精品解析：吉林省长春市榆树市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

榆树市2023-2024学年度第二学期期末质量监测八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若点P（a，2）在第二象限，则a的值可以是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 把下列分式中x，y的值都同时扩大到原来的5倍，那么分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一次函数中，函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，中，是的平分线，则周长为（ ） A. 20 B. 24 C. 32 D. 40 6. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，，垂足为E，且．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，，则为的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限内的图象经过点和点，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. ______． 10. 写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式______ 11. 每年月日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食、已知一粒米的重量约千克，将数据用科学记数法表示为___________ 12. 学校举行物理科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，然后按照理论知识占20%，创新设计占50%，现场展示占30%计算选手的综合成绩（百分制），某同学本次比赛的各项成绩分别是：理论知识85分，创新设计88分，现场展示90分，那么该同学的综合成绩是______分． 13. 如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数表达式是__________． 14. 如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB面积为y，如果y与x的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的面积为__． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，中，E、F分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 18. 某车间接到加工200个零件的任务，在加工完40个后，由于改进了技术，每天加工的零件数量是原来的2.5倍，整个加工过程共用了13天完成．求原来每天加工零件的数量． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，点、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，以为边画一个平行四边形，且其面积为； （2）在图②中，以为对角线画一个平行四边形，且其面积为； （3）在图③中，以为对角线画一个平行四边形，且其面积为． 20. ．已知一次函数与反比例函数相交于、两点，且点坐标为，点的横坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）根据图象直接写出使得时x的取值范围． 21. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：≌； （2）判定四边形AODF的形状并说明理由． 22. 某教育局为了解初中毕业年级学生的体质情况，从某校九年级学生中随机抽取的学生进行体质监测．根据《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准：90分及以上为优秀；80分～89分为良好；60分～79分为及格；60分以下为不及格，将测试成绩制成如下图表． 各等级学生频率分布表 成绩 频数 频率 优秀 16 b 良好 a 0.24 及格 18 0.36 不及格 4 0.08 请根据图表信息回答下列问题： （1）表格中的a=　 　，b=　 　． （2）已知“80分～89分”这组的数据如下：81，83，84，85，85，81，80，86，87，88，83，85，则所抽取的这些学生体质监测成绩的中位数是 　 　． （3）求参加本次体质监测的学生的平均成绩． （4）请估计该校九年级体质监测成绩未达到“良好”等级及以上的学生人数． 23. 【操作感知】如图1，在矩形纸片的边上取一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，则的大小为______度． 【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点Q，连接． （1）判断与的关系并证明； （2）若正方形的边长为4，点P为中点，则的长为______． 24. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点的坐标为，，且，．若、为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点、的“相关矩形”，如图①为点、的“相关矩形”示意图．若点，点． （1）当时，在图②中画出点、的“相关矩形”并求它的周长． （2）若点P、Q的“相关矩形”为正方形，求m的值． （3）已知一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，若在线段AB上存在一点C，使得点C、Q的“相关矩形”是正方形． ①点A的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　． ②直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆树市2023-2024学年度第二学期期末质量监测八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的分母不能为零，可得答案． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不能为零得出不等式是解题关键． 2. 若点P（a，2）在第二象限，则a的值可以是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数判断． 【详解】解：∵点P（a，2）在第二象限， ∴a＜0， ∴-2、0、1、2四个数中，a的值可以是-2． 故选A． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 3. 把下列分式中x，y的值都同时扩大到原来的5倍，那么分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，x，y的值都同时扩大到原来的5倍，求出每个式子的结果，看结果是否等于原式． 【详解】解：A、，分式的值保持不变，符合题意； B、，分式的值改变，不符合题意； C、，分式的值改变，不符合题意； D、，分式的值改变，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 4. 已知一次函数中，函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质解题，若函数值y随自变量x的增大而减小，那么． 【详解】解：函数值y随自变量x的增大而减小，那么， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数图像与系数的关系，解题关键是直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系． 5. 如图，中，是的平分线，则周长为（ ） A. 20 B. 24 C. 32 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，，，则，由是的平分线，可得，则，，根据周长为，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴周长为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，等角对等边．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 6. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，，垂足为E，且．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键． 7. 如图，在菱形中，，则为的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质得到，，再由平行线的性质得，则，即可求得． 【详解】解：四边形是菱形， ∴， ∴ ， ∴， ， 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限内的图象经过点和点，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，利用点A的坐标求出函数解析式，求出点B的坐标，利用三角形面积公式和梯形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，则， ∵， ∴， ∵反比例函数在第一象限内的图象经过点 ∴，解得， ∴， 把代入得， ∴点B的坐标是， ∴， ∴， ∴ ． 故选：B 【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质，求出是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂与负整数指数幂法则是解题的关键． 先用零指数幂与负整数指数幂法则计算，再计算加法即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 10. 写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式______ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质．根据正比例函数，当时，函数值随的值增大而减小写出表达式即可． 【详解】解：设一个正比例函数为， ∵当时，函数值随的值增大而减小， ∴写出一个函数值随的值增大而减小的正比例函数为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 11. 每年月日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食、已知一粒米的重量约千克，将数据用科学记数法表示为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法直接求解即可． 【详解】． 故答案为： 【点睛】此题考查科学记数法，解题关键是科学记数法表示为． 12. 学校举行物理科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，然后按照理论知识占20%，创新设计占50%，现场展示占30%计算选手的综合成绩（百分制），某同学本次比赛的各项成绩分别是：理论知识85分，创新设计88分，现场展示90分，那么该同学的综合成绩是______分． 【答案】88 【解析】 【分析】利用加权平均数的求解方法即可求解． 【详解】综合成绩为：85×20%+88×50%+90×30%=88（分）， 故答案为：88． 【点睛】此题主要考查了加权平均数的求法，解题的关键是理解各项成绩所占百分比的含义． 13. 如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数表达式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求出函数表达式即可； 【小问1详解】 解：由题意设：， 把，代入，得． ∴y关于x的函数表达式为； 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 14. 如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB面积为y，如果y与x的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的面积为__． 【答案】24 【解析】 【分析】根据图象②得出AB、BC的长度，再求出面积即可． 【详解】解：从图象②和已知可知：AB=4，BC=10-4=6， 所以矩形ABCD的面积是4×6=24， 故答案为24． 【点睛】本题考查了矩形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程 【答案】x=-1． 【解析】 【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解． 【详解】解：方程两边同乘x-2，得2x=x-2+1 解这个方程，得x= -1 检验：x= -1时，x-2≠0 ∴原方程的解是x= -1 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解： = ， 当时，原式=． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 17. 如图，中，E、F分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，F分别是，的中点， ，， ， 又， ∴四边形是平行四边形． 18. 某车间接到加工200个零件的任务，在加工完40个后，由于改进了技术，每天加工的零件数量是原来的2.5倍，整个加工过程共用了13天完成．求原来每天加工零件的数量． 【答案】8 【解析】 【分析】设原来每天加工零件的数量是x个，根据整个加工过程共用了13天完成，列出方程，再进行检验即可． 【详解】解：设原来每天加工零件的数量是x个，根据题意得：， 解得：x=8 将检验x=8是原方程的解， 答：原来每天加工零件的数量是8个． 考点：分式方程的应用 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，点、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，以为边画一个平行四边形，且其面积为； （2）在图②中，以为对角线画一个平行四边形，且其面积为； （3）在图③中，以为对角线画一个平行四边形，且其面积为． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行四边形的判定利用数形结合的射线画出图形即可； （2）根据要求画出图形即可； （3）构造两个等腰直角三角形即可； 【小问1详解】 解：将向右平移2个单位长度得到， 连接，， ，， 四边形是平行四边形，且面积为：， 如图所示，平行四边形即为所求： 【小问2详解】 取格点，，连接、、、， ，， 四边形是平行四边形，且面积为：，为对角线， 如图所示，平行四边形即为所求： 【小问3详解】 如图所示，平行四边形即为所求： 先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得，则四边形是平行四边形， 四边形面积． 