指数与指数函数（5大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习

[在此处键入] 指数与指数函数 题型一：指数运算 【解题方法总结】 利用指数幂的运算性质，进行化简计算即可． 例1（多选题）下列各式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】，错误；，正确； ，错误；，正确 故选： 例2根式的分数指数幂的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 . 故选D. 例3（1）化简：.（结果用分数指数幂表示） （2）化简：.（结果用分数指数幂表示） （3）求值：. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）； （2）； （3）. 题型二：指数函数的图像及性质 【解题方法总结】 解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 例4函数y＝x+a与y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】分别讨论a＞1和0＜a＜1时，函数y＝x+a与y＝a﹣x在同一坐标系中的图像情况，即可得出答案． 【解答过程】解：根据指数函数的定义知，当a＞1时，函数y＝x+a与y＝a﹣x在同一坐标系中的图像为图（1）所示： 当0＜a＜1时，函数y＝x+a与y＝a﹣x在同一坐标系中的图像为图（2）所示： 只有选项B满足题意． 故选：B． 例5（多选题）函数的图象可能为（    ） A．B．C． D． 【答案】ABD 【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给赋值，判断选项.当时，，图象A满足； 当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足； 当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足； 图象C过点，此时，故C不成立. 故选：ABD 例6函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，为增函数， 且，与图象不符， 若，为减函数， 且，与图象相符，所以， 当时，， 结合图象可知，此时，所，则，所以， 故选:C. 题型三：指数函数的解析式、定义域与值域 【解题方法总结】 根据指数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可. 例7若函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）ax是指数函数，则a的值是（　　） A．﹣1 B．3 C．3或﹣1 D．2 【解题思路】根据指数函数的定义列出方程组，求出a的值． 【解答过程】解：∵函数f（x）＝（a2﹣2a+2）（a+1）x是指数函数， ∴a2﹣2a﹣2＝1，且a＞0，a≠1 解得a＝3． 故选：B． 例8若关于的方程有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程有解， 有解， 令， 则可化为有正根， 则在有解，又当时， 所以， 故选：． 例9已知函数的值域是，则实数m的取值范围是 ． 【答案】． 【详解】时，且，即， 因此时，的取值范围应包含， 又时，，所以． 故答案为：． 题型四：解指数不等式 【解题方法总结】 指数不等式的三种求解方法： (1)性质法：解形如>的不等式，可借助函数y=的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与 0<a<1两种情况进行讨论. (2)隐含性质法：解形如>b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y=的 单调性求解. (3)图象法：解形如>的不等式.可利用对应的函数图象求解. 例10不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴x2﹣8＜2x， 解得﹣2＜x＜4． 故选：A． 例11不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】原式可化为， 因为为减函数，所以，即， 解得或， 所以原不等式的解集为. 例12已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，则不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，） B．（，+∞） C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．R 【解题思路】根据函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，求出a的范围，得到函数y＝ax的单调性，将a3x+1＞a﹣2x转化为x的不等式即可． 【解答过程】解：依题意，a﹣1＜0，即0＜a＜1， 所以函数y＝ax为R上的减函数， 由a3x+1＞a﹣2x可得，3x+1＜﹣2x， 解得x， 故选：A． 题型五：指数型复合函数性质的应用 【解题方法总结】 借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可. 例13已知函数，． (1)若，解关于的不等式； (2)若函数的最小值为-4，求m的值． 【答案】(1) (2)-3 【详解】（1）时，由得， ，， 因为，所以，解得， 所以原不等式的解集为． （2）因为， 令，因为， 所以，（当且仅当时取得等号） 则，， ①当，即时，在上单调递增， 当，即时，， 所以，解得，符合题意； ②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 当，， 所以，解得，不合题意，舍去． 综上，的值为-3． 例14已知是定义域为R的奇函数． (1)求a的值，判断的单调性并证明； (2)若恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)，函数在R上是单调递增函数，证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意得，所以， 当时，故为奇函数， 在R上是单调递增函数， 证明如下： 对于，，设， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以，即函数在R上是单调递增函数． （2）等价于， 因为是R上的单调增函数，所以，即恒成立， 所以，解得，所以k的取值范围为． 例15已知函数f（x）＝ax+b的图象如图所示． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若不等式0对任意x∈（﹣∞，2]成立，求实数c的取值范围． 【解题思路】（Ⅰ）由图像可知函数f（x）过点（0，﹣2）和（2，0），利用待定系数法求出a，b的值，即可得到函数f（x）的解析式． （Ⅱ）依题意不等式c⋅10x+6x＞0，对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，再利用分离参数法转化为求最值，结合指数函数的单调性即可求出实数c的取值范围． 【解答过程】解：（I）因为函数f（x）＝ax+b的图象经过点（0，﹣2）和（2，0）， 又注意到a＞1， ∴，解得， 故函数f（x）的解析式为． （Ⅱ）因为由（I）知对任意x∈（﹣∞，2]恒成立， 所以由题设得不等式c⋅10x+6x＞0，对任意x∈（﹣∞，2]恒成立， 即，亦即对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，（*） 又易知函数在（﹣∞，2]上单调递增， 所以根据（*）可得， 故所求实数c的取值范围． [在此处键入] 学科网（北京）股份有限公司 $$[在此处键入] 指数与指数函数 题型一：指数运算 【解题方法总结】 利用指数幂的运算性质，进行化简计算即可． 例1（多选题）下列各式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 例2根式的分数指数幂的形式为（    ） A． B． C． D． 例3（1）化简：.（结果用分数指数幂表示） （2）化简：.（结果用分数指数幂表示） （3）求值：. 题型二：指数函数的图像及性质 【解题方法总结】 解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 例4函数y＝x+a与y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图像可能是（　　） A． B． C． D． 例5（多选题）函数的图象可能为（    ） A． B． B． C． D． 例6函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　） A． B． C． D． 题型三：指数函数的解析式、定义域与值域 【解题方法总结】 根据指数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可. 例7若函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）ax是指数函数，则a的值是（　　） A．﹣1 B．3 C．3或﹣1 D．2 例8若关于的方程有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例9已知函数的值域是，则实数m的取值范围是 ． 题型四：解指数不等式 【解题方法总结】 指数不等式的三种求解方法： (1)性质法：解形如>的不等式，可借助函数y=的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与 0<a<1两种情况进行讨论. (2)隐含性质法：解形如>b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y=的 单调性求解. (3)图象法：解形如>的不等式.可利用对应的函数图象求解. 例10不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 例11不等式的解集为 ． 例12已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，则不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，） B．（，+∞） C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．R 题型五：指数型复合函数性质的应用 【解题方法总结】 借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可. 例13已知函数，． (1)若，解关于的不等式； (2)若函数的最小值为-4，求m的值． 例14（2023春·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）已知是定义域为R的奇函数． (1)求a的值，判断的单调性并证明； (2)若恒成立，求实数k的取值范围． 例15已知函数f（x）＝ax+b的图象如图所示． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若不等式0对任意x∈（﹣∞，2]成立，求实数c的取值范围． [在此处键入] 学科网（北京）股份有限公司 $$