上海市金山区西林中学2024-2025学年八年级下学期月考数学试卷（5月份）

2024－2025学年上海市金山区西林中学八年级（下）月考 数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列关于x的函数是一次函数的是（ ） A．y＝3x B．y＝kx＋b C． D． 2．下列关于x的方程中，一定有实数根的是（ ） A． B． C． D． 3．当b＜0时，直线的图象经过（ ） A．一、二、三象限 B．一、三、四象限 C．二、三、四象限 D．一、二、四象限 4．二元二次方程组的解的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 6．下列判断中正确的是（ ） A．四边相等的四边形是正方形 B．四角相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分． 7．已知，直线y＝kx－3与直线平行，那么k＝______． 8．方程的根是______． 9．方程：的根是______． 10．关于x的方程x（a＋2）＝2x＋1（a≠0）的解是______． 11．用换元法解分式方程时，若设，则原方程化成的关于y的整式方程是______． 12．一个n边形的每个外角都相等且等于72°，那么n＝______． 13．已知，函数是一次函数，且函数值y随x的值增大而减小，那么m＝______． 14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，，点E、F分别是腰AB、DC的中点，若 AD＝2，EF＝3， 那么BC＝______． 15．如图，已知ABCD的对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，∠DAE＝60°，AE＝2，AC＋BD＝12，那么△BOC的周长等于______． 16．某高速公路由于遭受冰雪灾害而瘫痪，解放军某部承担一段长1500米的清除公路冰雪任务．为尽快清除公路冰雪，该部官兵每小时比原计划多清除20米冰雪，结果提前24小时完成任务，该部原计划每小时清除公路冰雪多少米？若设原计划每小时清除公路冰雪x米．则可得方程______． 17．已知菱形的周长为，对角线之和为8，则菱形的面积为______． 18．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点B落在点处，点C落在点处，且．联结C和C，那么△C的面积等于______． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 19．解方程组：． 四、解答题：本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20．（本小题6分）解方程：． 21．（本小题7分）某公司在“5.12”四川汶川大地震中车辆损失严重，重建急需用车，但暂时又无力构成，于是准备与出租车公司签订租车合同．以每月行驶x千米计算，甲出租车公司的月租车费用时元，乙车租车公司的月租车费用时元，如果＝f（x），＝g（x），这两个函数的图象如图所示． （1）求函数＝f（x）的解析式； （2）如果每月用车的行驶路程为2300千米，那么租用哪家公司的车合算？请说明理由． 22．（本小题7分）如图，在平面直角坐标系中，点O的坐标原点，已知直线y＝kx＋3与x轴、y轴分的别相交于点E、F，且点E的坐标为（－4，0）． （1）求k值； （2）若点P（x，y）是线段EF上的一点，△OPE的面积为2，求点P的坐标． 23．（本小题7分）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∠ACB＝30°，BC＝4． （1）求证：∠AOD＝120°； （2）求AC的长． 24．（本小题8分）甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲乙两店各进货多少箱饮料？ 25．（本小题8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上， DF⊥AB，垂足为F，且DF＝CD，点E为线段AD的中点，过点F作FG∥CE交射线AD于G，联结CG． （1）求证：四边形CEFG是菱形． （2）当AC＝BC时，求证：四边形CEFG是正方形． 26．（本小题9分）如图，已知正方形ABCD的边长为3，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形的边AB、CD、DA上，AH＝1，联结CF． （1）当DG＝1时，求证：菱形EFGH为正方形； （2）设DG＝x，△FCG的面积为y，写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围； （3）当时，求∠GHE的度数． 参考答案 1．【答案】A 【解析】解：A、y＝3x是一次函数，故A符合题意； B、y＝kx＋b（k，b为常数且k≠0）是一次函数，故B不符合题意； C、不是一次函数，故C不符合题意； D、不是一次函数，故D不符合题意； 故选：A． 根据一次函数的一般形式：y＝kx＋b（k，b为常数且k≠0），，逐一判断即可解答． 本题考查了一次函数的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．【答案】C 【解析】解：由知，故无实数解，A不符合题意； 由知，故无实数解，B不符合题意； 有实数解．x＝0和x＝1，故C符合题意； 没有x的值能同时满足和，故无实数解，D不符合题意； 故选：C． 根据算术平方根，平方的非负性逐项判断即可． 本题考查无理方程的解，解题的关键是掌握算术平方根，平方的非负性． 3．【答案】B 【解析】解：由题意，∵一次函数为， ∴．又∵b＜0，∴当b＜0时，直线的图象经过第一、三、四象限． 故选：B． 依据题意，由一次函数为，则，结合b＜0，故当b＜0时，直线的图象经过第一、三、四象限，进而可以得解． 本题主要考查了一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 4．【答案】C 【解析】解：， 由①得x＝－1或y＝2，当x＝－1时y＝1， 当y＝2时x＝±，所以方程组的解或或 故选：C． 先由方程①求出x，y的值，代入②，求解，即可得出结论． 本题主要考查解方程的能力，体现数学中化归思想，消元和降次是解此类问题的关键． 5．【答案】C 【解析】解：如图：∵四边形ABCD是菱形， E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， ∴EF∥HG∥AC，EF＝HG＝AC，EH∥FG∥BD，EH＝FG＝BD， 故四边形EFGH是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴EH⊥EF， ∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是矩形． 故选：C． 先证明四边形EFGH是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断． 本题主要考查了菱形的性质和矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键． 6．【答案】D 【解析】解：A错误，四边相等的四边形是菱形； B错误，四角相等的四边形是矩形； C错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形； D正确，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； 故选：D． 根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，对各个选项进行分析． 此题主要考查正方形、矩形、菱形的判定． 7．【答案】 【解析】解：∵直线y＝kx－3与直线y＝x＋4平行， ∴k＝，故答案为：． 两直线平行，则两比例系数相等，据此可以求解． 本题考查了两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟知两直线平行时两比例系数相等． 8．【解析】解：两边平方得：，解得， 经检验，x＝－1是增根，x＝3是原方程的解，故答案为：x＝3． 两边平方化为有理方程，解出x后再检验即可． 本题考查解无理方程，解题的关键是两边平方，化为有理方程． 9．【解析】解：如图，在同一坐标系中画出函数函数直线y＝x， 两直线的交点坐标是（－1，－1）和（2，2）， ∴方程：的根为，故答案为． 分别作出函数函数直线y＝x，然后在坐标系中找出交点的坐标，横坐标就是方程的根，此题主要考查了反比例函数和一次函数的图象及分式方程的图象解法． 10．【解析】解：去括号得：ax＋2x＝2x＋1，移项得：ax＋2x－2x＝1， 合并同类项得：ax＝1，系数化1得：．故答案为：（a≠0）． 此题首先去括号，再移项、合并同类项，系数化1求解． 此题考查的知识点是解一元一次方程，关键是由已知先去括号，移项合并同类项，注意已知a≠0． 11．【解析】解：，则，代入原方程得：， 方程两边同乘以y整理得：． 观察方程的两个分式具备的关系，若设，则原方程另一个分式为．可用换元法转化为关于y的分式方程．去分母即可． 换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 12．【解析】解：∵n边形的每个外角都相等，∴这个n边形是正多边形， ∵多边形的外角和为360°，∴多边形的边数为360°÷72°＝5． 故答案为：5． 先判断出这个多边形为正多边形，利用多边形的外角和除以外角度数可得多边形的边数． 本题考查了正多边形的性质和外角和，能够识记多边形外角和为360°是解答问题的关键． 13．【解析】【解答】解：因为函数是一次函数， 函数值y随x的值增大而减小，所以1－m＜0且， 解得：，故答案为：． 【分析】本题考查了一次函数的定义和性质，注意：①形如y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫一次函数，②已知一次函数y＝kx＋b（k≠0），那么当k＜0时，y随x的增大而减小，当k＞0时，y随x的增大而增大． 根据一次函数的定义和性质得出1－m＜0且，再求出m即可． 14．【解析】解：∵点E、F分别是梯形ABCD的腰AB、DC的中点， ∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF＝（AD＋BC）， ∴BC＝2EF－AD，∵AD＝2，EF＝3，∴BC＝2×3－2＝4， 故答案为：4． 点E、F分别是梯形ABCD的腰AB、DC的中点，可知EF是梯形ABCD的中位线，则EF＝（AD＋BC），即可由AD＝2，EF＝3，求得BC＝4，于是得到问题的答案． 此题重点考查菱形的中位线定理，推导出EF＝（AD＋BC）是解题的关键． 15．【解析】解：∵AE⊥BD于点E，∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°， ∵AE＝2，∴AD＝4，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝4，∵AC＋BD＝12，∴DO＋CO＝6， ∴△COB的周长是10．故答案为：10． 首先得出AE＝BE，再利用勾股定理得出AB的长，即可得出CD的长，再利用平行四边形的对角线互相平分进而得出CO＋DO的值，即可得出答案． 此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 16．【解析】解：原计划每小时清除公路冰雪x米，所以需要的时间为：；实际小时比原计划多清除20米，所以实际的工作效率为（x＋20）米，需要时间为：； 故答案为：． 有工作总量1500，求的是工作效率，那么一定是根据工作时间来列等量关系的．关键描述语是：“提前24小时完成任务”．等量关系为：原计划用的时间－实际用的时间＝24． 应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，本题需注意实际工作效率的求法． 17．【解析】解：∵菱形的周长为， ∴菱形的边长为，∵对角线的和为8，∴AO＋BO＝4 ∴，∴， ∴，∴， ∵．故答案为：4． 根据题意得出菱形的边长，进而利用勾股定理得出，再利用完全平方公式求出即可． 此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，得出2AO·BO＝4是解题关键． 18．【解析】解：如图，设与AC交于H， ∵AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，⊥AC，∴BH＝2， ∴，∵将△ABC绕点A顺时针旋转， ∴，，且⊥AC， ∴，，∴， 且，∴△CA是等边三角形， ∴△C的面积， 故答案为：． 由直角三角形的性质可求BH＝2，可求△ABC的面积，由旋转的性质可得，，， 可证△CA是等边三角形，由面积和差关系可求解． 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 19．【解析】先将第二个方程变形为x－y＝1或x－y＝－1，再和第一个方程组合得到两个二元一次方程组，再分别解这两个二元一次方程组即可． 本题考查的是二元二次方程组的解法，通过因式分解，将原方程组转化为两个二元一次方程组，从而求解． 20．【解析】先去分母，然后整理可解得，再进行检验，进而得出答案． 本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的计算步骤是解题的关键． 21．【解析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式方法，将点（1500，200）、（0，100）代入解析式即可； （2）利用已知得函数＝g（x）的图象经过点（1500，200），求出，得出答案即可． 此题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用是中考中考查重点，同学们应重点掌握． 22．【解析】（1）由题意，将点E（－4，0）代入到y＝kx＋3中， ∴0＝－4k＋3＝0，∴． （2）由题意，∵，∴直线EF的解析式为：． ∵点E的坐标为（－4，0），∴OE＝4， ∴，∴． 令中y＝1，∴，∴ 故当△OPE的面积为2时，点P的坐标为（，1）． （1）依据题意，将点E的坐标代入一次函数解析式中，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论； （2）依据题意，结合（1）中得k值可得出一次函数解析式，由点E的坐标可得出线段OE的长度，根据三角形的面积公式可求出点P的纵坐标，将点P的纵坐标代入一次函数解析式中即可求出点P的横坐标，由此即可得出结论． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出k值； （2）根据三角形的面积公式求出P点的纵坐标． 23．【解析】（1）由四边形ABCD是矩形知BO＝CO， 据此得∠OBC＝∠OCB，再由∠ACB＝30°知∠OBC＝30°， 结合∠OBC＋∠OCB＋∠BOC＝180°得∠BOC＝120°，继而得证； （2）由四边形ABCD是矩形知∠ABC＝90°，结合∠ACB＝30° 得AC＝2AB，根据，BC＝4可求得，从而得出答案． 本题主要考查矩形的性质，矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． 24．【解析】设甲店进货x箱，乙店进货（25－x）箱， 根据甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱， 由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元． 当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元， 比乙店少350元，可列方程求解． 本题考查分式方程的应用，设出进货数，以价格差做为等量关系可列方程求解． 25．【解析】（1）根据全等三角形的判定和性质得到∠CAD＝∠FAD， AC＝AF，CG＝FG，∠CGA＝∠FGA，由平行线的性质得到∠FGA＝∠CEG， 推出CE＝CG，得到CE＝CG＝GF＝EF，于是得到结论； （2）根据三角形的内角和得到， 求得∠CAD＝∠FAD＝22.5°，根据等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠ECA＝22.5°， ∠FAE＝∠EFA＝22.5°，求得∠CEF＝∠CEG＋∠CEF＝90°， 根据正方形的判定定理即可得到结论． 本题考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 26．【解析】（1）先求出HG，再判断出△AHE≌△DGH， 得出∠AHE＝∠DGH，进而判断出∠GHE＝90°，即可得出结论； （2）先判断出∠HEA＝∠FGM，进而判断出△AHE≌△MFG． 得出FM＝HA＝1，即可得出结论； （3）利用勾股定理依次求出， 进而判断出GH＝HE＝GE，即可得出结论． 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$