精品解析：安徽省淮南市田家庵区淮南实验中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学练习卷

安徽省淮南实验中学九年级（上）第一次月考数学练习卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 将抛物线向右平移3个单位长度得到抛物线 （ ） A. B. C. D. 4. 某市2020年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化、绿化面积逐年增加，到2022年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于二次函数，有下列说法： ①它的图象与轴有两个公共点； ②如果当时，y随x的增大而减小，则； ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则； ④如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为． 其中正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（ ） ①；②；③方程的两个根为；④抛物线上有两点和，若且，则 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 7. 如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（　　） A. 6 B. 9 C. 6或9 D. 以上都不正确 8. 二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，是方程的两个实数根，则式子的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 10. 如图，已知顶点为的抛物线过．则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤．其中结论正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知抛物线的开口向上，写出一个满足条件的k值______． 12. 如果，那么_________． 13. 如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为____m． 14. 如图，P为抛物线上第一象限内的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形的周长的最大值为________ 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解下列方程 （1） （2） 16. 在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“立信点”，例如点…，都是“立信点”． （1）①函数图象上的“立信点”坐标为_______； ②函数图象上的“立信点”坐标为______． （2）若二次函数的图象上存在，两个“立信点”和且求k的值； （3）若二次函数（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“立信点”，令，当时，s有最小值t，试求t的值． 17. 图1，图2，均为正方形网格，每个小正方形的面积均为1．在这个正方形网格中，各个小正方形的顶点叫做格点．请在下面的网格中按要求画图，使得每个图形的顶点均在格点上． （1）在图1中，画个周长为22，面积为30的矩形 （2）在图2中，画一个边长为整数的菱形，且面积等于24． 18. 如图，将一些小圆按规律摆放： （1）第个图形有 个小圆，第个图形有 个小圆（用含的代数式表）； （2）能用个小圆摆成这样的图形吗？如果能，请求出摆成的是第几个图形；如果不能，请说明理由． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根分别为， （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 20. 江岸区某印刷厂经过市场调查，印刷的成本由制版费与印刷费两部分组成，其中当印刷数量x（单位：万件）低于4万件时，制版费（单位：千元）与印刷数量x之间的关系式为．当印刷数量不低于4万件时，制版费全免．印刷费（千元）与印刷数量x（万件）之间的关系式为 （1）当印刷数量时，印刷成本为：________________（千元）；当印刷数量时，印刷成本为：________________（千元）；（直接用含有a的式子表示） （2）若．求印刷数量x为多少万件时，印刷成本最少？最少是多少千元？ （3）若当印刷数量低于3万件时，有且仅有唯一正整数x使得印刷成本低于12千元，直接写出a的取值范围________________． 21. 如图，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴正半轴交于C点． （1）求二次函数的解析式． （2）在第一象限的抛物线上求点P，使得最大． （3）点P是抛物线上x轴上方一点，若，求P点坐标． 22. 每年月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利元时，每天可售出辆；单价每降低元，每天可多售出辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于元．设每辆轮椅降价元，每天的销售利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 23. 如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式． （2）若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省淮南实验中学九年级（上）第一次月考数学练习卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及一般表达式，根据其定义“含有一个未知数，未知数的最高次为2次的整式方程”，其一般表达式为：，由此即可求解． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、不是整式，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选：D ． 2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 3. 将抛物线向右平移3个单位长度得到抛物线 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键． 根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】将抛物线向右平移3个单位长度得到抛物线． 故选：B． 4. 某市2020年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化、绿化面积逐年增加，到2022年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意得， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 5. 关于二次函数，有下列说法： ①它的图象与轴有两个公共点； ②如果当时，y随x的增大而减小，则； ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则； ④如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为． 其中正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质综合，涉及抛物线与轴的交点，平移，增减性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．利用二次函数的性质逐一分析即可：①利用根的判别式判断即可；②利用增减性判断即可；③利用平移得出点在二次函数的图象上，代入即可；④根据二次函数的对称性即可解答． 【详解】解：①∵， ∴二次函数的图象与轴有两个公共点， 故①正确； ②对于二次函数，对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 故②错误； ③∵二次函数的图象向左平移3个单位后过原点， ∴点在二次函数的图象上， ∴， ∴， 故③错误； ④∵当时的函数值与时的函数值相等， ∴二次函数的图象的对称轴为直线， 当时，， ∴当时，的函数值为， 故说法④正确． 综上所述，正确的说法有①④． 故选：B． 6. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（ ） ①；②；③方程的两个根为；④抛物线上有两点和，若且，则 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④．本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ， ， ，故①正确； 抛物线对称轴为直线，时，， 时，， ，故②正确； 由可得方程的解，， 抛物线与轴交于点，对称轴为直线， 抛物线与轴另一个交点为， 方程的两个根为，6， ，， ， 而若方程的两个根为，， 则，，故③错误； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 若且， 则点到对称轴的距离小于到直线的距离， ，故④错误． 故选：D． 7. 如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（　　） A. 6 B. 9 C. 6或9 D. 以上都不正确 【答案】B 【解析】 【详解】解方程得：， （1）若等腰三角形的腰长为1，底边为4，∵1+1<4，∴此时围不成三角形，此种情况不成立； （2）若等腰三角形的腰长为4，底边为1，∵1+4>4，∴此时能围成三角形，三角形的周长为9； 故选B. 8. 二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项． 【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 9. 已知，是方程的两个实数根，则式子的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解以及根与系数关系、代数式求值，根据根据系数关系得到，再根据方程的解得到，进而代值求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，即， ∴ ， 故选：D． 10. 如图，已知顶点为的抛物线过．则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤．其中结论正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与轴的交点，即可判断的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把代入，得，故③正确，由关于直线对称的点为，进而得若，则或，故④错误；由抛物线的顶点为，，得，再由，得，故⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值， ， ∴对于任意的，均有，故②错误； 抛物线过， ∴，故③正确； ∵抛物线过，关于直线对称的点为， ∴若，则或，故④错误； 抛物线的顶点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． ∴正确的个数为 故选：． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知抛物线的开口向上，写出一个满足条件的k值______． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数，据此求出k的范围，得到合适的k值． 【详解】解：因为抛物线的开口向上， 所以，即，故的取值范围是， 则k可以取3． 故答案为：3（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答此题要掌握二次函数图象的特点． 12. 如果，那么_________． 【答案】2 【解析】 【分析】题目主要考查换元法解一元二次方程，二次根式的非负性，理解题意，利用换元法求解是解题关键． 根据题意设，得出，求解方程，然后根据二次根式的非负性即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可变为， 解得， 因为， 所以， 故答案为2． 13. 如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为____m． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．设小道进出口的宽度为，根据平移可得种植花草是一个矩形，根据面积为，即可列出关于x的一元二次方程，整理后解得即可得出结论． 【详解】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意，得：， 整理，得：． 解得或34（舍去）， 所以小道进出口的宽度为． 故答案为：1． 14. 如图，P为抛物线上第一象限内的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形的周长的最大值为________ 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键．设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， 当时，C有最大值12． 故答案为：12． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）先移项，可得，然后配方法求出即可； （2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 整理得：， ，即， ∴，， ∴，． 16. 在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“立信点”，例如点…，都是“立信点”． （1）①函数图象上的“立信点”坐标为_______； ②函数图象上的“立信点”坐标为______． （2）若二次函数的图象上存在，两个“立信点”和且求k的值； （3）若二次函数（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“立信点”，令，当时，s有最小值t，试求t的值． 【答案】（1）①；②或 （2）或 （3）或1 【解析】 【分析】(1)运用“立信点”的定义直接作答即可； (2)求出是方程的两个根，，然后利用根与系数的关系求出k的值； (3)因为有且只有一个“立信点”，得到 ，进而得到，求出，最终求出t的值． 【小问1详解】 解：①当时， ， 解得：， ∴此时坐标为； ②当时，， 解得：， 此时坐标为或． 故答案为：①；②或； 【小问2详解】 解：由题意可知， ， ∴是方程的两个根， 由根与系数关系可得， ， ， ∵， ， ∴， 解得或． 【小问3详解】 解：由题意可知， ，有两个相等的实数根， ∴， ∵， ∴ ∴抛物线的对称轴为 ， 当时， 当时，s有最小值， ∴，方程无解， 当时， 当时，s有最小值， ∴方程无解， 当时，当时，s有最小值， ∴； 当时， 当 b=t时，s有最小值， ∴， 解得 (舍去) 或， 综上，t的值为或1． 【点睛】本题考查规律型，点的坐标和二次函数的最值，能够理根据题干当中的定义并灵活运用二次函数的相关知识是解答本题的关键． 17. 图1，图2，均为正方形网格，每个小正方形的面积均为1．在这个正方形网格中，各个小正方形的顶点叫做格点．请在下面的网格中按要求画图，使得每个图形的顶点均在格点上． （1）在图1中，画个周长为22，面积为30的矩形 （2）在图2中，画一个边长为整数的菱形，且面积等于24． 【答案】（1） 画图如下： ． （2） 画图如下： 答案部不唯一． 【解析】 【分析】本题考查了网格作图与计算，构造方程求得矩形的长，宽，菱形的边长，后画图即可． （1）设矩形的长为x，宽为y，根据题意，得，解得，画图即可． （2）设菱形的对角线长分别为a，为b，根据题意，得，根据边长为正整数，确定对角线长均为正整数计算 ，画图即可． 【小问1详解】 设矩形的长为x，宽为y， 根据题意，得， 解得， 【小问2详解】 设菱形的对角线长分别为a，为b，根据题意，得， 故， 根据边长为正整数， 故． 18. 如图，将一些小圆按规律摆放： （1）第个图形有 个小圆，第个图形有 个小圆（用含的代数式表）； （2）能用个小圆摆成这样的图形吗？如果能，请求出摆成的是第几个图形；如果不能，请说明理由． 【答案】（1），； （2）能用个小圆摆成这样的图形，摆成的是第个图形． 【解析】 【分析】（）根据所给图形找出变化规律即可求解； （）把代入（）中所得规律，解方程即可判断求解； 本题考查了图形的变化规律，根据所给图形找出变化规律是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图可得，第个图形小圆的个数为， 第个图形小圆的个数为， 第个图形小圆的个数为， 第个图形小圆的个数为， ∴第个图形小圆的个数为， 第个图形小圆的个数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：若能，则， 即， 解得（不合，舍去），， ∴能用个小圆摆成这样的图形，摆成的是第个图形． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根分别为， （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的判别式的性质、根与系数的关系，牢记一元二次方程的根的判别式的性质、根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可知，该一元二次方程的根的判别式大于等于，据此列式可求得答案． （2）根据一元二次方程的根与系数的关系，可用含的代数式表示出，，再根据即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ， ， 的取值范围为； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根分别为， ，， ， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴的值为1． 20. 江岸区某印刷厂经过市场调查，印刷的成本由制版费与印刷费两部分组成，其中当印刷数量x（单位：万件）低于4万件时，制版费（单位：千元）与印刷数量x之间的关系式为．当印刷数量不低于4万件时，制版费全免．印刷费（千元）与印刷数量x（万件）之间的关系式为 （1）当印刷数量时，印刷成本为：________________（千元）；当印刷数量时，印刷成本为：________________（千元）；（直接用含有a的式子表示） （2）若．求印刷数量x为多少万件时，印刷成本最少？最少是多少千元？ （3）若当印刷数量低于3万件时，有且仅有唯一正整数x使得印刷成本低于12千元，直接写出a的取值范围________________． 【答案】（1）， （2）当印刷数量x为1万件时，印刷费最低为千元 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数性质，是解题的关键： （1）根据分别求出时的制版费和印刷费，相加即为印刷成本，求出时的印刷费，即为印刷成本； （2）用表示印刷成本，根据，分和，两种情况讨论求解即可； （3）根据，列出函数关系式，根据有且仅有唯一正整数x使得印刷成本低于12千元，分两种情况，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，， ∴印刷成本为（千元）， ∵时，， ∴印刷成本为（千元）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当时，， 用表示印刷成本，则：，由题意，得： ， 此时，当时，印刷费最低为千元； ， ∵对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，，印刷费最低为千元； ∴当印刷数量x为1万件时，印刷费最低为千元； 【小问3详解】 由（2）可知：当时，； ∵当印刷数量低于3万件时，有且仅有唯一正整数x使得印刷成本低于12千元， 此时的正整数只有1和2， ∴当仅时，满足题意，则：，即：， 解得：； 当仅是，满足题意，则：，即：， 此不等式无解； 故． 21. 如图，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴正半轴交于C点． （1）求二次函数的解析式． （2）在第一象限的抛物线上求点P，使得最大． （3）点P是抛物线上x轴上方一点，若，求P点坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标， （3） 【解析】 【分析】本题考查一次（二次）函数解析式的确定、三角形面积的解法、二次函数的应用： （1）运用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法先求出直线的解析式，然后过点P作y轴的平行线，交直线于点D，用未知数设出点P、D的坐标，即可得到线段的长度表达式，以为底、为高，即可得到的面积函数关系式，根据函数的性质即可求出的面积最大值； （3）如图，将绕点A顺时针旋转得到，则取的中点H，作直线交抛物线于P，则，求出直线的解析式，利用方程组即可即可求出点P坐标； 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与x轴交于、两点， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图过点P作轴，交于点D． 把代入，得为：， ∴ 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得，， ∴直线：， 设点， 把代入，得， ， ∴点D的坐标为， ∴， ∴， 当时，有最大值，最大值为4， ∴点P的坐标 【小问3详解】 ∵， 如图，将绕点A顺时针旋转得到，则，取的中点H，作直线交抛物线于P，则， ∴， 设直线的解析式式为， ∵，， ， 解得，， ∴直线的解析式为， 由， 解得或， ∴． 22. 每年月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利元时，每天可售出辆；单价每降低元，每天可多售出辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于元．设每辆轮椅降价元，每天的销售利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】（1） （2）辆 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用（销售问题），一元二次方程的应用（营销问题）等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数关系式或方程是解题的关键． （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设每辆轮椅降价元，每天的销售利润为元， 则单件利润为元，销量为辆， ， 与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：当公司共获得销售利润元时， 则有：， ， ， ， 解得：，， ， ， 故不合题意，舍去， ， 售出轮椅的辆数为：（辆）， 答：这天售出了辆轮椅． 23. 如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式． （2）若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，则，由题意可知，，则，当时，有最小值，此时； （3）设，求出，，，分三种情况讨论：当时，；当时，，无解；当时，或． 【小问1详解】 解：将点，，点代入中， ， 解得， ； 【小问2详解】 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 过点作轴交于点， ， 点横坐标为， ，， 当时，有最小值，此时； 【小问3详解】 存在点，使得是等腰三角形，理由如下： ， 对称轴为直线， 设， ，，， 当时，，解得， ； 当时，，无解； 当时，，解得或， 或； 综上所述：点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，平行线的性质，等腰三角形的性质熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $