22.3实际问题与二次函数（第1课时几何面积问题）（培优教学课件）数学人教版九年级上册

人教版·九年级上册 第二十二章 二次函数 第22.3 实际问题与二次函数 (第1课时几何面积问题) 学 习 目 标 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. 1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条______，它的对称轴是_______，顶点坐标是_______. 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条_______，它的对称轴是___________，顶点坐标是___________.当a＞0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x=____时，y最小值=______；当a＜0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x=____时，y最大值=_______. 抛物线 直线x=h (h,k) 抛物线 上 低 下 高 (-） 直线x=- - - 复习引入 问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是 h=30t-5t2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 可以看出，这个函数图象是一条抛物线的一部分. 这条抛物线的顶点是这个函数的图像的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值. 可以借助函数图象解决这个问题，画出函数 h=30t-5t2(0≤t≤6). 互动新授 因此，当t=-=-=3时，h有最大值==45. 也就是说，小球运动的时间是3 s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45 m. 互动新授 一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是最低(高)点，也就是说，当x= 时，二次函数y=ax2+bx+c有最小(大)值 . - 总结归纳 探究1 用总长为60m的篱笆墙围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少米时，场地的面积S最大？ 解：矩形场地的周长是60m，一边长为lm， 所以另一边长为(-l)m. 场地的面积 S=l(30-l) (0＜l＜30) 即 S=-l2+30l (0＜l＜30) ∵a=-1＜0，所以，当 l=-=15时，S有最大值=225. 也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大. 互动新授 S x 20-2x 14m 例1 如图，用总长20米的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园，墙长14米，设菜园垂直于墙的一边为x米，面积为y平方米. (1)求y与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：(1)设菜园垂直于墙的一边为x米，则平行于墙的一边为(20-2x)米. y=x(20-2x)=-2x2+20x(3≤x＜10) (2)抛物线的对称轴为直线x=-=5 ∴当x=5时，y最大值=50. ∴菜园垂直于墙的一边为5m时，菜园面积y最大，最大面积为50m2. 典例精析 1.若正方形的周长为acm,面积为Scm2,则S与a之间的函数解析式为(　　) A. S=a2 B. S=a2 C. S=a2 D. S=a2 2.有一个周长为12的矩形,当其面积最大时,其一边长为(　　) A. 3 B. 6 C. 2 D. 3.已知一个直角三角形的两直角边长之和为20cm,则该直角三角形的最大面积为(　　) A. 25cm2 B. 50cm2 C. 100cm2 D. 200cm2 C A B 小试牛刀 1.已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？ 解：设直角三角形的一边为x，则另一边为(8-x)，面积为y.则y与x的函数关系式为 y=x(8-x)(0＜x＜8) 即y=-x2+4x(0＜x＜8) ∵a=-＜0， ∴ 当x=-=4时，y最大=8. 答：当两条直角边都为4时，这个直角三角形的面积最大，最大值为8. 课堂检测 2.如图，某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长20 m，木栅栏长47 m，在与墙垂直的一边留出1 m宽的出入口(另选材料建出入门)．求鸡场面积的最大值． 解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为(47－2x＋1)m.　依题意，得y＝x(47－2x＋1)， 即y＝－2(x－12)2＋288.　 ∵， ∴. ∵，对称轴为直线，　 ∴鸡场的最大面积为14×20=280（）. 课堂检测 1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A出发,沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C出发,沿CB向点B以2cm/s的速度运动(当点Q运动到点B时,点P,Q同时停止运动).在运动过程中,四边形PABQ的面积最小为(　　) A. 19cm2 B. 16cm2 C. 15cm2 D. 12cm2 C 拓展训练 2.某社区委员会决定把一块长40m，宽30m的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多5米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为xm(6≤x≤10)，健身活动区域的面积为Sm2． (1)求出S与x之间的函数关系式； (2)求健身活动区域的面积S的最大值． 解：(1)由题意解得： ； 拓展训练 解：(2) ， ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，S随x的增大而减小， ∴当时，S有最大值，最大值为1176， 答：活动区域面积S的最大值为． (2)求健身活动区域的面积S的最大值． 拓展训练 1.怎样求二次函数的最大（小）值？ 2.求几何图形面积的最值时都有哪些步骤？ （1）引入自变量，用含自变量的代数式分别表示与所求题相关的量. （2）分析题目中的数量关系，根据题意列出函数解析式. （3）根据函数解析式求出最值及取得最值时自变量的值，注意自变量的取值范围. 当a>0(a<0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低(高)点，也就是说，当x＝-时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值 . 课堂小结 1.已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？ 解：设直角三角形的一直角边长为x，则另一直角边长为8-x. 根据题意，得S=x(8-x)(0＜x＜8)， 配方，得S=-(x-4)2＋8.　 即当x=4时，三角形的面积最大，最大面积是8.　 课后作业 1.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动．已知P，Q两点分别从A，B两点同时出发． (1)求△PBQ的面积关于运动时间的函数解析式； 解：(1)设t s时，△PBQ的面积为 S.　 根据题意，得S＝BP·BQ＝(12－2t)×4t ＝24t－4t2(0≤t≤6)．　 ∴S关于t的函数解析式为S＝24t－4t2(0≤t≤6)．　 培优作业 1.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动．已知P，Q两点分别从A，B两点同时出发． (2)求△PBQ面积最大值． (2)∵S＝24t－4t2＝－4(t－3)2＋36， ∴当t＝3 时，△PBQ的面积有最大值，为36 mm2.　　 培优作业 感谢聆听! $$