第01讲 指数与指数函数（15大题型+五年真题+限时作业）讲义-2026届高三数学一轮复习（新高考地区适用）

第四章 指数函数与对数函数 第01讲 指数与指数函数 目录： 01考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布）………………………1 02 题型突围 精准提分……………………………………………………………2 一、指数 题型1 根式的化简求值 ………………………………………………………………………2 题型2 指数幂的运算 …………………………………………………………………………4 2、 指数函数的概念 题型3 指数函数的判定与求值 ………………………………………………………………6 二、指数函数的图象 题型4 指数型函数图像过定点 ………………………………………………………………7 题型5 判断指数型函数的图象形状 …………………………………………………………8 题型6 指数型函数图像的应用………………………………………………………………12 三、指数函数的性质 题型7 指数函数单调性的应用………………………………………………………………15 命题点1 比较大小……………………………………………………………………………15 命题点2 解简单指数不等式…………………………………………………………………16 题型8 指数型复合函数的单调性……………………………………………………………18 命题点1 求指数型复合函数的单调区间……………………………………………………18 命题点2 根据单调性求参数的范围…………………………………………………………20 题型9 指数型复合函数的最值（值域）……………………………………………………22 命题点1 求指数型复合函数的最值（值域）………………………………………………22 命题点2 根据最值（值域）求参数的范围…………………………………………………24 题型10 指数型函数的单调性 ………………………………………………………………26 题型11 指数型函数的定义域和值域 ………………………………………………………28 题型12 指数型函数的奇偶性 ………………………………………………………………30 题型13 指数型函数的奇偶性和单调性的应用 ……………………………………………34 题型14 指数型函数的对称性 ………………………………………………………………36 题型15 含指数函数的分段函数的性质 ……………………………………………………39 03 限时作业 查漏补缺 …………………………………………………………43 04 真题呈现 掌握考情 …………………………………………………………49 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年天津卷 比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小、判断零点所在的区间 从近几年的高考可以看出，主要以看出指数函数的性质为主，体现在以下方面： 1. 指数函数的单调性； 2. 指数型复合函数的单调性； 3. 指数型函数的奇偶性. 2025年上海卷 由指数函数的单调性解不等式 2024年全国Ⅰ卷 指数函数、对数函数的单调性 2024年全国甲卷（理） 指数型函数的奇偶性 2023年全国Ⅰ卷 指数型复合函数单调性 2023年北京卷 指对数函数单调性、指数型复合函数单调性 2023年北京卷 指数幂的运算、对数的运算 2023年全国乙卷（理） 指数型函数的奇偶性 2022年北京卷 指数幂的化简求值、指数函数的判定与求值 2022年全国甲卷（理） 指数型函数的奇偶性 2021年全国Ⅰ卷 指数型函数的奇偶性 题型突围 题型1 根式的化简求值 指点迷津 ①根式的性质，； ②分数指数幂的意义：，. 例1．（2026高三·全国·专题练习）化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以． 故选：B 例2．（24-25高一上·上海金山·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【详解】由题意. 故答案为：. 【相似题1】（25-26高一上·全国·课后作业）设，则 ． 【答案】1 【详解】由，知，所以． 【相似题2】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D正确． 故选：BD 【相似题3】（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知，将化为分数指数幂形式，则 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 【相似题4】若，则 ． 【答案】 【详解】当时，， 当时，. 故答案为： 题型2 指数幂的运算 指点迷津 ⑴指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. ⑵对于含条件的求值问题，可以把所要求的式子先进行变形，找出与条件的联系，然后求值；也可以先对条件加以变形，使它与所要求的的式子的联系更加以明显，从整体上把握代数式的结构特点，然后求值. 例1．（2025高三下·全国·专题练习）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】原式． 故选：C. 例2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】 【详解】由，两边同时平方，得，所以， 对两边同时平方，得，即， 则． 故答案为：. 【相似题1】（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【详解】由. 故选：A 【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，得， 因为，所以． 故选：D. 【相似题3】（2024高三·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】 【详解】由，两边同时平方，得，所以， 对两边同时平方，得，即， 则． 故答案为：. 【相似题4】（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）若，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】因为， 故实数的值为. 故答案为： 题型3 指数函数的判定与求值 指点迷津 一个函数是指数函数，需满足三个条件： ⑴底数大于且不等于；⑵指数是单一的自变量；⑶系数为，且没有其他项. 例1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 例2．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为指数函数，得且，解得， 故选：A. 【相似题1】（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】根据指数函数定义可知，是指数函数，B正确：AD均不是指数函数；是指数函数，C正确． 【相似题2】若函数是指数函数，则 ． 【答案】4 【详解】因为指数函数，则， 由，可得或， 综上，. 故答案为：4 题型4 指数型函数图像过定点 指点迷津 指数型函数过定点主要应用. 例1．（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 则， 所以函数的图象一定过点. 故选：A. 【相似题1】（2026高三·全国·专题练习）函数（，且）的图象恒过点 ． 【答案】 【详解】在函数中，当时，恒有，即函数的图象恒过点． 故答案为： 【相似题2】（2025·贵州毕节·二模）已知函数且的图象过定点，则点的坐标是 . 【答案】 【详解】由函数解析式可得：当且仅当时，的值与无关， 故定点的横坐标为，故纵坐标为，故. 故答案为：. 题型5 判断指数型函数的图象形状 指点迷津 ⑴如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象，则． 当时，的值越大，图象越靠近轴，当时，的值越小，图象越靠近轴. ⑵对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到. 特别地，当底数与的大小关系不确定时应注意分类讨论. 例1．（2025高三下·全国·专题练习）已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， ，在上单调递减，所以排除AB选项； 令，，此时图象①在②的下方 因此C项正确． 故选：C. 例2．（24-25高一上·北京·期中）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】，所以，排除AC，且，排除D. 故选：B 例3．（多选）（2023高三·全国·专题练习）函数 且的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】当时，， 显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 函数图象的渐近线为，而，故A，B不符合； 对于C，D，因为渐近线为，故，故时，，故选项C符合，D不符合； 当时，， 当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 函数图象的渐近线为，而，故B符合，A，C，D不符合； 故选：BC. 例4．（多选）（24-25高三上·河北保定·期中）函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【详解】由于，所以，函数在上单调递增， 的图象向下平移个单位，得到的图象， 所以函数的图象不经过第四象限，经过第一、二、三象限. 故选：ABC 【相似题1】（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数图象过原点，所以， 得，又该函数图象无限接近直线，且不与该直线相交， 所以，则， 所以. 故选：C 【相似题2】（多选）（24-25高一上·河北邢台·期中）函数，且的部分图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【详解】函数的定义域为，且， 则是偶函数，故D错误，． 当时，在上单调递增，且，A正确，B错误． 当时，在上单调递减，且，C正确． 故选：AC. 【相似题3】（23-24高一上·广西柳州·期中）要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的图象与轴的交点坐标为，且为减函数， 要使图象不经过第一象限，则，解得. 故选：B. 【相似题4】（多选）（23-24高一上·河北邯郸·期中）若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意可知：函数大致图象如下图所示， 若，则的图象必过第二象限，不符合题意，所以． 当时，要使的图象过第一、三、四象限，，解得． 故选：BC． 题型6 指数型函数图像的应用 指点迷津 解决指数型函数图像的应用问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 例1．（2025·广东广州·一模）已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设函数， 作出函数图象如下， 设， 对A，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，A错误； 对C，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，C错误； 因为，所以， 设， 作出函数的图象如下， 对B，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，B正确； 对D，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，D错误； 故选:B. 例2．（2025·湖南长沙·三模）已知函数 ，方程 的根的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】当时， ，故是的一个周期， 又时，，则， 作出函数和的函数图象， 因， ， 结合图象可知，和的函数图象交点个数为. 故选：B 【相似题1】（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足等式，则下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】如图，观察知的关系为或或． 故选：ABD. 【相似题2】（2025·甘肃兰州·模拟预测）已知函数 关于 的方程 有两个不等实数根，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作出函数 的图象，如图所示， 若关于 的方程 有两个不等实根， 则函数 的图象与直线 有两个交点，由图知，． 故选：D. 题型7 指数函数单调性的应用 命题点1 比较大小 指点迷津 ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； 例1．（2025·辽宁·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，由于在单调递增，所以， 对于，由于单调递减，故. 所以. 故选：D 【相似题1】（24-25高三上·天津宝坻·阶段练习）若 ，则 的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 所以. 故选：D 【相似题2】（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递增，且， 所以，即， 同理可得， ，， 所以. 故选：D 【相似题3】（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， 又在上单调递增， 故，即，所以. 故选：A 命题点2 解简单指数不等式 指点迷津 指数不等式的解法： （1）指数不等式的类型为，且． ①当时，；②当时，． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成同底的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 例1．（24-25高一上·全国·课前预习）若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．全不对 【答案】B 【详解】函数在上为减函数， 因为，所以， 即恒成立，． 故选：B. 【相似题1】（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 则. 故选：B. 【相似题2】（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】，，即， 即，故不等式的解集为． 故答案为： 【相似题3】（24-25高一上·全国·课前预习）若（，且），求的取值范围． 【答案】答案见解析 【详解】因为，所以当时，为增函数，可得，所以． 当时，为减函数，可得，所以． 综上，当时，的取值范围为， 当时，的取值范围为． 题型8 指数型复合函数的单调性 命题点1 求指数型复合函数的单调区间 指点迷津 形如（且）的复合函数，①的定义域与的定义域相同；②当时，与具有相同的单调性，当时，与的单调性相反. 例1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，求其单调区间． 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为． 【详解】设． 则的单调递减区间为，单调递增区间为． ∵函数为减函数， ∴的单调递增区间为，单调递减区间为． 例2．（2025高三·全国·专题练习）求函数的单调递增区间． 【答案】． 【详解】设，则函数的单调递增区间为． 令，得，而在上单调递增． ∴函数的单调递增区间是． 【相似题1】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数，在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递减，所以由复合函数的单调性可得： 函数的单调递减区间是. 故选：D. 【相似题2】（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，外层函数在上单调递增，所以整个函数的单调增区间为内层函数的增区间，而内层函数的增区间为. 故选：C 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）求函数的定义域和单调区间． 【答案】，单调递增区间为，单调递减区间为． 【详解】要使函数有意义，只需，解得或． ∴的定义域为． 令，则为减函数， 又的单调递减区间是，单调递增区间是， ∴原函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 命题点2 根据单调性求参数的范围 例1．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 例2．（2025·贵州毕节·二模）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 则函数的减区间为，增区间为， 又因为函数在区间上单调递增，且外层函数在上为增函数， 所以，，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 【相似题1】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 【相似题2】（2025·河北秦皇岛·一模）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由在区间上单调递减，则需要在区间上单调递增， 故对称轴，则，解得， 故选：C 【相似题3】（2025·甘肃白银·模拟预测）若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调递增，而函数是R上的增函数， 则函数在上单调递增，于是， 所以a的取值范围为． 故选：D 【相似题4】（24-25高三上·山西·期中）已知函数（，且）在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，该函数为指数型复合函数， 当时，令，对称轴为，则要使（，且）在区间上单调递增，则则； 当时， 要使（，且）在区间上单调递增， 则，则，综上，. 综上，实数的取值范围为. 故选：D 题型9 指数型复合函数的最值（值域） 命题点1 求指数型复合函数的最值（值域） 指点迷津 指数型复合函数的值域的求解步骤： ⑴分解函数结构：将复合函数拆分为外层函数（指数函数或二次函数）和内层函数（一次、二次函数或指数函数）. ⑵确定内层函数值域：先求内层函数的值域，需特别注意指数函数本身的取值范围限制（如）. ⑶结合外层函数特性求最终值域：根据外层函数的单调性和内层值域推导最终结果. 例1．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【详解】令，因此． ∵在定义域内为减函数，当时，可得：. ∴原函数的值域为． 例 2．（23-24高三上·黑龙江绥化·阶段练习）当时，函数的值域为 . 【答案】 【详解】因为， 令，由于，则， 则原函数可化为，， 当时，取最小值，当时，取最大值， 故，即. 故答案为： 【相似题1】（23-24高三上·辽宁·开学考试）函数的值域为 ． 【答案】 【详解】设，则且，根据反比例函数性质， 从而，所以． 故答案为：. 【相似题2】（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数的值域为 ． 【答案】 【详解】设，由得，， 所以，则， 因为在上单调递减，所以， 故答案为：． 【相似题3】（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）函数，的值域为 . 【答案】 【详解】令， 则， 当时，，当时，， 所以函数，的值域为. 故答案为： 命题点2 根据最值（值域）求参数（范围） 例1．（2024高三·全国·专题练习）若函数有最大值3，则 . 【答案】1 【详解】令，则， 因为有最大值3，所以应有最小值； 由此可得解得. 故答案为：1 例2．（24-25高一上·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】．设， 则．因为，所以， 当时，；当时，． 故选：A． 【相似题1】（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，有解，但有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，满足题意. 综上，实数a的取值范围是. 故选：A 【相似题2】（22-23高一下·青海西宁·开学考试）若函数的值域为，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】若，则，不满足题意； 若，则， 当，即时，的值域为，满足题意. 故答案为：. 【相似题3】（2024高三下·全国·专题练习）函数（，且）在上的最大值为13，求实数a的值. 【答案】3或 【详解】∵ 令，则， 则，其对称轴为. 该二次函数在上是增函数. ①若，由，得， 故当，即时， ，解得(舍去). ②若，由，可得， 故当，即时， . ∴或(舍去). 综上可得或. 题型10 指数型函数的单调性 指点迷津 对于函数，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减. 对于函数，当，时，在上单调递增；当，时，在上单调递减. 对于函数，当，时，在上单调递增；当，时，在上单调递减. 例1．（2025·四川·三模）已知函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为均为上的增函数，则为上的增函数， 所以若，则，解得. 故选：D. 例2.（多选）（24-25高一上·广东东莞·期中）若，则下列关系正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由，得到， 易知在定义域上单调递增，得到，所以选项A正确， 对于选项B，取，显然有，但，所以选项B错误， 对于选项C，因为在定义域上单调递减，所以，即，所以选项C正确， 对于选项D，若，则，所以选项D错误， 故选：AC. 【相似题1】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数（，且）在上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为与的单调性相同， 可知与的单调性相同， 若函数在上单调递增，则，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 题型11 指数型函数最值（值域） 指点迷津 对于形如（且，为常数）的函数求最值（值域），直接利用指数函数的单调性即可；对于形如（且，为常数）的函数求最值或值域，需先进行分离常数，变形为，然后利用，以及不等式的性质求解. 例1．（23-24高三上·山东潍坊·期中）函数的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】函数在上单调递减， 当时，函数取得最大值，最大值为. 故选：. 例2．（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 ． 【答案】 【详解】由题意可知，函数， 由，，或，则或， 即函数值域为. 故答案为： 【相似题1】（2025·安徽·一模）函数的值域为 . 【答案】 【详解】因为与在上均为减函数， 且当时，，所以， 故的值域为. 故答案为： 【相似题2】（24-25高一上·北京·期中）函数的值域是 . 【答案】 【详解】因为函数定义域为，又， 所以， 所以，即， 故答案为：. 【相似题3】（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 ． 【答案】 【详解】由题意可知，函数， 由，，或，则或， 即函数值域为. 故答案为： 【相似题4】（24-25高三下·山东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则 . 【答案】 【详解】由指数函数的性质可知， 若，则，为常数，不合题意； 若，则，不合题意； 若，则， 因为函数的值域为，则， 又，则，解得， 所以. 故答案为：. 题型12 指数型函数的奇偶性 指点迷津 奇函数：，，，； 偶函数：，（其中且） 例1．（23-24高三下·江西·开学考试）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】定义域为关于原点对称，， 所以函数为奇函数，关于原点对称，故A、C错误； 当时，，所以，故B错误， 故选：D. 例2．（2025·江西·二模）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据得 可得，故为奇函数 故选：A 【相似题1】（22-23高三上·广西桂林·阶段练习）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为，故排除A； 又因为，故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除D； 当时，恒成立，当时，恒成立，故排除C. 故选：B. 【相似题2】（24-25高三下·湖北·开学考试）函数，则对任意实数，下列结论正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递增 C．是奇函数，且在上单调递减 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】B 【详解】的定义域为，而，则， 故是奇函数， 由于，函数单调递增，故在上单调递增， 故选：B 【相似题3】（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得的定义域为， 且，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除B项； ，排除C项； 当时，，排除A项. 故选：D. 【相似题4】（2025·天津和平·一模）已知函数是偶函数，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，且， 因为函数为偶函数，则，即， 可得对任意的恒成立，则. 故选：B. 【相似题5】（2025·四川泸州·模拟预测）已知是奇函数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】由，可得，所以， 所以的定义域为， 因为是奇函数，所以， 又，， 所以，解得. 当时，， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以此时是奇函数 故选：D. 题型13 指数型函数的奇偶性和单调性的综合应用 例1．（2025·河北唐山·一模）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，其定义域为，关于原点对称. 且，所以函数是偶函数. 那么. 当时，. 因为，所以在上单调递增. 因为，且在上单调递增，所以. 又因为，所以. 故选：A. 例2．（2025·江西·二模）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以为奇函数， 由恒成立，即恒成立， 所以对于任意恒成立， 当时； 当时， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，所以； 综上可得实数的取值范围为. 故选：A 【相似题1】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，， 为奇函数，且知在上单调递增． ， 原不等式可转化为， ，解得． 故选：D． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，都是上的单调增函数，所以是上的单调增函数． 令，则，所以为奇函数． 又因为是上的单调增函数，所以也是上的单调增函数，则， 即，可得，即． 故选：A． 题型14 指数型函数的对称性 指点迷津 若函数满足（为常数），则的图象关于点成中心对称图形，形如（且，为常数）的函数用此性质找到对称中心. 形如（且，为常数）的函数图象则关于成轴对称. 例1．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 【答案】 ； 【详解】因为， 因为，则，故，即函数的值域为， 因为， 所以，， 因此，函数的对称中心为. 故答案为：；. 例2．（2025·陕西·三模）已知函数，则 ． 【答案】2783 【详解】由知， 设，则， 对照系数，得，则，即， 则， 的图象关于点中心对称； 故． 即 ， 故答案为：2783 【相似题1】（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 即函数关于对称， 当时，单调递增， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 因为，所以，解得， 即的取值范围是， 故选：B. 【相似题2】（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 【答案】C 【详解】∵， ∴函数的图象由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的. 根据反比例函数的性质可知在和上单调递减，又在上单调递增， 故在同一平面直角坐标系下画出函数与函数的图象如下图所示. 由图可知：函数与函数的图象共有两个交点， 不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解. 若是方程的解，即. 又，∴是方程的解， ∴，则. 故选：C. 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于直线对称，则 . 【答案】64 【详解】解法一：因为的图象关于直线对称，所以， 即，解得，当时，，满足题意，故， 解法二：因为的图象关于直线对称， 所以恒成立，故. 故答案为：64. 题型15 含指数函数的分段函数的性质 例1．（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为. 故选：A. 例2.（2025·甘肃甘南·模拟预测）若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若为上的增函数，则，解得， 故的取值范围是． 故选：A． 例3．（2025·浙江·三模）已知函数，为奇函数，则 ． 【答案】-3 【详解】因为函数为奇函数， 所以，当时，，， 所以，， 所以． 故答案为：. 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）设函数，的值域是 ． 【答案】 【详解】当时，单调递减，所以， 故的值域为：， 当时，单调递增，，故的值域为：， 综上，的值域为. 故答案为：. 【相似题2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数在R上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】在上单调递增，需要满足， 解得，所以. 故答案为：. 【相似题3】（24-25高三上·北京西城·开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】当, 当, 因为函数的值域为,所以. 故答案为：. 【相似题4】（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ． 【答案】 【详解】当时，，，； 当时，，，；当时，， 因此函数为奇函数，函数在上单调递减，在上单调递减， 则函数在上单调递减，则， 于是，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【相似题5】（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】①当时， 当时，在上递增，则， 当时，， ∵时，； 时，，即， ∴当时，， 因为的值域为， 所以，得，所以． ②当时， 当时，在上递增，则， 当时，，则，在上递增， 所以， 因为的值域为， 所以，得， 在同一直角坐标系中作出和的图象，如图所示， 由图可知，当时，， 所以当时，不等式成立， 综上，，即实数的取值范围. 故答案为：． 限时作业 （建议用时45分钟） 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）的分数指数幂表示为（   ） A． B． C． D．都不对 【答案】A 【详解】原式． 2．（2024·四川成都·模拟预测）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于对称 【答案】C 【详解】令函数， 所以 即，所以函数与的图象关于原点对称， 即函数与的图象的图象关于原点对称， 故选：C. 3．（24-25高一上·河北保定·期末）设，，，则它们的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为指数函数在上单调递减，则，即， 因为指数函数在上单调递减，则，即， 又因为指数函数在上单调递增，则，即， 则. 故选：D 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】B 【详解】设，，显然， 故与的图象关于直线对称. 故选：B. 5．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为上的单调减函数，根据复合函数单调性可知，在单调递减， 故，解得. 故选：D. 6．（2025高三下·河北承德·专题练习）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知函数和在上单调递增， 所以在上单调递增， 又， 故，即． 故选：D 7．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知得解得. 故选:C. 8.（2025·重庆·模拟预测）已知函数，若对任意的，满足，则恒有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，且的定义域为R，所以是偶函数， 当，令，则在上单调递增， 又在上单调递增，故在上单调递增， 由偶函数的对称性，在上单调递减， 当，由，则， 当，由，则， 当一正一负，不妨令，则， 显然与矛盾， 综上，. 故选：D 二、多选题 9．（23-24高一上·江苏常州·期末）若函数（其中且）的图象过第一、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】函数（其中且）的图象在第一、三、四象限， 根据图象的性质可得：， 即， 故选：BD. 10．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数 下面说法正确的有（    ） A． B．的图象关于原点对称 C．的图象关于y轴对称 D． 且 【答案】AB 【详解】对于A中，,故选项A正确； 对于B,C：因为，所以函数的定义域为,由， 可得函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，选项B正确；C错误； 对于D中，对，且，，可得函数为减函数， 因为单调递增，所以为单调递增函数，所以D错误. 故选：AB. 11．（2025高三·全国·专题练习）如果函数在区间上的最大值是14，则a的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】AC 【详解】令，则． 当时，因为，所以，又函数在上单调递增， 所以，解得（负值舍去）. 当时，因为，所以，又函数在上单调递增， 则，解得（负值舍去）． 综上知或． 故选：AC 三、填空题 12．（2025·安徽·模拟预测）已知是奇函数，则 . 【答案】1 【详解】因为为奇函数， 所以为奇函数， ，即， 则恒成立， 则，所以， 当时，，经检验符合题意， 所以. 故答案为：1. 13.（2025高三下·全国·专题练习）若曲线与直线有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】画出曲线与直线的图象如图所示， 由图象可得，如果曲线与直线有两个公共点， 则的取值范围是． 故答案为：. 14．（23-24高三上·河南驻马店·期末）若函数有最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数在上的值域为， 在上的值域为， 则，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 真题呈现 1．（2025年天津卷）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 2．（2025年上海卷）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【详解】∵，∴， 当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D 3．（2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得，即a的范围是. 故选：B. 4．（2024年全国甲卷高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 5．（2023年新课标全国Ⅰ卷高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 6．（2023年北京高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 7.（2023年北京高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【详解】函数，所以. 故答案为：1 8．（2023年全国乙卷（理）高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 9．（2022年北京高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 10．（2022年全国甲卷（理）高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 11．（2021年全国新高考Ⅰ卷高考真题）已知函数是偶函数，则 . 【答案】1 【详解】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到，故， 故答案为：1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 指数函数与对数函数 第01讲 指数与指数函数 目录： 01考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布）………………………1 02 题型突围 精准提分……………………………………………………………2 一、指数 题型1 根式的化简求值 ………………………………………………………………………2 题型2 指数幂的运算 …………………………………………………………………………3 2、 指数函数的概念 题型3 指数函数的判定与求值 ………………………………………………………………4 二、指数函数的图象 题型4 指数型函数图像过定点 ………………………………………………………………4 题型5 判断指数型函数的图象形状 …………………………………………………………5 题型6 指数型函数图像的应用 ………………………………………………………………7 三、指数函数的性质 题型7 指数函数单调性的应用 ………………………………………………………………8 命题点1 比较大小 ……………………………………………………………………………8 命题点2 解简单指数不等式 …………………………………………………………………8 题型8 指数型复合函数的单调性 ……………………………………………………………9 命题点1 求指数型复合函数的单调区间 ……………………………………………………9 命题点2 根据单调性求参数的范围…………………………………………………………10 题型9 指数型复合函数的最值（值域 ……………………………………………………10 命题点1 求指数型复合函数的最值（值域）………………………………………………10 命题点2 根据最值（值域）求参数的范围…………………………………………………11 题型10 指数型函数的单调性 ………………………………………………………………12 题型11 指数型函数的定义域和值域 ………………………………………………………12 题型12 指数型函数的奇偶性 ………………………………………………………………13 题型13 指数型函数的奇偶性和单调性的应用 ……………………………………………15 题型14 指数型函数的对称性 ………………………………………………………………15 题型15 含指数函数的分段函数的性质 ……………………………………………………16 03 限时作业 查漏补缺 …………………………………………………………17 04 真题呈现 掌握考情 …………………………………………………………19 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年天津卷 比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小、判断零点所在的区间 从近几年的高考可以看出，主要以看出指数函数的性质为主，体现在以下方面： 1. 指数函数的单调性； 2. 指数型复合函数的单调性； 3. 指数型函数的奇偶性. 2025年上海卷 由指数函数的单调性解不等式 2024年全国Ⅰ卷 指数函数、对数函数的单调性 2024年全国甲卷（理） 指数型函数的奇偶性 2023年全国Ⅰ卷 指数型复合函数单调性 2023年北京卷 指对数函数单调性、指数型复合函数单调性 2023年北京卷 指数幂的运算、对数的运算 2023年全国乙卷（理） 指数型函数的奇偶性 2022年北京卷 指数幂的化简求值、指数函数的判定与求值 2022年全国甲卷（理） 指数型函数的奇偶性 2021年全国Ⅰ卷 指数型函数的奇偶性 题型突围 题型1 根式的化简求值 指点迷津 ①根式的性质，； ②分数指数幂的意义：，. 例1．（2026高三·全国·专题练习）化简（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·上海金山·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 【相似题1】（25-26高一上·全国·课后作业）设，则 ． 【相似题2】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知，将化为分数指数幂形式，则 . 【相似题4】若，则 ． 题型2 指数幂的运算 指点迷津 ⑴指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. ⑵对于含条件的求值问题，可以把所要求的式子先进行变形，找出与条件的联系，然后求值；也可以先对条件加以变形，使它与所要求的的式子的联系更加以明显，从整体上把握代数式的结构特点，然后求值. 例1．（2025高三下·全国·专题练习）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 例2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则 ． 【相似题1】（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（2024高三·全国·专题练习）已知，则 ． 【相似题4】（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）若，则实数的值为 ． 题型3 指数函数的判定与求值 指点迷津 一个函数是指数函数，需满足三个条件： ⑴底数大于且不等于；⑵指数是单一的自变量；⑶系数为，且没有其他项. 例1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题1】（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【相似题2】若函数是指数函数，则 ． 题型4 指数型函数图像过定点 指点迷津 指数型函数过定点主要应用. 例1．（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【相似题1】（2026高三·全国·专题练习）函数（，且）的图象恒过点 ． 【相似题2】（2025·贵州毕节·二模）已知函数且的图象过定点，则点的坐标是 . 题型5 判断指数型函数的图象形状 指点迷津 ⑴如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象，则． 当时，的值越大，图象越靠近轴，当时，的值越小，图象越靠近轴. ⑵对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到. 特别地，当底数与的大小关系不确定时应注意分类讨论. 例1．（2025高三下·全国·专题练习）已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·北京·期中）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   例3．（多选）（2023高三·全国·专题练习）函数 且的图象可能为（    ） A． B． C． D． 例4．（多选）（24-25高三上·河北保定·期中）函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【相似题1】（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（多选）（24-25高一上·河北邢台·期中）函数，且的部分图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【相似题3】（23-24高一上·广西柳州·期中）要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题4】（多选）（23-24高一上·河北邯郸·期中）若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 题型6 指数型函数图像的应用 指点迷津 解决指数型函数图像的应用问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 例1．（2025·广东广州·一模）已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·湖南长沙·三模）已知函数 ，方程 的根的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【相似题1】（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足等式，则下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·甘肃兰州·模拟预测）已知函数 关于 的方程 有两个不等实数根，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7 指数函数单调性的应用 命题点1 比较大小 指点迷津 ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； 例1．（2025·辽宁·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【相似题1】（24-25高三上·天津宝坻·阶段练习）若 ，则 的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 命题点2 解简单指数不等式 指点迷津 指数不等式的解法： （1）指数不等式的类型为，且． ①当时，；②当时，． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成同底的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 例1．（24-25高一上·全国·课前预习）若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．全不对 【相似题1】（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为 ． 【相似题3】（24-25高一上·全国·课前预习）若（，且），求的取值范围． 题型8 指数型复合函数的单调性 命题点1 求指数型复合函数的单调区间 指点迷津 形如（且）的复合函数，①的定义域与的定义域相同；②当时，与具有相同的单调性，当时，与的单调性相反. 例1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，求其单调区间． 例2．（2025高三·全国·专题练习）求函数的单调递增区间． 【相似题1】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）求函数的定义域和单调区间． 命题点2 根据单调性求参数的范围 例1．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例2．（2025·贵州毕节·二模）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题1】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·河北秦皇岛·一模）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（2025·甘肃白银·模拟预测）若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【相似题4】（24-25高三上·山西·期中）已知函数（，且）在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型9 指数型复合函数的最值（值域） 命题点1 求指数型复合函数的最值（值域） 指点迷津 指数型复合函数的值域的求解步骤： ⑴分解函数结构：将复合函数拆分为外层函数（指数函数或二次函数）和内层函数（一次、二次函数或指数函数）. ⑵确定内层函数值域：先求内层函数的值域，需特别注意指数函数本身的取值范围限制（如）. ⑶结合外层函数特性求最终值域：根据外层函数的单调性和内层值域推导最终结果. 例1．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域． 例 2．（23-24高三上·黑龙江绥化·阶段练习）当时，函数的值域为 . 【相似题1】（23-24高三上·辽宁·开学考试）函数的值域为 ． 【相似题2】（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数的值域为 ． 【相似题3】（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）函数，的值域为 . 命题点2 根据最值（值域）求参数（范围） 例1．（2024高三·全国·专题练习）若函数有最大值3，则 . 例2．（24-25高一上·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【相似题1】（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（22-23高一下·青海西宁·开学考试）若函数的值域为，则a的取值范围是 . 【相似题3】（2024高三下·全国·专题练习）函数（，且）在上的最大值为13，求实数a的值. 题型10 指数型函数的单调性 指点迷津 对于函数，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减. 对于函数，当，时，在上单调递增；当，时，在上单调递减. 对于函数，当，时，在上单调递增；当，时，在上单调递减. 例1．（2025·四川·三模）已知函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2.（多选）（24-25高一上·广东东莞·期中）若，则下列关系正确的是（   ）． A． B． C． D． 【相似题1】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数（，且）在上单调递增，则的取值范围为 . 题型11 指数型函数最值（值域） 指点迷津 对于形如（且，为常数）的函数求最值（值域），直接利用指数函数的单调性即可；对于形如（且，为常数）的函数求最值或值域，需先进行分离常数，变形为，然后利用，以及不等式的性质求解. 例1．（23-24高三上·山东潍坊·期中）函数的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 例2．（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 ． 【相似题1】（2025·安徽·一模）函数的值域为 . 【相似题2】（24-25高一上·北京·期中）函数的值域是 . 【相似题3】（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 ． 【相似题4】（24-25高三下·山东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则 . 题型12 指数型函数的奇偶性 指点迷津 奇函数：，，，； 偶函数：，（其中且） 例1．（23-24高三下·江西·开学考试）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   例2．（2025·江西·二模）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【相似题1】（22-23高三上·广西桂林·阶段练习）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高三下·湖北·开学考试）函数，则对任意实数，下列结论正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递增 C．是奇函数，且在上单调递减 D．是偶函数，且在上单调递减 【相似题3】（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【相似题4】（2025·天津和平·一模）已知函数是偶函数，则实数（    ） A． B． C． D． 【相似题5】（2025·四川泸州·模拟预测）已知是奇函数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 题型13 指数型函数的奇偶性和单调性的综合应用 例1．（2025·河北唐山·一模）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·江西·二模）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【相似题1】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 题型14 指数型函数的对称性 指点迷津 若函数满足（为常数），则的图象关于点成中心对称图形，形如（且，为常数）的函数用此性质找到对称中心. 形如（且，为常数）的函数图象则关于成轴对称. 例1．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 例2．（2025·陕西·三模）已知函数，则 ． 【相似题1】（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于直线对称，则 . 题型15 含指数函数的分段函数的性质 例1．（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 例2.（2025·甘肃甘南·模拟预测）若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例3．（2025·浙江·三模）已知函数，为奇函数，则 ． 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）设函数，的值域是 ． 【相似题2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数在R上单调递增，则的取值范围是 ． 【相似题3】（24-25高三上·北京西城·开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是 . 【相似题4】（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ． 【相似题5】（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 限时作业 （建议用时45分钟） 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）的分数指数幂表示为（   ） A． B． C． D．都不对 2．（2024·四川成都·模拟预测）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于对称 3．（24-25高一上·河北保定·期末）设，，，则它们的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 5．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三下·河北承德·专题练习）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8.（2025·重庆·模拟预测）已知函数，若对任意的，满足，则恒有（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·江苏常州·期末）若函数（其中且）的图象过第一、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数 下面说法正确的有（    ） A． B．的图象关于原点对称 C．的图象关于y轴对称 D． 且 11．（2025高三·全国·专题练习）如果函数在区间上的最大值是14，则a的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 三、填空题 12．（2025·安徽·模拟预测）已知是奇函数，则 . 13.（2025高三下·全国·专题练习）若曲线与直线有两个公共点，则的取值范围是 ． 14．（23-24高三上·河南驻马店·期末）若函数有最小值，则的取值范围是 . 真题呈现 1．（2025年天津卷）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2025年上海卷）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 3．（2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024年全国甲卷高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（2023年新课标全国Ⅰ卷高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023年北京高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 7.（2023年北京高考真题）已知函数，则 ． 8．（2023年全国乙卷（理）高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 9．（2022年北京高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 10．（2022年全国甲卷（理）高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 11．（2021年全国新高考Ⅰ卷高考真题）已知函数是偶函数，则 . 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