8 左边＝右边 x＝4.8是方程2x＋4x＝28.8的解。 故答案为：√ 【点睛】本题考查解方程，以及方程的检验，关键要仔细认真。 四、计算题 21．解下列方程。 8x÷6＝0.48          12x－5x＝8.4          4.8÷0.8x＝3 2.4×4－2.9x＝3.8     7.6×5－7x＝10        6.12×0.5＋0.6x＝7.2 【答案】x＝0.36；x＝1.2；x＝2； x＝2；x＝4；x＝6.9 【分析】（1）根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边先同时乘6，再同时除以8，计算即可得解； （2）先计算等式左边的减法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以7，计算即可得解； （3）先根据除数等于被除数除以商，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以0.8，计算即可得解； （4）先计算等式左边的乘法，再根据减数等于被减数减差，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以2.9，计算即可得解； （5）先计算等式左边的乘法，再根据减数等于被减数减差，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以7，计算即可得解； （6）先计算等式左边的乘法，再根据等式的基本性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，等式两边同时减3.06。再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以0.6，计算即可得解。 【详解】 解： 12x－5x＝8.4 解：7x＝8.4 7x÷7＝8.4÷7 x＝1.2 4.8÷0.8x＝3 解：0.8x＝4.8÷3 0.8x＝1.6 0.8x÷0.8＝1.6÷0.8 x＝2 2.4×4－2.9x＝3.8 解：9.6－2.9x＝3.8 2.9x＝9.6－3.8 2.9x＝5.8 2.9x÷2.9＝5.8÷2.9 x＝2 7.6×5－7x＝10 解：38－7x＝10 7x＝38－10 7x＝28 7x÷7＝28÷7 x＝4 6.12×0.5＋0.6x＝7.2 解：3.06＋0.6x＝7.2 3.06＋0.6x－3.06＝7.2－3.06 0.6x＝4.14 0.6x÷0.6＝4.14÷0.6 x＝6.9 五、解答题 22．甲、乙两个粮仓存粮数相等，从甲仓运出150吨粮食后，又从乙仓运出250吨，这时甲粮仓余粮数是乙粮仓余粮数的3倍。原来每个粮仓存粮各是多少吨？ 【答案】300吨 【分析】甲、乙两个粮仓存粮数相等，设原来每个粮仓各存粮x吨，甲仓运出150吨，还余（x－150）吨，乙仓运出250吨，还余（x－250）吨，这时甲粮仓余粮数是乙粮仓余粮数的3倍，即甲仓余下的粮食的重量＝乙仓余下的粮食的重量×3，列方程：x－150＝（x－250）×3，解方程，即可解答。 【详解】解：设原来每个粮仓各存粮x吨。 x－150＝（x－250）×3 x－150＝3x－250×3 x－150＝3x－750 x－150－x＋750＝3x－750－x＋750 2x＝600 2x÷2＝600÷2 x＝300 答：原来每个粮仓各存粮300吨。 23．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行驶84.8千米，乙车每小时行驶72.6千米，两车在距离中点19.52千米处相遇，A、B两地相距多少千米？ 【答案】503.68千米 【分析】根据题意可知，在相同时间内，甲车的速度比乙车的速度快，所以甲车和乙车相遇时，甲车比乙车多行了19.52×2千米；设两车相遇时，行驶了x小时；甲车每小时行驶84.8千米，x小时行驶84.8x千米；乙车每小时行驶72.6千米，x小时行驶72.6x千米；甲车行驶的路程－乙车行驶的路程＝19.52×2千米，列方程：84.8x－72.6x＝19.52×2，解方程，求出行驶的时间；再根据路程＝速度×时间，用甲车和乙车的速度和×行驶的时间，即可解答。 【详解】解：设两车相遇时，行驶了x小时。 84.8x－72.6x＝19.52×2 12.2x＝39.04 12.2x÷12.2＝39.04÷12.2 x＝3.2 （84.8＋72.6）×3.2 ＝157.4×3.2 ＝503.68（千米） 答：A、B两地相距503.68千米。 24．师傅加工了100个零件，比徒弟加工零件个数的2倍少10个。徒弟加工了多少个零件？ 【答案】55个 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，比一个数少几就减几，设徒弟加工了x个零件，根据徒弟加工的零件个数×2－10＝师傅加工的零件个数，列出方程解答即可。 【详解】解：设徒弟加工了x个零件。 2x－10＝100 2x－10＋10＝100＋10 2x＝110 2x÷2＝110÷2 x＝55 答：徒弟加工了55个零件。 25．幼儿园小班买来一箱苹果，每个小朋友分4个，还剩48个。每个小朋友分6个，又少8个。幼儿园小班有多少个小朋友？这箱苹果一共有多少个？ 【答案】小朋友：28个；苹果：160个 【分析】分析题目，等量关系为：小朋友的人数×4＋48＝小朋友的人数×6－8，据此设幼儿园小班有x个小朋友，再根据等量关系列出方程，进一步解方程求出小朋友的人数，再用小朋友的人数乘4再加上48即可得到苹果的个数。 【详解】解：设幼儿园小班有x个小朋友。 4x＋48＝6x－8 48＋8＝6x－4x 56＝2x x＝28 4×28＋48 ＝112＋48 ＝160（个） 答：幼儿园小班有28个小朋友，这箱苹果一共160个。 26．王老师买6个篮球和6个足球，一共用去450元。每个篮球的价钱是46元，每个足球的价钱是多少元？ 【答案】29元 【分析】根据“单价×数量＝总价”可得出等量关系：每个篮球的价钱×篮球的数量＋每个足球的价钱×足球的数量＝买篮球和足球一共用去的钱数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设每个足球的价钱是元。 46×6＋6＝450 276＋6＝450 276＋6－276＝450－276 6＝174 6÷6＝174÷6 ＝29 答：每个足球的价钱是29元。 27．一架飞机的飞行速度是火车行驶速度的7倍，飞机的速度比火车的速度快816千米/时。飞机和火车的速度分别是多少千米/时？ 【答案】飞机的速度：952千米/时；火车的速度是136千米/时 【分析】已知一架飞机的飞行速度是火车行驶速度的7倍，可以设火车行驶速度是千米/时，则飞机的飞行速度是千米/时。又知：飞机的速度比火车的速度快816千米/时，则飞机的速度－火车的速度＝816千米/时，根据等量关系列出方程并解答即可。 【详解】解：设火车行驶速度是千米/时，则飞机的飞行速度是千米/时 飞机的速度：7×136＝952（千米/时） 答：飞机的速度是952千米/时，火车的速度是136千米/时。 28．甲、乙两地之间的路程是600千米。一辆汽车上午8时从甲地开往乙地，前3小时平均每小时行驶75千米。照这样的速度连续行驶，到达乙地的时间是几时？ 【答案】下午4时 【分析】设到达乙地需要小时。根据等量关系：速度×时间＝路程，列方程求解即可。求出从甲到乙需要的时间，再根据到达时间＝开始时间＋经过时间，用8时＋8小时＝16时求出到达时间，最后将24时计时法转换为普通计时法即可。 【详解】解：设到达乙地需要小时。 75＝600 75÷75＝600÷75 ＝8 上午8时＝8时 8时＋8小时＝16时 即下午4时＝16时 答：到达乙地的时间是下午4时。 14 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$