精品解析：广东省湛江市博雅学校2025年自主招生数学试卷

广东省湛江市博雅学校2025年自主招生数学试卷 （本式卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，开方运算，根据二次根式的性质，立方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，正确； B、，原选项计算错误； C、，原选项计算错误； D、，原选项计算错误； 故选A． 2. 若将抛物线先沿轴方向向右平移1个单位，再沿方向向下平移2个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线的解析式变为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的平移规律，先配方得到，然后由沿着x轴向右平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位即可得到新解析式为，熟练掌握抛物线的平移规律：左加右减，上加下减是解决此题的关键． 【详解】∵， 又∵抛物线沿着x轴向右平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位， ∴平移后得新抛物线解析式为， 故选：D． 3. 若函数当时，该函数的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的最值，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 由得到，然后根据二次函数的性质求出最小值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，该函数取最小值，． 故选B． 4. 将自然数1，2，3，4……n（）的顺序打乱，重新排列成，，……，且恰为奇数，那么自然数n（ ） A. 一定是奇数 B. 一定是偶数 C. 一定是 D. 一定是 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了整数的奇偶性问题，对的奇偶性进行讨论是解决问题的关键． 从可能是奇数或偶数进行讨论，得出是奇数或偶数，从而确定答案． 【详解】解：如果是偶数的话， 在这个数列中偶数的个数和奇数的个数相等， 要保证是奇数，则须保证每一项都为奇数． 因为中奇数偶数都相等， 所以完全可能找出一队序列使每一项都是奇数， 如果是奇数的话，在这个数列中偶数的个数比奇数的个数少一个， 要保证是奇数，则须保证每一项都为奇数． 因为中奇数比偶数多一个，一定会在中有一个偶数， 因此必为偶数， 所以必为偶数． 故选：B． 5. 钟祥一中高一新生某个寝室有四个人，每个人写一张贺卡，集中起来．然后每人从中拿出一张，则拿到的不是自己写的贺卡的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等可能事件的概率的求法，是概率中的基本题型．本题要先求出总的取法，再求出所抽取的都不是自己所写的贺卡的种数，再用等可能事件的概率公式求解即可． 【详解】解：如图，记甲、乙、丙、丁四人写的贺卡为， ∴四张贺卡四人来取，总的取法有种， 四人所抽取的都不是自己所写的贺卡的种数为， 四人所抽取的都不是自己所写的贺卡的概率是：； 故答案为：． 6. 已知，那么的整数部分是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握运算法则是解题关键． 将代入计算，然后利用无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分是3． 故选：C． 7. 如图，矩形中，，，矩形中，，，则阴影部分的面积为（ ） A. 102 B. 103 C. 104 D. 105 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；由可判定，由全等三角形是性质得，由三角形的面积得 ，设，由相似三角形的判定方法，由相似三角形的性质得，可求，由勾股定理得，由即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 解得：， ， 在中， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ； 故选：D． 8. 个半径均为的硬币两两外切，如图所示，若将左边第一个硬币沿着剩下硬币的圆周滚动一圈回到原来的位置（其余个硬币固定不动），那么这个硬币在滚动时圆心移动的路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算的应用等知识点，根据题意确定运动路径是由由4个孤1与8个孤2组成，然后利用弧长公式计算即可得解，熟练掌握弧长的计算是解决此题的关键． 【详解】如图， 该硬币圆心路径由4个孤1与8个孤2组成， ∴由圆半径相等得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴弧1的长，弧2的长， ∴总路径长， 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图是二次函数图象的一部分，与轴一交点为，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 当时，不等式 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴的交点问题，从函数图象有效地获取信息，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：， ∴， ∴；故A错误； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线过点， ∴抛物线过点， ∴， ∴；故B正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴；故C错误； 当时，抛物线在轴的下方， ∴；故D正确； 故选：BD 10. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质、分式的大小比较、分式的混合运算法则等知识点，灵活运用作差法比较分式大小成为解题的关键． 运用作差法比较分式的大小可判断A、C、D选项；取，可判断B选项． 【详解】解：A．由，则， 则， 所以，故A选项正确； B．若，则，故B选项错误； C．由，则， 所以， 所以， 即，故C选项正确； D．由，则， 所以， 即，故D选项正确． 故选：ACD． 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在以为圆心，1为半径的圆周上运动，且始终满足，则的值可能是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查了斜边上的中线，两点间的距离，点到圆上一点距离的最值问题： 首先求出，斜边上的中线得到，然后求出点A到上一点的最大值和最小值，进行判断即可． 【详解】解：∵点，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 如图，延长交于M，，当点P与M重合时，最大，即a最大，当点与重合时，最小，即最小： ∵，， ∴， ∵的半径为1， ∴，， ∴． ∴的值可能为； 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若m，n是方程的两根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方程解的定义得到，，再根据根与系数的关系得到，后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】∵m，n是方程的两根， ∴，，，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 13. 如图，在梯形中，F为的中点，，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形中位线的性质，熟练掌握三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半的性质是解题关键． 延长，交延长线于点，根据等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余，得出，得出，通过证明，得出，即可得出为的中位线，根据中位线的性质即可得答案． 【详解】解：如图，延长，交延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵四边形为梯形， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 由等式，定义一种对应，如：表示，对应的是，记作，那么______________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据已知条件，分别比较等式两边、、的系数以及常数项，求得、、、的值即可． 【详解】解：∵， ∴比较等式两边的系数得，则， 比较等式两边的系数得，则， 比较等式两边的系数得，则， 比较等式两边的常数项得，则， ∴， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）先化简，后求值：，其中． （2）解方程： 【答案】（1）化简结果为， ；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及一元三次方程的求解．对于分式化简求值，熟练掌握因式分解、分式的乘除法运算法则以及代入求值的方法是关键；对于一元三次方程，掌握分组分解因式的方法，将高次方程转化为低次方程进行求解是关键． （1）先对分子分母进行因式分解，将除法运算转化为乘法运算，再进行约分，合并同类项完成化简．最后把给定的值代入化简后的式子进行计算． （2）对原方程进行分组分解因式，通过提取公因式等方法将高次方程转化为低次方程，然后求解低次方程得到原方程的解． 【详解】解：（1） ， 当时，原式． （2） ∵ ∴ 解得：． 16. 如图，平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE、DF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）当AE的长是多少时，四边形CEDF是矩形？ 【答案】 （1）四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BF， ∴∠DEF=∠CFE，∠EDC=∠FCD， ∵GD=GC， ∴△GED≌△GFC， ∴GE=GF， ∵GD=GC，GE=GF， ∴四边形CEDF是平行四边形； （2）时，四边形CEDF是矩形. 【解析】 【分析】(1)先证明△GED≌△GFC，从而可得GE=GF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证得结论； (2)当AE的长是7cm时，四边形CEDF是矩形，理由如下：作AP⊥BC于P，则∠APB =90°，求得BP=3cm，再证明△ABP≌△CDE，可得∠CED=∠APB=90°，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得. 【详解】(1)略 (2)当AE的长是7cm时，四边形CEDF是矩形，理由如下： 作AP⊥BC于P，则∠APB=∠APC=90°， ∵∠B=60°， ∴∠PAB=90°-∠B=30°， ∴BP=AB==3cm， 四边形ABCD是平行四边形， ∴∠CDE=∠B=60°，DC=AB=6cm，AD=BC=10cm， ∵AE=7cm， ∴DE=AD-AE=3cm=BP， ∴△ABP≌△CDE， ∴∠CED=∠APB=90°， 又∵四边形CEDF是平行四边形， ∴平行四边形CEDF是矩形， 即当AE=7cm时，四边形CEDF是矩形. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. 17. 为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨． （1）A城和B城各有多少吨肥料？ （2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费． （3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？ 【答案】（1）A城和B城分别有200吨和300吨肥料；（2）从A城运往D乡200吨，从B城运往C乡肥料240吨，运往D乡60吨时，运费最少，最少运费是10040元；（3）当0＜a<4时，A城200吨肥料都运往D乡，B城240吨运往C乡，60吨运往D乡；当a=4时，在0≤x≤200范围内的哪种调运方案费用都一样；当4＜a＜6时，A城200吨肥料都运往C乡，B城40吨运往C乡，260吨运往D乡． 【解析】 【分析】（1）根据A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，列方程或方程组得答案； （2）设从A城运往C乡肥料x吨，用含x的代数式分别表示出从A运往运往D乡的肥料吨数，从B城运往C乡肥料吨数，及从B城运往D乡肥料吨数，根据：运费=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式，利用一次函数的性质得结论； （3）列出当A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元时的一次函数解析式，利用一次函数的性质讨论，得结论． 【详解】（1）设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨， 根据题意，得， 解得， 答：A城和B城分别有200吨和300吨肥料； （2）设从A城运往C乡肥料x吨，则运往D乡（200﹣x）吨，从B城运往C乡肥料（240﹣x）吨，则运往D乡（60+x）吨，设总运费为y元， 根据题意得：y=20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）=4x+10040， ∵， ∴0≤x≤200， 由于函数是一次函数，k=4＞0， 所以当x=0时，运费最少，最少运费是10040元； （3）从A城运往C乡肥料x吨，由于A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元， 所以y=（20﹣a）x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）=（4﹣a）x+10040， 当4﹣a>0时，即0＜a<4时，y随着x的增大而增大， ∴当x=0时，运费最少，A城200吨肥料都运往D乡，B城240吨运往C乡，60吨运往D乡； 当4-a=0时，即a=4时，y=10040，在0≤x≤200范围内的哪种调运方案费用都一样； 当4﹣a＜0时，即4＜a＜6时，y随着x的增大而减小， ∴当x=240时，运费最少，此时A城200吨肥料都运往C乡，B城40吨运往C乡，260吨运往D乡． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等，弄清题意、根据题意找准等量关系、不等关系列出方程组，列出一次函数解析式是关键．注意（3）小题需分类讨论． 18. 已知二次函数的图象过点，且对任意实数x，都有． （1）求该二次函数的解析式； （2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）令，解得，可得函数 必过 ，再结合 必过 得出，，即可得到，再根据，可看成二次函数与一次函数仅有一个交点，且整体位于的上方，可得，有两个相等的实数根，再根据，可解得的值，即可求出二次函数解析式． （2）结合（1）求出点C的坐标，设，①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时,根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：（1）令，解得， 当时，， ∴ 必过 ， 又∵ 必过 ， ∴， ∴， 即， 即可看成二次函数与一次函数仅有一个交点，且整体位于的上方 ∴， 有两个相等的实数根 ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． （2）由（1）可知：，，设， ①当为对角线时， ∴，解得（舍），， ∴，即． ②当为对角线时， ∴，解得（舍）， ∴，即． ③当为对角线时， ∴，解得， ∴或， ∴． 综上所述：N点坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数与不等式组，考查了平行四边形的存在性问题，利用中点公式，分类讨论是解题关键． 19. 一只青蛙，位于数轴上的点，跳动一次后到达，且（为任意正整数），青蛙从开始，经过次跳动的位置依次为． （1）若这只青蛙跳动次，使，且，请写出青蛙跳动的位置； （2）若，求； （3）对于正整数，如果存在一种跳动次的情形，能同时满足如下两个条件：①，②．求正整数被除的余数． 【答案】（1）； （2）或； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据次跳动后回到初始位置可得结果； （2）设向右跳了步，向左跳了步，根据题意列出方程组，讨论可得结果； （3）经过步跳动到达，假设这步中向右跳了步，向左跳了步，通过计算可得，从而得到，可推出，由能被整除可得被除的余数． 【小问1详解】 解：∵，， 则次跳动后回到初始位置， ∴第一二次都是向右跳，第三四次向左跳，即； 【小问2详解】 解：从经步到达，不妨设向右跳了步，向左跳了步， 则， 解得：， 即向左跳动仅一次，若这次跳动在第次及以前，则， 若这次跳动在次后，则， ∴为或； 【小问3详解】 解：因为次跳动的情形，能同时满足如下两个条件： ①，②， 经过步跳动到达，假设这步中向右跳了步，向左跳了步， 则（的正整数）， ∴ ， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴能被整除，所以被除的余数为或． 【点睛】本题考查了数的整除，数轴，以及整式的运算，难度较大，解题的关键是要充分理解题意，将向右跳动的步数与向左跳动的步数用字母表示，便于运算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省湛江市博雅学校2025年自主招生数学试卷 （本式卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若将抛物线先沿轴方向向右平移1个单位，再沿方向向下平移2个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线的解析式变为（ ） A. B. C. D. 3. 若函数当时，该函数的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 7 4. 将自然数1，2，3，4……n（）的顺序打乱，重新排列成，，……，且恰为奇数，那么自然数n（ ） A. 一定是奇数 B. 一定是偶数 C. 一定是 D. 一定是 5. 钟祥一中高一新生某个寝室有四个人，每个人写一张贺卡，集中起来．然后每人从中拿出一张，则拿到的不是自己写的贺卡的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，那么的整数部分是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，矩形中，，，矩形中，，，则阴影部分的面积为（ ） A. 102 B. 103 C. 104 D. 105 8. 个半径均为的硬币两两外切，如图所示，若将左边第一个硬币沿着剩下硬币的圆周滚动一圈回到原来的位置（其余个硬币固定不动），那么这个硬币在滚动时圆心移动的路径长为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图是二次函数图象的一部分，与轴一交点为，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 当时，不等式 10. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在以为圆心，1为半径的圆周上运动，且始终满足，则的值可能是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若m，n是方程的两根，则的值为________． 13. 如图，在梯形中，F为的中点，，若，则______． 14. 由等式，定义一种对应，如：表示，对应的是，记作，那么______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）先化简，后求值：，其中． （2）解方程： 16. 如图，平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE、DF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）当AE的长是多少时，四边形CEDF是矩形？ 17. 为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨． （1）A城和B城各有多少吨肥料？ （2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费． （3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？ 18. 已知二次函数的图象过点，且对任意实数x，都有． （1）求该二次函数的解析式； （2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 一只青蛙，位于数轴上的点，跳动一次后到达，且（为任意正整数），青蛙从开始，经过次跳动的位置依次为． （1）若这只青蛙跳动次，使，且，请写出青蛙跳动的位置； （2）若，求； （3）对于正整数，如果存在一种跳动次的情形，能同时满足如下两个条件：①，②．求正整数被除的余数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $