2.1.2椭圆的几何性质（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的几何性质，通过复习椭圆定义与标准方程导入，以问题链引导学生从图像观察到方程推导，如探究范围时先直观感知坐标范围再用方程验证，搭建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究培养数学眼光，如卫星轨道实例让学生抽象椭圆模型，通过方程推导对称性等培养数学思维，课堂小结用表格系统梳理性质。学生能提升探究与应用能力，教师可高效备课，优化教学效果。

1 椭圆 1.2 椭圆的几何性质 第二章 圆锥曲线 北师大版2019·选择性必修第一册 学 习 目 标 2 3 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质. 掌握椭圆的离心率及a,b,c的几何意义. 能够根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程. 1 读教材 阅读课本P51-P52，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“椭圆的几何性质”吧！ 1.椭圆关于什么对称？ 2.椭圆有哪些顶点？ 3.什么是离心率？ 新课引入 一、椭圆的定义 平面内到两个定点F1,F2,的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的集合（或轨迹）叫作椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. M F1 F2 注：是椭圆上任意一点,且常数;将常数记为焦距记为且. 新课引入 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点坐标 三者之间 的关系 O x y O x y 、 、 学习过程 01 03 02 目录 1 椭圆的简单几何性质 3 题型训练 2 求解椭圆的标准方程 新知探究 知识点一、椭圆的简单几何性质 问题1：观察图像,你能从图上看出椭圆上点的横纵坐标的取值范围是什么吗? 由,可知, 探究一：椭圆的范围 问题2：如何用椭圆的标准方程解释该范围？ 所以,即. 同理有,即. 这说明椭圆位于四条直线：x=-a,x=a,y=-b,y=b所围成的矩形区域内． 新知探究 知识点一、椭圆的简单几何性质 问题1：观察椭圆的形状,椭圆是关于什么对称的？ 探究二：椭圆的对称性 问题2：如何利用方程说明椭圆的对称性？ 设是椭圆上的任意一点 则关于轴的对称点为 结合椭圆方程可知,在椭圆上,所以椭圆关于轴对称. 同理可得椭圆关于轴、原点对称. 这说明椭圆既是轴对称图形,也是中心对称图形.这个中心称为椭圆的中心. 新知探究 知识点一、椭圆的简单几何性质 问题1：椭圆上哪些点比较特殊？ 探究三：椭圆的顶点 问题2：如何求它们的坐标呢？ 在椭圆的标准方程中, 令,得. 因此，是椭圆与轴的两个交点. 同理,令，得. 因此，是椭圆与轴的两个交点. 新知探究 知识点一、椭圆的简单几何性质 问题1：椭圆上哪些点比较特殊？ 探究三：椭圆的顶点 问题2：如何求它们的坐标呢？ 椭圆的,,, 线段,分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于和， 和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长,它们反映了参数a,b的几何意义. 新知探究 知识点一、椭圆的简单几何性质 探究四：椭圆的离心率 问题1：观察下图,我们发现不同形状的椭圆的扁平程度不同,扁平程度是椭圆的重要形状特征.有什么量可以用来刻画椭圆的扁平程度吗？ 新知探究 知识点一、椭圆的简单几何性质 探究四：椭圆的离心率 我们把椭圆焦距与长轴长的比称为椭圆离心率,用表示,即 越接近椭圆越扁平; 越接近,椭圆就越接近于圆. 知识点一、椭圆的简单几何性质 新知探究 典例分析 例1：求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形． 解： x 0 1 2 3 4 5 y 30 29 27 24 18 0 先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形,再利用对称性画出整个椭圆(如图)． 将方程变形为 ,由 ,在0≤x≤5的范围内计算出一些点的坐标(x,y),如下表(y的值精确到0.1)． 学习过程 01 03 02 目录 1 椭圆的简单几何性质 3 题型训练 2 求解椭圆的标准方程 新知探究 典例1：求适合下列条件的椭圆的标准方程： 所以椭圆的标准方程为. 由已知2a=12, ,得a=6,c=4. 从而b2=a2-c2=20, 解：(1)根据题意设椭圆的标准方程为 (1)长轴在x轴上,长轴的长为12,离心率为 ; (2)经过点P(-6,0)和Q(0,8). 知识点二、求椭圆的标准方程 新知探究 由椭圆的几何性质可得,b=6,a=8, 所以椭圆的标准方程为. 解：(2)根据题意设椭圆的标准方程为 典例1：求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴在x轴上,长轴的长为12,离心率为 ; (2)经过点P(-6,0)和Q(0,8). 知识点二、求椭圆的标准方程 提分笔记 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数. (2)设出相应椭圆的标准方程. (1)确定焦点的位置. (焦点位置不确定的椭圆可能有两个标准方程); 17 典例2 ：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送人到距地球表面近地点(离地面最近的点)高度约200km,远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求椭圆轨道的标准方程.(注：地心(地球的中心)位于椭圆轨道的一个焦点,且近地点、远地点与地心共线) 新知探究 解：如图,设地心为椭圆轨道右焦点F2,近地点、远地点分别为A2,A1,以直线A1A2为x轴,线段A1A2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则F2,A1,A2三点都在x轴上， 设所求椭圆方程为 |F2A2|=a-c=200+6371, |A1F2|=a+c=350+6371. 解得a=6646,c=75, 从而b2=a2-c2=44163691. 所以椭圆轨道的标准方程为 典例2 ：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送人到距地球表面近地点(离地面最近的点)高度约200km,远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求椭圆轨道的标准方程.(注：地心(地球的中心)位于椭圆轨道的一个焦点,且近地点、远地点与地心共线) 新知探究 解： 提分笔记 解决和椭圆有关的实际问题的思路 (3)用解得的结果说明原来的实际问题. (2)确定椭圆的标准方程,并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解. (1)通过数学抽象,找出实际问题中涉及的椭圆,将原问题转化为数学问题 设点M的坐标为(x,y),则点P的坐标为(x,2y). 因为点P在圆O上, 所以点M的轨迹是长轴长为4,短轴长为2,焦点在x轴上的椭圆. 所以x2+(2y)2=4,即 典例3：如图,点P是圆O：x2+y2=4上的动点,作PH⊥x轴于点H,求线段PH的中点M的轨迹方程,并指出该轨迹是什么图形. 新知探究 解： 这个求轨迹方程的 方法为相关点法 提分笔记 相关点法求轨迹方程的一般步骤 (3)标准化：将x0,y0代入其所在的曲线方程,化简方程得所求方程. (2)找关系：找出(x,y)与(x0,y0)之间的等量关系,用x,y表示x0,y0. (1)设点坐标：设所求动点的坐标为(x,y),其相关动点的坐标为(x0,y0). 学习过程 01 03 02 目录 1 椭圆的简单几何性质 3 题型训练 2 求解椭圆的标准方程 题型探究 例1： 椭圆的几何性质 题型1 解： D 已知椭圆的左顶点为,上顶点为,则（   ）. A． B．1 C．2 D． 由椭圆，可得， 则，，所以有． 故选：D. 因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上， 所以，解得，所以椭圆的长轴长为． 故选：B. 例2： 椭圆的几何性质 题型1 题型探究 已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 解： B 题型探究 例3： 解： C 椭圆的几何性质 题型1 椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 椭圆，即， 所以，，则， 所以离心率． 故选：C. 题型探究 例1： 解： 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)，； (2)焦点坐标为，，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10； (3)焦点在x轴上，，且经过点； (1)由题意，联立，解得： ， 所以当椭圆的焦点落在轴上时，椭圆的标准方程为：； 当椭圆的焦点落在轴上时，椭圆的标准方程为：， 故椭圆的标准方程为：或. 则由椭圆的性质得：， 求椭圆的标准方程 题型2 题型探究 例1： 解： 求椭圆的标准方程 题型2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)，； (2)焦点坐标为，，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10； (3)焦点在x轴上，，且经过点； (2)由题意可得，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为，即， 又椭圆的两个焦点坐标为，，则，且焦点落在轴上， 所以由椭圆的性质得：， 故椭圆的标准方程为：. 题型探究 例1： 解： 求椭圆的标准方程 题型2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)，； (2)焦点坐标为，，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10； (3)焦点在x轴上，，且经过点； (3)因为椭圆的焦点在轴上，且， 所以可设椭圆的标准方程为， 又因为椭圆经过点，所以，解得：， 故椭圆的标准方程为：. 一、椭圆的几何性质 课堂小结 感谢聆听! $