精品解析：江苏省苏州园区青剑湖实验中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

2024~2025学年第二学期期中调研试卷 初二数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 抛一枚硬币正面向上 B. 打开电视机正在播放广告 C. 在一个没有红球的盒子里，摸到红球 D. 任意画一个三角形，其内角和为 3. 为了解某校480名八年级学生的睡眠时间，从中抽取80名学生进行调查，下列说法正确的是（ ） A. 480名学生是总体 B. 样本容量是80名 C. 每名学生是个体 D. 80名学生的睡眠时间是总体的一个样本 4. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（ ） A. AB=AD B. ∠BAC=∠DAC C. ∠BAC=∠ABD D. AC⊥BD 5. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 时，y随x的增大而减小 B. 当时， C. 当时，y有最大值为 D. 它的图象位于第一、三象限 6. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分，把答案直接填写在答题卡相应位置上． 9. 一元二次方程的二次项系数为_______． 10. 口袋中有5个黄球和个红球，从中任意摸一个，若摸到红球的可能性是，则______． 11. 如图，在矩形中，O，E分别为的中点．若，则的长为_________． 12. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_______． 13. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_____（精确到0.1）． 14. 如图，直线与双曲线相交于两点，其横坐标分别为1和，则不等式的解集为_______． 15. 如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点，为轴上的一动点，，则的最小值是________． 三、解答题：本大题共10小题，共68分，把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色星水笼字笔． 17. 解方程： （1） （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为：． （1）平移到，其中点的对应点坐标为，请在图中画出； （2）将绕点旋转得到，请在图中画出； （3）将绕点顺时针方向旋转得，则点的对应点坐标为 ； （4）求四边形的面积． 19. 2024年6月2日嫦娥六号成功软着陆于月球背面南极—艾特肯盆地，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．2004年中国探月工程正式批准立项，20年来中国探月工程不断刷新人类月球探测的记录．为了掌握同学们对探月工程的了解程度，某初中学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图： （1）本次抽取的学生人数为______人；扇形统计图中，A所对应的扇形圆心角度数为______； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，试估计“A：完全了解”的学生人数是多少？ 20. 不透明的袋中有若干个白球和黄球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.2附近． （1）估计摸到白球的概率是______； （2）如果袋中有5个黄球，现又放入个黄球，再经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.6附近，求的值． 21. 光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． （1）求出y与x之间的函数表达式； （2）君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温和有礼等寓意．它适宜在照度至的室内生长，那么智能玻璃的透明度x应控制在什么范围内？请说明理由． 22. 如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交边于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，求的长． 23. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数图象于点B，C．连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 24. 如图，四边形是平行四边形，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． （1）请求出点的坐标； （2）已知点是线段上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标； （3）已知直线：恰好将平行四边形分成面积相等的两部分，求出与之间满足的关系式． 25. 在长方形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． （1）如图1，当点E落在上，求证：； （2）如图2，若，点E与点D重合，求线段的长； （3）如图3，若，点E恰好落在中点，求线段的长． 26. 在平面直角坐标系中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P、Q两点为垂距等点．如图所示P、Q两点即为垂距等点． （1）已知点A的坐标为． ① 在点中，为点A的垂距等点的是 ； ② 若点B在y轴的负半轴上，且A、B两点为垂距等点，则点B的坐标为 ； （2）直线与x轴交于点C，与y轴交于点D． ① 当E为线段上一点时，若在直线上存在点F，使得E、F两点为垂距等点，求n的取值范围． ② 已知正方形的边长为2，是对角线的交点，且正方形的任何一条边均与某条坐标轴垂直．当E为直线l上一动点时，若该正方形的边上存在点G，使得E、G两点为垂距等点，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期期中调研试卷 初二数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 抛一枚硬币正面向上 B. 打开电视机正在播放广告 C. 在一个没有红球的盒子里，摸到红球 D. 任意画一个三角形，其内角和为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件和必然事件，解题的关键是掌握一定会发生的是必然事件，有可能发生，也有可能不发生的是随机事件，据此逐个判断即可． 【详解】解：A、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意； B、打开电视，正在播放广告是随机事件，不符合题意； C、在一个没有红球的盒子里，摸到红球是不可能事件，不符合题意； D、任意一个三角形，其内角和为是必然事件，符合题意； 故选：D． 3. 为了解某校480名八年级学生的睡眠时间，从中抽取80名学生进行调查，下列说法正确的是（ ） A. 480名学生是总体 B. 样本容量是80名 C. 每名学生是个体 D. 80名学生的睡眠时间是总体的一个样本 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，根据总体、个体、样本、样本容量的知识解答．总体是指所要考查对象的全体；个体是指每一个考查对象；样本是指从总体中抽取的部分考查对象称为样本；样本容量是指样本所含个体的个数(不含单位)． 【详解】解：A、480名学生的睡眠时间是总体，原说法错误，不符合题意； B、样本容量是80，原说法错误，不符合题意； C、每名学生的睡眠时间是个体，原说法错误，不符合题意； D、80名学生的睡眠时间是总体的一个样本，原说法正确，符合题意； 故选；D． 4. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（ ） A. AB=AD B. ∠BAC=∠DAC C. ∠BAC=∠ABD D. AC⊥BD 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】由邻边相等的平行四边形是菱形，A选项可以判断这个平行四边形是菱形 由AB//CD可得∠BAC=∠DCA，及∠BAC=∠DAC可得∠DAC=∠DCA，可得AD=CD，由邻边相等的平行四边形是菱形，B选项可以判断这个平行四边形是菱形 由∠BAC=∠ABD可得OA=OB，则AC=BD，可得这个四边形是矩形，C选项不可以判断这个平行四边形是菱形 由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，D选项可以判断这个平行四边形是菱形 故答案选：C 【点睛】本题考查了菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键. 5. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 时，y随x的增大而减小 B. 当时， C. 当时，y有最大值为 D. 它的图象位于第一、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 根据反比例函数的性质对各选项逐一分析即可． 【详解】解：A．反比例函数，，该函数图像的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，故本选项正确； B．当时，，当时，，当时，，故本选项正确； C．反比例函数，，该函数图像的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，当时，，当时，，故本选项错误； D．反比例函数，，该函数图像的两个分支位于一、三象限，故本选项正确； 故选：C． 6. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握解一元二次方程的配方法是解题的关键． 利用配方法解一元二次方程，进行计算即可解答． 【详解】解： ， 移项得：， 配方得：， 即， 故选：D． 7. 如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接、，根据网格的特点分别作、的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，连接，，分别作、的垂直平分线， 故点B为其旋转中心． 8. 如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】设反比例函数解析式为，根据，设，得到，故，，， 分别表示面积，解答即可． 本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据，设， 得到， 故，，， ， 解得， 故，，， 故，， 故， 故，， 故；， 故； 故选：A． 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分，把答案直接填写在答题卡相应位置上． 9. 一元二次方程的二次项系数为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做二次项，a叫做二次项系数，解答即可． 【详解】解：由得：该一元二次方程的二次项系数为3， 故答案为：3． 10. 口袋中有5个黄球和个红球，从中任意摸一个，若摸到红球的可能性是，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据简单的概率公式列出分式方程解答即可； 本题考查了简单的概率公式，解分式方程，正确选择方法是解题的关键． 【详解】解：由题意，得， 解得， 经检验，是这个分式方程的解， 的值为3． 故答案为：3． 11. 如图，在矩形中，O，E分别为的中点．若，则的长为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，易得是的中位线，进而得到，矩形的性质得到，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵在矩形中，O，E分别为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴； 故答案为：8． 12. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】把代入，转化为m的方程求解即可． 本题考查了方程根的定义是使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 故答案为：． 13. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_____（精确到0.1）． 【答案】0.8 【解析】 【分析】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，据此可估计出这种玉米种子发芽的概率． 【详解】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近， ， 则这种玉米种子发芽的概率是0.8， 故答案为：0.8． 【点睛】本题考查概率计算．当频数足够大时，所对应的频率相当于概率． 14. 如图，直线与双曲线相交于两点，其横坐标分别为1和，则不等式的解集为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据得，结合交点的横坐标和图象解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解析式构成不等式解集计算，熟练掌握交点的意义，不等式解集的确定是解题的关键． 【详解】解：由直线与双曲线相交于两点，其横坐标分别为1和，则不等式的解集即的解集为或， 故答案为：或． 15. 如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作于，于，则四边形是正方形，证明，则，，即，解得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即，解得，（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点，为轴上的一动点，，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，构造等边三角形，是等边三角形，此时点C与点F重合，确定点C的运动轨迹是直线，作点O关于直线的对称点G，连接交y轴于点H，当点C与点H重合时，取得最小值，此时最小值为的长度，根据勾股定理解答即可． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形，点，为轴上的一动点，， ∴，是等边三角形， 以为边构造等边三角形， 当点B运动到原点时，点C与点E重合； 作点A关于y轴的对称点F， ∴， ∴时， ∴是等边三角形， 此时点C与点F重合， ∴点C的运动轨迹是直线， 作点O关于直线的对称点G，连接交y轴于点H， ∴当点C与点H重合时，取得最小值，此时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故的最小值， 故答案为：． 三、解答题：本大题共10小题，共68分，把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色星水笼字笔． 17. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法计算即可． （2）利用因式分解法计算即可． 本题考查了因式分解法，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵, ∴ 解得，． 【小问2详解】 解：∵， ∴ 解得，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为：． （1）平移到，其中点的对应点坐标为，请在图中画出； （2）将绕点旋转得到，请在图中画出； （3）将绕点顺时针方向旋转得，则点的对应点坐标为 ； （4）求四边形的面积． 【答案】（1） 画图如下，即为所求； （2） 画图如下：即为所求； （3） 画图如下，即为所求， （4）16 【解析】 【分析】（1）平移到，其中点的对应点坐标为，得到一个向左平移6个单位，再向下平移2个单位平移变换，确定坐标后，画图即可； （2）将绕点旋转得到，即作了一个中心对称变换，根据中心对称坐标特点，确定坐标后，画图即可； （3）根据旋转的性质画图解答即可； （4）利用分割法计算四边形的面积即可． 本题考查了平移作图，中心对称作图，旋转作图，分割法计算面积，熟练掌握变换的基本特征，分割法求面积是解题的关键． 【小问1详解】 解：平移到，其中点的对应点坐标为，得到一个向左平移6个单位，再向下平移2个单位平移变换， 则． 【小问2详解】 解：将绕点旋转得到，即作了一个中心对称变换，根据题意，得． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：连接，如图所示， 则四边形的面积为： ． 19. 2024年6月2日嫦娥六号成功软着陆于月球背面南极—艾特肯盆地，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．2004年中国探月工程正式批准立项，20年来中国探月工程不断刷新人类月球探测的记录．为了掌握同学们对探月工程的了解程度，某初中学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图： （1）本次抽取的学生人数为______人；扇形统计图中，A所对应的扇形圆心角度数为______； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，试估计“A：完全了解”的学生人数是多少？ 【答案】（1）100，144 （2） 补全统计图如下： （3）480名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据B的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数，再用乘以A占的比值；从而补全统计图； （2）用总数减去A、B、D的人数即可求出C的人数，即可补全图形； （3）用1200数乘以选择“A：完全了解”的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生人数为（名）， ， 故答案为：100，144； 【小问2详解】 解：C的人数有：（名） 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计“A：完全了解”的学生人数有480名． 20. 不透明的袋中有若干个白球和黄球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.2附近． （1）估计摸到白球的概率是______； （2）如果袋中有5个黄球，现又放入个黄球，再经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.6附近，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率估计概率即可得出答案； （2）先求出原来共有黄球和白球的总数，再根据经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.6附近，列出分式方程，解分式方程并检验即可得到答案． 【小问1详解】 解：经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在附近， 估计摸到黄球的概率为， 则估计摸到白球的概率是 故答案为：； 【小问2详解】 ∵经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.2附近．袋中有5个黄球， ∴原来共有黄球和白球（个）， 根据题意得：， 解得：， 经检验是方程的解， 所以． 21. 光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． （1）求出y与x之间的函数表达式； （2）君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温和有礼等寓意．它适宜在照度至的室内生长，那么智能玻璃的透明度x应控制在什么范围内？请说明理由． 【答案】（1）； （2） 智能玻璃的透明度x应控制在范围内， 理由：把和3000分别代入得， ，， 智能玻璃的透明度x应控制在范围内． 【解析】 【分析】设y与x之间的函数表达式为，把代入即可得到结论； 把和3000分别代入得，即可得到结论． 本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数表达式为， 把代入得，， 与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 略 22. 如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交边于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（）利用矩形的性质证明，得到，进而即可求证； （）由得四边形是菱形，即得，，，再利用矩形的性质和勾股定理求出和即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴，，， ∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数图象于点B，C．连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题及三角形的面积，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点A坐标分别代入反比例函数及一次函数的解析式即可解决问题． （2）根据求出点B和点C的坐标，再结合三角形的面积公式即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题知，将点A坐标代入得，， 所以反比例函数的解析式为． 将点A坐标代入得，， 所以一次函数的解析式为． 【小问2详解】 因为，且轴于点D， 则将代入得，， 所以点B的坐标为． 同理可得，点C的坐标为． 又因为点A坐标为， 所以． 24. 如图，四边形是平行四边形，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． （1）请求出点的坐标； （2）已知点是线段上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标； （3）已知直线：恰好将平行四边形分成面积相等的两部分，求出与之间满足的关系式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用平行四边形的性质和平移的性质即可求解； （2）设，分情况进行讨论，当时，当时，当时，利用勾股定理求解即可； （3）连接，交于，利用中点坐标公式求出中点，再利用待定系数法可表示出和的关系． 【小问1详解】 解：点坐标是，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点坐标是， ∴； 【小问2详解】 解：∵点是线段上一个动点， ∴设， ①当时，三角形是等腰三角形，根据勾股定理得， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ②当时，三角形是等腰三角形， 则点在的垂直平分线上， ∴， ③时，根据勾股定理得， ∴， ∴（不合题意舍去），（不合题意舍去）， 综上所述，或； 【小问3详解】 解：如图，连接，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点坐标是，点坐标是， ∴， ∵正好将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴直线过， ∴ ∴， 即与的函数关系式为． 25. 在长方形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． （1）如图1，当点E落在上，求证：； （2）如图2，若，点E与点D重合，求线段的长； （3）如图3，若，点E恰好落在中点，求线段的长． 【答案】（1） 证明∶∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由长方形的性质及折叠的性质证出，在根据等角对等边即可得出结论． （2）设，则，由（1）的结论以及翻转的性质可得出，，由勾股定理可得出答案． （3）方法1：连接，设，，，由折叠得，，， 由勾股定理解，，可得，由勾股定理解，可得，联立，通过加减消元解出，即可求解； 方法2：延长交的延长线于点M，证明，得出，，设，，由折叠知，，，由勾股定理得出，进而求出y，进而可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∴， ∴， 在中， ， 即， 解得： ∴． 【小问3详解】 解：方法1：如图，连接， 设，，， 则，， 由折叠得，，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 由得：， 由得：， 得：， ∵， ∴， 即． 方法2：延长交的延长线于点M， ∵， ∴， ， ∵E为的中点， ∴， ∴ ∴，， 设，， 由折叠知， ∴， ∴， 由(1)知， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， 即， 解得：（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P、Q两点为垂距等点．如图所示P、Q两点即为垂距等点． （1）已知点A的坐标为． ① 在点中，为点A的垂距等点的是 ； ② 若点B在y轴的负半轴上，且A、B两点为垂距等点，则点B的坐标为 ； （2）直线与x轴交于点C，与y轴交于点D． ① 当E为线段上一点时，若在直线上存在点F，使得E、F两点为垂距等点，求n的取值范围． ② 已知正方形的边长为2，是对角线的交点，且正方形的任何一条边均与某条坐标轴垂直．当E为直线l上一动点时，若该正方形的边上存在点G，使得E、G两点为垂距等点，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①，② （2）①②或 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、垂距等点的定义的有关知识，解题的关键是理解题意，把问题转化为熟悉的内容上来，解决数学问题． （1）①垂距等点的定义一一验证即可； ②设，所以，解得，从而求出点的坐标； （2）①设点的坐标为，点在第三象限，结合垂距等点的定义可求出答案；②因为点到两坐标轴的距离之和最小值为，所以可考虑正方形上的两个顶点，，只要、两点满足垂距等点的要求，则存在点使得，两点为垂距等点． 【小问1详解】 解：①点A的坐标为， ， 在点，，中， 、为点的垂距等点， 故答案为：，； ②点在轴负半轴上， 点的横坐标为， 设， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 ①由题意，直线与轴交于，与轴交于， 点在线段上，设点的坐标为， ，， 点到坐标轴的距离之和为： ， 、两点为垂距等点， 点满足横、纵坐标的绝对值之和等于， 点在如图所示的正方形上， 点的坐标为，点在直线上， ； 即：的取值范围； ②是对角线的交点， 不妨设，， 由①可知，点到两坐标轴的距离之和的最小值为， 当时，由，得： ； 当时，由，得： ； 的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $