精品解析：2025年云南省丽江地区中学初中毕业班适应性练习卷（三）数学

2025届初中毕业班适应性练习（三） 数学 （全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四组数，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 5，5， C. ，， D. 7，24，25 2. 公元2025年是我国农历乙巳年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春！下列年画图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，则的长是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某一科技小组制作了一个机器人，如图，它根据某一指令：从原点先向前行走2米，然后右转，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了多少米．（） A. 40米 B. 36米 C. 32米 D. 28米 7. 已知关于x的方程2x-a-5=0的解是x=-2，则a的值为 A. 1 B. C. 9 D. 8. 下列二次根式：，是最简二次根式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 已知，一把直尺如图摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（ ） A. B. C. D. 12. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数）与正比例函数的图象交点的纵坐标为，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 13. 去年花溪一果园随机从A，B，C，D四个品种的苹果树中各采摘了10棵，产量的平均数及方差如下表所示： A B C D 24 24 23 20 2.1 1.8 3 1.9 今年从四个品种中选出一种产量既高又稳定的进行种植，应选的品种是（ ） A. A B. B C. C D. D 14. 如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，为折痕，若，则边长为（ ） A. B. C. 10 D. 15. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，且，平行四边形的面积为，，为中点，则的长为（ ） A. B. 6 C. 7 D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 分解因式：______． 17. 函数的自变量x的取值范围是__________； 18. 如图，正方形的边长为4，以正方形对角线交点为原点建立平面直角坐标系，作出函数yx2与yx2的图象，则阴影部分的面积是_____． 19. 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度，如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点的位置，测得推送的水平距离为，即，此时秋千踏板离地面的垂直高度，那么绳索的长度为______． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 21. 如图中，点E、F分别在上，，，点D是的中点．求证：． 22. 如图，在中，，点为的中点，过点作交于点．延长到点，使得，已知，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 23. 贵州拥有丰富的非物质文化遗产资源，为了让学生感受这份传承千年的匠心独运，某校准备组织学生开展一场“非遗”研学活动，学校选取了四项“非遗”体验活动：A．“黄平蜡染”，B．“凯里苗绣”，C．“德江傩戏”，D．“丹寨卡拉鸟笼”．为了了解学生对以上体验活动的喜欢程度，随机抽取部分学生进行调查统计（每位学生只能选择一项喜欢的体验活动），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：根据图表信息，解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______人，扇形统计图中所对应的______，并把条形统计图补充完整； （2）该校一共有名学生，根据上述调查结果，估计该校学生选择B活动的有多少人？ （3）为更好的宣传贵州“非遗”，有名学生（恰好男女）自愿为此次研学活动撰写宣传稿，该校决定从这四名学生中选取人做“宣传小天使”，请用树状图或列表法求恰好选到两个女生的概率． 24. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． （1）在图中作出关于直线对称的； （2）在直线上找一点Q，使的长最短．这个最短长度的平方值是_______； （3）图中若有格点P满足是以为底的等腰三角形，则这样的格点P有_______个． 25. 年月日是共产主义青年团建团周年，各种有关建团的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲种纪念品个，乙种纪念品个，共花费元已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵元． （1）甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？ （2）这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共件，销售官网要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的不计其他成本已知甲、乙纪念品售价分别为元个，元个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？ 26. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如若，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）： ①；②；③；④；⑤ （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为________． （3）应用先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 27. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中，． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，在第三象限内抛物线上找点E，使，求点E的坐标； （3）如图2，过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．若是一个定值，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届初中毕业班适应性练习（三） 数学 （全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四组数，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 5，5， C. ，， D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 根据勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A．，不是直角三角形，故此选项不符合题意， B．，不是直角三角形，故此选项不符合题意， C．，不是直角三角形，故此选项不符合题意， D．，是直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 公元2025年是我国农历乙巳年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春！下列年画图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据沿着一条直线对折，图形的两部分能够完全重合的图形是轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，在中，，，，则的长是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，掌握性质是解题的关键．根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是同底数幂相乘、积的乘方、整式的除法、平方差公式，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 根据同底数幂相乘、积的乘方、整式的除法、平方差公式对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，，运算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，运算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，运算正确，符合题意，选项正确； 选项，，运算错误，不符合题意，选项错误． 故选：． 5. 端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 6. 某一科技小组制作了一个机器人，如图，它根据某一指令：从原点先向前行走2米，然后右转，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了多少米．（） A. 40米 B. 36米 C. 32米 D. 28米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的外角，掌握“多边形的外角和是”是正确解答的前提．根据多边形的外角和是可求出边数，进而求出答案． 【详解】解：由题意可知，机器人行走一周所得到的多边形的每一个外角都是， 所以这个多边形的边数为：， 剩余机器人从出发到第一次回到原处，机器人共走了（米）， 故选：B． 7. 已知关于x的方程2x-a-5=0的解是x=-2，则a的值为 A. 1 B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：将x=-2代入方程得-4-a-5=0， 解得：a=-9． 故选D． 8. 下列二次根式：，是最简二次根式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义分别判断解答即可． 【详解】解：下列二次根式：中， 是最简二次根式的有，， 其中都不是最简二次根式，可以化为最简二次根式， ， ， ，  故选：B． 9. 已知，一把直尺如图摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，解答即可． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】如图， ∵， ∴． ∵直尺的对边平行， ∴． 故选D． 10. 已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴时， 时， 故选： ． 11. 在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接．    中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为， 故选：C． 12. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数）与正比例函数的图象交点的纵坐标为，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，解一元一次方程，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先根据反比例函数解析式求出交点为，再代入一次函数解析式求出，即可得到方程的解． 【详解】解：由题意得，将代入得， ∴， ∴交点为， 将代入得：， 解得：， ∴关于的方程，即为， 解得：， 故选：A． 13. 去年花溪一果园随机从A，B，C，D四个品种的苹果树中各采摘了10棵，产量的平均数及方差如下表所示： A B C D 24 24 23 20 2.1 1.8 3 1.9 今年从四个品种中选出一种产量既高又稳定的进行种植，应选的品种是（ ） A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查利用平均数、方差作决策，先比较平均数得到A和B品种产量较好，然后比较方差得到B稳定，进而求解即可． 【详解】解：因为A，B的平均数大于C，D的平均数，而在平均数相同的A和B中，B的方差最小 ∴B品种的产量既高又稳定， ∴应选的品种是B． 故选：B． 14. 如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，为折痕，若，则边长为（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，由折叠的性质得到是解题的关键． 由折叠可得，，进而由得到，根据三角形面积即可得到，进而求解． 【详解】解：由折叠可得，，， ， ， ， ， ， 解得， ， 故选：B． 15. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，且，平行四边形的面积为，，为中点，则的长为（ ） A. B. 6 C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，中位线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．先利用平行四边形性质得出，再利用平行四边形的面积求出，最后利用中位线性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，平行四边形的面积为， ∴， 得：， ∵为中点，， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式2，再利用平方差公式分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 17. 函数的自变量x的取值范围是__________； 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：且． 故答案为：且． 18. 如图，正方形的边长为4，以正方形对角线交点为原点建立平面直角坐标系，作出函数yx2与yx2的图象，则阴影部分的面积是_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵函数yx2与yx2的图象关于x轴对称， ∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， 而边长为4的正方形面积为16， 所以图中的阴影部分的面积是8． 故答案为8． 【点睛】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，解答此题的关键是根据函数解析式判断出两函数图象的特点，再根据正方形的面积即可解答． 19. 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度，如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点的位置，测得推送的水平距离为，即，此时秋千踏板离地面的垂直高度，那么绳索的长度为______． 【答案】2.5 【解析】 【分析】可设秋千的绳索长为，根据题意可知，利用勾股定理可得，即可得出答案．本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，，， 设秋千的绳索长为，则， 故， 解得：． 答：绳索的长度为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，实数的混合运算，先进行开方，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 21. 如图中，点E、F分别在上，，，点D是的中点．求证：． 【答案】 证明：，点D是的中点， 平分， ， ，， ，即， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得平分，再证，即可得出． 【详解】略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质． 22. 如图，在中，，点为的中点，过点作交于点．延长到点，使得，已知，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点为的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据说明是线段的垂直平分线可得，进而得到，然后证明是等边三角形可得，最后根据一组邻边相等的三角形是菱形即可证明结论； （2）由等边三角形的性质可得，再根据菱形的性质可得，再根据含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 23. 贵州拥有丰富的非物质文化遗产资源，为了让学生感受这份传承千年的匠心独运，某校准备组织学生开展一场“非遗”研学活动，学校选取了四项“非遗”体验活动：A．“黄平蜡染”，B．“凯里苗绣”，C．“德江傩戏”，D．“丹寨卡拉鸟笼”．为了了解学生对以上体验活动的喜欢程度，随机抽取部分学生进行调查统计（每位学生只能选择一项喜欢的体验活动），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：根据图表信息，解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______人，扇形统计图中所对应的______，并把条形统计图补充完整； （2）该校一共有名学生，根据上述调查结果，估计该校学生选择B活动的有多少人？ （3）为更好的宣传贵州“非遗”，有名学生（恰好男女）自愿为此次研学活动撰写宣传稿，该校决定从这四名学生中选取人做“宣传小天使”，请用树状图或列表法求恰好选到两个女生的概率． 【答案】（1），； 补全条形统计图如下图所示： （2）估计该校学生选择B活动的约有人； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图、由样本估计总体、列表法求概率． 由条形统计图可知，选择A的人数有人，由扇形统计图可知，选择A的人数占调查人数的，所以可知，本次被调查的学生有人，从而可以求出选择B的人数是人，根据B组的人数补全条形统计图即可； 由可知被调查的人中选择B的人数占，利用样本估计总体可以估计出该学校学生选择B活动的人数大约有人； 列表可知，共有种等可能的结果，其中恰好选到两个女生的结果有种，所以恰好选到两个女生的概率为． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知，选择A的人数有人， 由扇形统计图可知，选择A的人数占调查人数的， 本次被调查的学生有（人）， ， ， 选择B的人数为（人）； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校学生选择B活动的约有人； 【小问3详解】 解：列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 由表可知，共有种等可能的结果，其中恰好选到两个女生的结果有种， 恰好选到两个女生的概率为． 24. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． （1）在图中作出关于直线对称的； （2）在直线上找一点Q，使的长最短．这个最短长度的平方值是_______； （3）图中若有格点P满足是以为底的等腰三角形，则这样的格点P有_______个． 【答案】（1） 如图： （2） 如图： ； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了网格作图-轴对称，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分别作关于直线对称点，即可得出答案； （2）连接，交于点， 此时最小，用勾股定理求出即可得出答案； （3）作的垂直平分线，观察图形可得答案． 【小问1详解】 解：根据网格知识，在网格中取格点，使得到的距离等于到的距离，依次连接，则即为所求的三角形， 【小问2详解】 解：连接，交于点， ∵关于对称， ∴， ∴， ∵三点共线， ∴此时最小，最小值为的长， 在中， ， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：作的垂直平分线，如图： 由图可得，格点满足，使为等腰三角形，这样的格点有个， 故答案为：． 25. 年月日是共产主义青年团建团周年，各种有关建团的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲种纪念品个，乙种纪念品个，共花费元已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵元． （1）甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？ （2）这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共件，销售官网要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的不计其他成本已知甲、乙纪念品售价分别为元个，元个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？ 【答案】（1）甲种纪念品每件进价是元，乙种纪念品每件进价为元 （2）购进甲种纪念品件，乙种纪念品件时利润最大 【解析】 【分析】（1）根据，总价单价数量，列出二元一次方程组，即可求解， （2）根据，总利润单个利润数量，列出关系式，即可求解， 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，以及一次函数的应用，解题的关键是：根据题意，正确列出关系式． 【小问1详解】 解：设甲种纪念品每件进价是元，乙种纪念品每件进价为元， 由题意得， 解得：， 故答案为：甲种纪念品每件进价是元，乙种纪念品每件进价为元， 【小问2详解】 解：设新购甲种纪念品件，则乙种纪念品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为元． 由题意可得， ， 解得， ∴， ， ， 随的增大而减小， 且， 当时，有最大值，此时， 答：购进甲种纪念品件，乙种纪念品件时利润最大． 26. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如若，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）： ①；②；③；④；⑤ （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为________． （3）应用先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）①③④⑤ （2） （3），或，或． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值∶先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． （1）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （2）利用题目所给的方法配一个出来，然后把分式写成两同分母的和，再约分，则原分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和； （3）先把把除法运算化为乘法运算，约分后进行同分母的减法运算得到原式为．把它化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式得到原式，利用整除性和分式有意义的条件确定x的值． 【小问1详解】 解：①，属于“和谐分式”， ②不是分式，故不属于“和谐分式”， ③，属于“和谐分式”， ④，属于“和谐分式”， ⑤，属于“和谐分式”， 故答案为：①③④⑤ 【小问2详解】 【小问3详解】 ∵x为整数，为整数， ∴，或， ∵且且 ∴，或，或．该式的值为整数． 27. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中，． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，在第三象限内抛物线上找点E，使，求点E的坐标； （3）如图2，过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．若是一个定值，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）过点E作轴于F，过点D作轴于G，设点，由，得，列出关于m的方程即可求解； （3）设，直线的解析式为：，表示出，，结合是一个定值，求出t的值，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中，，将A，D两点坐标代入得： ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：在第三象限内抛物线上找点E，使，如图1，过点E作轴于F，过点D作轴于G，则， ∵，， ∴，， 把代入得，， ∴， ∴， 设点，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 整理得，， 解得或（不合，舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点D．如图2，设， 设直线的解析式为：， ∴，即， ∴直线的解析式为：， 设，， 由，得，即：， ∴，， ∴ ， ∵线段的中点是M， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即时，是定值， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握待定系数法，用参数表示一次函数的解析式和线段长是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $