精品解析：2025年 江西省抚州市金溪县第二中学6月中考模拟预测数学试题

金溪二中25届初三6月模拟考试数学 [考试时间：120分钟；满分：120分] 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 两千多年前，中国人就开始使用负数．某班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（ ）分 A. 86 B. 83 C. 87 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正数和负数以及有理数减法运算，根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】解：（分）， 故选：D． 2. 下列图形既是轴对称图形，又是正方体的平面展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图和轴对称的性质等知识点，由正方体的展开图和轴对称的性质的特征解题即可，熟练掌握几何体的展开图和轴对称的性质是解决此题的关键． 【详解】A、 是正方体的展开图但不是轴对称图形，不符合题意； B、是正方体的展开图也是轴对称图形，符合题意； C、是轴对称图形但不是正方体的展开图，不符合题意； D、是正方体的展开图但不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查整式加减，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，单项式减单项式的法则，幂的乘方法则，对各项进行运算即可． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：． 4. 如图，直线ab，将三角尺直角顶点放在直线b上，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意易得∠1+∠3=90°，然后根据平行线的性质可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：∠3=180°-90°-∠1=40°， ∵ab， ∴∠2=∠3＝40°， 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及平角的意义，熟练掌握平行线的性质及平角的意义是解题的关键． 5. 如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中由（ ）个基础图形组成． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察图形不难发现，后一个图形比前一个图形多3个基础图形，根据此规律写出第个图案的基础图形个数即可； 【详解】解：第1个图案由4个基础图形组成，， 第2个图案由7个基础图形组成，， 第3个图案由10个基础图形组成，， ， 第个图案由个基础图形组成． 故选B． 【点睛】本题主要考查图形变化规律，观察图形得到后一个图形比前一个图形多3个基础图形是解题的关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点A、B的坐标由此得到AB的长，由此得到CD的长，点D的坐标，代入解析式即可得到答案． 【详解】解：如图，设直线AB交y轴于点E， ∵直线与二次函数交于A、B， ∴当时， ，得， ∴， ∴, ∵， ∴CD=4， 由二次函数的对称性可得CE=DE=2， ∴D（2，2）， 将点D的坐标代入，得8a=2， 解得a=， 故选：B． 【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特点，正确掌握二次函数图象的对称性、图象上点的坐标特点是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：=_______. 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式.因此，先提取公因式x后继续应用平方差公式分解即可． 详解】解： 故答案 8. 年月日，李强总理在十四届全国人大二次会议上提到年全国城镇新增就业万人，将数据万用科学记数法表示是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，先把万转化为，再根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：万， 故答案为：． 9. 已知 ，是一元二次方程的两根，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，的两根为、，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；首先把代入一元二次方程中得到进行降幂，可以得到，然后运用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 10. 如图，平地上的两个小朋友玩跷跷板．已知跷跷板的支点是长板的中点，支柱高米当长板的一端着地时，长板的另一端到地面的高度为______． 【答案】米 【解析】 【分析】证明∽，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：当跷跷板长板的一端着地时，示意图如下， 由题意可知：， ∽， ， 米，点是的中点， 米，即长板的另一端到地面的高度为米， 故答案为：米． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 11. 如图，C、D是以为直径的半圆周的三等分点，，P是直径上的任意一点．则阴影部分的面积等于 _______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，根据C，D是以为直径的半圆周的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可． 本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形的面积，难度一般． 【详解】解：连接、． ∵C，D是以为直径的半圆周的三等分点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案：． 12. 如图，在平角坐标系中，直线分别与x轴、轴交于点A、B，点M在坐标轴上、点N在坐标平面内，若以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则点N的坐标为______． 【答案】或或， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与矩形的综合题型，解题关键是分类讨论和利用相似三角形的性质得到对应线段之间的关系． 分类讨论：①点M在x轴上；②点M在原点；③点M在y轴上，利用相似及平移规律即可求解． 【详解】解：直线分别与轴、轴交于点A、， 当时，，时，， 点坐标，B点坐标， 分三种情况：点在原点上， 矩形中，如图， ， 点坐标为； 如图1，点在轴上，如图， 矩形中，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 点坐标为， 将点向右平移4个单位，向下平移2个单位得到点， ∴N的坐标为； 如图2，点在轴上，如图， 矩形中，，由②同理可得： ， ∴ ∴， 点坐标为， 将点向左平移4个单位，向上平移2个单位得到点， 的坐标为， ∴点坐标为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）解不等式组，并将它的解集在下面的数轴上表示出来． 【答案】（1）4；（2），见解析 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，有理数的乘方，特殊角的三角函数，立方根，实数的加减，一元一次不等式组，掌握知识点是解题的关键． （1）根据算术平方根，有理数的乘方，特殊角的三角函数，立方根，进行计算，最后再加减即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再确定它们的公共部分，即可解答． 【详解】解：原式 （2） 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为 解集在数轴上表示如图所示： 14. 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，平分．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先根据，平分得出四边形是平行四边形，由于进而得出四边形是菱形，得出即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键． 15. 2023年第19届亚运会在杭州举办，小蔡作为亚运会的志愿者“小青荷”为大家提供咨询服务．现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为A，B，C． （1）小蔡随机抽取一盒，她抽到A的概率为________． （2）请用列表或画树状图的方法，求小蔡从中随机抽取两盒吉祥物恰是A和C的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，理解题意，正确画出树状图或者正确列出表格，掌握概率的公式是解题关键． （1）根据概率公式进行计算求解； （2）理解题意的基础上，分清此题属于“不放回”问题，从而画树状图分析求解． 【小问1详解】 解：共3种等可能结果，小蔡随机抽取一盒，她抽到A概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是和的结果有2种， ∴小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是和的概率为． 16. 如图，请用无刻度的直尺按下列要求画图； （1）如图①，在中，，分别是边上的两点，且，请画出线段的垂直平分线； （2）如图②，等边和等边，点是边的中点，请画出线段的垂直平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和“两点确定一条直线”，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接与相交于点,可知，从而得到，所以，所以交点在的垂直平分线上即可得到作图依据； （2）连接与相交于点,交于点,根据菱形的性质以及全等的判定定理可证明，从而得到，所以，所以交点在的垂直平分线上即可得到作图依据． 【小问1详解】 解：（1）如图①，直线即为所求； 【小问2详解】 （2）如图②，直线即为所求． 17. 研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示． （1）求反比例函数的关系式，并求点A对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】（1） ，A点对应的指标值为； （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设反比例函数解析式为，然后把点代入求解即可得到反比例函数解析式，然后令，求出的值，即可求得点A对应的指标值； （2）由图知学生的注意力指标最高为15，由此解答即可． 【小问1详解】 解：设反比例函数的关系式为， 由图知，反比例函数过点， 代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的关系式为， 当时，， 则A点对应的指标值为； 【小问2详解】 解：不能，理由如下： 由图知学生的注意力指标最高为15， 故注意力指标达不到36． 【点睛】本题主要考查了函数图像的应用，一次函数与反比例函数综合，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数与反比例函数的相关知识． 四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 为增强学生体质，某校对学生进行体育综合素质测评，学校分别从七、八年级随机抽取了80名学生的测试成绩（百分制，单位：分），并对数据（测评成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 七年级80名学生测试成绩的频数分布直方图（数据分成6组：）如图所示： 七、八年级80名学生测试成绩的平均数、中位数和众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 74.3 81 八年级 75 79 78 七年级80名学生测试成绩在这一组的是71，72，72，73，74，74，75，76，76，77，77，77，77，78，78，79，79，79． 根据以上信息，回答下列问题． （1）表中的值为_______________，补全频数分布直方图． （2）八年级菲菲同学的测试成绩是78分，他认为78高于本年级测试成绩的平均数，所以自己的成绩高于本年级一半学生的成绩．你认为他的说法正确吗？请说明理由； （3）若该校七年级共有1200名学生，测试的成绩为60分及以上为合格，请你估算该校七年级学生测试成绩的合格人数． 【答案】（1）77，见解析 （2）不正确，理由见解析 （3）990人 【解析】 分析】本题考查了频数分布直方图，平均数，中位数，样本估计总体； （1）根据中位数的定义，结合已知数据，即可求解，根据第三组的频数补全频数直方图； （2）根据中位数的意义，即可求解． （3）根据样本估计总体，用七年级测试的成绩60分及以上的占比乘以，即可求解． 【小问1详解】 解:的人数为(名)， 则(名)，(名)， ∴第41名，42名学生在组，且为77，77， 则。 补全频数分布直方图如图； 故答案为：77，如图所示。 【小问2详解】 不正确，因为平均数会受极端值的影响，有时平均数会在中位数之下，而菲菲的成绩是78分，在中位数79分以下，因此菲菲的说法不正确； 【小问3详解】 （人） 答：该校七年级学生测评成绩的合格人数约为990人． 19. 如图，图是一种小鸟创意牙签盒，图是侧面示意图，矩形是牙签盒底座的侧面，在的中点处有一水平横杠，小鸟可以绕点转动．闲置时，小鸟头顶到的距离为，嘴尖恰好在所在的直线上，将小鸟头按下，当其嘴尖转动到上的点处时，刚好能叼到从盒子里出来的牙签，此时小鸟的身体与恰好平行．经测量，点到的距离，，，． （1）求小鸟从初始状态转动到叼到牙签时，旋转角的度数； （2）求小鸟在叼牙签时，嘴尖到的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用三角形函数求出相应的边的长度，再根据线段之间的关系求出结果． 过点作于点，在中，可知，从而求出的度数； 过点作于点，过点作于点，延长交于点，构造直角三角形，在求出，在中，求出，从而可知，在中，求出，从而可求． 【小问1详解】 解：如下图所示，过点作于点， 则， 在中，， ， 答：小鸟从初始状态转动到叼到牙签时，旋转角的度数约为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作于点，过点作于点，延长交于点， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 点与在同一条直线上， ， ， 由旋转可知， 在中，， ， 答：小鸟在叼牙签时，嘴尖到的距离约为． 20. 大连某中学为参加2024年哈尔滨冰雪节的同学购买了若干暖手宝和暖脚宝，网店组合报价为：购买3组暖脚宝和2组暖手宝共需340元；购买2组暖脚宝和1组暖手宝共需210元． （1）你能否算出每组暖手宝和暖脚宝的价格各是多少元？ （2）经老师和需求使用的同学沟通后计划最多拿出3200元购买暖手宝和暖脚宝共50组，由于需要暖手宝的同学不足30组，请你规划一下有哪几种购买方案？ 【答案】（1）购买暖脚宝每组需80元，购买暖手宝每组需50元； （2）共有3种购买方案，①购买暖脚宝21组，暖手宝29组；②购买暖脚宝22组，暖手宝28组；③购买暖脚宝23组，暖手宝27组． 【解析】 【分析】此题考查二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式组的实际应用． （1）将暖脚宝和暖手宝的进价设为未知量，列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买暖脚宝m组，则购买暖手宝组，由资金最多3200元，需要暖手宝的同学不足30组，列一元一次不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设购买暖脚宝每组需x元，购买暖手宝每组需y元，由题意得： ， 解得：， 答：购买暖脚宝每组需80元，购买暖手宝每组需50元； 【小问2详解】 解：设购买暖脚宝m组，则购买暖手宝组，由题意得： ， 解得：， ∴， ∵m为整数， ∴m为21或22或23， ∴共有3种购买方案，①购买暖脚宝21组，暖手宝29组；②购买暖脚宝22组，暖手宝28组；③购买暖脚宝23组，暖手宝27组． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，AC交⊙O于点E，过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G． （1）求证：EG是⊙O的切线； （2）若GF＝2，GB＝4，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为4 【解析】 【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论； （2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：（1）连接OE． ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C； ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠C， ∴∠A＝∠OEC， ∴OE∥AB， ∵BA⊥GE， ∴OE⊥EG，且OE为半径； ∴EG是⊙O的切线； （2）∵BF⊥GE， ∴∠BFG＝90°， ∵，GB＝4， ∴， ∵BF∥OE， ∴△BGF∽△OGE， ∴， ∴， ∴OE＝4， 即⊙O的半径为4． 【点睛】 本题考查了圆和三角形的综合问题，掌握等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 22. 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形ABCD“梦之点”的是______； （2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，判断的形状并说明理由． （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）是直角三角形 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或者边上即可得到答案； （2）根据“梦之点”的定义求出的坐标，再求出顶点的坐标，计算出的长，根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，最后由三角形面积公式计算即可得到答案； （3）由（2）可得，，求出直线的解析式为，由菱形的性质可得点、在直线上，联立，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：矩形的顶点坐标分别是，， 矩形的“梦之点”满足，， 点是矩形的“梦之点”，不是矩形的“梦之点”． 【小问2详解】 点是抛物线上的“梦之点”， ， 解得：，， 当时，，当时，， ，， ， 顶点， ，，， ， 是直角三角形． 【小问3详解】 由（2）可得，， 设直线的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， 以为对角线，以为顶点的四边形是菱形， ， 点、在直线上， 点在二次函数上， 联立， 解得：，， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、勾股定理以及勾股定理逆定理、菱形的性质、一次函数等知识，熟练掌握以上知识点，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键． 六、解答题（本题共12分） 23. 课本再现 （1）在学习“图形的平移和旋转”时，有这样一道题：如图1，点D在等边的边上，将绕点A旋转，点B的对应点为点C，小明是这样做的：过等边的顶点C作的平行线l，在l上截取，连接，则即为绕点A旋转后的图形，则______； 类比迁移 （2）如图2，点D为等边的边下方一点，连接，若，，求面积的最小值； 拓展应用 （3）如图3，在四边形中，，点E在上，且，于点E，交于点O，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，由旋转的性质可得，再根据角之间的关系可得； （2）延长到点，使，可证明，进一步证明是等边三角形，要使的面积最小，即等边三角形的边长最短时面积最小，即当为等边的高线时才会最短，从而可得出结论； （3）过点C作交的延长线于点F．由角平分线的性质得到，将绕点C旋转到，使得与重合，则点A，B，G三点共线．证明是等腰直角三角形，得到，，由旋转性质可知证明，得到，则是等腰直角三角形，再证明，得到，，进一步证明，推出，则，即． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴． 由旋转性质可知，， ∴，即． 故答案为：； （2）如图，延长到点，使． 是等边三角形， ，． ， ， ． ， ， ∴， ， ∵ ， 是等边三角形． 要使的面积最小，即等边三角形的边长最短时面积最小， 即当为等边的高线时才会最短， 由题意可知等边的高线最短为， ∴ 的面积最小值是． （3）如图，过点C作交的延长线于点F． ∵， ∴为的平分线． ∵， ∴， 将绕点C旋转到，使得与重合，则点A，B，G三点共线． ∵， ∴， 又∵，即， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 由旋转性质可知 ∵， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金溪二中25届初三6月模拟考试数学 [考试时间：120分钟；满分：120分] 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 两千多年前，中国人就开始使用负数．某班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（ ）分 A. 86 B. 83 C. 87 D. 80 2. 下列图形既是轴对称图形，又是正方体的平面展开图的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线ab，将三角尺直角顶点放在直线b上，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 5. 如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中由（ ）个基础图形组成． A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：=_______. 8. 年月日，李强总理在十四届全国人大二次会议上提到年全国城镇新增就业万人，将数据万用科学记数法表示是______． 9. 已知 ，是一元二次方程的两根，则______________． 10. 如图，平地上两个小朋友玩跷跷板．已知跷跷板的支点是长板的中点，支柱高米当长板的一端着地时，长板的另一端到地面的高度为______． 11. 如图，C、D是以为直径的半圆周的三等分点，，P是直径上的任意一点．则阴影部分的面积等于 _______． 12. 如图，在平角坐标系中，直线分别与x轴、轴交于点A、B，点M在坐标轴上、点N在坐标平面内，若以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则点N的坐标为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）解不等式组，并将它的解集在下面的数轴上表示出来． 14. 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，平分．求证：． 15. 2023年第19届亚运会在杭州举办，小蔡作为亚运会的志愿者“小青荷”为大家提供咨询服务．现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为A，B，C． （1）小蔡随机抽取一盒，她抽到A的概率为________． （2）请用列表或画树状图的方法，求小蔡从中随机抽取两盒吉祥物恰是A和C的概率． 16. 如图，请用无刻度的直尺按下列要求画图； （1）如图①，在中，，分别是边上的两点，且，请画出线段的垂直平分线； （2）如图②，等边和等边，点是边的中点，请画出线段的垂直平分线． 17. 研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示． （1）求反比例函数的关系式，并求点A对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 为增强学生体质，某校对学生进行体育综合素质测评，学校分别从七、八年级随机抽取了80名学生的测试成绩（百分制，单位：分），并对数据（测评成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 七年级80名学生测试成绩的频数分布直方图（数据分成6组：）如图所示： 七、八年级80名学生测试成绩的平均数、中位数和众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 743 81 八年级 75 79 78 七年级80名学生测试成绩在这一组的是71，72，72，73，74，74，75，76，76，77，77，77，77，78，78，79，79，79． 根据以上信息，回答下列问题． （1）表中的值为_______________，补全频数分布直方图． （2）八年级菲菲同学的测试成绩是78分，他认为78高于本年级测试成绩的平均数，所以自己的成绩高于本年级一半学生的成绩．你认为他的说法正确吗？请说明理由； （3）若该校七年级共有1200名学生，测试的成绩为60分及以上为合格，请你估算该校七年级学生测试成绩的合格人数． 19. 如图，图是一种小鸟创意牙签盒，图是侧面示意图，矩形是牙签盒底座的侧面，在的中点处有一水平横杠，小鸟可以绕点转动．闲置时，小鸟头顶到的距离为，嘴尖恰好在所在的直线上，将小鸟头按下，当其嘴尖转动到上的点处时，刚好能叼到从盒子里出来的牙签，此时小鸟的身体与恰好平行．经测量，点到的距离，，，． （1）求小鸟从初始状态转动到叼到牙签时，旋转角的度数； （2）求小鸟在叼牙签时，嘴尖到的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 20. 大连某中学为参加2024年哈尔滨冰雪节的同学购买了若干暖手宝和暖脚宝，网店组合报价为：购买3组暖脚宝和2组暖手宝共需340元；购买2组暖脚宝和1组暖手宝共需210元． （1）你能否算出每组暖手宝和暖脚宝的价格各是多少元？ （2）经老师和需求使用的同学沟通后计划最多拿出3200元购买暖手宝和暖脚宝共50组，由于需要暖手宝的同学不足30组，请你规划一下有哪几种购买方案？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，AC交⊙O于点E，过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G． （1）求证：EG是⊙O的切线； （2）若GF＝2，GB＝4，求⊙O的半径． 22. 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形ABCD“梦之点”的是______； （2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，判断的形状并说明理由． （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 六、解答题（本题共12分） 23. 课本再现 （1）在学习“图形的平移和旋转”时，有这样一道题：如图1，点D在等边的边上，将绕点A旋转，点B的对应点为点C，小明是这样做的：过等边的顶点C作的平行线l，在l上截取，连接，则即为绕点A旋转后的图形，则______； 类比迁移 （2）如图2，点D为等边边下方一点，连接，若，，求面积的最小值； 拓展应用 （3）如图3，在四边形中，，点E在上，且，于点E，交于点O，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $