第1章 三角形（高效培优单元测试·提升卷）数学浙教版2024八年级上册

第一章 三角形（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在下列长度的四条线段中，能与长和的两条线段围成一个三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，三个内角的度数如图所示，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 4．如图，，点D在边上，与相交于点O．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 6．数学兴趣小组计划用一根米的标杆测量旗杆的高度．他们的方案如下：如图，在旗杆前空地上选取一点P，使点P到旗杆底端B的水平距离为米，此时测得，然后前后移动标杆（在移动过程中始终保持点B，P，C在同一条直线上），使得，此时测得标杆底端C到旗杆底端B的水平距离为米．根据以上信息，可求得该旗杆的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．21米 7．如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图1所示，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．如图2所示，李明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知平分，于E，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（   ） A．4或 B．6 C．或1 D．4 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，平分，，垂足分别为D，E，，则 ． 12．在中，，D为的中点．则边上的中线的取值范围是 ． 13．如图，已知，与分别是外角和外角的角平分线，若，则 °． 14．如图，在中，的周长为17，则的周长为 ； 15．如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于 ． 16．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④ 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如下图，在中，，BD平分，于点E，，BD，CE相交于点F．求和的度数． 18．（8分）如下图，点，，，在同一条直线上，且，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 19．（8分）如图，地块中，边，． (1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹； (2)若地块的面积为，求地块的面积． 20．（8分）阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点G，使，连接． 则由探究结果可知，图中线段、、之间的数量关系为________． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点M、N分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 21．（8分）如图，是经过顶点C的一条直线，，点E，F是直线上两点，且．若直线经过的内部，且点E，F在射线上，请解决下面两个问题： (1)如图1，若，问，成立吗？说明理由． (2)如图2，将（1）中的已知条件改成，，问仍成立吗？说明理由． 22．（10分）综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 23．（10分）根据以下探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，平分，平分，与相交于点P，若，则________度． (2)探究2：如图2，与是的两个外角，平分，平分，与相交于点P，求与的数量关系． (3)拓展：如图3，与是四边形的两个外角，平分，平分，和相交于点P，设． ①求出与α的数量关系； ②根据α的值的情况，判断的形状（按角分类）． 24．（12分）【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由： 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在下列长度的四条线段中，能与长和的两条线段围成一个三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边的关系，能熟练求出第三边的取值范围是本题的关键． 根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可． 【详解】解：设第三边长度为， 则第三边的取值范围是，即． ∴能与长和的两条线段围成一个三角形的是． 故选：B． 2．在中，三个内角的度数如图所示，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形三个内角和是180°是解题的关键. 根据三角形内角和定理列出，求解即可. 【详解】解：在中， 的度数为55°， 故选：B ． 3．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． 故选：B． 4．如图，，点D在边上，与相交于点O．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质．证明，可得，再由三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C 5．如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质的应用，根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等即可求解，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，可知超市应建在，两边垂直平分线的交点处， 故选：． 6．数学兴趣小组计划用一根米的标杆测量旗杆的高度．他们的方案如下：如图，在旗杆前空地上选取一点P，使点P到旗杆底端B的水平距离为米，此时测得，然后前后移动标杆（在移动过程中始终保持点B，P，C在同一条直线上），使得，此时测得标杆底端C到旗杆底端B的水平距离为米．根据以上信息，可求得该旗杆的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．21米 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ， ， ， 在和中 ， ， 米， 答：该旗杆的高度是米， 故选：A． 7．如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角的性质．根据三角形外角的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：如图： ∵，， ∴． 故选：A． 8．如图1所示，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．如图2所示，李明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题关键是掌握平行线的性质以及三角形外角的性质． 先根据平行线的性质可得出，因为，可得的度数，再说明，利用平行线的性质可得出，从而可得的度数，然后根据，可得的度数． 【详解】解：过点G作，过点G作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9．如图，已知平分，于E，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题重点考查角平分线的性质、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，作交的延长线于点F，则，，即可证明，得，所以，可推导出，则，可判断①正确；证明，得，，可判断③正确；由，得，所以，可判断②正确；由，，，可推导出，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于点F， ∵平分，于E， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，， 故③正确； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵，，， ∴， 故④正确， 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 10．如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（   ） A．4或 B．6 C．或1 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．分两种情况分别计算，①若，②若，即可分别求得． 【详解】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时，， 即， 解得， 当时，，， 即，， 解得， 故， 解得， 故的值为或， 故选：A． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，平分，，垂足分别为D，E，，则 ． 【答案】3 【分析】此题考查角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此解答． 【详解】解：∵平分，， ∴， 故答案为：3． 12．在中，，D为的中点．则边上的中线的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．延长到，使，连接，证明，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出结果即可． 【详解】解：延长到，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 13．如图，已知，与分别是外角和外角的角平分线，若，则 °． 【答案】56 【分析】题目主要考查角平分线的计算，三角形内角和定理，理解题意，结合图形求解是解题关键． 根据题意得出，再由角平分线确定，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与分别是外角和外角的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 14．如图，在中，的周长为17，则的周长为 ； 【答案】25 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 由作图可得垂直平分，则，，那么把的周长转化为求解即可． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴，， ∵为17， ∴ ∴的周长为， 故答案为：25． 15．如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．延长交于点，根据题意，证，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出． 【详解】解：如图所示，延长，交于点， ， ， ∵是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∵和同底等高， ， ， ， 故答案为： ． 16．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④ 【答案】①②④ 【分析】此题考查了三角形内角和定理和外角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解． 由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可求，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合，可判定④． 【详解】∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 如图，∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴． 故④正确； 综上正确的有：①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如下图，在中，，BD平分，于点E，，BD，CE相交于点F．求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，还涉及三角形的内角和定理以及角平分线的定义． 根据三角形外角的性质得到．利用角平分线的定义得到，利用三角形的内角和得出；根据三角形外角的性质得到． 【详解】解：，， ． 平分， ， ． ， ． 又， ． 18．（8分）如下图，点，，，在同一条直线上，且，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)30° 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差，三角形的内角和定理等相关知识，重点是三角形全等的判定与性质． （1）由线段的和差求出，由角边角即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再利用三角形的内角和定理进而求得的度数． 【详解】（1）证明：， ，即． 在和中， ； （2）， ， ， ， ． 19．（8分）如图，地块中，边，． (1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹； (2)若地块的面积为，求地块的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，求出． （1）根据角平分线的作图步骤，作的角平分线即可； （2）利用角平分线的性质定理证明，再根据地块的面积为，求出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：作，，垂足分别为，； ∵是的角平分线， ∴， ∵边，，地块的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为． 20．（8分）阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点G，使，连接． 则由探究结果可知，图中线段、、之间的数量关系为________． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点M、N分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键. （1）根据三角形的全等可得出线段、、之间的数量关系； （2）延长到点，使，连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）旋转至位置，证明，得到，即可解答. 【详解】（1）解：， ∴， 故答案为：； （2）结论仍然成立； 理由：延长到点，使，连结，如图， 在和中， ， ， ， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵四边形中，，， ∴四边形是正方形， 如图，旋转至位置， ， ， 在和中， ， ， ， ． 21．（8分）如图，是经过顶点C的一条直线，，点E，F是直线上两点，且．若直线经过的内部，且点E，F在射线上，请解决下面两个问题： (1)如图1，若，问，成立吗？说明理由． (2)如图2，将（1）中的已知条件改成，，问仍成立吗？说明理由． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质； （1）由判定，由全等三角形的性质得，，即可得证； （2）由判定，由全等三角形的性质得，，即可得证． 【详解】（1）解：成立，理由如下： ， ， ， ， ， （）， ，， ． （2）解：成立，理由如下： ， ， ， ， ． ， ， ， （）， ，， ． 22．（10分）综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据证明即可得； （2）设与的交点为Q，由可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得； （3）根据证明，则可得，，进而可得，则可得． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）设与的交点为Q． ∵， ∴， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）证明：∵， ∴，， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵， 即， ∴， 即 ∴． 23．（10分）根据以下探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，平分，平分，与相交于点P，若，则________度． (2)探究2：如图2，与是的两个外角，平分，平分，与相交于点P，求与的数量关系． (3)拓展：如图3，与是四边形的两个外角，平分，平分，和相交于点P，设． ①求出与α的数量关系； ②根据α的值的情况，判断的形状（按角分类）． 【答案】(1)125； (2)； (3)①；②当时，是直角三角形；当时，是钝角三角形；当时，是锐角三角形． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形内角和定理、平角的定义等知识点是解决本题的关键． （1）利用三角形的内角和定理、角平分线的性质可得结论； （2）利用三角形的内角和定理、角平分线的性质可得结论； （3）①延长、交于点M．利用平角的定义和（2）的结论可得结果；②利用（3）①的结论，把作为标准，先计算出，再判断的形状． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ， 故答案为：． （2）解：∵与是的两个外角， ∴，． ∴ ． ∵平分，..平分， ∴，． ∵ ∴ ∴． （3）解：①延长、交于点M． ∵平分，平分，由（2）得，． ∵ ． ∴ ． ②∵与是四边形的两个内角， ∴． 当时，，为直角三角形； 当时，，为锐角三角形； 当时，，为钝角三角形． 24．（12分）【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由： 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； （3），理由如下， 证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$