22.3 实际问题与二次函数（第1课时）（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十二章 二 次 函 数 第一课时 22.3 实际问题与二次函数 学 习 目 标 1 2 3 能根据实际问题构造二次函数模型。能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最大（小）值问题。 通过对“长方形面积”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想。 体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识。 知识回顾 对称轴： y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 ) (一般式) 配方法 公式法 二次函数的性质与解析式系数的关系 顶点： (顶点式) (， ) 二次函数何时有最大值或最小值 a＞0 a＜0 当,函数值有最大值，y最大值 当,函数值有最大值，y最小值 3 导入新课 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 ．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少 问题 这个函数的图象是一条抛物线的一部分 这条抛物线的顶点是这个函数的图象的什么点 当t取什么值,这个函数有最小还是最大值 ——最高点 ——当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值 －5 图像开口向下 新知探究 探究点1 图形的最值 议一议 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 ．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ （1）如何求出二次函数 的最小（大）值？ 由于抛物线的顶点是最低（高）点， 当 时， 二次函数有最小（大）值 。 （2）小球的运动时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ ∴当 答：小球运动的时间是3s时，小球最高;小球运动中的最大高度是45m。 新知探究 探究点1 图形的最值 归一归 一般地，当a>0(a<0)时，抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点有最低（高）点，也就是说， 当x = 时，二次函数有最小（大）值 二次函数解决实际问题的一般路径 —实际问题转化成数学问题 —利用二次函数知识解决问 —利用求解的结果解释问题 典例分析 探究点1 图形的最值 分析： （1）矩形面积公式： 矩形面积=长×宽 例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长 l的变化而变化.当 l是多少时，场地的面积S最大？ （2）如何用l 表示另一边？ 另一边长为（） m. 解：由题意得：面积S的函数关系式为： 对称轴 ∴当时S有最大值 ∵ l （） （1）变式与例题有什么不同？ 典例分析 探究点1 图形的最值 变式 用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ x x 60-2x 墙长32m （2）当设面积为S，如何设自变量？面积S的函数关系式是什么？ 议一议 一边靠墙，篱笆只围了长方形菜园的三边 可以设垂直于墙的边长为x米，另一边为（60-2x） S＝x（60-2x） （3）如何确定自变量x 的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？ 0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 对自变量x的取值范围由限制 最值在其顶点处， （4）如何求最值？ 8 典例分析 探究点1 图形的最值 变式 用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 墙长32m x x 60-2x 设菜园面积为S，垂直于墙的边长为x米，由题意得 解： S＝x(60－2x) ＝－2x2＋60x =-2（x-15）+450 ∵0＜ 60－2x ≤32， ∴14≤ x＜30. ∴最值在其顶点处， 即当x=15m时，S最大值=450m2. ∴抛物线开口向下，顶点坐标（15,450） 新知探究 探究点2 图形的最值与自变量取值范围关系 归一归 1.根据面积公式、周长公式等建立函数关系式； 2.确定自变量的取值范围； 3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； 4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值. 利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： 实际问题中求解二次函数最值问题时，函数的最值要考虑自变量的取值范围 （1）当自变量的取值包含顶点时，函数的最值在函数的顶点处取得； （2）当自变量的取值不包含顶点时，函数的最值一般在端点处取得，此时要考虑函数的增减性. 注意 典例分析 探究点2 图形的最值与自变量取值范围关系 例2 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN最长可利用26米），现在已备足可以砌50米长的墙的材料，若设AB=x米： (1)若矩形花园的面积为 300m²，求x． (2)若平行于墙的一边长不小于20米，这个矩形花园有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由． （1）解：设AB 为xm ，则 BC为（50-2x）m ， 由题意得：x（50-2x）=300， 解得， 当 时， 50-2x=30＞26 （不合题意，舍去）， 当 时 50-2x=20＜26 （符合题意）， 答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300平方米； 典例分析 探究点2 图形的最值与自变量取值范围关系 例2 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN最长可利用26米），现在已备足可以砌50米长的墙的材料，若设AB=x米： (1)若矩形花园的面积为 300m²，求x． (2)若平行于墙的一边长不小于20米，这个矩形花园有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由． （2）解：设AB 为xm ，矩形花园的面积为m² ， 则， ∵平行于墙的一边长不小于20米 ∴ ∴ ∵围墙MN最长可利用26米 ∴ ∴ ∴ ∴当时， =25＜26符合题意， ∴当时， ∴当时， 此时取得最小值， 典例分析 (1)求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)求x为多少时S取得最大值，并求S的最大值． （1）解：由窗框的宽为x米， 则长为 米，由题意可得： ∴ S与x的函数关系式 例3.用长为12米的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，设矩形窗框的宽为x米，窗框的透光面积为S平方米． (铝合金型材宽度不计) （2）解：由（1）得： ∵ ． ∴S有最大值， ∴当 时，S有最大值， ． 探究点2 图形的最值与自变量取值范围关系 拓展提升 1.综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们以“二次函数的最大值”为主题开展数学活动． 观察发现 （1）如图1，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想用60米长的篱笆围成一个矩形花圃ABCD ，设AB=x 米，E是AB 边上的动点。连接CE ，DE ，设△ECD 的面积为y平方米，求出y与x之间的函数关系式，并求y的最大值． 探究迁移 （2）工人师傅要在如图2所示的矩形铁皮 ABCD上分割出△EFG ，用来填充不同材质的产品，已知 AB=6，BC=4 ，点E，F，G分别在边AB ，BC ， CD上，且AE=2CF ，CG=2 ，设CF=x ， △EFG 的面积为y． ①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； ②求y的最大值． （3）如图3，在（2）的条件下，且点F位于△EFG 的面积最大时的位置，H是 CG上的一点，连接FH ，当四边形EFHG 的面积为 时，求 GH的长． 拓展提升 1.综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们以“二次函数的最大值”为主题开展数学活动． 观察发现 （1）如图1，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想用60米长的篱笆围成一个矩形花圃ABCD ，设AB= x 米，E是AB 边上的动点。连接CE ，DE ，设△ECD 的面积为y平方米，求出y与x之间的函数关系式，并求y的最大值． （1）解： ∵AB= x 米 ∴ ∴ ∵ ， ∴当 时，y的最大值为112.5； 拓展提升 1.综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们以“二次函数的最大值”为主题开展数学活动． 探究迁移 （2）工人师傅要在如图2所示的矩形铁皮 ABCD上分割出△EFG ，用来填充不同材质的产品，已知 AB=6，BC=4 ，点E，F，G分别在边AB ，BC ， CD上，且AE=2CF ，CG=2 ，设CF=x ， △EFG 的面积为y． ①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； ②求y的最大值． （2）①由题可知 即: 2 拓展提升 1.综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们以“二次函数的最大值”为主题开展数学活动． 探究迁移 （2）工人师傅要在如图2所示的矩形铁皮 ABCD上分割出△EFG ，用来填充不同材质的产品，已知 AB=6，BC=4 ，点E，F，G分别在边AB ，BC ， CD上，且AE=2CF ，CG=2 ，设CF=x ， △EFG 的面积为y． ①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； ②求y的最大值． （2）由①题可知 ∴当 时，y的最大值为5； 顶点横坐标在自变量x的取值范围内,顶点纵坐标代表最值 拓展提升 1.综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们以“二次函数的最大值”为主题开展数学活动． 探究迁移 （3）如图3，在（2）的条件下，且点F位于△EFG 的面积最大时的位置，H是 CG上的一点，连接FH ，当四边形EFHG 的面积为 时，求 GH的长． （3）如图，连接 FG ， ∵在（2）的条件下，且点F位于 △EFG的面积最大时的位置时， ∴此时△EFG 的面积为5，CF=1 ∵四边形 EFHG的面积= △EFG 的面积+ △FGH 的面积 = ， ∴ △FGH的面积= ， ∴ GH =1． 巩固练习 教材P51 下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有，写出这些点的坐标： （1）y = –4x2 + 3x；（2）y = 3x2 + x + 6． 1. 习题22.3 解： （1） y = –4x2 + 3x中 ∵a= - 4＜0,抛物线开口向下, ∴抛物线有最高点, ∵y = –4x2 + 3x=- 4(x-) 2 + ∴最高点坐标为 y = –4x2 + 3x=-4(x-) 2+ （2） y = 3x2 + x + 6中 ∵a= 3＞0,抛物线开口向上, ∴抛物线有最低点, ∵ y = 3x2 + x + 6 =3 (x ) 2 ∴最低点坐标为 真题感知 1．(2025•浙江)为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x(单位：km)(0≤x≤n)，PQ2为y(单位：km2)．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D(m，81)，且经过E(1，225)和F(n，225)两点．下列选项正确的是(　　) A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点(15，85)在该函数图象上 解：如图，作PG⊥AB于G，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知 PH²＝225，当点Q运动到点G的时候，PQ²最小， 即： PG²＝81，HG＝m－1＝12． 在Rt△PGH中，由勾股定理， 得 ， ∴m＝13．∴A错误 ∴AG＝m＝13，HG＝m－1＝12． 当x＝n时，点Q运动到点B， 则 ， ∴PB＝PH， ∵PG⊥AB，∴BG＝HG＝12， ∴AB＝13＋12＝25，∴选项B错误． 当x＝15时，点Q运动到点K， ∴AK＝15． ∴GK＝AK－AG＝2． ∴ PK2＝KG2＋PG2＝4＋81＝85． ∴点(15，85)在该函数图象上． ∴选项D正确． D ∴当x＝0，即点Q在A点时， ∴ ． ∴点C的纵坐标为250．∴选项C错误． 真题感知 2．（2025·莆田·九年级校考阶段练习）如图，在足够大的空地上有一段长为24米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了60米木栏． (1)若围成的矩形菜园的面积为400平方米，求所利用旧墙AD 的长； (2)求矩形菜园 ABCD面积的最大值． （1）解：（1）设AD= x 米，则BC= x 米， AB= (60-x) 米， 根据题意得： 解得 当 时，40＞24，不符合题意舍去，故 ， 答：所利用旧墙 AD的长为20米； 真题感知 2．（2025·莆田·九年级校考阶段练习）如图，在足够大的空地上有一段长为24米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了60米木栏． (1)若围成的矩形菜园的面积为400平方米，求所利用旧墙AD 的长； (2)求矩形菜园 ABCD面积的最大值． （2）令矩形菜园 ABCD面积为y ， 由（1）得； ， 抛物线开口向下，对称轴为直线 ， 当 时，随的增大而增大， ∴当 时， ． 3.（2025济南·九年级统考期中）如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm；动点P从点A开始沿边AB 向点B以2cm/s 的速度移动，动点Q 从点B开始沿边BC 向点C以4cm/s 的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t． (1) AP=______，BP= ______，BQ= ； (2)t为何值时 △BPQ的面积为 32cm²？ (3)t为何值时 △BPQ的面积最大？ A B P Q C （1）根据题意得： （2）由题意得: 解方程得： ∵ ∴ 都符合题意 时 △BPQ的面积为 32cm² 3.（2025济南·九年级统考期中）如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm；动点P从点A开始沿边AB 向点B以2cm/s 的速度移动，动点Q 从点B开始沿边BC 向点C以4cm/s 的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t． (1) AP=______，BP= ______，BQ= ； (2)t为何值时 △BPQ的面积为 32cm²？ (3)t为何值时 △BPQ的面积最大？ A B P Q C （3）由题意得: ∴当时△BPQ的面积最大，最大面积为 36cm² 抛物线开口向下，且 课堂小结 一般地，当a>0(a<0)时，抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x = 时，二次函数有最小（大）值 . 实际问题 数学模型 转化 回归 几何面积最值问题 关键 注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 1.确定自变量的取值范围； 2.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； 3.最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 课后练习 教材P52 习题22.3 某种商品每件的进价为 30 元，在某段时间内若以每件 x 元出售，可卖出 (100 – x) 件，应如何定价才能使利润最大？ 2. 解：设所获总利润为 y 元．由题意， y = (x – 30)(100 – x) = –x2 + 130x – 3000 = –(x – 65)2 + 1225. ∴当 x = 65 时，y 有最大值． 答：以每件 65 元定价才能使所获利润最大． 课后练习 教材P52 习题22.3 飞机着陆后滑行的距离 s（单位：m）关于滑行的时间 t（单位：s）的函数解析式是 s = 60t – 1.5t2．飞机着陆后滑行多远才能停下来？ 3. 解：s = 60t – 1.5t2 = –1.5(t2 – 40t + 400) + 1.5×400 = –1.5(t – 20)2 + 600， ∴ 当 t = 20 时，s 取最大值，且最大值是 600. 答：飞行着陆后滑行 600 m 才能停下来. 课后练习 教材P52 习题22.3 已知直角三角形两条直角边的和等于 8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？ 4. 解：设一条直角边长是 x，那么另一条直角边长是 (8 – x)， 设其面积为 y，则 y = x(8 – x)， 该函数图象的对称轴为 x = 4，且开口向下， ∴当 x = 4 时，有 ymax = ×4×(8 – 4) = 8， 此时 8 – 4 = 4. 答：当两条直角边长都为 4 时，面积有最大值 8. 感谢聆听! $$