精品解析：江苏省南通田家炳中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试卷

江苏省南通田家炳中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试卷 一、单选题 1. 下列图形中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选D． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，解题的关键是记住“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”． 3. 将方程配方后，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解： ． 故选A． 【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握配方法解一元二次方程的步骤是解答本题的关键． 4. 关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，理解一元二次方程根的判别式是解答关键． 根据一元二次方程无实数根来列出方程求解． 【详解】解：关于的一元二次方程无实数根， ，， ． 故选：D． 5. 临近6月，九年级的同学就要毕业了，在毕业典礼中某班每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，该班共送了2652张照片．设该班有x名学生，根据题意，列出方程应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程，根据每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，即设全班有x名学生，则每人要赠送张相片，据此根据照片总数量为2652张列一元二次方程即可． 【详解】解：设全班有x名学生，则每人要赠送张相片， 根据题意可得出， 故选：B 6. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 7. 如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为6米，则梯子与墙角的距离长为（ ） A. 12米 B. 6米 C. 3米 D. 1.5米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质．根据度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵，米， ∴米， 故选：C． 8. 如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出一元二次方程的解为或8，然后由矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求出，进而得到，即可求解． 【详解】 或 解得或 ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴． ∴方程的正数解是线段的长． 故选：C． 9. 如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论： ①； ②方程有两个不相等的实数根； ③； ④； ⑤．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当时，，可判断①，由函数的最小值，可判断②，由抛物线的对称轴为直线，且，可判断③，由时，，当时，，可判断④，由根与系数的关系可判断⑤； 【详解】解：①抛物线开口向上，，， ∴当时，，故①不符合题意； ②∵抛物线过点， ∴函数的最小值， ∴有两个不相等的实数根； ∴方程有两个不相等的实数根；故②符合题意； ③∵，， ∴抛物线的对称轴为直线，且， ∴，而， ∴， ∴，故③不符合题意； ④∵抛物线过点， ∴， ∵时，， 即， 当时，， ∴， ∴， ∴，故④符合题意； ⑤∵，， ∴， 由根与系数的关系可得：，， ∴ ∴， ∴，故⑤符合题意； 故选：C． 10. 如图，在等边三角形中，在边上（不包含A、C）取两点M、N，使，若，则x，m，n满足的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的应用， 将绕点B顺时针旋转得到，连接，根据全等三角形的性质得，进而说明，可得，接下来得出，可得答案． 【详解】如图所示．将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 可知， ∴， 即． 故选：C． 二、填空题 11. 如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是________．（填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线定义，圆周角定理，勾股定理解三角形，等腰三角形性质与判定，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 由旋转性质得，可得，，，进而由即可判断①；由即可判断②；由、、、、在以为直径的圆上，可以证明，即可判定③，设，由勾股定理解三角形可得，，即可判断④． 【详解】解：由旋转可知：， ∴，，， ∵在正方形中， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即，故①结论正确， ∵，， ∴，故②结论错误； 如图： ∵在正方形中， ∴， ∴， ∴、、、、在以为直径的圆上， ∵， ∴，故结论③正确； 如图：过点作，交于， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴，（负根已舍去） ∵， ∴， ∴．故结论④正确； 综上所述：①③④结论正确， 故答案为：①③④． 12. 若是关于的一元二次方程的一个解，则常数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的解、解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题关键．首先将代入方程，获得关于的一元二次方程并求解，再结合一元二次方程的定义易得，易得，即可获得答案． 【详解】解：将代入方程， 可得， 整理可得， 解得，， 又∵根据一元二次方程的定义，可得， ∴， ∴常数的值为． 故答案为：． 13. 如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4．设AB=x，AD=y，则的值为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】先由点F是Rt△BDE的斜边上的中点得DF=BF=EF=4，再利用矩形的性质及勾股定理即可得解． 【详解】解：∵点F是Rt△BDE的斜边上的中点， ∴DF=BF=EF=4， 根据矩形的性质可知AB=DC=x，BC=AD=y， ∴在Rt△CDF中，，即， ∴ ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半和矩形的性质是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，将点A绕着点O逆时针方向旋转后得到点B，直线交x轴于点C．点D在x轴上方，且满足，点E在x轴上，使得以点B、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点D的坐标为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】过B作于G，根据旋转的性质求出，，，则，根据含角的直角三角形的性质求出，，根据勾股定理求出，，则可求出点B的坐标，根据割补法可并结合已知可得出，则可知点D在过C点且平行的直线上或在过A点且平行的直线上，然后分情况讨论根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解∶过B作于G， ， ∵点A的坐标是， ∴， ∵将点A绕着点O逆时针方向旋转后得到点B， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴点C到的距离等于点D到的距离， ∴当点D在左侧时，点D在过C点且平行的直线上， ∵E在x轴上，点D在x轴上方， ∴此时E和C重合， 如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又， ∴，即； ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴点A到的距离等于点D到的距离， ∴当点D在右侧时，点D在过A点且平行的直线上， ∵E在x轴上，点D在x轴上方， ∴此时E为过A点且平行的直线与x轴的交点，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又， ∴，即； 综上，点D的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识，明确题意，合理分类讨论，运用数形结合的思想求解是解题的关键． 15. 一元二次方程的两个根分别为，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在一块长为36米，宽为20米的矩形试验田中，计划挖两横、两竖四条水渠，横、竖水渠的宽度比为1：2，要使四条水渠所占面积是这块试验田面积的五分之一，设横向水渠的宽度为x米．根据题意所列方程是_______________. 【答案】所列方程是（36﹣4x）（20﹣2x）=36×20×（1﹣） 【解析】 【详解】根据试验田的面积可列方程,设横向水渠的宽度为x米，则竖直水渠的宽度为2x米， 根据题意,得（36﹣4x）（20﹣2x）=36×20×（1﹣） 17. 的三边分别为、、，若，，按边分类，则是______三角形 【答案】等腰 【解析】 【分析】将，代入中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a与c的值，进而求出b的值，即可确定出三角形形状． 【详解】解：∵ ∴ ， ∴， ∴， 即， 整理得：， ∵，， ∴，即；，即， ∴， 则△ABC为等腰三角形． 故答案是：等腰． 【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，中，，，则点的坐标为___________；若点，分别是的边，上的动点，且，当的值最小时，点的坐标为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作轴于点D，则，求出，得到，则点D的坐标是，即可得到点B的坐标是，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，作轴于点H，则，证明，得到，进一步得到点C的坐标为，连接交于点P，连接，求出直线的函数解析式和直线的解析式，联立求出点P的坐标为，证明，则，当点E与点P重合时，取得最小值，当的值最小时，点的坐标为． 【详解】解：作轴于点D，则， ∵点，中，，， ∴ ∴ ∵， ∴，解得， ∴， ∴点D的坐标是， ∴点B的坐标是， 将线段绕点A逆时针旋转得到线段，作轴于点H，则， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为， 连接交于点P，连接， 设直线的函数解析式为， 则，解得， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到，解得， ∴点P的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴当点E与点P重合时，取得最小值， ∴当的值最小时，点的坐标为， 故答案为：， 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、图形和坐标、勾股定理等知识．添加合适的辅助线是解题的关键． 三、解答题 19. 解方程： （1）用直接开平方法：； （2）用配方法：； （3）用公式法：； （4）用因式分解法：． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； （1）把4移到右边，再直接开平方求解即可； （2）把3移到右边，再对左边配完全平方，再直接开平方求解即可； （3）先求判别式，再根据求根公式求解即可； （4）把移到左边，再因式分解，可得到两个一元一次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ； 【小问4详解】 解：， ， 或， ． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2) ． (1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形． (2)平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为(－2，－6)，请画出平移后对应的△A2B2C2的图形． (3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】 (1)如图所示：△A1B1C即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2即为所求； （3）(0，－2) 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案； （2）利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案； （3）利用旋转图形的性质，连接对应点，即可得出旋转中心的坐标． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）旋转中心坐标（0，﹣2）． 作图－旋转变换；作图－平移变换． 【点睛】本题考查作图一旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． 21. 设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 【答案】（1），； （2） 证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； 【小问2详解】 略 22. 为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两个新品． 素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份． 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？ 【答案】任务1，该甜品店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务2，该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，双皮奶应该降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 任务1，设该甜品店“缤纷双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，根据题意列一元二次方程，据此求解即可； 任务2，设双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，由题意列一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：任务1，设该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是， 由题意得，整理得， 解得或（不合题意，舍去） 答：该甜品店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 任务2，设双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了尽快减少库存，， 答：该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，双皮奶应该降价元． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若此一元二次方程的两根是两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值． 【答案】 （1）证明：∵， ∴ ， ∴一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）5 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式计算即可； （2）求出一元二次方程的两个根，再利用勾股定理计算即可； 【详解】（1）略 （2）∵ ∴， ∴，， ∴两直角边分别是，，斜边长为10， ∴， 解得：（舍去），, ∴k的值时5． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、勾股定理、根的判别式，准确计算是解题的关键． 24. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中，，，，，连接交于点，且． 求证：． 如图②，丞丞同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将和之间的数量关系转化为和之间的数量关系； 如图③，霖霖同学从条件的角度出发给出如下解题思路：过点作，交的延长线于点，将转化为，进而转化为和之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图④，在等边中，是上的一点，过点作于点，延长至点，连接交于点，此时恰好是的中点．求证：． 【学以致用】 （3）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，，，分别交，于点，，其中是的中点，连接，若，求的长． 【答案】 （1）证明：①如图①：选择丞丞同学的解题思路： ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②选择霖霖同学的解题思路： 如图②：同①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图④：过D作，则， ∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴，即， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴． （3）4． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）分别根据平行线的性质以及全等三角形的判定与性质即可证明结论； （2）过D作，则，先说明是等边三角形，再结合三线合一的性质可得，再证明得到即可证明结论； （3）过A作交于G，连接，先证明可得，再证明可得，然后证明 可得，即是直角三角形；由勾股定理可得，再根据题意可得，进而完成解答． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图⑤：过A作交于G，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， ∵，， ∴，即， ∴，即． 25. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根得到，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根． ∴，即， 解得； 【小问2详解】 ∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴ 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 26. 如图，已知为等边三角形，点为线段上一点，点为射线上一点，且． （1）如图甲，当点为线段的中点时，直接写出的度数为______； （2）如图乙，当点为线段上的任意一点时，求证：（提示：在上截取，连接）； （3）如图丙，当点在的延长线上时，猜想，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：在上截取，连接， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， 又，， 在和中， ， ， ， 又， ； （3） 理由如下： 过作交于点， ， ，， ， 为等边三角形， ， ，，， 由（2）知： ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质和判定是解题的关键； （1）根据为等边三角形，求得，根据等边三角形的性质可得，进而根据角的运算即可求解； （2）在上截取，连接，判定为等边三角形，再判定，即可求证； （3）过作交于点，根据题意判定为等边三角形，再判定，即可求解； 【小问1详解】 解：为等边三角形， ， ， 点为线段的中点， 为的角平分线， ， ， ； 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通田家炳中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试卷 一、单选题 1. 下列图形中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 将方程配方后，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 临近6月，九年级的同学就要毕业了，在毕业典礼中某班每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，该班共送了2652张照片．设该班有x名学生，根据题意，列出方程应为（ ） A. B. C. D. 6. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 7. 如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为6米，则梯子与墙角的距离长为（ ） A. 12米 B. 6米 C. 3米 D. 1.5米 8. 如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 9. 如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论： ①； ②方程有两个不相等的实数根； ③； ④； ⑤．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在等边三角形中，在边上（不包含A、C）取两点M、N，使，若，则x，m，n满足的数量关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是________．（填写序号） 12. 若是关于的一元二次方程的一个解，则常数的值为______． 13. 如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4．设AB=x，AD=y，则的值为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，将点A绕着点O逆时针方向旋转后得到点B，直线交x轴于点C．点D在x轴上方，且满足，点E在x轴上，使得以点B、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点D的坐标为_______． 15. 一元二次方程的两个根分别为，，则______． 16. 如图，在一块长为36米，宽为20米的矩形试验田中，计划挖两横、两竖四条水渠，横、竖水渠的宽度比为1：2，要使四条水渠所占面积是这块试验田面积的五分之一，设横向水渠的宽度为x米．根据题意所列方程是_______________. 17. 的三边分别为、、，若，，按边分类，则是______三角形 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，中，，，则点的坐标为___________；若点，分别是的边，上的动点，且，当的值最小时，点的坐标为___________． 三、解答题 19. 解方程： （1）用直接开平方法：； （2）用配方法：； （3）用公式法：； （4）用因式分解法：． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2) ． (1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形． (2)平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为(－2，－6)，请画出平移后对应的△A2B2C2的图形． (3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标． 21. 设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 22. 为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两个新品． 素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份． 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？ 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若此一元二次方程的两根是两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值． 24. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中，，，，，连接交于点，且． 求证：． 如图②，丞丞同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将和之间的数量关系转化为和之间的数量关系； 如图③，霖霖同学从条件的角度出发给出如下解题思路：过点作，交的延长线于点，将转化为，进而转化为和之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图④，在等边中，是上的一点，过点作于点，延长至点，连接交于点，此时恰好是的中点．求证：． 【学以致用】 （3）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，，，分别交，于点，，其中是的中点，连接，若，求的长． 25. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 26. 如图，已知为等边三角形，点为线段上一点，点为射线上一点，且． （1）如图甲，当点为线段的中点时，直接写出的度数为______； （2）如图乙，当点为线段上的任意一点时，求证：（提示：在上截取，连接）； （3）如图丙，当点在的延长线上时，猜想，，三者之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $