专题03 轴对称之将军饮马模型之最值问题（高效培优专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题03 轴对称之将军饮马模型之最值问题 题型一：“2定点1动点”作图问题 题型二：“2定点1动点”求周长最小值问题 题型三：“2定点1动点”求线段最小值问题 题型四：“1定点2动点”-线段/周长最小问题 题型五：“1定点2动点”-角度问题 题型一：“2定点1动点”作图问题 1．如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 2．河岸l同侧的两个居民小区A、B，现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带（宽度不计），使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．请在图中画出绿化带的位置，并写出画图过程． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)作出关于直线对称的（要求A与与与相对应）； (2)求的面积 (3)在直线上找一点，使得的和最小．（保留作图痕迹） 4．【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 题型二：“2定点1动点”求周长最小值问题 1．如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC与点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 2．如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点，若D为边上中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 3．如图，将等边折叠，使点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上的动点，若AD＝2，AC＝6，则的周长最小值为 ． 4．如图，等腰三角形ABC的面积为90，底边BC=12，腰AC的垂直平分线EF交AC，AB于点E，F，若D为BC边中点，M为线段EF上一动点，则的周长最小值为 题型三：“2定点1动点”求线段最小值问题 1．如图，在ABC中，，， ，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（　　）    A．6 B．7 C．7.5 D．8.3 3．如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为 ． 4．小月学习三角形相关知识后，对其进行深入学习，并得到如下结论：如图，在中，，点D是的中点，如果，则．她把这个结论用于解决实际问题：将以点O为原点建立平面直角坐标系，，，则的长为 ；若在上有一点P，使得最小，则点P的坐标为 ． 5．如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．    6．如图，等腰中，，，l是的对称轴，D是上一动点，在l上存在一点P，能使的值最小，这个最小值为 ． 题型四：“1定点2动点”-线段/周长最小问题 1．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ） A．10 B．15 C．20 D．30 2．如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（   ）的长度相等． A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，连接、，则的周长的最小值为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 5．如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（  ） A．10 B． C．12 D． 6．如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　）    A．7 B．8 C．9 D． 7．如图，∠AOB＝30º，∠AOB内有一定点P，且OP＝10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若ΔPQR周长最小，则最小周长是 题型五：“1定点2动点”-角度问题 1．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）    A． B． C． D． 2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=121°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　） A．118° B．121° C．120° D．119° 3．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 4．如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 5．在四边形中，，，分别是，上的点，当△周长最小时，的度数为（ ） A． B． C． D． 6．如图，是等边的中线，点E，F分别是上的动点，当最小时的度数为 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 轴对称之将军饮马模型之最值问题 题型一：“2定点1动点”作图问题 题型二：“2定点1动点”求周长最小值问题 题型三：“2定点1动点”求线段最小值问题 题型四：“1定点2动点”-线段/周长最小问题 题型五：“1定点2动点”-角度问题 题型一：“2定点1动点”作图问题 1．如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 2．河岸l同侧的两个居民小区A、B，现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带（宽度不计），使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．请在图中画出绿化带的位置，并写出画图过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称——最短路径问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合建一个长度为s米的绿化带，故作线段，使，且点在点B的左侧．再根据C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．则取点A关于直线l的对称点，连结，交直线于点C，在直线l上点C右侧截取，即可作答． 【详解】解：作图方法如下：如图，作线段，使，且点在点B的左侧．取点A关于直线l的对称点，连结，交直线于点C，在直线l上点C右侧截取， ∴ 则即为所求作的绿化带的位置． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)作出关于直线对称的（要求A与与与相对应）； (2)求的面积 (3)在直线上找一点，使得的和最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，依次连接即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）连接交直线l于点P，连接，则，故，根据两点之间线段最短可得此时最小，即点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：； （3）解：如图，点P即为所求． 4．【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确画出图形是解题关键． （1）作点关于直线的对称点连接交于点，点即为所求； （2）先由轴对称的性质得到，，则，再由两点之间线段最短即可证明结论； （3）分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线即为所求. 【详解】解：（1）如图所示，点C即为所求， ； （2）直线是点、的对称轴，点、在上， ，， ， 在中， ， ； （3）如图所示， ， ， 则， 根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 题型二：“2定点1动点”求周长最小值问题 1．如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC与点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】 如图，连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=12， 解得：AD=6（cm）， ∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴点B关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为BM+MD的最小值， ∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）． 故选C． 【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 2．如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点，若D为边上中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 【答案】8 【分析】此题考查了轴对称——最短路线问题，连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论，熟知等腰三角形三线合一的性质，两点之间线段最短是解答此题的关键． 【详解】解：连接，    ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴， ∴， 解得：， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短， 故答案为：8． 3．如图，将等边折叠，使点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上的动点，若AD＝2，AC＝6，则的周长最小值为 ． 【答案】10 【分析】连接BD、OB，由折叠得OB=OD，根据等边三角形的性质求出BC，CD，当点B、O、C共线时，的周长最小，计算即得． 【详解】解：连接BD、OB， 由折叠得EF是BD的垂直平分线， ∴OB=OD， ∵△ABC是等边三角形，AD＝2，AC＝6， ∴AC=BC=6，CD=AC-AD=6-2=4， ∴的周长=CD+OC+OD=4+OC+OB， ∴当点B、O、C共线时，的周长最小，最小值为4+BC=4+6=10， 故答案为：10． ． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，三角形周长最小值，正确理解轴对称的性质及三点共线的性质是解题的关键． 4．如图，等腰三角形ABC的面积为90，底边BC=12，腰AC的垂直平分线EF交AC，AB于点E，F，若D为BC边中点，M为线段EF上一动点，则的周长最小值为 【答案】21 【分析】连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，． 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点，， ， 的长为的最小值， 的周长最短， 故答案是：21． 【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 题型三：“2定点1动点”求线段最小值问题 1．如图，在ABC中，，， ，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式得到AD=12，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长为PB+PD的最小值，即可得到结论． 【详解】∵AB=AC，BC=10，S△ABC=60，是中点， AD⊥BC于点D， ∴S△ABC= =60， ∴AD=12， 设AD与EF的交点为P， ∵EF垂直平分AB， ∴点A，B关于直线EF对称， ∴PA=PB， 此时AD的长为PB+PD的最小值， 即PB+PD的最小值为12， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 2．如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（　　）    A．6 B．7 C．7.5 D．8.3 【答案】B 【分析】连接，由得，，根据知，当点在线段上时，的最小值是，问题得解． 【详解】解：连接， 平分交于点， ，， ， ， 且， 当点在线段上时，的最小值是， ， 的最小值为7． 故选：    【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，两点之间线段最短，其中准确作出点关于对称轴对称的对称点是解题的关键． 3．如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． 先作出点C关于的对称点，判断出，进而判断出，再构造出直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至，使， ∵， ∴点与点C关于对称， 连接交于，此时最小， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点B作交的延长线于E， 则（平行线间的距离处处相等）， 在中，， ∴， 即的值最小值为6， 故答案为：6． 4．小月学习三角形相关知识后，对其进行深入学习，并得到如下结论：如图，在中，，点D是的中点，如果，则．她把这个结论用于解决实际问题：将以点O为原点建立平面直角坐标系，，，则的长为 ；若在上有一点P，使得最小，则点P的坐标为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查最短路径问题，轴对称性质等．根据题意利用中位线性质即可得到的值，再过点作轴，使，连接交轴于点，则此时有最小值，继而利用题干中的性质即可得到点的坐标． 【详解】解：∵，点D是的中点，， ∴， 过点作轴交轴于，使，连接交轴于点，则此时有最小值， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3；． 5．如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．    【答案】6 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式即可得到，由垂直平分，得到点A，B关于对称，再说明的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点P到A，B两点的距离相等， 即， 要求最小，即求最小，则A、P、D三点共线， ∴的长度即的最小值， 即的最小值为6， 故答案为：6． 6．如图，等腰中，，，l是的对称轴，D是上一动点，在l上存在一点P，能使的值最小，这个最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质和最短路径问题等知识．过点C作于点D，交直线于点P，设直线交于点E，则，则即为最小值，由求出即可． 【详解】解：过点C作于点D，交直线于点P，设直线交于点E， ∵等腰中，l是的对称轴， ∴，， ∴ ∴即为最小值，当时，的长度最小， ∵，， ∴， 解得， 即的最小值为， 故答案为： 题型四：“1定点2动点”-线段/周长最小问题 1．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】A 【详解】试题分析：先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解． 解：设∠POA=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM． 作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN． 连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形． ∵OA是PE的垂直平分线， ∴EQ=QP； 同理，OB是PF的垂直平分线， ∴FR=RP， ∴△PQR的周长=EF． ∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°， ∴△EOF是正三角形，∴EF=10， 即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10． 故选A． 考点：轴对称-最短路线问题． 2．如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．作点关于的对称点，作于M，交于P，此时，根据垂线段最短，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作于M，交于P，，此时最小， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（   ）的长度相等． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题、等边三角形的判定与性质，理解转化思想和等边三角形的性质是解答本题的关键． 在上取点，使得，根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：在上取点，使得，过作于， ， 垂直平分， ，， ，即的最小值为的长， 当时，最小，过作于， ，， 为等边三角形， 于点，于， ， 故选：B． 4．如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，连接、，则的周长的最小值为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，涉及到线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键． 连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， ∵直线垂直平分线段， ∴， ∵点D为边的中点，， ∴， ∴周长， ∴周长的最小值为， ∵，点D为边的中点， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴周长的最小值为， 故选：B． 5．如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（  ） A．10 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题． 如图，过点B作于点H，证明的最小值为的长，再利用面积法求出即可． 【详解】解：如图，过点B作于点H． 平分， 关于对称， 作点N关于的对称点，连接， ， 的最小值为的长． 平分， ， ∴， ， ． 故选：． 6．如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　）    A．7 B．8 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键．作点P关于直线的对称点，连接，由，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点P关于直线的对称点，连接，则，    在和中， ∴， ∴， ∴欲求的最小值，只要求出的最小值， ∴当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 在中，∵，，， ∴， ∴的最小值是7， 故选：A． 7．如图，∠AOB＝30º，∠AOB内有一定点P，且OP＝10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若ΔPQR周长最小，则最小周长是 【答案】10 【分析】先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解． 【详解】设∠POA=θ，则∠POB=30°-θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将 PM延长一倍到E，即ME=PM． 作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN． 连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形． ∵OA是PE的垂直平分线， ∴EQ=QP； 同理，OB是PF的垂直平分线， ∴FR=RP， ∴△PQR的周长=EF． ∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°， ∴△EOF是正三角形，∴EF=10， 即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10． 故答案为10． 【点睛】此题考查最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答． 题型五：“1定点2动点”-角度问题 1．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案． 【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则，即为的周长最小值．作延长线，   ∵， ∴， ∴， ∵，， 且，， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键． 2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=121°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　） A．118° B．121° C．120° D．119° 【答案】A 【分析】如图，作A关于和的对称点，，连接，交于M，交于N，则的长度即为周长的最小值．根据，得出．根据，，且，，可得，即可求出答案． 【详解】如图，作A关于和的对称点，，连接，交于M，交于N， 根据对称的性质有：，， ∴周长的为． 当点、、M、N四点共线时，的值最小，且最小为， 则的长度即为周长的最小值． ∵， ∴． ∵，，且，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查最短路线问题，三角形内角和定理和三角形外角的定义等知识，利用轴对称的性质确定M、N的位置是解题的关键．考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． 3．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，得到△PMN，由此解答. 【详解】解：过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP， ∵PD⊥AC，PG⊥BC， ∴∠PEC＝∠PFC＝90°， ∴∠C+∠EPF＝180°， ∵∠C＝50°， ∵∠D+∠G+∠EPF＝180°， ∴∠D+∠G＝50°， 由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM， ∴∠GPN+∠DPM＝50°， ∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°， 故选：D． 【点睛】此题考查最短路径问题，根据题意首先作出对称点，连接对称点得到符合题意的三角形，再根据轴对称的性质解答，正确掌握最短路径问题的解答思路是解题的关键. 4．如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【答案】A 【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M＝∠OPM＝50°，OP1＝OP2＝OP，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O， ∵PP1关于OA对称， ∴∠P1OP＝2∠MOP，OP1＝OP，P1M＝PM，∠OP1M＝∠OPM＝50° 同理，∠P2OP＝2∠NOP，OP＝OP2， ∴∠P1OP2＝∠P1OP+∠P2OP＝2（∠MOP+∠NOP）＝2∠AOB，OP1＝OP2＝OP， ∴△P1OP2是等腰三角形． ∴∠OP2N＝∠OP1M＝50°， ∴∠P1OP2＝180°﹣2×50°＝80°， ∴∠AOB＝40°， 故选A． 【点睛】利用对称性做出相应的对称点，然后利用两点之间，线段最短的知识点解题是本题的解题关键. 5．在四边形中，，，分别是，上的点，当△周长最小时，的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=55°，进而得出∠AEF+∠AFE=2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案． 【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH， ∵∠C=55°， ∴∠DAB=125°， ∴∠HAA′=55°， ∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=55°， ∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″， ∴∠EAA′+∠A″AF=55°， ∴∠EAF=125°-55°=70°． 故选B． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键． 6．如图，是等边的中线，点E，F分别是上的动点，当最小时的度数为 ． 【答案】 【分析】根据对称性和等边三角形的性质，过点B作于点F，交于点E，此时，最小，进而求解． 【详解】解：∵AD是等边 的中线， ∴， ∴， ∴， ∴当B、F、E位于同一直线，且时，最小． 过点B作于点F，交于点E， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点E和F的位置． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$