20. ．已知一次函数与反比例函数相交于、两点，且点坐标为，点的横坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）根据图象直接写出使得时x的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可解决问题． （2）观察图象时，的图象在的图象的下面，由此即可写出的取值范围． 【小问1详解】 将点代入， 解得：． 反比例函数解析式为． 令，得：， 点坐标． 把，代入得： ， 解得：， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 由图象可知时，或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图象的交点，学会待定系数法是解决问题的关键，学会观察图象由函数值的大小确定自变量的取值范围，属于中考常考题型． 21. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：≌； （2）判定四边形AODF的形状并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵E是AD的中点， ∴AE=DE， ∵DF∥AC， ∴∠OAD=∠ADF， ∵∠AEO=∠DEF， ∴△AOE≌△DFE（ASA）； （2） 解：四边形AODF为矩形． 理由：∵△AOE≌△DFE， ∴AO=DF， ∵DF∥AC， ∴四边形AODF为平行四边形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 即∠AOD=90°， ∴平行四边形AODF为矩形． 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的判定定理即可； （2）先证明四边形AODF为平行四边形，再结合∠AOD=90°，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键． 22. 某教育局为了解初中毕业年级学生的体质情况，从某校九年级学生中随机抽取的学生进行体质监测．根据《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准：90分及以上为优秀；80分～89分为良好；60分～79分为及格；60分以下为不及格，将测试成绩制成如下图表． 各等级学生频率分布表 成绩 频数 频率 优秀 16 b 良好 a 0.24 及格 18 0.36 不及格 4 0.08 请根据图表信息回答下列问题： （1）表格中的a=　 　，b=　 　． （2）已知“80分～89分”这组的数据如下：81，83，84，85，85，81，80，86，87，88，83，85，则所抽取的这些学生体质监测成绩的中位数是 　 　． （3）求参加本次体质监测的学生的平均成绩． （4）请估计该校九年级体质监测成绩未达到“良好”等级及以上的学生人数． 【答案】（1）12，0.32 （2）82 （3）78.4 （4）110人 【解析】 【分析】（1）根据不及格的人数及其对应频率可得抽取的学生总人数，根据各组频数之和等于数据总数可得a的值，根据各组频率之和等于1可得b的值； （2）根据中位数的意义进行解答即可； （3）根据平均数公式计算即可； （4）用样本中成绩为未达到“良好”等级及以上的学生数除以即可． 【小问1详解】 抽取的学生总人数为(人， ， ． 故答案为：12，0.32； 【小问2详解】 将九年级学生测试成绩为“80分分”这组的数据重新排列为80，81，81，83，83，84，85，85，85，86，87，88， 不及格和及格段的学生一共有(人，优秀的学生有16人， 所抽取的50名学生测试成绩中间的两个数分别是是81分和83分， 所抽取的50名学生测试成绩的中位数应该是(分， 故答案为：82； 【小问3详解】 ． 答：参加本次体质监测的学生的平均成绩为78.4． 【小问4详解】 (人． 答：该校九年级体质监测成绩未达到“良好”等级及以上的学生人数约为110人． 【点睛】本题考查统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数的意义是正确解答的前提，用到样本估计总体是统计中常用的方法． 23. 【操作感知】如图1，在矩形纸片的边上取一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，则的大小为______度． 【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点Q，连接． （1）判断与的关系并证明； （2）若正方形的边长为4，点P为中点，则的长为______． 【答案】【操作感知】：30； （1）判断：， 证明：∵正方形纸片按照【操作感知】进行折叠， ∴ 在和中， ， ∴， 即； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，长方形的性质，全等三角形的判定等知识， 操作感知：根据折叠求出，即可得出结论； 迁移探究：（1）根据证即可； （2）设的长为x，则，,利用勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：【操作感知】：由折叠知，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30； 【迁移探究】（1）略 （2）设的长为x， ∵正方形的边长为4，点P为中点， ∴，，， 在中，， 即， 解得 故答案为：． 24. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点的坐标为，，且，．若、为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点、的“相关矩形”，如图①为点、的“相关矩形”示意图．若点，点． （1）当时，在图②中画出点、的“相关矩形”并求它的周长． （2）若点P、Q的“相关矩形”为正方形，求m的值． （3）已知一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，若在线段AB上存在一点C，使得点C、Q的“相关矩形”是正方形． ①点A的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　． ②直接写出m的取值范围． 【答案】（1）见解析，14 （2）6或 （3）①，；②或 【解析】 【分析】（1）根据点、的“相关矩形”的定义画出图形，利用矩形的周长公式即可求得点、的“相关矩形”的周长． （2）利用点、的“相关矩形”的定义可得：，，即，，根据正方形的性质可得，即，解方程即可得出答案． （3）①分别令和，代入中即可得解； ②设，且，则，，可得，，根据正方形性质可得，即，得出或，利用不等式性质即可求得答案． 【小问1详解】 当时，，点、的“相关矩形” 如图所示： 四边形是矩形， ，， 矩形的周长． 【小问2详解】 ，，轴，轴，轴，轴， ，， ，， 四边形是正方形， ， ， 或． 【小问3详解】 ①在一次函数中，令，得，令，得， ，， 故答案为：，，． ②如图， 点线段上， 设，且， 则，， ，， 点、的“相关矩形”是正方形，即四边形是正方形， ，即， 或， 当时， ， ， 即； 当时， ， ， 即； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查新定义问题，涉及一次函数的图象和性质，矩形的性质，正方形的性质，解答本题需要我们理解点、的“相关矩形”的定义，对学生的综合能力要求较高，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $