专题02 等边三角形的重难点汇编（高效培优专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题02 等边三角形的压轴题型汇编 题型一：等边三角形中动点综合问题 题型二：平行法法构造全等三角形 题型三：“截长补短法”构造全等三角形 题型四：等边三角形规律题 题型一：等边三角形中动点综合问题 1．如图，在等边中，E，D分别为边，上两动点，且，连接，交于点G，点F为线段上一动点，且，在运动过程中，当时，的值为 ． 2．如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为 ． 3．如图，点是等边内一点，是外的一点，且有，，，连接，． (1)求证：是等边三角形； (2)时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 4．如图，在等边中，边厘米，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为1厘米/秒，设点的运动时间为秒． (1)当时，判断与的位置关系，并说明理由； (2)当的面积为面积的一半时，求的值； (3)另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为2厘米/秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 5．问题情境：如图1，是等边三角形，点是边上的任意一点． 独立思考：（1）如图2，当点是边的中点时，，请说明理由； 操作思考：（2）如图3，点为射线上任意一点，连接，以为边作等边，其中点，在直线同侧，射线交射线于点． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②当点是边的中点时，且在中，请直接写出的度数． 6．已知为等边的角平分线，动点在直线上不与点重合，连接，以为一边在的下方作等边，连接． (1)如图，若点在线段上，且，则______度． (2)如图，若点在的反向延长线上，且直线，交于点． 求的度数； 若的边长为，，为直线上的两个动点，且连接，判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 题型二：平行法法构造全等三角形 1．如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ． 2．【问题提出】如图，都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图，若点在边上，求证：． ②如图，若点在边的延长线上，线段、、之间的数量关系，并加以说明． (2)如图，等腰中，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出之间的数量为___________．（直接写出结论不用说明理由） 3．下面是小颖同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 等腰三角形的深入思考 作垂线和作平行线是几何中常用的辅助线，我发现当它们出现在等腰三角形中时，有时会出现新的等腰三角形． 如图1，在中，，点是延长线上的一点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，图中出现了新的等腰三角形． 如图2，在中，，点是延长线上一点，过点作于点，交于点，则是等腰三角形．在证明时，我过点作于点 通过改变动点的位置继续探究，我发现如下结论：过等腰三角形边上或延长线上任意一点作腰或底的平行线与三角形第三边所在直线相交，就能得到新的等腰三角形；过等腰三角形边上或延长线上任意一点作底边的垂线与两腰所在直线相交，也能得到新的等腰三角形． 任务： (1)在不添加字母的情况下，写出图1中所有的新等腰三角形：______． (2)在图2中补全小颖的辅助线，并证明是等腰三角形． (3)如图3，在等边中，点为延长线上一点，点为边上一点，且，连接．若，试判断与的位置关系，并说明理由． 题型三：“截长补短法”构造全等三角形 1．【课本内容】 如图1，连接的顶点A和它所对的边的中点D，所得线段叫做的边BC上的中线． 【尝试应用】 学了这个知识后，小泽遇到这样一个问题：如图2，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小泽经过思考得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接，请你根据这个提示写出证明“”的推理过程，并求出的取值范围． 反思：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题处理】 如图3，已知是中边上的中线，F是上的一点，交于点E，，求证：； 【拓展提升】 如图4，在等边中，点E是边上一定点，点D在边上，以为边作等边，连接．请直接写出，，之间的数量关系． 2．阅读下面材料并完成相应学习任务：利用轴对称研究边与角之间的数量关系． 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折痕交于点E，则． （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） ．． 这说明，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大，小边所对的角较小． 类似地，应用这种方法还可以说明，在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大，小角所对的边较小． 如图2，在中，如果，那么可以将沿折叠，使点B与点C重合，则，（依据1）． 在中，（依据2），，即． 归纳总结：从上面的过程可以看出，我们可以利用轴对称的性质来研究边与角之间的数量关系． 任务一：上述材料中依据1，依据2分别指什么？ 依据1：_________；依据2：_________； 任务二： 如图3，在中，若， （1）请直接写出，，之间的等量关系_________； （2）如图4，中，于点D，．求证：． 3．某数学社团的同学在研究三角形问题时发现：等边三角形的三个内角都相等，反过来，三个内角都相等或者三条边都相等的三角形均为等边三角形．小明同学画了一个等边，并在边上取了一定点（不与顶点重合），现请你和他一起运用相关知识共同解决以下问题： 【问题发现】 （1）请在图1中画一个等边三角形（点在边上）； 【问题探究】 （2）如图2，点为边上任一个点，连接，以为边在其右侧作等边，连接，试探究线段、、之间的数量关系； 【问题解决】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（点）北偏西的点处，舰艇乙在指挥中心正东方向的点处，两舰艇同时监测到敌舰在点处，且，，三点恰好构成一个等边三角形，若甲、乙两舰艇到指挥中心的距离之和为180海里，求此时敌舰距指挥中心的距离． 4．探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接，若，试说明点B，点D，点E在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边外，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，猜测线段三者之间的数量关系，并说明理由． 5．模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 6．【知识链接】 对于三角形中的重要结论“在同一个三角形中，等边对等角”，我们可以构造全等三角形来证明．如图1，在中，已知，可证，蛟蛟同学的证法是：作的角平分线交于点，则，通过“边角边”证明，则．请你利用该结论继续探究： 【初步应用】 （1）在中，若，，则___________°． 【破茧启思】 （2）如图2，在中，，点在上，点在上，延长线与延长线交于点是外一点，与交于点，若，． ①___________．（用含的代数式表示） ②若，求． 【攀登高峰】 （3）如图3，在中，，点、分别在、延长线上，是外一点，与交于点，若，试探究的数量关系并证明． 题型四：等边三角形规律题 1．如图，，点在射线ON上，点在射线OM上，、均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推．若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，等边的周长为3，作于，在的延长线上取点，使，连接，以为边作等边；作于，在的延长线上取点，使，连接，以为边作等边；…且点，，，…都在直线同侧，如此下去，则的边长为 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 等边三角形的压轴题型汇编 题型一：等边三角形中动点综合问题 题型二：平行法法构造全等三角形 题型三：“截长补短法”构造全等三角形 题型四：等边三角形规律题 题型一：等边三角形中动点综合问题 1．如图，在等边中，E，D分别为边，上两动点，且，连接，交于点G，点F为线段上一动点，且，在运动过程中，当时，的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．先证明，推出，，证明是等边三角形，求得，取的中点，连接，证明是等边三角形，求得，求得，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 2．如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，利用等边三角形性质得到，结合题意进而得到，再根据三角形外角性质得到，即可解题． 【详解】解： 是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，点是等边内一点，是外的一点，且有，，，连接，． (1)求证：是等边三角形； (2)时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，再由，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形，再由圆周角求出，继而确定为等腰直角三角形； （3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 是的等边三角形； （2）解：， ， 是等边三角形， ， ， 是直角三角形， ， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：若，则， 则，， ∴， ①当时，则， ∴， ∴； ②当时，则， ∴， ∴； ③当时，则， ∴， ． 综上：当为或或，是等腰三角形． 4．如图，在等边中，边厘米，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为1厘米/秒，设点的运动时间为秒． (1)当时，判断与的位置关系，并说明理由； (2)当的面积为面积的一半时，求的值； (3)另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为2厘米/秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 【答案】(1)，理由见解析 (2)t的值为12秒或20秒 (3)4秒或12秒 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、动点问题、一元一次方程的应用等知识点，用时间t表示出各时段的线段的长度列出方程求解是解题的关键． （1）由题意可得此时，即此时P为的中点，再根据等边三角形的性质即可得到结论； （2）由题意得：，然后分当P为AB中点和P为中点两种情况解答即可； （3）分、、三种情况，分别根据等边三角形的性质和三角形的周长公式列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：当秒时，， ∵在等边中，， ∴， ∴此时P为的中点， ∴为等边的中线， ∴． （2）解：∵由题意得：， ∴如图：当P为AB中点时，满足题意， 此时，P点运动路程为： (cm)， ∴P点运动时间为： (秒)； 如图：当P为中点时，满足题意， 此时，P点运动路程为：， ∴P点运动的时间为： (秒)． ∴综上，t的值为12秒或20秒． （3）解：∵点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒， ∴如图：当时，点P在上，点Q在上， ∴， ， ∴，解得：，符合； 当时，点Q在上，点P在上， ，， ． ∴，解得：， ∴不符合，舍去； 当时，点Q在上，点P在上， ∴， ， ∴，解得：，符合． ∴综上，符合条件的t的值为：4秒或12秒． 5．问题情境：如图1，是等边三角形，点是边上的任意一点． 独立思考：（1）如图2，当点是边的中点时，，请说明理由； 操作思考：（2）如图3，点为射线上任意一点，连接，以为边作等边，其中点，在直线同侧，射线交射线于点． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②当点是边的中点时，且在中，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）①，见解析；②或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形三线合一的性质即可求解； （2）①根据等边三角形的性质得出，，，推得，根据全等三角形的判定与性质得出，即可求解； ②分点在的左侧和点在的右侧，两种情况进行分析：结合等边三角形的性质得出，，，推得，根据全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，列出方程，解方程求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 又点是边的中点， ， ∴． （2）①，理由如下： ∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ②解：点在的左侧时，如图， 设，则， ∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故， ∵，， 故， 解得：； 点在的右侧时，如图， 设，则， ∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 又∵， 故， 解得：； 综上，的度数为或． 6．已知为等边的角平分线，动点在直线上不与点重合，连接，以为一边在的下方作等边，连接． (1)如图，若点在线段上，且，则______度． (2)如图，若点在的反向延长线上，且直线，交于点． 求的度数； 若的边长为，，为直线上的两个动点，且连接，判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是定值， 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质及三角形面积计算，解题的关键是利用等边三角形边和角的特殊性证明全等，结合辅助线转化角度与距离关系． （1）利用等边三角形角平分线性质得角度，结合及等边的边角关系，计算． （2）①通过证明转化角度，推导的度数；②作，利用角度关系证为定值，结合长度判断面积是否为定值． 【详解】（1）∵是等边三角形，是角平分线， ∴，，． ∵， ∴． 又∵ 是等边三角形，则， ∴ ． 故答案为：． （2）①∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴ ． 在 和中， ∴，则． ∵ 是等边的角平分线， ∴，则，即． 又∵是的一个外角， ∴． ②过B作于（即，则即为的高． 由①知，则， 在中，， ∴（定值）． ∵，的面积， ∴ 的面积是定值． 题型二：平行法法构造全等三角形 1．如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三线合一，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 过作交于，由等边三角形的性质及平行线的性质可证得是等边三角形，于是可得，由三线合一可得，利用可证得，于是可得，进而可推出，于是得解． 【详解】解：如图，过作交于， 是等边三角形， ， ， ，，， 又， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2．【问题提出】如图，都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图，若点在边上，求证：． ②如图，若点在边的延长线上，线段、、之间的数量关系，并加以说明． (2)如图，等腰中，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出之间的数量为___________．（直接写出结论不用说明理由） 【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】（）①过点作，交于点，可证是等边三角形，得到，，再证明，得到，进而由即可求证；②过点作，交于点，同理①证明是等边三角形和即可求证； （）由等边三角形的性质得，，，即得，，进而可得，得到，又由线段垂直平分线的性质得，得到，即得到，在上截取，可得是等边三角形，进而可证，得到，由得，即可求解． 【详解】（1）①证明：过点作，交于点， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，理由如下： 如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确画出辅助线是解题的关键． 3．下面是小颖同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 等腰三角形的深入思考 作垂线和作平行线是几何中常用的辅助线，我发现当它们出现在等腰三角形中时，有时会出现新的等腰三角形． 如图1，在中，，点是延长线上的一点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，图中出现了新的等腰三角形． 如图2，在中，，点是延长线上一点，过点作于点，交于点，则是等腰三角形．在证明时，我过点作于点 通过改变动点的位置继续探究，我发现如下结论：过等腰三角形边上或延长线上任意一点作腰或底的平行线与三角形第三边所在直线相交，就能得到新的等腰三角形；过等腰三角形边上或延长线上任意一点作底边的垂线与两腰所在直线相交，也能得到新的等腰三角形． 任务： (1)在不添加字母的情况下，写出图1中所有的新等腰三角形：______． (2)在图2中补全小颖的辅助线，并证明是等腰三角形． (3)如图3，在等边中，点为延长线上一点，点为边上一点，且，连接．若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边对等角，等角对等边，是解题的关键： （1）等边对等角，得到，平行线的性质，推出，进而得到，均为等腰三角形； （2）过点作于点，三线合一，结合平行线的性质，推出，即可得证； （3）过点作交的延长线于点，推出为等边三角形，进而得到，推出，三线合一，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：； （2）解：过点作于点，如图 ， ． ， ． ． ， ∴是等腰三角形 ； （3） 理由如下：过点作交的延长线于点． 答图2为等边三角形， ． ， ． 为等边三角形． ． ，即． ， ． 又， ． 题型三：“截长补短法”构造全等三角形 1．【课本内容】 如图1，连接的顶点A和它所对的边的中点D，所得线段叫做的边BC上的中线． 【尝试应用】 学了这个知识后，小泽遇到这样一个问题：如图2，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小泽经过思考得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接，请你根据这个提示写出证明“”的推理过程，并求出的取值范围． 反思：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题处理】 如图3，已知是中边上的中线，F是上的一点，交于点E，，求证：； 【拓展提升】 如图4，在等边中，点E是边上一定点，点D在边上，以为边作等边，连接．请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】【尝试应用】见解析，；【问题处理】证明见解析；【拓展提升】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握倍长中线法和截长补短法构造全等三角形是解题的关键： （1）利用证明，进而得到，三角形的三边关系求出的范围，进而求出的范围； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，结合，等边对等角，对顶角相等，得到，即可得证； （3）在上截取，证明，得到，再根据，等量代换即可得出结论． 【详解】解：尝试应用：延长到，使，连接， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 问题处理：延长至点，使，连接，   同（1）法可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 拓展提升：在上截取，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．阅读下面材料并完成相应学习任务：利用轴对称研究边与角之间的数量关系． 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折痕交于点E，则． （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） ．． 这说明，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大，小边所对的角较小． 类似地，应用这种方法还可以说明，在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大，小角所对的边较小． 如图2，在中，如果，那么可以将沿折叠，使点B与点C重合，则，（依据1）． 在中，（依据2），，即． 归纳总结：从上面的过程可以看出，我们可以利用轴对称的性质来研究边与角之间的数量关系． 任务一：上述材料中依据1，依据2分别指什么？ 依据1：_________；依据2：_________； 任务二： 如图3，在中，若， （1）请直接写出，，之间的等量关系_________； （2）如图4，中，于点D，．求证：． 【答案】依据1：等角对等边；依据2：三角形中两边之和大于第三边； （1）；（2）见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角知识，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 任务一：依据1根据等角对等边解答即可；依据2根据三角形三条边的关系解答即可； 任务二：（1）利用翻折的性质得到，，，利用三角形外角的性质和等腰三角形的判定证明，进而可得出结论； （2）在上截取，证明，推出，，利用三角形外角的性质和等腰三角形的判定证明，进而可得出结论． 【详解】任务一： 依据1：等角对等边； 依据2：三角形中两边之和大于第三边； 任务二： （1）按照图3的操作可得，，，， 又，， ， ， ， 即； （2）如图5，在上截取， ， ， 又， ，， 又，， ， ， ， 即． 3．某数学社团的同学在研究三角形问题时发现：等边三角形的三个内角都相等，反过来，三个内角都相等或者三条边都相等的三角形均为等边三角形．小明同学画了一个等边，并在边上取了一定点（不与顶点重合），现请你和他一起运用相关知识共同解决以下问题： 【问题发现】 （1）请在图1中画一个等边三角形（点在边上）； 【问题探究】 （2）如图2，点为边上任一个点，连接，以为边在其右侧作等边，连接，试探究线段、、之间的数量关系； 【问题解决】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（点）北偏西的点处，舰艇乙在指挥中心正东方向的点处，两舰艇同时监测到敌舰在点处，且，，三点恰好构成一个等边三角形，若甲、乙两舰艇到指挥中心的距离之和为180海里，求此时敌舰距指挥中心的距离． 【答案】（1）见解析；（2）．理由见解析；（3）此时敌舰距指挥中心的距离为180海里． 【分析】1）在上截取，连接，则三角形为等边三角形； （2）如图2，在上截取，连结，运用等边三角形性质即可证明，再利用全等三角形性质即可得出结论； （3）由题意得，，利用三角形的外角性质结合等角对等边求得，推出，由（2）的结论得，可求出答案． 【详解】解：（1）等边三角形如图1所示， （2）．理由如下： 如图2，在上截取，连结， ∵等边， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵以为边在其右侧作等边， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （3）如图，由题意得，， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵甲、乙两舰艇到指挥中心的距离之和为180海里， ∴， 由（2）的结论得， ∴此时敌舰距指挥中心的距离为180海里． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形判定和性质，三角形的外角性质，等角对等边，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 4．探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接，若，试说明点B，点D，点E在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边外，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，猜测线段三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，详见解析 (2)见解析 (3)，详见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形的内角和等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理证明结论； （2）根据题意得到证明，证明，得到，进而得到答案； （3）在线段上取一点H，使得，证明，得到，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，结合图形计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点B，点D，点E在同一直线上； （3）解：结论：，理由如下， 如图3，在线段上取一点H，使得，设交于点O， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 5．模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 【答案】（1），（2）见解析，（3） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， ，， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 6．【知识链接】 对于三角形中的重要结论“在同一个三角形中，等边对等角”，我们可以构造全等三角形来证明．如图1，在中，已知，可证，蛟蛟同学的证法是：作的角平分线交于点，则，通过“边角边”证明，则．请你利用该结论继续探究： 【初步应用】 （1）在中，若，，则___________°． 【破茧启思】 （2）如图2，在中，，点在上，点在上，延长线与延长线交于点是外一点，与交于点，若，． ①___________．（用含的代数式表示） ②若，求． 【攀登高峰】 （3）如图3，在中，，点、分别在、延长线上，是外一点，与交于点，若，试探究的数量关系并证明． 【答案】（1）80；（2）①；②；（3）．理由见解析 【分析】（1）利用等边对等角求得，再利用三角形的内角和定理求解即可； （2）①利用等边对等角以及三角形的内角和定理求解即可；②利用三角形内角和定理求得，推出，再利用等边对等角和三角形内角和定理求得，利用三角形的外角性质求解即可； （3）延长至点，使，连接，证明，推出，，求得，再证明，求得，据此计算即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， 故答案为：80； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 由①得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）．理由如下， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等边对等角， 题型四：等边三角形规律题 1．如图，，点在射线ON上，点在射线OM上，、均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质以及平行线的判定定理得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】解：如图，    ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， 同理可得：， ∴， 同理：， ， ， …， 以此类推：， 故选：B． 2．如图，等边的周长为3，作于，在的延长线上取点，使，连接，以为边作等边；作于，在的延长线上取点，使，连接，以为边作等边；…且点，，，…都在直线同侧，如此下去，则的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型和等边三角形的性质，通过等边三角形的性质以及所给的线段关系，找出等边三角形边长的规律，进而求出指定等边三角形的边长。涉及到等边三角形三边相等、三个角为以及等腰三角形的性质等知识点． 【详解】解：∵等边的周长为3， 设等边的边长为，则， 所以，； ∵， ∴，， ∵， ∴ ∴，即； 同理可得：，，，⋯⋯， 所以，的边长， 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$