3.7.2 解决所列方程中含x，y系数不都为1形式的实际问题(教学设计)-2025-2026 学年七年级数学上册(湘教版2024)

湘教版(2024)七年级数学上册 3.7.2《解决所列方程中含x,y系数不都为1形式的实际问题》教学设计 祁阳市白水镇芙蓉学校 冯帅 【教材分析】 本节课内容选自湘教版七年级上册第3章《一次方程(组)》的第七节《二元一次方程组的应用》的第2课时. 1. 地位与作用:本节课是在学生已经掌握了二元一次方程组的基本概念和解法,并初步经历了列方程组解决“”形式(即有一个方程系数都为1)的简单实际问题的基础上进行的.它是对方程组应用的进一步深化和拓展,起着承前启后的关键作用.本节课的核心任务是引导学生处理未知数系数不再都是“1”的、更为普遍和复杂的现实问题,这不仅是对前续知识的综合运用,更是培养学生数学建模核心素养的重要载体.通过本课学习,学生将能更广泛地应用二元一次方程组这一工具解决跨学科、跨领域的问题,为后续函数等内容的学习打下坚实的模型思想基础. 2. 内容与编排:教材在内容选择上,以经典的“行程问题”(小华上学)和“运输问题”(货车运货)为载体,引导学生分析复杂的数量关系.这些问题有两个显著特点:一是未知数的系数不再都是简单的1,需要学生进行乘法运算来构建等量关系(如例3中“2辆甲种货车”对应系数2);二是部分问题(如“思考”中的行程问题)会自然地引出含有分数系数的方程组,这对学生的运算能力和解题策略提出了更高的要求.这种由具体问题抽象出数学模型的编排方式,体现了由简到繁、循序渐进的认知规律,旨在逐步提升学生的分析能力和解题灵活性. 3. 教学价值与素养导向:教材通过这些典型例题,旨在达成以下教学价值:首先,培养学生在复杂情境中准确抓取两个独立等量关系的能力,这是数学建模的关键一步;其次,引导学生在面对不同结构的方程组时,能思考并选择最优的解法策略,如例题中含有相同项 的方程组,启发学生使用整体思想进行加减消元,发展学生的逻辑推理和数学运算素养;最后,通过解决与生活紧密相关的实际问题,让学生体会到方程组作为一种数学模型的实用性与普适性,从而增强其应用意识. 【学情分析】 七年级的学生已经掌握了列一元一次方程解决实际问题的方法,并初步学习了二元一次方程组的定义及基本的解法(代入消元法和加减消元法).他们具备了初步的审题能力和寻找等量关系的经验.但当面对更复杂的实际问题,特别是当题目信息量较大,且未知数系数不再是简单的都为“1”时,学生在准确建立两个不同的等量关系、选择最优解题方法以及进行方程化简等方面可能会遇到挑战.同时,学生对于“新质生产力”等社会热点概念的理解尚浅,需要教师的恰当引导,才能将宏大主题与具体的数学问题联系起来,从而真正理解情境的意义. 【教学目标】 1. 数学建模:能结合“新质生产力”在家乡发展的具体情境,分析成本、配比、消费等问题中的数量关系,建立未知数系数不为1的二元一次方程组模型. 2. 逻辑推理与数学运算:能根据方程组的特点,灵活选择代入消元法或加减消元法,并能运用“化简”思想优化运算过程,有条理地求解方程组. 3. 应用意识与时代精神:通过解决一系列与家乡高科技发展相关的实际问题,了解国家时事,感受“新质生产力”的内涵,体会数学在科技创新和社会发展中的重要作用,增强民族自豪感和学习责任感. 【教学重难点】 教学重点:准确找出两个不同的等量关系,建立系数不为1的二元一次方程组. 教学难点:面对复杂方程组时,学会先化简再求解,并能灵活选择最优的消元方法. 【教学过程】 一、情景引入 师生活动: 1. 教师:播放课件中关于“两会热词”和“新质生产力”的图片及视频,提问:“同学们,最近新闻里经常提到一个词——‘新质生产力’,大家知道它是什么吗?觉得它离我们遥远吗?” 2. 学生:带着好奇心观看,可能会有初步的、模糊的回答,如“高科技”“创新”等. 3. 教师:展示课件中祁阳本地“智慧农业”“智能制造”“智慧文旅”的图片,进行解说:“其实,新质生产力并不遥远,它就发生在我们身边!”并顺势引出本节课的主题:“今天,就让我们怀揣任务,带着数学的眼光,去探索家乡的新质生产力背后隐藏的数学问题!” 设计意图:通过宏大的时代背景和贴近学生生活的本地实例相结合的方式,迅速抓住学生的注意力.将抽象的政治经济概念转化为具体可感的家乡变化,不仅激发了学生的自豪感和探究欲,也为后续的问题情境做了有意义的铺垫,让学生明白本节课的学习是与时代同频共振的. 二、探究新知 任务一:现代农业的“智慧账” (成本规划问题) 师生活动: 1. 教师:呈现问题情境. 问题1:祁阳某高标准油茶产业园,要将一块试验田用于培育A,B两种改良油茶苗.A种苗的种植面积比B种苗多2亩,A种苗每亩培育成本1200元,B种苗为1500元.若计划总投入13200元,要使两种树苗都能得到有效培育,应如何分配种植亩数? 2. 教师:给出明确指令:“请同学们在3分钟内自主建模,完成‘设、列’两个步骤.” 3. 学生:独立阅读题目,分析其中的数量关系,尝试设未知数并列出方程组. 4. 教师:巡视指导,重点关注学生是否能准确找到两个等量关系:(1)A种植面积B种植面积2亩;(2)A总成本B总成本13200元. 5. 教师:邀请学生展示他们列出的方程组 6. 教师:引导学生观察第二个方程并提问:“这个方程的系数比较大,计算起来可能比较麻烦,有没有办法让它变得简单一些?” 7. 学生:在教师引导下,发现可以先两边同除以100,再同除以3,将方程化简为. 8. 教师:提出研讨问题:“面对化简后的方程组,你认为用代入消元法还是加减消元法更简便?为什么?” 9. 学生:分组讨论,发表见解.教师对两种方法都予以肯定,并展示完整的解题过程. 设计意图:本环节旨在让学生独立完成从实际问题到数学模型的转化,并初步接触系数不为1的方程组.通过“先化简再求解”的引导,渗透数学的化繁为简思想,培养学生的运算优化意识.通过“解法选择”的讨论,鼓励学生进行比较和思辨,深化对两种消元法本质的理解,突破本节课的难点. 任务二:先进制造的“配方谜” (材料配比问题) 师生活动: 1. 教师:引入新能源汽车合金配方的情境. 问题2:祁阳高新区某企业为“新能源汽车”创新一种新型轻质合金.试验的小块合金由金属A和金属B熔炼而成.已知金属A的质量是B的2倍还多4千克,金属A成本为每千克20元,金属B为每千克30元,总成本为430元.请问这两种金属各熔炼了多少千克? 2. 教师:引导学生快速审题,找出两个等量关系:(1)A质量2B质量4千克;(2)A总成本B总成本430元. 3. 学生:根据等量关系,自主列出方程组: 4. 教师:再次引导学生对第二个方程进行化简(两边同除以10),并让学生独立完成求解过程. 设计意图:这是一个与任务一结构类似的问题,用于巩固和强化建模及化简的能力.通过这个练习,让学生熟练掌握处理系数不为1的二元一次方程组应用题的基本流程,增强解题的信心. 任务三:智慧文旅的“套餐券” (组合销售问题) 师生活动: 1. 教师:引入浯溪碑林摩崖石刻数字博物馆的购票情境. 问题3:一个旅游团前往数字馆参观,其收费标准如下:入馆参观费108元/人,讲解服务费100元/批次.该旅游团因人数较多,所以决定购买若干批次的讲解服务,门票和讲解服务费合计2660元,而总人数恰好是讲解批次数的4倍.这个旅游团共有多少人?他们预订了多少批次的讲解服务? 2. 教师:引导学生分析题意,找出两个等量关系:(1)总人数4讲解批次数;(2)总门票费总讲解费2660元. 3. 学生:设旅游团共有 人,预订了 批次的讲解服务,自主列出方程组: 4. 教师:请同学们课后完成剩余解答过程. 5. 学生:观察发现第一个方程已经是 的表达式,非常适合使用代入消元法. 设计意图:本环节通过一个生活消费类问题,拓宽了二元一次方程组的应用场景.该问题的方程组结构特点非常鲜明,一个方程系数简单,另一个方程系数复杂,能有效引导学生主动思考并选择最优的解题策略(代入法),进一步强化策略选择意识. 三、教材例题精析 师生活动: 1. 教师:呈现教材中的行程问题. 2. 教师:引导学生画出示意图,理清“去”和“回”的路程关系.“去程的上坡路,在返程时变成了什么路?”(下坡路).“平路有变化吗?”(没有). 3. 教师:引导学生确定最佳的设元方案.“我们是设时间为未知数,还是设路程为未知数更方便?为什么?”引导学生发现,题目最终问的是路程,且用路程表示时间(时间=路程/速度)可以直接构建等量关系,因此设上坡路长 米,平路长 米是更优的选择. 4. 学生:在教师的引导下,根据“去程总时间15分钟”和“返程总时间10分钟”这两个等量关系,列出方程组: 5. 教师:引导学生观察这个方程组的特点:“这个方程组直接加减消元方便吗?”,引导学生发现两个方程中都有这一项,可以直接使用减法进行消元,非常巧妙. 6. 教师:展示完整的“作差消元”过程,并最终求出总路程. 设计意图:本环节旨在处理一个更复杂的、含有分式形式的方程组问题,以此来拓展学生的解题视野.通过“画图分析”和“设元方案讨论”,培养学生数形结合和策略选择的能力.通过引导学生发现并利用“整体相减”的技巧,让学生体会到加减消元法的灵活性和强大功能,进一步突破难点. 四、随堂练习 师生活动: 1. 教师:呈现课件中的三道练习题. 练习1:(2025山东)明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题,大意是:有3个头6只手的哪吒若干,有1个头8只手的夜叉若干,两方交战,共有36个头,108只手.问哪吒、夜叉各有多少?设哪吒有x个,夜叉有y个,则根据条件所列方程组为( ) A. B. C. D. 练习2:(2024江苏盐城)中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题,大意是:现有一根竿子和一条绳索,用绳索去量竿子,绳索比竿子长5尺;若将绳索对折去量竿子,绳索就比竿子短5尺,问绳索、竿子各有多长?该问题中的竿子长为 尺. 练习3:某科技公司正在祁阳筹建一个小型AI训练中心,需要配置A,B两种服务器.A型服务器有8个计算核心,功耗400瓦;B型服务器有12个计算核心,功耗500瓦.为了完成一个特定项目,中心的服务器配置必须满足以下两项指标:①总计算核心数必须达到140个;②总功耗预算刚好是6500瓦.你能计算出两种服务器各需多少台吗? 2. 学生:独立完成练习. 3. 教师:巡视并进行个别指导. 4. 教师:邀请学生分享答案和思路,特别是第三题“AI训练中心”的问题,让学生讲解如何建立关于“核心数”和“功耗”的两个方程. 5. 教师:进行点评,对共性问题进行集中讲解. 设计意图:通过多角度、多情境的练习,全面检验学生对本节课知识的掌握和应用能力.将古代数学与现代科技问题并置,让学生感受数学文化的传承与发展,拓宽学生的知识面. 五、课堂小结 师生活动: 1. 教师:引导学生回顾本节课解决的几个问题(油茶苗、合金、服务器配置等),提问:“这些看似不同的问题,我们是用什么共同的数学工具解决的?” 2. 学生:回答“二元一次方程组”. 3. 教师:展示总结图,将“新质生产力”的几个方面与本节课解决的问题一一对应,再次强调:“二元一次方程组就是我们解锁‘新质生产力’背后秘密的一把数学钥匙.” 4. 教师:引导学生对比本节课与上节课方程组系数的不同,点明本节课的核心,并总结解题的一般流程. 设计意图:通过回顾与对比,使学生对本节课的知识体系有更宏观和结构化的认识.将课堂内容再次与“新质生产力”的主题相呼应,升华课堂主旨,让学生在知识总结中再次感受到数学的价值和力量. 六、布置作业 师生活动: 1. 教师:布置基础性的课本练习作为必做作业. 2. 教师:布置一项创新性的开放式作业:“请大家在生活中,也去寻找一个可以用二元一次方程组解决的,与‘新质生产力’相关的问题,尝试自己提出问题、收集数据、建立模型并求解.” 设计意图:分层作业满足不同学生的需求.创新作业旨在鼓励学生将课堂所学真正应用到生活中去,培养学生发现问题、提出问题的能力和创新精神,实现知识的迁移和创造. 【板书设计】 3.7.2 解决所列方程中含x,y系数不都为1形式的实际问题 解题步骤: 审题 设元 列方程组 解方程组 检验作答 学科网(北京)股份有限公司 $$