第2章 特殊三角形（高效培优单元测试·强化卷）数学浙教版2024八年级上册

第二章 特殊三角形（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．2025年4月23日第30个世界读书日主题“阅读：通往未来的桥梁”．下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫作对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．如图，如果直线m是多边形的对称轴，其中，那么的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，直接根据轴对称的性质，得出即可．熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． 【详解】解：由轴对称性质可知：． 故选：D． 3．下列每组三个数能构成直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A：∵，， ∴，不能构成直角三角形，故该选项不合题意； B：∵，， ∴，不能构成直角三角形，故该选项不合题意； C：∵，， ∴，能构成直角三角形，故该选项符合题意； D：∵，， ∴，不能构成直角三角形，故该选项不合题意． 故选：C ． 4．如图，一架靠墙摆放的梯子长10米，底端离墙角的距离为6米，则梯子顶端离地面的距离为（   ）米 A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，梯子顶端离地面的距离为米， 故选：A． 5．小方画了一个两边长分别为和的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形，根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：5为腰或8为腰，结合三角形三边关系判断是否成立，再计算周长. 【详解】解：当腰长为时 ： 底边为，三边分别为， 验证三角形三边关系：（，成立），（，成立），满足条件， 周长为： 当腰长为8时： 底边为，三边分别为， 验证三角形三边关系：（，成立），（，成立），满足条件， 周长为： 综上，等腰三角形的周长可能为或， 故答案为：D. 6．如图，等边三角形的边长为，D，E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系． 根据等边三角形的性质可得，再根据折叠的性质，即可得，从而得到阴影部分图形的周长为：，即可求解． 【详解】解：∵等边三角形的边长为， ∴， ∵将沿直线折叠，点A落在点处， ∴， ∴阴影部分图形的周长为： ． 故选：A 7．如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用．根据等边三角形性质，三角形外角性质，以及等腰三角形性质得到，同理即可求出． 【详解】解： 是等边三角形， ， ， ， ， ． 故选：D． 8．如图，已知为内一点，平分，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形． 延长与交于点E，由可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，，即可推出的长度． 【详解】解：延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9．如图，将一根长为的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱的性质，勾股定理的实际应用，解题关键是掌握勾股定理． 根据图形分析出最长、最短时的位置，分别求出的长，从而可得出的取值范围． 【详解】解：当吸管与圆柱母线平行时，最长， 此时()； 当吸管与圆柱的轴截面的对角线重合时，最短， ∴，解得：或（舍去）， ∴的取值范围是， 故选：B． 10．如图，等腰，斜边，分别以的边为直径画半圆，所得两个月形图案和的面积之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，由勾股定理可得，然后确定出，从而求解，掌握勾股定理定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点, ∵等腰，斜边， ∴， ∵以等腰的边为直径画半圆， ∴ ，， ， ∴， ∴所得两个月形图案和的面积之和为， ∵的面积， ∴所得两个月形图案和的面积之和为， 故选：． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知在中，，，的平分线交于点，那么 ． 【答案】/105度 【分析】根据等腰三角形的性质得两底角的度数，结合角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解． 本题考查了三角形内角和定理及等腰三角形的性质、角平分线的定义；综合运用各种知识是解答本题的关键． 【详解】解：，， ， 又为的平分线， ， ． 故答案为：． 12．如图，已知 ，点D在边上，，则的度数是 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边和对角相等． 由全等三角形的性质推出，得到，由等腰三角形的性质推出． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故答案为： 13．如图，校园内有一块长方形草坪，已知，，学校为了方便学生上学，从点A到点C修建一条笔直小路，则学生沿着走比原来少走 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确利用勾股定理求出的长是解题的关键． 利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴． ∴学生沿着走比原来少走． 故答案为：40． 14．如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是 ． 【答案】/49平方厘米 【分析】本题主要考查了勾股定理，由勾股定理可证明，同理可得，，则． 【详解】解：如图所示，在中，由勾股定理得， 由正方形的面积计算公式可得， ∴， 同理可得，， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若，，则线段的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则可得到，则可得的长，同理可得，据此求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 故答案为：3． 16．如图，圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要 米． 【答案】 【分析】本题考查圆柱展开图，勾股定理等．根据题意可知圆柱展开图为长方形，彩带最短为长方形对角线长度，再利用勾股定理即可求出本题答案． 【详解】解：由题意得：彩带最短为长方形对角线长度， ∵圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米， ∴ 米， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，在中，，，点D、E、F分别在，，边上，且，． (1)若，求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，即可得出答案； （2）根据全等三角形对应角相等可得，结合、平角的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴； （2）∵≌， ∴， ∴ ． 18．（8分）如图，中，，垂足为D． (1)求作的平分线，分别交于P，Q两点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)判断的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰三角形，证明见解析 【分析】本题考查了基本作图，作角平分线，余角的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握基本以上知识是解题的关键． （1）根据作已知角的角平分线的作法，画出图形即可； （2）根据角平分线的定义可得，再由余角的性质可得，再由，可得，从而得到，即可解答． 【详解】（1）解：如图，角平分线即为所求． （2）解：为等腰三角形，证明如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 19．（8分）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、． (1)若，求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线性质，掌握线段垂直平分线性质是解题关键． （1）利用是的垂直平分线，是的垂直平分线，得到，，即可得出答案； （2）利用三角形内角和得出，由， 得出，，继而得出，得出． 【详解】（1）解：是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， 的周长； （2）解：， ， ，， ，， ， ． 20．（8分）【合作探究】如图①，在中，，过点作交于点，求的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． （1）设，则___________（用含的代数式表示）； （2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程，并求出的值； 【类比应用】如图①，在中，，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析，；类比应用：24 【分析】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． （1）设，由表示出； （2）分别在直角三角形与直角三角形中，利用勾股定理表示出，列出关于x的方程，求出方程的解得到的值； 类比应用：过点作交的延长线于点，利用勾股定理解得，即可求出的面积． 【详解】（1）解：设， 故答案为：． （2）由勾股定理，得， ， 故， 解得． 类比应用： 如图，过点作交的延长线于点， 则， 即， 解得， 所以， 所以． 21．（8分）为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，求出空地的面积． 【答案】空地的面积 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是通过连接对角线AC，将四边形分割成两个直角三角形，分别计算面积后求和．连接，先在中用勾股定理求出的长度，再在中用勾股定理逆定理判断其为直角三角形，最后分别计算两个直角三角形的面积并求和得到四边形面积． 【详解】解：如图，连接， 在中，， 在中，，而，即， 为直角三角形， ， ， 答：空地的面积． 22．（1分）【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 【答案】(1)6 (2)①证明见解析；②37 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，可得，可求，即可求解； （2）①由可证，可得； ②由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25， ∴， ∴， ∴每个朱实的面积， 故答案为：6； （2）①证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∴阴影部分图形的面积， 故答案为：37． 23．（10分）【问题提出】（1）如图1，在中，，BD是AC边上的高，点E为线段BC上一点，，连接DE，求证：为等边三角形； 【问题解决】 （2）2025年4月28日，党中央隆重召开全国劳动模范和先进工作者庆祝表彰大会．为加强劳动教育，落实五育并举，某校计划在校内修建劳动实践基地，如图，四边形为基地平面示意图，、边靠墙，为一条通道，区域为果蔬栽培区，区域为花卉栽培区，根据规划要求，是等边三角形，，学校计划沿、修建栅栏，沿修建灌溉水渠，为了合理预算，需要知道、、之间的数量关系，请你帮助学校确定、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）．理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）先得出，再根据得出是等边三角形； （2）延长到点，使得 ，连接，利用全等，得出，得出． 【详解】（1）证明：∵ 为等边三角形，， ∵是边上的高， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． （2）理由如下： 如图，延长到点，使得．连接， ， ， 又 ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ． 24．（12分）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)问题发现：如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，求证：； (2)拓展探究：如图2，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为______；线段与之间的数量关系是______． (3)解决问题：如图3，若和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接 ①请求出的度数； ②线段之间的数量关系为______． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)①；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键． （1）先判断出，进而利用SAS判断出 ，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出 ，得出，，最后用角的差，即可得出结论； （3）同（2）的方法，即可得出结论． 【详解】（1）证明：和均是顶角为的等腰三角形， ，，， ， ， ， ； （2）解：和均是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：；； （3）解：①，理由如下： 同（1）（2）的方法得， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ②，， ， ， ， 故答案为： 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 特殊三角形（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．2025年4月23日第30个世界读书日主题“阅读：通往未来的桥梁”．下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，如果直线m是多边形的对称轴，其中，那么的度数等于（   ） A． B． C． D． 3．下列每组三个数能构成直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，一架靠墙摆放的梯子长10米，底端离墙角的距离为6米，则梯子顶端离地面的距离为（   ）米 A．8 B．7 C．6 D．5 5．小方画了一个两边长分别为和的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长为（   ） A． B． C． D．或 6．如图，等边三角形的边长为，D，E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知为内一点，平分，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 9．如图，将一根长为的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．如图，等腰，斜边，分别以的边为直径画半圆，所得两个月形图案和的面积之和是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知在中，，，的平分线交于点，那么 ． 12．如图，已知 ，点D在边上，，则的度数是 ． 13．如图，校园内有一块长方形草坪，已知，，学校为了方便学生上学，从点A到点C修建一条笔直小路，则学生沿着走比原来少走 ． 14．如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是 ． 15．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若，，则线段的长为 ． 16．如图，圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要 米． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，在中，，，点D、E、F分别在，，边上，且，． (1)若，求的长度； (2)求的度数． 18．（8分）如图，中，，垂足为D． (1)求作的平分线，分别交于P，Q两点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)判断的形状，并证明． 19．（8分）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、． (1)若，求的周长； (2)若，求的度数． 20．（8分）【合作探究】如图①，在中，，过点作交于点，求的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． （1）设，则___________（用含的代数式表示）； （2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程，并求出的值； 【类比应用】如图①，在中，，求的面积． 21．（8分）为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，求出空地的面积． 22．（1分）【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 23．（10分）【问题提出】（1）如图1，在中，，BD是AC边上的高，点E为线段BC上一点，，连接DE，求证：为等边三角形； 【问题解决】 （2）2025年4月28日，党中央隆重召开全国劳动模范和先进工作者庆祝表彰大会．为加强劳动教育，落实五育并举，某校计划在校内修建劳动实践基地，如图，四边形为基地平面示意图，、边靠墙，为一条通道，区域为果蔬栽培区，区域为花卉栽培区，根据规划要求，是等边三角形，，学校计划沿、修建栅栏，沿修建灌溉水渠，为了合理预算，需要知道、、之间的数量关系，请你帮助学校确定、、之间的数量关系，并说明理由． 24．（12分）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)问题发现：如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，求证：； (2)拓展探究：如图2，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为______；线段与之间的数量关系是______． (3)解决问题：如图3，若和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接 ①请求出的度数； ②线段之间的数量关系为______． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$