精品解析：江苏省无锡市江阴市夏港中学2024-2025学年九年级下学期3月作业反馈数学试题

初三数学月质量检测（3月） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 设计师石昌鸿耗时两年，将34个省市的风土人情、历史典故转化为形象生动的符号，别具一格．石昌鸿设计的以下省市的简称标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列整式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某中学足球队的18名队员的年龄情况如下表： 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 17 人数 3 6 4 4 1 则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A. 14，14 B. 14，14.5 C. 14，15 D. 15，14 5. 如图，是的外接圆，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长等于（ ） A. 2 B. C. D. 8. 下列命题中，真命题是（ ）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 9. 如图，第一象限的点A、B均在反比例函数的图象上，作轴于点C，轴于点D，连接，若，则的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 已知在平行四边形中， ，，点E在上，，将沿翻折到，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 在科技创新的强力驱动下，中国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领跑世界．截至2023年底，我国高铁营业里程达到．数据45000用科学记数法表示为______． 12. 使有意义的x的取值范围是______． 13. 分解因式：______． 14. 命题：“如果，那么”的逆命题是______．（填“真命题”或“假命题”） 15. 某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式：______． 16. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则________． 17. 如图，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形 ，使点E落在边 上， 且点 D 巧合是的中点， 若 则 的值为______． 18. 如图，在直角坐标系中，，D是上一点，B是y正半轴上一点，且，，垂足为E， （1）当D是的中点时，___________； （2）求的最小值___________； 三、解答题（共76分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）解方程：； （4）解不等式组：． 20. 某校为掌握九年级学生每周的自主学习情况，学生会随机抽取九年级的部分学生，调查他们每周自主学习的时间，并把自主学习的时间（）分为四种类别：，，，，将分类结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）求出本次抽样调查的样本容量为________________； （2）补全频数分布直方图，并计算扇形统计图中所在扇形的圆心角的度数为____________； （3）根据调查结果可知，自主学习时间的中位数落在_____________组； （4）若该校九年级有1200名学生，请估计一周自主学习的时间不少于的人数． 21. 2023年3月19日，全国马拉松锦标赛（无锡站）正式鸣枪开跑．某校4名学生幸运成为该活动志愿者，负责某区域运动员的物资发放，其中男性2人，女性2人． （1）若从这4人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是 ． （2）若从这4人中选2人进行物资发放，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率． 22. 如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 23. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值） 24. 如图，已知的圆心在的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点，连结． （1），求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 25. 榴莲上市的时候，某水果行以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100箱榴莲．已知“线上”销售的每箱利润为100元，“线下”销售的每箱利润y（元）与销售量x（箱）（20≤x≤60）之间的函数关系如图中的线段AB． （1）求y与x之间的函数关系； （2）当“线下”的销售利润为4350元时，求x的值； （3）实际“线下”销售时，每箱还要支出其它费用a元（a＞0），若“线上”与“线下”售完这100箱榴莲所获得的总利润为w元，当20≤x≤45时，w随x增大而增大，求a的取值范围． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与轴交于点，连接． （1）求二次函数的函数表达式； （2）设二次函数的图象的顶点为，求直线的函数表达式以及的值； （3）若点在线段上（不与重合），点在线段上（不与重合），是否存在与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学月质量检测（3月） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 设计师石昌鸿耗时两年，将34个省市的风土人情、历史典故转化为形象生动的符号，别具一格．石昌鸿设计的以下省市的简称标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、该图不是轴对称图形，故不符合题意； B、该图不是轴对称图形，故不符合题意； C、该图不是轴对称图形，故不符合题意； D、该图是轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 3. 下列整式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】合并同类项运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算等知识逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查整式混合运算，涉及合并同类项运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算等知识，熟练掌握整式的混合运算法则是解决问题的关键． 4. 某中学足球队的18名队员的年龄情况如下表： 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 17 人数 3 6 4 4 1 则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A. 14，14 B. 14，14.5 C. 14，15 D. 15，14 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】由表可知，这组数据中14出现6次，次数最多，所以这组数据的众数为14岁， 这18个数据的中位数是第9、10个数据的平均数，即14、15的平均数，所以这组数据的中位数为（14+15）÷2=14.5（岁）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 5. 如图，是的外接圆，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵ ∴， 故选：C． 6. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元，根据“用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个”列方程即可． 【详解】解：设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元， 由题意可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意是关键． 7. 如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算AD的长，再根据△AOB∽△DOC，对应边成比例，从而求出AO的长． 【详解】解： AD=，AB=2，CD=3， ∵AB∥DC， ∴△AOB∽△DOC， ∴， ∴设AO=2x，则OD=3x， ∵AO+OD=AD， ∴2x+3x=5． 解得：x=1， ∴AO=2， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 8. 下列命题中，真命题是（ ）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误． 故选C． 9. 如图，第一象限的点A、B均在反比例函数的图象上，作轴于点C，轴于点D，连接，若，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义坐标与图形，熟知反比例函数k的几何意义是解本题的关键．设，则，列示求出即可求出结论． 【详解】解：设，则， ∴， ∵点A、B均在反比例函数的图象上，作轴于点C，轴于点D， ∴点，四边形为直角梯形， ∴， ∴， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ∵． 故选：D． 10. 已知在平行四边形中， ，，点E在上，，将沿翻折到，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作交延长线于点G，过点E作于点H，先证明是等腰直角三角形，可得，设，则，，在中，根据勾股定理可得， ，从而得到，再由折叠的性质可得，，再结合，可得，从而得到是等腰直角三角形，可求出，，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作交延长线于点G，过点E作于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵将沿翻折到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，图形的折叠，作适当辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 在科技创新的强力驱动下，中国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领跑世界．截至2023年底，我国高铁营业里程达到．数据45000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 【详解】解：数据45000用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 使有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件． 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须 ． 故答案为：． 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 命题：“如果，那么”的逆命题是______．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】假命题 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题的概念，真假命题的概念，理解命题的相关概念是解决此题的关键；先根据题意交换题设和结论得到逆命题，再根据绝对值的概念得到结果即可； 【详解】解：由题意可知：逆命题为如果，那么， 绝对值相等的两个数，有可能相等也有可能互为相反数，故逆命题为假命题； 故答案为：假命题. 15. 某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质结合已知条件解题即可． 【详解】解：根据题意有：， 故答案为：（答案不唯一） 16. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可； 【详解】解：的垂直平分线分别交边于点E、F． ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 令， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 17. 如图，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形 ，使点E落在边 上， 且点 D 巧合是的中点， 若 则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 设，则，即可得到，根据旋转得到，即可得到，求出和长即可解题． 【详解】解：在平行四边形中，，， ∵平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形 ， ∴，，， 设，则， ∵ D 是的中点， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在直角坐标系中，，D是上一点，B是y正半轴上一点，且，，垂足为E， （1）当D是的中点时，___________； （2）求的最小值___________； 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质等知识． （1）先求出，，在利用得出即可求出答案； （2）过点A作，延长交于点，点E在以为直径的的一段弧上，当在同一直线上时，的值最小，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵D是的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴，即． ∴． 故答案是； （2）过点A作，延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点E在以为直径的的一段弧上， 当在同一直线上时，的值最小． 此时， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共76分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）解方程：； （4）解不等式组：． 【答案】（1） （2） （3）无解 （4）． 【解析】 【分析】此题考查计算能力，熟练掌握各计算法则是解题的关键： （1）先代入三角函数值，化简绝对值，计算负指数幂，再计算乘法，最后计算加减法； （2）先根据平方差公式和完全平方公式化简，再计算加减法； （3）先去分母得整式方程，求出解后检验即可； （4）分别解不等式，即可求出不等式组的解集． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 去分母得 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程无解； 【小问4详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得, ∴不等式组的解集为． 20. 某校为掌握九年级学生每周的自主学习情况，学生会随机抽取九年级的部分学生，调查他们每周自主学习的时间，并把自主学习的时间（）分为四种类别：，，，，将分类结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）求出本次抽样调查的样本容量为________________； （2）补全频数分布直方图，并计算扇形统计图中所在扇形的圆心角的度数为____________； （3）根据调查结果可知，自主学习时间的中位数落在_____________组； （4）若该校九年级有1200名学生，请估计一周自主学习的时间不少于的人数． 【答案】（1）60 （2） 补全图形如下： （3）C （4）720人 【解析】 【分析】本题考查频数（率）分布表、扇形统计图、总体、个体、样本、样本容量、中位数、用样本估计总体， （1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，即可得到样本容量； （2）求出D组人数即可补全图形；用乘以C组人数所占比例即可得到对应的圆心角度数； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）用总人数乘以样本中C、D组人数和所占比例即可． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的总人数为（人）， ∴样本容量为60， 故答案为：60； 【小问2详解】 解：D组人数为（人）， 扇形统计图中C所在扇形的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：自主学习时间的中位数是第30、31个数据的平均数，而这两个数均落在C组， 所以这组数据的中位数落在C组； 故答案为：C． 【小问4详解】 解：估计一周自主学习的时间不少于的人数为（人）． 21. 2023年3月19日，全国马拉松锦标赛（无锡站）正式鸣枪开跑．某校4名学生幸运成为该活动志愿者，负责某区域运动员的物资发放，其中男性2人，女性2人． （1）若从这4人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是 ． （2）若从这4人中选2人进行物资发放，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）从这4人中选1人进行物资发放，共有4种等可能的结果，其中，恰好选中女性的结果有2种，据此利用概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，则可得从这4人中选2人进行物资发放的所有等可能的结果，再找出恰好选中一男一女的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：因为从这4人中选1人进行物资发放，共有4种等可能的结果，其中，恰好选中女性的结果有2种， 所以从这4人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从这4人中选2人进行物资发放共有12种等可能的结果，其中，恰好选中一男一女的结果有8种， 则恰好选中一男一女的概率为， 答：恰好选中一男一女的概率为． 22. 如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明：点是的中点， ， 在和中， ， ； （2） 解：点，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形判定，平行四边形的判定的综合，掌握全等三角形判定，平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）根据点是的中点，可得，由“边角边”即可求证； （2）由推出，得到，根据中位线定理，结合四边形的判定“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值） 【答案】（1） 如下图：即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线和线段的垂直平分线相交于点D，即为所求． （2）过点D作交与点E，过点D作交与点F，先利用角平分线的性质定理证明四边形为正方形，设，则，，以为等量关系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点D作交与点E，过点D作交与点F， 则， 又∵ ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 设， ∴，， 在中，， 在中，， ∵ ∴ ∴ 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键． 24. 如图，已知的圆心在的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点，连结． （1），求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， 则， ， 的圆心在上，且与边相切于点， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，由切线的性质得，则，而，所以，即可推导出，进而证明是的切线； （2）由，得，由是的直径，得，由，，得，而，即可证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 此题重点考查等腰三角形的判定与性质、切线的判定、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 解得， 的半径长为． 25. 榴莲上市的时候，某水果行以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100箱榴莲．已知“线上”销售的每箱利润为100元，“线下”销售的每箱利润y（元）与销售量x（箱）（20≤x≤60）之间的函数关系如图中的线段AB． （1）求y与x之间的函数关系； （2）当“线下”的销售利润为4350元时，求x的值； （3）实际“线下”销售时，每箱还要支出其它费用a元（a＞0），若“线上”与“线下”售完这100箱榴莲所获得的总利润为w元，当20≤x≤45时，w随x增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣0.5x+160（20≤x≤60） （2）x的值为30 （3）a的取值范围为0＜a＜15.5 【解析】 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出y与x之间的函数关系； （2）根据题意和（1）中的结果，可以得到x（﹣0.5x+160）＝4350，然后求解即可； （3）根据题意，可以得到利润w与m的函数关系式，再根据二次函数的性质，可以求得a的取值范围． 【小问1详解】 解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b， ∵点（20，150），（60，130）在该函数图象上， ∴， 解得， 即y与x的函数关系式为y＝﹣0.5x+160（20≤x≤60）； 【小问2详解】 由题意可得，xy＝4350， 又∵y＝﹣0.5x+160， ∴x（﹣0.5x+160）＝4350， 解得x1＝30，x2＝290（舍去）， 即x的值30； 【小问3详解】 设“线下”销售榴莲x箱，则“线上”销售榴莲（100﹣x）箱，总利润为w元， 由题意可得，w＝x（﹣0.5x+160﹣a）+100（100﹣x） ＝﹣x2+（60﹣a）x+10000， 该函数的对称轴为直线x＝﹣＝60﹣a， ∵当20≤x≤45时，w随x增大而增大， ∴60﹣a＞44.5，解得a＜15.5， ∴0＜a＜15.5． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和函数关系式，利用数形结合的思想解答． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与轴交于点，连接． （1）求二次函数的函数表达式； （2）设二次函数的图象的顶点为，求直线的函数表达式以及的值； （3）若点在线段上（不与重合），点在线段上（不与重合），是否存在与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）； （3）存在，点的坐标为：或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的函数表达式为； （2）由，得，用待定系数法可得直线的函数表达式为：，设与轴交于，过点作于点，求得，，根据，得，及可得； （3）由待定系数法可得直线解析式为，设，，根据是直角三角形，且，得到与相似，是直角三角形，且两直角边的比为，再分三种情况进行讨论即可得到答案． 【小问1详解】 解：将，代入得： ， 解得， 二次函数的函数表达式为； 【小问2详解】 解：， 抛物线顶点； 设直线的函数表达式为， ， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； 设与轴交于，过点作于点，如图， ， 在中，令得， ， 在中，令得， ， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：存在与相似，理由如下： 由得直线解析式为， 设，， 是直角三角形，且， 与相似，是直角三角形，且两直角边的比为， ①点在线段上（不与重合），点在线段上（不与重合），不可能是直角； ②若是直角，则或，过作轴于，如图， ， ， ， ∴，即， 若，则， 解得：， ∴； 若，则＝2， 解得：（此时不在线段上，舍去）； ③若为直角，则或，过作轴于，过作于，如图， ， 同理可得， ∴， 当时，， 解得：， ∴， 当时， ， 解得：， ∴； 综上所述，点N的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法，锐角三角函数，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论的思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $