精品解析：2025年6月北京市三帆中学中考三模数学试卷

北京市三帆中学初三第二学期6月数学阶段练习 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有—个． 1. 下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移2个单位长度，得到点C．若，则a的值为（ ） A. B. C. D. 1 3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积（单位：平方米）与工作时间（单位：小时）的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为 A. 40平方米 B. 50平方米 C. 80平方米 D. 100平方米 5. 若代数式的值为0，则满足要求的所有x的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 0或 D. 0或1 6. 若正多边形的一个顶点出发有条对角线，则该正多边形的边数是（ ） A. B. C. D. 7. 为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价．水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：m3），绘制了统计图．如图所示，下面四个推断（ ） ①年用水量不超过180m3的该市居民家庭按第一档水价交费； ②年用水量超过240m3的该市居民家庭按第三档水价交费； ③该市居民家庭年用水量的中位数在150－180之间； ④该市居民家庭年用水量的平均数不超过180． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 8. 中，，，点D在边上（不与A，B重合），过点D作交于E，将绕点A旋转得到，下列结论一定正确的是（ ） ① ②只有当时，成立； ③当D与重合时； ④旋转过程中的度数与旋转角，有一定数量关系； ⑤旋转过程中的度数与有一定数量关系； A. ①③⑤ B. ①②④ C. ①③④ D. ④⑤ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 4月24日是中国航天日．1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示为________． 10. 如图，直线a，b被直线c所截，若，，若，则等于________． 11. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高是______． 12. 在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点A关于y轴的对称点B在双曲线上，则的值为_______． 13. 关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=________，b=________． 14. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为：______（填“”，“”或“”）． 15. 如图，在等边各边上分别截取，再分别过点D，E，F作的垂线，得到等边，若，则的长为______． 16. 如图所示，在一个半径为的圆形轨道所在平面内，垂直立一根柱子，设轨道到柱子的最近距离为，在圆形轨道上有精密测距仪，可以在轨道的不同的n个位置测量离柱子的距离，用，，，表示个不同位置测量的距离． 当时，此时为轨道与柱子的最佳位置，此时的为最佳距离． （1）当最佳距离时，的最大值为______； （2）当的最大值为时，最佳距离d的范围是______． 三、解答题 17. 计算： 18. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在平行四边形中，对角线平分，点E，F分别在，上，，连接，． （1）求证：菱形 （2）延长交的延长线于点G，连接交于点O，若，，求的长． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 22. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下： a.16名学生的身高： 161，162，162，164，165，165，165，166， 166，167，168，168，170，172，172，175 b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 166.75 m n （1）写出表中m，n的值； （2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 162 165 165 166 166 乙组学生的身高 161 162 164 165 175 （3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______． 23. 我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到600元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折． 小熊 钥匙扣 套装 进价 13 3 售价 16 4 购买意向占比 （1）出售一份套装可获得的利润是______元； （2）为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况（见表格），若按照这个百分比情况定制商品，至少分别定制小熊和钥匙扣各多少个，才能筹集到600元资金（即获得600元利润）？ 24. 如图，中，，点A在外，是的弦，，连接，若交于点E，交于点F，满足． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 25. 中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 10 6.25 根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：________； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 26. 在平面直角坐标系中，已知二次函数 （1）当二次函数经过点时，①求该二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标；②一次函数的图象经过点A，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上．若，求n的取值范围． （2）点在二次函数图象上，且时，求t的取值范围． 27. 已知：中，，，内部存在点D使得，． （1）请你在图1中尺规作图，作出点D的位置，若此时，求出的度数； （2）请你根据图2，猜想与的数量关系，并证明你的猜想 28. 已知：图形和图形，以及点，给出如下定义：在图形上存在点，图形上的点关于直线的对称点记为点，则称点是图形与图形的相对点，符号表示为：【图形，图形，】． （1）在平面直角坐标系中，点，点，若【点，直线，】则求点的坐标；为了解决此问题小洋同学做了如图所示的操作：在直线上取了不与重合的点，找到了点关于直线的对称点． ①请你根据小洋同学的做法，若【点，直线，】，则此时点的坐标为______； ②已知圆的半径为，若【圆，直线，】，请你在图中画出所有满足要求的点的轨迹； （2）在平面直角坐标系中，已知点，． ①已知，圆的半径为1，【圆，线段，】，当点在线段上时，求的取值范围； ②当，，圆的半径为，【线段，圆，】，点在圆上时，直接写出的最大值与最小值的差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市三帆中学初三第二学期6月数学阶段练习 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有—个． 1. 下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意； B．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移2个单位长度，得到点C．若，则a的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴和绝对值方程的解法，用含a的式子表示出点C是解决本题的关键． 先用含a的式子表示出点C，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：由题意知：A点表示的数为a，B点表示的数为3，C点表示的数为， ， ， 解得或5， ， ， 故选：C． 3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：∵1，2，3，4，5中大于2的有3、4、5，共3个， ∴从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为． 故选C． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中． 4. 园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积（单位：平方米）与工作时间（单位：小时）的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为 A. 40平方米 B. 50平方米 C. 80平方米 D. 100平方米 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为160﹣60=100平方米，每小时绿化面积为100÷2=50（平方米）． 故选B． 考点：函数的图象． 5. 若代数式的值为0，则满足要求的所有x的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 0或 D. 0或1 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查分式值为零的条件：分子等于零，且分母不等于零，据此列得等式或不等式，求出答案． 【详解】解：∵代数式的值为0， ∴，且， 解得：或，且， ∴， 故选：B． 6. 若正多边形的一个顶点出发有条对角线，则该正多边形的边数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，解题关键是掌握多边形对角线的条数求法． 根据正多边形的一个顶点出发有15条对角线，列出方程求解． 【详解】解：设该正多边形的边数是， ∵正多边形的一个顶点出发有15条对角线， ∴，解得：， 故选：D． 7. 为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价．水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：m3），绘制了统计图．如图所示，下面四个推断（ ） ①年用水量不超过180m3的该市居民家庭按第一档水价交费； ②年用水量超过240m3的该市居民家庭按第三档水价交费； ③该市居民家庭年用水量的中位数在150－180之间； ④该市居民家庭年用水量的平均数不超过180． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】①将年用水量在180 m3及以下的数据相加，再除以数据的个数即可得；②将年用水量在240m3以上的数据相加，再除以数据的个数即可得；③利用条形统计图结合中位数的定义分别分析得出答案；④结合中位数和统计图的数据判断即可． 【详解】年用水量不超过180 m3的居民家庭有：0.25＋0.75＋1.5＋1＋0.5＝4（万），＝80%，所以，①正确； 年用水量超过240 m3的居民家庭有：0.15＋0.15＋0.05＝0.35（万），＝7%，故②不正确； 30-120的有2.5万人，120－330的有2.5万人，中位数应该是120，故③不正确； 由于中位数为120，用水量小于150的有3.5万人，所以该市居民家庭年用水量的平均数不超过180，④正确． 故选B． 【点睛】此题主要考查了频数分布直方图，正确利用条形统计图获取正确信息是解题关键． 8. 中，，，点D在边上（不与A，B重合），过点D作交于E，将绕点A旋转得到，下列结论一定正确的是（ ） ① ②只有当时，成立； ③当D与重合时； ④旋转过程中的度数与旋转角，有一定数量关系； ⑤旋转过程中的度数与有一定数量关系； A. ①③⑤ B. ①②④ C. ①③④ D. ④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形相似的判定，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，角的和差计算解答即可. 本题考查了三角形相似的判定，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，角的和差计算，熟练掌握判定和性质是解题的关键. 【详解】解：∵， ∴， ∵绕点A旋转得到， ∴， ∴， 故①正确； 当时，根据题意， ，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 也成立； 故②错误； 当D与重合时， 根据题意，得， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 故③正确； ∵如图，根据旋转的性质，得，， ∴，同理可证，， ， ∴， ， ∴， ∴， 故旋转过程中的度数与旋转角，没有关系；旋转过程中的度数与有一定数量关系正确； 故④错误；⑤正确； 故选：A. 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 4月24日是中国航天日．1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为()，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】按照科学记数法的表示方式，439000可以表示为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，准确确定的值以及的值是解答本题的关键． 10. 如图，直线a，b被直线c所截，若，，若，则等于________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．由得，，由及已知，可求得的度数，从而可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定及性质可得（），进而可求解． 【详解】解：，且， ， ，即：， 解得：（）， （）， 树高是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点A关于y轴的对称点B在双曲线上，则的值为_______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和对称的性质，解题的关键在于根据对称求出点B的坐标，从而求得k值． 先求出，而点A与点B关于y轴的对称，则，即可得到，即可求解． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴； 又∵点A与点B关于y轴的对称， ∴ ∵点B在双曲线上， ∴； ∴； 故答案为：0． 13. 关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=________，b=________． 【答案】 ①. 4 ②. 2 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根， ∴ ∴b2-a=0， ∴a=b2， 当b=2时，a=4， 故b=2，a=4时满足条件． 故答案为4，2（答案不唯一） 14. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为：______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于，连接，判定四边形是平行四边形，得到的面积，因此的面积，求出的面积，得到的面积的面积，即可得到答案．本题考查三角形的面积，平行四边形的判定和性质，关键是求出的面积，得到的面积的面积． 【详解】解：连接交于，连接， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形的面积， 的面积， 的面积， 的面积的面积， 的面积的面积， 的面积的面积． 故答案为：． 15. 如图，在等边各边上分别截取，再分别过点D，E，F作的垂线，得到等边，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰直角三角形、等腰三角形、解直角三角形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图1所示，三个等腰三角形的面积和等于等边三角形的面积，故阴影三角形的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和．不妨设等边三角形边长为a，则．如图2所示，过点R作于点M，则，根据列方程求出AD的长度即可． 【详解】解：如图1所示，分别延长，交的延长线于点S、T、W． 由题意易得：均为底角是的等腰三角形，其底边长均等于的边长． 不妨设等边三角形边长为a，则． 如图2所示，过点R作于点M，则， 在中，， ∴， 如图：过点A作于点N，设，则， ∴． ∵三个等腰三角形的面积和， ∴， ∴，得，解得或（不合题意，舍去）， ∴的长为． 故答案为． 16. 如图所示，在一个半径为的圆形轨道所在平面内，垂直立一根柱子，设轨道到柱子的最近距离为，在圆形轨道上有精密测距仪，可以在轨道的不同的n个位置测量离柱子的距离，用，，，表示个不同位置测量的距离． 当时，此时为轨道与柱子的最佳位置，此时的为最佳距离． （1）当最佳距离时，的最大值为______； （2）当的最大值为时，最佳距离d的范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查圆上一点到圆外直线的距离，解题的关键是正确理解题意． （1）根据圆的性质，当最佳距离时，利用圆上一点到圆外一点距离的最值关系求解最大值； （2）根据以及圆上点到圆外一条直线的距离的取值范围，结合的最大值为，建立不等式求解，即可得最佳距离的范围． 【详解】（1）解：如图，轨道圆心记为点，立柱所在直线记为，作，与交于点，点，与交于点， 根据题意可知，， ∴， 当最佳距离时，， ∴， ∴， 的最大值为， 故答案为：． （2）解：当时，， 根据题意可得，， ∵，， ∴， ∴， 当的最大值为时， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17. 计算： 【答案】5 【解析】 【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，再合并即可得到答案． 【详解】解：原式= 【点睛】本题考查的是负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，以及合并同类二次根式，掌握以上的知识是解题的关键． 18. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 【答案】不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3． 【解析】 【分析】先解不等式组求出x的取值范围，然后找出符合范围的非负整数解． 【详解】解： 由不等式①得：x≥－2， 由不等式②得：，， ∴不等式组的解集为：， ∴x的非负整数解为：0，1，2，3． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的非负整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值，先将分式的分子、分母分别因式分解，约分化为最简结果，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ． 20. 如图，在平行四边形中，对角线平分，点E，F分别在，上，，连接，． （1）求证：菱形 （2）延长交的延长线于点G，连接交于点O，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，与交于点， ∵对角线平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， 又∵四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件可证得，则，根据可得，由于四边形是平行四边形即可得证； （2）根据菱形的性质和已知条件得出四边形为平行四边形，得出，再根据，求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图： 由（1）可知四边形是菱形， 又， ，，， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 则的长为． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行线的判定与性质、解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由函数解析式可得直线与直线都经过点，由直线经过点，可知当直线经过点或时，有，求出的值再结合函数图象解答即可求解； 两种情况解答即可； 本题考查了一次函数的平移，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，理解题意并利用数形结合思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 将点代入得，， ∴， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴直线与直线都经过点， 当时，， ∴直线经过点， 当直线经过点或时，有，画图如下： 当直线经过点时，， 解得； 当直线经过点时，， 解得； ∵当时，对于的每一个值，， ∴或． 22. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下： a.16名学生的身高： 161，162，162，164，165，165，165，166， 166，167，168，168，170，172，172，175 b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 166.75 m n （1）写出表中m，n的值； （2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 162 165 165 166 166 乙组学生的身高 161 162 164 165 175 （3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______． 【答案】（1），； （2）甲组 （3）170， 172 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可； （3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于，结合其余学生的身高即可做出选择． 【小问1详解】 解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175， 出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数， 16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166， ∴中位数， ∴，； 【小问2详解】 解：甲组身高的平均数为， 甲组身高的方差为 乙组身高的平均数为， 乙组身高的方差为， ∵ ∴舞台呈现效果更好的是甲组， 故答案为：甲组； 【小问3详解】 解：168，168，172的平均数为 ∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于， ∴数据的差别较小，数据才稳定， 可供选择的有：170， 172， 且选择170， 172时，平均数会增大， 故答案为：170， 172． 【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：方差越小数据越稳定是解题的关键． 23. 我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到600元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折． 小熊 钥匙扣 套装 进价 13 3 售价 16 4 购买意向占比 （1）出售一份套装可获得的利润是______元； （2）为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况（见表格），若按照这个百分比情况定制商品，至少分别定制小熊和钥匙扣各多少个，才能筹集到600元资金（即获得600元利润）？ 【答案】（1）2 （2）至少定制小熊195个，定制钥匙扣165个． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数混合运算的应用等知识点，熟练掌握有关利润问题的等量关系是解题的关键． （1）根据利润、售价、折扣与进价的关系列式计算即可解答； （2）设设销售总份数为x件，根据小熊的利润，钥匙扣的利润与套装的利润和等于总利润600元，列出方程进行求解即可解答． 【小问1详解】 解： ． ∴出售一份套装可获得的利润是2元． 故答案为：2． 【小问2详解】 解：设设销售总份数为x件， 由题意得：， 解得：， ∴单独买小熊：（个）， 单独买钥匙扣：（个）， 买套装：（套）， ∴至少定制小熊：（个），定制钥匙扣：（个）． 答：至少定制小熊195个，定制钥匙扣165个． 24. 如图，中，，点A在外，是的弦，，连接，若交于点E，交于点F，满足． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）由得，则，由得，则，求得，即可证明与相切； （2）由，根据垂径定理得，，再证得，得，则，所以，则，，由求得，所以，，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得：, ， 整理得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ，， ， 的长为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂径定理、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 25. 中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 10 6.25 根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：________； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【答案】（1）11.25， （2） （3）她当天的比赛不能成功完成此动作 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解； （2）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可； （3）先求出c的值，再求出时的y值，进行判断即可． 【小问1详解】 解：根据表格得：函数图象过点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：对于 当时， 解得：，（不合题意，舍去） ∴米 对于， 当时， 解得：，（不合题意，舍去） ∴ ∵ ∴； 【小问3详解】 解： ∴点坐标为 ∴ ∴ 当时， ∵ 即她在水面上无法完成此动作 ∴她当天的比赛不能成功完成此动作 26. 在平面直角坐标系中，已知二次函数 （1）当二次函数经过点时，①求该二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标；②一次函数的图象经过点A，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上．若，求n的取值范围． （2）点在二次函数图象上，且时，求t的取值范围． 【答案】（1）①，；②或 （2）或 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法求出二次函数解析式，再把二次函数解析式化为顶点式求出其顶点坐标即可；②先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出，，根据，得到，令，利用二次函数的性质求出当或时，，则当或时，； （2）先求出，，则，再由，得到，解不等式组即可得到答案． 【小问1详解】 解：①∵二次函数经过点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为； ②∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 令， 在中，当时，即， 解得或， ∴由函数图象可知，当或时，， ∴当或时，； 【小问2详解】 解：∵点在二次函数图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，解不等式组，灵活运用所学知识是解题的关键． 27. 已知：中，，，内部存在点D使得，． （1）请你在图1中尺规作图，作出点D的位置，若此时，求出的度数； （2）请你根据图2，猜想与的数量关系，并证明你的猜想 【答案】（1） 如图，点即为所求； （2） 解：，证明如下：记与的交点为， ∵为的中垂线， ∴， ∴， ∴， 设，而， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴，而， ∴， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线，在的内部作，且在上，求解，结合，可得，，可得，，，进一步可得答案； （2）记与的交点为，证明，，设，而，可得，，，，，证明，进一步可得，证明，可得，结合，可得，进一步可得答案． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 28. 已知：图形和图形，以及点，给出如下定义：在图形上存在点，图形上的点关于直线的对称点记为点，则称点是图形与图形的相对点，符号表示为：【图形，图形，】． （1）在平面直角坐标系中，点，点，若【点，直线，】则求点的坐标；为了解决此问题小洋同学做了如图所示的操作：在直线上取了不与重合的点，找到了点关于直线的对称点． ①请你根据小洋同学的做法，若【点，直线，】，则此时点的坐标为______； ②已知圆的半径为，若【圆，直线，】，请你在图中画出所有满足要求的点的轨迹； （2）在平面直角坐标系中，已知点，． ①已知，圆的半径为1，【圆，线段，】，当点在线段上时，求的取值范围； ②当，，圆的半径为，【线段，圆，】，点在圆上时，直接写出的最大值与最小值的差． 【答案】（1）①； ②如图所示， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）①根据题意在直线上取了不与重合的点，找到了点关于直线的对称点，即可求解； ②根据新定义，找到点关于直线的对称点，以为圆心为半径的作圆，则即为点的轨迹 （2）①根据新定义，画出图形，，则在以为圆心为半径的圆上运动，则在以为圆心,，为半径的两圆之间，当在线段上且在第一象限时，即与以为半径的相切时，取得最大值，即取得最大值，当在第三象限时，取得最小值即可求解； ②同①可得的轨迹为为圆心为半径的圆，当，即与相切与第一象限时可得的最大值，同理可得当在轴负半轴时，取得最小值，进而即可求解． 【小问1详解】 解：①如图所示，在直线上取了不与重合的点，找到了点关于直线的对称点． 故答案为：． ②已知圆的半径为，若【圆，直线，】，找到点关于直线的对称点，以为圆心为半径的作圆，则即为点的轨迹； 【小问2详解】 ①如图所示，∵【圆，线段，】， ∴，则在以为圆心为半径的圆上运动， 则在以为圆心,，为半径的两圆之间， ∴当在线段上且在第一象限时，即与以为半径的相切时，取得最大值，即取得最大值，当在第三象限时，取得最小值， ∵，． ∴， ∴， ∴， 当时， ∴中，， 则 ∴ 同理可得当在第三象限时， 综上所述，当； ②如图所示，同①可得的轨迹为为圆心为半径的圆，当，即与相切与第一象限时可得的最大值，此时如图， ∴， 则， ∴的最大值为， 如图所示，当在轴负半轴时，当时，如图所示，的最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，新定义，直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，切线的性质，勾股定理，解直角三角形，一次函数与坐标轴的交点问题，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $