精品解析：吉林省长春市榆树市慧望初级中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024—2025学年度八年级（下）期末质量监测·数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：由分式的定义可知，四个选项中，只有D选项中的式子是分式， 故选D． 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征．在平面直角坐标系中，四个象限的坐标符号分别为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，据此求解即可． 【详解】点的横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限的特征， 因此该点位于第二象限． 故选B． 3. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数自变量取值范围的求法：①有分母时，分母不为0；②有二次根式时，被开方数非负，由此计算结果即可．本题主要考查函数自变量取值范围的问题，正确分析关系式和列式计算是解题的关键． 【详解】由得自变量x的取值范围是且， 故选：A． 4. 如图，中，，以A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作一条线段等于已知线段， 根据平行四边形的性质得，再根据题意得，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 根据题意，得， ∴． 故选：A． 5. 如图，菱形中，，，则对角线的长是（　　） A. 8 B. 15 C. 10 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质及等边三角形的判定，掌握“菱形的四条边相等，两组对边分别平行”及等边三角形的判定方法是关键．根据菱形的性质求得，判定为等边三角形即可求解． 【详解】∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴为等边三角形， ∴ 故选：D． 6. 如图，正方形中，点E是对角线上的一点，且，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，根据正方形的性质，得到，，进而得到，又因为，推出，进而即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 故选：B． 7. 如图，矩形内有一点，且满足，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据矩形得到，由等边对等角以及三角形内角和定理表示，然后得到，，再表示，最后由可求解． 【详解】解：有四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 已知反比例函数的图象，如图所示，点在反比例函数的图象上，连接两点，刚好经过原点，为第四象限内一点，且与y轴平行，与x轴平行，若，则的值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，根据对称性可得点关于原点对称，设点坐标，则可表示出；再根据“与y轴平行，与x轴平行”可知，从而可得A的坐标，进而可以表示出，最后根据列式求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，连接两点，刚好经过原点， ∴由反比例函数的对称性可知点关于原点对称， 设，则， ∵与y轴平行，与x轴平行， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 华为系列搭载了麒麟芯片，这个被华为称之为全球首个5纳米工艺的芯片，拥有8个全球第一，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．按此方法即可正确求解． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 计算：_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据零次幂和绝对值的概念即可计算．本题考查零次幂和绝对值的计算，掌握零次幂和绝对值概念是解题的关键． 【详解】， 故答案为：4． 11. 已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的性质是解题的关键． 根据“，当时，该函数的图象经过第二、四象限；当时，该函数的图象经过第一、三象限”解题即可． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为： ． 12. 某校进行三好学生评比，其中一名同学的三项素质测试成绩（单位：分）为：学科知识；综合素质；体育与健康．根据实际需要将学科知识综合素质、体育与健康三项按3：5：2的比例确定最终得分，则最终得分是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义计算即可． 本题考查加权平均数的计算，理解加权平均数的定义是解题的关键． 【详解】解∶∵， ∴最终得分为 (分)． 故答案为． 13. 目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出滴水，每滴水约毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开分钟后，水龙头滴出毫升的水，请写出与之间的函数关系式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数解析式，每分钟滴出滴水，每滴水约毫升，则一分钟滴水毫升毫升，则分钟可滴毫升，据此即可求解，正确表示出一分钟滴的水的体积是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 即， 故答案为：． 14. 如图，正方形中，对角线，相交于点O，过点O作射线，，分别交，于点E，F，且，连接，给出下列结论：①；②四边形的面积为正方形面积的；③平分，④其中正确的是____________．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】证明，，， ， 可得，故①正确； 由①可得，可得，可得四边形的面积与面积相等， 故②正确； 证明， 结合， 可得，故③错误； 证明，， 结合，可得，故④正确． 【详解】解：①在正方形中，，，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②由①可得 ∴， ∴四边形的面积与面积相等， ∴四边形的面积为正方形面积的，故②正确； ③∵， ∴， 而， ∴， ∵， ∴，故③错误； ④∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 在中，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是利用正方形的性质证明出． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算与求值，实数的计算，解题的关键是正确根据分式的运算法则进行化简．先将括号里通分，然后计算乘法，最后将代入求值计算． 【详解】解： 当时，原式 16. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程. 先去分母化为整式方程，再解方程，最后检验即可. 【详解】解： 解得 经检验，当时，， 所以解为. 17. 某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年1月汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为90万销售额今年只有80万元，求今年1月份A款汽车每辆的售价为多少万元． 【答案】万元． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用．首先设今年1月份A款汽车每辆售价x万元，则去年同期每辆A款汽车每辆售价万元，由题意可得等量关系：去年销售量=今年的销量，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：设今年1月份A款汽车每辆售价x万元，由题意得： 解得：， 经检验：是原方程的解． 答：今年1月份A款汽车每辆售价万元． 18. 如图，在中，已知E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，求证：； 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质可得，根据已知可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明；∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，请按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中作一个面积为6的轴对称四边形； （2）在图②中作一个面积为6的中心对称四边形； （3）在图③中，作一个面积为7且有一组邻边相等的四边形． 【答案】（1）如图①，四边形即为所求； （2）如图②，四边形即为所求作； （3）如图③，四边形即为所求． 【解析】 【分析】此题主要考查图形设计，解题的关键是熟知网格的特点及相关知识的灵活运用． （1）图1中取格点C、D，根据网格的特点及等腰梯形的特点，结合勾股定理即可作图； （2）图2中取格点C、D，根据网格的特点和平行四边形的判定与性质即可作图； （3）根据网格的特点和割补法求面积即可作图； 【小问1详解】 解：如图①，，， ， 【小问2详解】 解：如图②，∵，， ∴四边形是平行四边形，则四边形是中心对称图形， ， 【小问3详解】 解：如图③，， 四边形的面积为． 20. 智慧食堂是一种结合了计算机、大数据、物联网和人工智能等先进技术的新型餐饮管理模式．智慧食堂的核心理念是以用户为中心，提供个性化的就餐体验，并通过优化食堂全流程的ERP 系统来提升管理效率．某学校食堂管理员通过智慧食堂软件系统，随机抽取中午在学校食堂用餐的20名学生，收集到他们午餐消费金额x（单位：元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出部分信息： a． 20名学生午餐消费金额数据：14， 14， 15， 15， 17， 17， 18， 18， 18， 18， 19， 19， 19， 19， 19，19， 20， 20， 20， 20． b．20名学生午餐消费金额数据的频数分布表： 消费金额 频数 4 2 a 4 根据以上信息，回答下列问题： （1）该调查属于 调查，表格中a的值为 ． （2）该组数据的众数为 ，中位数为 ． （3）为了合理膳食结构，学校食堂推出，，三种价格不同的营养汤．据调查，午餐消费金额在的学生中有选择营养汤，消费金额在≥的学生中有选择营养汤，其余参与调查的学生选择营养汤或营养汤或不选营养汤．若每天中午约有名学生在食堂用餐，则估计食堂每天中午需准备营养汤的份数． 【答案】（1）抽样，10； （2），； （3）准备B营养汤的份数为份． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、众数和中位数，以及用样本估计总体，根据题意找出所需数据是解题关键． （1）根据抽样调查和全面调查的定义可知，该调查属于抽样调查；用样本人数减去其余三组的人数，即可求出a的值； （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）用总人数乘以样本中选择B营养汤的人数作战的比例求解即可． 【小问1详解】 解：该调查属于抽样调查， 表格中a的值为， 故答案为：抽样，10； 【小问2详解】 解：该组数据中，出现了次，次数最多， 该组的众数为； 把这组数据从小到大排列后，第10个和第11个数分别为18，19， 中位数为， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：（份）， 即估计食堂每天中午需准备B营养汤的份数为份． 21. 某种植物生长的高度可以分为三个主要阶段：幼苗期、营养生长期和成熟期（即开花结果期）．已知每个阶段这种植物的平均高度（）与生长时间（天）之间的函数图象如图所示． （1）前天，这种植物平均每天长高___________； （2）当时，求与之间的函数表达式； （3）当该植物的高度为时，求该植物生长的天数． 【答案】（1） （2） （3）当该植物的高度为时，该植物生长的天数是天 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，已知函数值求自变量的值，解题关键是正确求解函数表达式． （1）直接利用待定系数法求解； （2）设与之间的函数表达式为，将和代入，利用待定系数法求解； （3）当时，得到关于的方程求解． 【小问1详解】 解：前天，图象为过原点的线段，可设为， ∵当时，， ∴，解得：， ∴， ∴前天，这种植物平均每天长高 ； 【小问2详解】 设与之间的函数表达式为， 将和代入， 得， 解得， ∴与之间的函数表达式为． 【小问3详解】 当时， ， 解得， ∴当该植物的高度为时，该植物生长的天数是天． 22. 【自主探究】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式________； （2）图2是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）2 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，与几何图形有关的乘法公式；解题的关键是利用等积法得到相关公式并正确运用． （1）运用两个小正方形的面积之和等于大正方形面积减去两个长方形面积即可； （2）根据梯形的面积等于或，建立等式整理即可； （3）根据题意表示出，在中，由勾股定理得，化简整理即可求出． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）发现：， 理由：图2中图形的面积：， ， ， ． （3）周长为2， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 长方形的面积为：． 23. 如图，在四边形中，点、分别在边、上．连接、． （1）如图1，四边形为正方形时，连结，且， ①已知，，求的长； ②已知，求的值； （2）如图2，四边形为矩形，，点为的中点，，，求的长． 【答案】（1）①10；②4 （2） 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及勾股定理，根据全等三角形对应边之间的关系，设未知数利用勾股定理列方程为解题关键． （1）①利用勾股定理可直接得出结论； ②延长至点，使，连接，可证明，所以，；进而可得，所以；设，，则，，．所以，在中，利用股定理可得关于和的等式，解之即可得出结论； （2）如图，延长、交于点．可证，所以，由，可得，所以，设，则，即，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：（1）①在正方中，， 在中，，，， ， 即的长为10． ②如图，延长至点，使，连接， 在正方形中，，， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， 设，，则，，． ， 在中，， ， ， ， ，即， 的值为4． 【小问2详解】 解：如图，延长、交于点． ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 设，则， 即， 解得：， ． 24. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“合成矩形”．如图为点P，Q的“合成矩形”的示意图． （1）若A点坐标为(2，0)， ①当B点坐标为(5，1)时，点A，B的“合成矩形”的面积是______； ②若点C在y轴上，且点A，C的“合成矩形”为正方形，则直线AC的表达式为______； ③若点P在直线y＝﹣2x＋2上，且点A，P的“合成矩形”为正方形，求P点的坐标； （2）点O的坐标为(0，0)，点D为直线y＝x＋b(b≠0)上一动点，若O，D的“合成矩形”为正方形，且此正方形面积不小于2时，求b的取值范围． 【答案】（1）①3；②直线的表达式为或；③点的坐标为， （2）的取值范围为或 【解析】 【分析】(1)①由“合成矩形”的定义求出矩形的边长，再求面积即可； ②根据“合成矩形”的定义先求出点C的坐标，再求直线所在的函数表达式； ③先设出点P的坐标，再分别讨论点P在x轴上方和下方时，根据正方形的性质和点A的坐标求出点P的坐标． (2)分别讨论点D位于x轴上下方时，根据正方形的面积求出正方形的边长，进而得出点D的坐标，再根据根据正方形的面积不小于2得出b的取值范围． 【小问1详解】 ①当B点坐标为(5，1)时， 点A，B的“合成矩形”的边长分别为3、1， 故面积为； ②由于点C在y轴上，且点A，C的“合成矩形”为正方形， 故点C的坐标为或， 设直线AC所在直线的表达式为， 将、或、代入，可得 直线的表达式为或； ③如图，当点在直线上， 设点． 当点在轴上方时， 点，的“合成矩形”为正方形， 则正方形的边长为和，可得方程， 解得， 点的坐标为． 同理可得，当点在轴下方时， 解得 则． 点在直线上，且点，的“合成矩形”为正方形时， 点的坐标为，． 【小问2详解】 点的坐标为， 如图，，的“合成矩形”为正方形时，且点在轴上，点在轴上． 当点在轴的上方， 且正方形面积等于2时， ． ，． 点代入直线得： ． 正方形面积不小于2， 的取值范围为． 同理可得， 当点在轴下方时， 的取值范围为． 综上，的取值范围为或． 【点睛】本题考查矩形、正方形的性质及阅读理解能力、一次函数解析式的求法，解决本题的关键是正确理解题意、熟悉图形性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度八年级（下）期末质量监测·数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 4. 如图，中，，以A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，菱形中，，，则对角线的长是（　　） A. 8 B. 15 C. 10 D. 6 6. 如图，正方形中，点E是对角线上的一点，且，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形内有一点，且满足，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 已知反比例函数的图象，如图所示，点在反比例函数的图象上，连接两点，刚好经过原点，为第四象限内一点，且与y轴平行，与x轴平行，若，则的值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 华为系列搭载了麒麟芯片，这个被华为称之为全球首个5纳米工艺的芯片，拥有8个全球第一，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为___________． 10. 计算：_______． 11. 已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是_________． 12. 某校进行三好学生评比，其中一名同学的三项素质测试成绩（单位：分）为：学科知识；综合素质；体育与健康．根据实际需要将学科知识综合素质、体育与健康三项按3：5：2的比例确定最终得分，则最终得分是______． 13. 目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出滴水，每滴水约毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开分钟后，水龙头滴出毫升的水，请写出与之间的函数关系式是______． 14. 如图，正方形中，对角线，相交于点O，过点O作射线，，分别交，于点E，F，且，连接，给出下列结论：①；②四边形的面积为正方形面积的；③平分，④其中正确的是____________．（填序号） 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 解分式方程：． 17. 某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年1月汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为90万销售额今年只有80万元，求今年1月份A款汽车每辆的售价为多少万元． 18. 如图，在中，已知E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，求证：； 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，请按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中作一个面积为6的轴对称四边形； （2）在图②中作一个面积为6的中心对称四边形； （3）在图③中，作一个面积为7且有一组邻边相等的四边形． 20. 智慧食堂是一种结合了计算机、大数据、物联网和人工智能等先进技术的新型餐饮管理模式．智慧食堂的核心理念是以用户为中心，提供个性化的就餐体验，并通过优化食堂全流程的ERP 系统来提升管理效率．某学校食堂管理员通过智慧食堂软件系统，随机抽取中午在学校食堂用餐的20名学生，收集到他们午餐消费金额x（单位：元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出部分信息： a． 20名学生午餐消费金额数据：14， 14， 15， 15， 17， 17， 18， 18， 18， 18， 19， 19， 19， 19， 19，19， 20， 20， 20， 20． b．20名学生午餐消费金额数据的频数分布表： 消费金额 频数 4 2 a 4 根据以上信息，回答下列问题： （1）该调查属于 调查，表格中a的值为 ． （2）该组数据的众数为 ，中位数为 ． （3）为了合理膳食结构，学校食堂推出，，三种价格不同的营养汤．据调查，午餐消费金额在的学生中有选择营养汤，消费金额在≥的学生中有选择营养汤，其余参与调查的学生选择营养汤或营养汤或不选营养汤．若每天中午约有名学生在食堂用餐，则估计食堂每天中午需准备营养汤的份数． 21. 某种植物生长的高度可以分为三个主要阶段：幼苗期、营养生长期和成熟期（即开花结果期）．已知每个阶段这种植物的平均高度（）与生长时间（天）之间的函数图象如图所示． （1）前天，这种植物平均每天长高___________； （2）当时，求与之间的函数表达式； （3）当该植物的高度为时，求该植物生长的天数． 22. 【自主探究】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式________； （2）图2是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 23. 如图，在四边形中，点、分别在边、上．连接、． （1）如图1，四边形为正方形时，连结，且， ①已知，，求的长； ②已知，求的值； （2）如图2，四边形为矩形，，点为的中点，，，求的长． 24. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“合成矩形”．如图为点P，Q的“合成矩形”的示意图． （1）若A点坐标为(2，0)， ①当B点坐标为(5，1)时，点A，B的“合成矩形”的面积是______； ②若点C在y轴上，且点A，C的“合成矩形”为正方形，则直线AC的表达式为______； ③若点P在直线y＝﹣2x＋2上，且点A，P的“合成矩形”为正方形，求P点的坐标； （2）点O的坐标为(0，0)，点D为直线y＝x＋b(b≠0)上一动点，若O，D的“合成矩形”为正方形，且此正方形面积不小于2时，求b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $