专题01 等腰三角形的分类讨论（高效培优专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题01 等腰三角形的分类讨论 题型一：腰和底不明时需讨论 题型二：顶角和底角不明时需讨论 题型三：涉及中线、高位置的讨论 题型四：等腰三角形个数的讨论 题型五：动点引起的分类讨论 题型一：腰和底不明时需讨论 1．若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（ ） A．10 B．13 C．17 D．13或17 2．等腰三角形一腰上的中线把周长分成和两部分，则腰长为（   ） A．8 B． C．8或 D． 3．已知实数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是（  ） A．18 B．25 C．29 D．25或29 4．等腰三角形的两边长分别为4、5，则第三边长为 ． 5．已知等腰三角形的两边长满足，则该等腰三角形的周长为 ． 题型二：顶角和底角不明时需讨论 1．等腰三角形一个外角为，则它的顶角为（   ） A． B． C． D．或 2．等腰三角形的一个内角为，则它的顶角度数是（   ） A． B． C．或 D．或 3．等腰三角形中，有一个内角为，则该等腰三角形的顶角为（   ） A． B． C．或 D． 4．等腰三角形一个内角的度数是，则它的一个底角的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 5．等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是 ． 题型三：涉及中线、高位置的讨论 1．如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为，则顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 3．钝角等腰三角形一条腰上的高是另一条腰长的一半，则等腰三角形底角度数为（   ） A． B． C． D．或 4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是 ． 6．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分为两部分，已知底边长为，则腰长为 ． 7．已知是等腰三角形一腰上的高，且，求的顶角度数为 ． 题型四：等腰三角形个数的讨论 1．如图，是等腰三角形，，，平分，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．若C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（　　）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图，长方形中，，，直线是长方形的一条对称轴，且分别与，交于点，，若直线上有一动点，使得和均为等腰三角形，则动点P的个数有 个． A． B． C． D． 5．如图，等边三角形的三条角平分线相交于点O，，交于点D，，交于点E．图中等腰三角形共有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 6．如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五：动点引起的分类讨论 1．如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若在某一时刻能使与全等．则点Q的运动速度为（　　） A． B． C．或 D．或 2．如图，在中，已知，，，动点从点出发，以的速度沿线段向点运动．在运动过程中，当为等腰三角形时，点出发的时刻可能的值为（  ） A．5 B．5或8 C． D．4或 3．如图，矩形中，，，点是边的中点，点是边上的一个动点，点从点出发以每秒的速度向点运动，连接，，若是以为腰长的等腰三角形，则点的运动时间为 秒． 4.图1，在中，，点P从点A出发，沿三角形的边方向以/秒的速度顺时针运动一周，图2是点P运动时，线段的长度随运动时间x（秒）变化的关系图象，则图2中P点的坐标是 ． 5．已知是上的一个动点， (1)【问题发现】如图1，当点在线段上运动时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，且． ①与是全等三角形吗？请说明理由； ②连接，试猜想的形状，并说明理由； (2)【类比探究】如图2，当在线段的延长线上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，且，试直接写出的形状． 6．已知，在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边在的右侧作等腰直角，，． (1)如果，． ①如图1，当点D在线段上时（与点B不重合），请直接写出线段与之间的数量关系：______，位置关系：______；（只写结论，不用证明） ②如图2，当点D在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，写出结论并加以论证； (2)如果，，点D在线段上运动．试探究：当满足一个什么条件时，（点C，E重合除外）？请写出条件，并借助图3简述成立的理由． 7．问题探索 如图1，在中，，点在线段上运动，以为一边，在的右侧作，使，，过，两点作直线． （1）直接写出___________°，的最小值为___________cm； （2）请说明； （3）直接写出的度数，并求出的值． 拓展延伸 （4）如图2，改变“问题探索”中“”这一条件，其它条件不变．设，，则，之间有怎样的数量关系？直接写出结论． （5）在（4）的条件下，继续改变“问题探索”中“点在线段上运动”这一条件为“点在直线上运动”，则与有何数量关系？请直接写出所有可能的结论． 8．如图中，，点在所在直线上，点在射线上，且，连接． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若，，求的度数； (3)当点在直线上（不与点、重合）运动时，试探究与的数量关系，并说明理由． 9．如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的值； (2)从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ (3)当点Q运动到上时，求能使是等腰三角形时点Q的运动时间，求出t的值． 10．如图，在中，，已知，点为边上一点，连结且，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点运动停止，当点不与的顶点重合时，设点的运动时间是秒．    (1)用含有的代数式表示的长； (2)求的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (4)在点的运动过程中，如果点到的两条边距离相等，直接写出的值． 11．如图，AE//BC，∠A=90°，BC=AC=6 cm，EA上取点D．使得∠1=∠2． （1）求证： BD=DC； （2）若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C点运动，设点P运动的时间为t秒： ①当______时，PD平分∠BDC； ②若点Q以3cm/s的速度由C→A→E运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，______时，△PCQ是等腰三角形． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 等腰三角形的分类讨论 题型一：腰和底不明时需讨论 题型二：顶角和底角不明时需讨论 题型三：涉及中线、高位置的讨论 题型四：等腰三角形个数的讨论 题型五：动点引起的分类讨论 题型一：腰和底不明时需讨论 1．若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（ ） A．10 B．13 C．17 D．13或17 【答案】C 【分析】此题考查等腰三角形的定义：两边相等的三角形是等腰三角形，三角形的三边关系，解题中注意运用分类思想避免漏解． 根据等腰三角形的定义分两种情况解答． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为3时，则三边长分别为：3、3、7， ∵， ∴不能构成三角形； 当等腰三角形的腰长为7时，则三边长分别为：7、7、3， ∴该等腰三角形的周长为， 故选C． 2．等腰三角形一腰上的中线把周长分成和两部分，则腰长为（   ） A．8 B． C．8或 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质的运用能力，做题时注意分类讨论思想的运用． 由题意得，腰上的中线把等腰三角形分成和两部分，则要分一腰的一半与另一腰的和为或两种情况进行分析，解一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意画出图形，如图所示， 设等腰三角形的腰长， ，是腰上的中线， ． ①若的长为，则， 解得． 等腰三角形的腰长为， 等腰三角形的底长为． ②若的长为，则， 解得， 等腰三角形的腰长为， 等腰三角形的底长为． 经检验，均符合三角形三边关系． 故选： C． 3．已知实数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是（  ） A．18 B．25 C．29 D．25或29 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，非负数的性质，先根据绝对值和算术平方根的非负性求出a，b，再分a为底边长，a为腰长两种情况，判断是否能构成三角形，进而计算周长． 【详解】解： ，，， ，， ，， 当a为底边长时，三条边长分别为7，11，11，，能构成三角形，此时周长为：， 当a为腰长时，三条边长分别为7，7，11，，能构成三角形，此时周长为：， 因此周长是25或29， 故选D． 4．等腰三角形的两边长分别为4、5，则第三边长为 ． 【答案】4或5/5或4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，本题没有明确说明已知的边长哪个是腰长，则有两种情况：①腰长为4；②腰长为5．再根据三角形三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，判断是否满足． 【详解】解：①腰长为4时，符合三角形三边关系，则第三边长为4； ②腰长为5时，符合三角形三边关系，则第三边长为5． 所以第三边长为4或5． 故答案为：4或5． 5．已知等腰三角形的两边长满足，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】22 【分析】先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系判断出等腰三角形的腰与底边长，进而可得出结论．本题主要考查了绝对值非负性，等腰三角形的性质以及三角形三边关系，解题的关键是分类讨论，此题难度不大． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得，， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9， ， 不能组成三角形， ②4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9， 能组成三角形， 周长． 综上所述，这个等腰三角形的周长为22． 故答案为：22． 题型二：顶角和底角不明时需讨论 1．等腰三角形一个外角为，则它的顶角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，利用平角定义，分的角是底角的外角和顶角的外角两种情况进行计算即可解答． 【详解】解：①当的角是底角的外角时，则底角度数为， 则它的顶角为； ②当的角是顶角的外角时，则顶角度数为； 综上，这个等腰三角形的顶角为或． 故选：D． 2．等腰三角形的一个内角为，则它的顶角度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形内角和定理． 已知一个等腰三角形的一个角是，没有明确这个角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行讨论，然后用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①的角是底角时，则等腰三角形的顶角为：， ②的角是顶角时，则等腰三角形的顶角为． 故选：C 3．等腰三角形中，有一个内角为，则该等腰三角形的顶角为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质． 根据等腰三角形的性质，分已知角为顶角或底角两种情况讨论，计算顶角的度数即可． 【详解】解：当为顶角时：顶角即为； 当为底角时：两个底角均为，顶角为； 综上，顶角可能为或， 故选：C． 4．等腰三角形一个内角的度数是，则它的一个底角的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分已知角为顶角或底角两种情况讨论，结合三角形内角和定理求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：当为顶角时：底角度数为 ； 当为底角时：另一底角也为，顶角为 ， 综上，底角可能为或， 故选：C． 5．等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，注意：一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角，一个钝角只能是等腰三角形的顶角，分类讨论是正确解答本题的关键．由于本题中没有明确角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 【详解】当是底角时，顶角的度数为； 当是顶角时，顶角度数即为． 故答案为：或． 题型三：涉及中线、高位置的讨论 1．如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质及三角形三边关系，设，，由是边上的中线，得到，分两种情况：当的周长比的周长大6时，当的周长比的周长大6时，建立二元一次方程组求解，再利用三角形三边关系检验即可求解，掌握三角形三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设，，是边上的中线， ， 分两种情况： 当的周长比的周长大6时， ， 解得：， 的三边长分别为12，12，6， ， 能组成三角形； 当的周长比的周长大6时， 即， 解得：， 的三边长分别为8，8，14； ， 能组成三角形； 综上所述：的长为6或14． 故选：C． 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为，则顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键．分这个三角形为锐角三角形和钝角三角形，再利用三角形内角和定理和可求得顶角的度数． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图①， 高与右边腰成夹角，由三角形内角和为可得，顶角为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图②， 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为，所以三角形的顶角为， 所以该等腰三角形的顶角为或， 故选：D． 3．钝角等腰三角形一条腰上的高是另一条腰长的一半，则等腰三角形底角度数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，根据题意画出图形，得出，根据等边对等角以及三角形的外角的性质，即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接， 依题意，， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故选：． 4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解． 首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为，即可求解． 【详解】解：①如图，若等腰三角形为锐角三角形， ∵， ∴， ∴底角的度数为； ②如图，若等腰三角形为钝角三角形， ∵， ∴， ∴． ∴底角的度数为； ∴底角的度数为或． 故选：A 5．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，采用分类讨论的思想解题，是解决本题的关键． 分两种情况讨论：当等腰三角形的顶角是锐角或者当等腰三角形的顶角是钝角，分别进行求解即可得到答案． 【详解】解：当等腰三角形的顶角是锐角时，如图： 则， ， 等腰三角形的顶角为； 当等腰三角形的顶角是钝角时，如图： 则， ， ， ， 等腰三角形的顶角为， 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为：或， 故答案为：或． 6．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分为两部分，已知底边长为，则腰长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形定义，三角形三边关系，设，则，又中线将三角形周长分为两部分，则分 和 两种情况分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，，，为中线， 设，则， ∵中线将三角形周长分为两部分， ∴ ，解得， ∴，符合题意， ，解得， ∴， 则三边为，，，不能构成三角形，不符合题意， 故答案为：． 7．已知是等腰三角形一腰上的高，且，求的顶角度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据直角三角形两锐角互余求出，再分点A是顶角顶点（为锐角三角形、为钝角三角形），点A是底角顶点，分情况求解即可． 【详解】解：∵，是等腰腰上的高， ∴； ①如图1，点A是顶角顶点，为锐角三角形时，顶角为，是； ②如图2，点A是底角顶点时，两底角是，顶角； ③如图3，点A是顶角顶点，是钝角三角形时，顶角； 综上所述，等腰顶角度数为或或． 故答案为：或或． 题型四：等腰三角形个数的讨论 1．如图，是等腰三角形，，，平分，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，根据得为等腰三角形，进而得，再根据角平分线定义得，则，进而得为等腰三角形，再通过计算得出，则为等腰三角形，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 综上所述：图中共有3个等腰三角形． 故选：C． 2．如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，如图， 当为底边时，点无格点， 综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个， 故选：C． 3．若C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（　　）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】如图：分情况讨论． ①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有2个； ②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 4．如图，长方形中，，，直线是长方形的一条对称轴，且分别与，交于点，，若直线上有一动点，使得和均为等腰三角形，则动点P的个数有 个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；由轴对称的性质得，作的中垂线交于点，则和均为等腰三角形，再分别以点A和点为圆心，为半径作圆与直线有四个交点，则和均为等腰三角形，故可求解． 【详解】解：如图，直线是长方形的一条对称轴，点P是直线上的动点， ， 是等腰三角形， 作或的垂直平分线与直线有一个交点，使得和均为等腰三角形， 以点为圆心，为半径作圆与直线有两个交点，使得和均为等腰三角形， 以点为圆心，为半径作圆与直线有两个交点，，使得和均为等腰三角形， 所以，动点的个数有5个， 故选：B． 5．如图，等边三角形的三条角平分线相交于点O，，交于点D，，交于点E．图中等腰三角形共有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定．①如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形；②如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形；③如果三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合，那么这个三角形是等腰三角形． 根据题中条件，结合图形可得共7个等腰三角形． 【详解】解：①∵为等边三角形， ∴， ∴为等腰三角形； ②∵分别是三个角的角平分线， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ③为等腰三角形； ④为等腰三角形； ⑤∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形； ⑥∵， ∴， ∵， ∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO， ∴为等腰三角形； ⑦为等腰三角形． 故选：B． 6．如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 题型五：动点引起的分类讨论 1．如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若在某一时刻能使与全等．则点Q的运动速度为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点． 设点P、Q的运动时间为，分别表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①是对应边，②是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴， 设点P、Q的运动时间为， ∴， ∴ 若与全等．则有： ①当时，， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当时， ∵， ∴， ∴． 故点Q的运动速度为． 所以，点的运动速度为或 故选：D． 2．如图，在中，已知，，，动点从点出发，以的速度沿线段向点运动．在运动过程中，当为等腰三角形时，点出发的时刻可能的值为（  ） A．5 B．5或8 C． D．4或 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，等边对等角，解题的关键是分情况讨论． 根据题意分情况讨论，分别根据等腰三角形的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， 根据题意得，， ①当时，， ②当时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ③若时，点P在延长线上，不符合题意． 综上所述，t的值是5或8． 故选：B． 3．如图，矩形中，，，点是边的中点，点是边上的一个动点，点从点出发以每秒的速度向点运动，连接，，若是以为腰长的等腰三角形，则点的运动时间为 秒． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理；分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出点P运动的时间即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点是边的中点， ∴ 如图1，当时， 在中， 所以． 如图2，当时，过点E作于点F， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ 如图3，当时， 在中，同理可得 ∴， 所以． 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，点P运动的时间t为或或秒． 故答案为：或或． 4.图1，在中，，点P从点A出发，沿三角形的边方向以/秒的速度顺时针运动一周，图2是点P运动时，线段的长度随运动时间x（秒）变化的关系图象，则图2中P点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，斜边上的中线等于斜边的一半，坐标与图形，图（2）中的图象有三段，正好对应图（1）中的线段，，，所以，，当时，则点为的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得此时的长度，即图（2）中点的纵坐标． 【详解】由图象可知：∵点P从点A出发，沿三角形的边方向以秒的速度顺时针运动一周， ∴，， 当时，即点运动了， 此时点在线段上，， 则为线段的中点， 又∵ ， ∴． ∴图（2）中的坐标为． 故答案为：． 5．已知是上的一个动点， (1)【问题发现】如图1，当点在线段上运动时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，且． ①与是全等三角形吗？请说明理由； ②连接，试猜想的形状，并说明理由； (2)【类比探究】如图2，当在线段的延长线上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，且，试直接写出的形状． 【答案】(1)①，理由见解析；②是等腰直角三角形．理由见解析 (2)是等腰直角三角形 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握定理． （1）①根据题意可以直接求证到两个三角形的全等； ②由①的全等得到，且可以推到，本题即可解决； （2）同（1）先根据题意用来证，得到，再推到即可． 【详解】（1）解：①，理由如下： ∵， ∴． 在和中， ∴． ②是等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． 即． 故是等腰直角三角形． （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 是等腰直角三角形． 6．已知，在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边在的右侧作等腰直角，，． (1)如果，． ①如图1，当点D在线段上时（与点B不重合），请直接写出线段与之间的数量关系：______，位置关系：______；（只写结论，不用证明） ②如图2，当点D在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，写出结论并加以论证； (2)如果，，点D在线段上运动．试探究：当满足一个什么条件时，（点C，E重合除外）？请写出条件，并借助图3简述成立的理由． 【答案】(1)①；②结论仍然成立，，理由见解析 (2)当时，，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及等腰三角形性质， （1）①先证明，得出，进而得出；②先证明，得出，进而得出； （2）当时，，先证明，根据全等三角形的性质得出结论； 【详解】（1）解：①，理由如下： 在等腰直角中，，， 又，， ， ，即， ， ， ； ②结论仍然成立，，理由如下： 在等腰直角中，，， 又，， ， ，即， ， ， ， ； （2）解：当时，，理由如下： 作交延长线于点F， 则， 又，， ， ，即， ， ， ， 7．问题探索 如图1，在中，，点在线段上运动，以为一边，在的右侧作，使，，过，两点作直线． （1）直接写出___________°，的最小值为___________cm； （2）请说明； （3）直接写出的度数，并求出的值． 拓展延伸 （4）如图2，改变“问题探索”中“”这一条件，其它条件不变．设，，则，之间有怎样的数量关系？直接写出结论． （5）在（4）的条件下，继续改变“问题探索”中“点在线段上运动”这一条件为“点在直线上运动”，则与有何数量关系？请直接写出所有可能的结论． 【答案】（1），；（2）见解析；（3），；（4）；（5）或或 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理， （1）根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，当点在线段中点处时，则，此时值最小求出即可； （2）证明即可证明结论； （3）根据全等三角形性质得出，即可得出结论； （4）证明，得出，根据求出结论； （5）分三种情况：当点在线段上时或当点在线段延长线上时或当点在线段延长线上时，分别根据全等三角形判定与性质求出结论． 【详解】（1）解：在中，， ， 点在线段上运动， 当点在线段中点处时，则，此时值最小， 在中，， 当点在线段中点处时，最小值为； 故答案为：，； （2）证明，， ， 即， ； （3）解：， ， ， ， ， ； （4）解：，， ， 即， ； ， ， ，即， ，， ； （5）解：当点在线段上时，由（4）知，， ， ； 当点在线段延长线上时， ，， ， 即， ； ， ； 当点在线段延长线上时， ，， ， 即， ； ， ； 综上所述，或或． 8．如图中，，点在所在直线上，点在射线上，且，连接． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若，，求的度数； (3)当点在直线上（不与点、重合）运动时，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握相关定理，并能正确识图是解题关键． （1）根据三角形内角和定理求出从而求得，然后根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据三角形外角的性质即可求得； （2）根据三角形外角的性质求出，再根据等边对等角求得，从而求得，再根据三角形外角的性质即可求得； （3）分当点D在点B的左侧时，当点D在线段上时和当点D在点C右侧时利用三角形外角的性质和内角和定理，借助方程思想即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 设，，，， ①如图1，当点D在点B的左侧时，， ∴， 两式相减得，， ∴； ②如图2，当点D在线段上时，， ∴， ∴， ∴； ③如图3，当点D在点C右侧时，， ∴， 两式相减得，， ∴． 综上所述，与的数量关系是． 9．如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的值； (2)从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ (3)当点Q运动到上时，求能使是等腰三角形时点Q的运动时间，求出t的值． 【答案】(1) (2)秒 (3)秒或秒或秒 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用. （1）根据点的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可； （2）设出发秒钟后，能形成等腰三角形， 则 由 列式求得即可； （3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时 (图)， 则可证明 则 则 从而求得； ②当时 (如图)，则 易求得； ③当时 (如图)，过点作于点， 则求出， 即可得出. 【详解】（1）出发2秒后，，． 所以． 因为，根据勾股定理，． （2）设从出发t秒钟后，第一次能形成等腰三角形． 此时，． 当时，，解得秒． （3）①当时 (图)， 则， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴秒， ②当时 (如图)， 则， ∴秒； ③当时 (如图)， 过点作于点， 则 所以， 故， 所以 秒， 由上可知，当为秒或秒或秒时，为等腰三角形. 10．如图，在中，，已知，点为边上一点，连结且，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点运动停止，当点不与的顶点重合时，设点的运动时间是秒．    (1)用含有的代数式表示的长； (2)求的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (4)在点的运动过程中，如果点到的两条边距离相等，直接写出的值． 【答案】(1)(且) (2) (3)的值是0.5或5.5 (4)的值为或 【分析】本题考查列代数式，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，一元一次方程的应用等知识，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键． （1）分①当点P在A、C之间，即时，②当点P在B、C之间，即时两种情况讨论即可得解； （2）运用等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余以及等角的余角相等推出，继而得到，，从而得解； （3）分当时和当时两种情况讨论，前者点P与点A或点B重合排除，后者列方程求解即可； （4）分①当点P在A、C之间，即时， ②当点P在B、C之间，即时两种情况讨论，运用等面积法列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①当点P在A、C之间，即时，， ∴， ②当点P在B、C之间，即时，， ∴， 综上所述：(且) （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； （3）∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时，由（2）可知此时点P与点A或点B重合，不合题意，舍去； 当时，由（1）（2）可知(且)， 解得：或5.5， 即的值是0.5或5.5； （4）①当点P在A、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接：    则， ∵，即，且 ∴， 解得：； ②当点P在B、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接：    则， ∵，即，且 ∴， 解得：； 综上所述：的值为或． 11．如图，AE//BC，∠A=90°，BC=AC=6 cm，EA上取点D．使得∠1=∠2． （1）求证： BD=DC； （2）若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C点运动，设点P运动的时间为t秒： ①当______时，PD平分∠BDC； ②若点Q以3cm/s的速度由C→A→E运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，______时，△PCQ是等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）①3s；②1.5s或s 【分析】（1）由平行线的性质，即可得到∠DBC=∠DCB，进而得出DB=DC； （2）①依据△DCB是等腰三角形，可得当点P是BC的中点时，DP平分∠BDC，即可得到BP=BC，可得t=×6=3（s）； ②分两种情况讨论：①当点Q在AC上，PC=QC时，②当点Q在AE上，且QP=QC时，依据等腰三角形的性质，即可得到t的值． 【详解】解：（1）∵AE∥BC， ∴∠1=∠DBC，∠2=∠DCB， 又∵∠1=∠2， ∴∠DBC=∠DCB， ∴DB=DC； （2）①由（1）知△DCB是等腰三角形， ∴当点P是BC的中点时，DP平分∠BDC， ∴BP=BC， 即t=×6=3（s）； 故答案为：3s； ②分两种情况讨论： 当点Q在AC上，PC=QC时， 则6-t=3t， 解得t=1.5； 当点Q在AE上，且QP=QC时，AQ=PC， 即3t-6=（6-t）， 解得t=； 综上所述，t为1.5s或s时，△PCQ是等腰三角形． 故答案为：1.5s或s． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质的运用，解题时注意：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$