精品解析：湖南省长沙市开福区长沙市立信中学2024-2025学年七年级下学期7月期末考试数学试题

长沙市立信中学2024-2025学年第二学期期末考试 初一数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，请在答题卡中填涂符合题意的选项，共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，根据第二象限内的点横坐标是负数，纵坐标是正数即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点的横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴点在第二象限， 故选：B． 2. 东方财富网2025年5月21日预计，2025年中国新能源汽车产销量超1800万辆，将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵万， ∴万， 故选：C 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A.根据同类项定义解题； B.同底数幂相乘，底数不变，指数相加； C. 表示3个相乘，或根据积的乘方解题； D.根据积的乘方解题，． 【详解】A. 不是同类项，不能合并，故A.错误； B. ，故B.错误； C. ，故C.正确； D. ，故D.错误， 故选：C． 【点睛】本题考查幂的运算，其中涉及幂的乘法、积的乘方等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4. 如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形的性质和内角和公式即可得． 【详解】正九边形的内角和为，且每个内角都相等， 该正九边形的一个内角的大小为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形的性质和内角和公式，熟练掌握正多边形的性质是解题关键． 5. 以下调查中，适合全面调查的是（ ）． A. 了解全国中学生的视力情况 B. 检测“神舟十六号”飞船的零部件 C. 检测台州的城市空气质量 D. 调查某池塘中现有鱼的数量 【答案】B 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断． 【详解】解：A．了解全国中学生的视力情况，适合抽样调查，故本选项不合题意； B． 检测“神舟十六号”飞船的零部件，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意； C．检测台州的城市空气质量，适合抽样调查，故本选项不合题意； D．调查某池塘中现有鱼的数量，适合抽样调查，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查全面调查与抽样调查，关键是根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断． 6. 如图，直线，直线c与直线a，b分别交于点P，Q，于点P，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线的性质：“两直线平行，内错角相等”可得，再根据垂直的定义可得，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（　　） A. 112° B. 110° C. 108° D. 106° 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠可得：∠DGH=∠DGE=74°，再根据AD∥BC，即可得到∠GHC=180°﹣∠DGH=106°． 【详解】解：∵∠AGE=32°， ∴∠DGE=148°， 由折叠可得：∠DGH=∠DGE=74°． ∵AD∥BC， ∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°． 故选D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补． 8. 一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由“张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完”可建立不等式组． 【详解】解：设张力平均每天读x页，则李永平均每天读页 由“张力读了一周（7天）还没读完”可得： 由“李永不到一周就已读完” 可得： 故： 故选：A． 【点睛】本题考查列一元一次不等式组．正确理解题意是解题关键． 9. 已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方程的解，理解方程的解的含义是解题的关键．由于的解需要同时满足方程和，因此从方程、的解中找到同时满足这两个方程的解即可． 【详解】解： ，，满足方程，，，满足方程，其中同时满足和， 二元一次方程组的解是． 故选：D． 10. 甲、乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流给及对应的边或角添加等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（ ） ①若第3轮甲添加，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据全等三角形的判定定理逐一分析判断即可． 【详解】解：①如果甲添加， 又，， ， 乙获胜，故结论①正确； ②如果甲添加， 又，，则组成不能判定全等， 第四轮乙无论添加什么条件均可判定全等，则甲获胜，故结论②正确； ③如果第二轮条件修改为，则第3轮甲无论添加任何对应的边或角的等量条件，都能判定，则甲失败，乙获胜，故结论③正确． 故答案选：D． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的_________性． 【答案】稳定 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性可直接得出答案． 【详解】解：把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的稳定性， 故答案为稳定． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是了解三角形具有稳定性，属于基础题，难度不大． 12. 如果，那么代数式的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】把变形为，然后直接把整体代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 13. 如图，BE是△ABC的角平分线，AD是△ABC的高，∠ABC=60°，则 ∠AOE=_____． 【答案】60° 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义求出∠DOB的度数，再由三角形外角的性质求出∠BOD的度数，由对顶角相等即可得出结论. 【详解】∵BE是△ABC的角平分线，∠ABC＝60°，∴∠DOB＝∠ABC＝×60°＝30°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∵∠ADC是△OBD的外角，∴∠BOD＝∠ADC－∠OBD＝90°－30°＝60°，∴∠AOE＝∠BOD＝60°，故答案为60°. 【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 14. 如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则______． 【答案】180°##180度 【解析】 【分析】利用三角形全等，等量代换后计算即可． 【详解】解：由题意得：，，， 所以△ABC≌△EDC（SAS）， ， 所以． 故答案为：180°． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，两个角的和，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 15. 关于x的不等式的解集是，则a的值为_______； 【答案】-1 【解析】 【分析】首先把a当作已知数，解这个一元一次不等式，然后根据题意可以得出． 【详解】解不等式得： ． 根据题意可得： ． 解得a＝－1． 故答案为-1 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的解法和一元一次不等式的解法．把a当作已知数，解出这个一元一次不等式是解答本题的关键，本题是一个基础题，比较简单． 16. 如图，已知 AF AB ， FAB 60 ， AE AC ， EAC 60 ， CF 和 BE 交于 O 点，则下列结论：① CF BE ；② AMO ANO ；③ OA 平分FOE ；④ COB 120，其中正确的有__________. 【答案】①③④. 【解析】 【分析】如图先证明△ABE≌△AFC，得到BE=CF，S△ABE=S△AFC，得到AP=AQ，利用角平分线的判定定理得AO平分∠EOF，再利用“8字型”证明∠CON=∠CAE=60°，由此可以解决问题． 【详解】∵△ABF和△ACE是等边三角形， ∴AB=AF，AC=AE，∠FAB=∠EAC=60°， ∴∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC， 即∠FAC=∠BAE， 在△ABE与△AFC中， ， ∴△ABE≌△AFC（SAS）， ∴BE=FC，故①正确，∠AEB=∠ACF， ∵∠EAN+∠ANE+∠AEB=180°，∠CON+∠CNO+∠ACF=180°，∠ANE=∠CNO ∴∠CON=∠CAE=60°=∠MOB， ∴∠BOC=180°-∠CON=120°，故④正确， 连AO，过A分别作AP⊥CF与P，AM⊥BE于Q，如图， ∵△ABE≌△AFC， ∴S△ABE=S△AFC， ∴•CF•AP=•BE•AQ，而CF=BE， ∴AP=AQ， ∴OA平分∠FOE，所以③正确， ∵∠AMO=∠MOB+∠ABE=60°+∠ABE，∠ANO=∠CON+∠ACF=60°+∠ACF， 显然∠ABE与∠ACF不一定相等， ∴∠AMO与∠ANO不一定相等，故②错误， 综上所述正确的有：①③④． 故答案为①③④． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，利用全等三角形面积相等证明高相等是解决问题的关键，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂运算、算术平方根、绝对值以及立方根的实数的混合计算，解题的关键是熟练掌握这些数学概念的运算法则，并按照运算顺序进行计算． 分别计算各项的值，包括幂运算、算术平方根、绝对值和立方根，按照从左到右的顺序进行加减运算． 【详解】解： 18. 解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 将它的解集在数轴上表示出来，如图所示： ． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集，然后在数轴上表示其解集即可得到答案．熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 原不等式组得解集为， 将它的解集在数轴上表示出来，如图所示： ． 19. （1）先化简，再求值：，其中； （2）已知多项式与的乘积中不含项和x项，试求m和n的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值； （1）先根据整式乘法法则算乘法，再合并同类项，然后代入a的值即可． （2）先根据整式的乘法展开合并，根据不含项的系数为求出m和n的值即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2） ， ∵多项式与的乘积中不含项和x项， ∴， 解得． 20. “校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有　 　人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为　 　度； (2)请补全条形统计； (3)若该中学共有学生1200人，估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数． 【答案】(1)60、90；(2)见解析；(3)900． 【解析】 【分析】（1）由基本了解的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角； （2）由（1）可求得了解很少的人数，继而补全条形统计图； （3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案． 【详解】(1)接受问卷调查的学生共有30÷50%＝60人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为360°×＝90°， 故答案为60、90． (2)“了解很少”的人数为60﹣(15+30+5)＝10人， 补全图形如下： (3)估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为1200×＝900人． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．关键是根据列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图． 21. 如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中，， ∴（）； （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用证明即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质求出，即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又∵， 由（1）知：， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 22. 为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加． （1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？ （2）投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内含分线投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球只有分球和分球，所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？ 【答案】（1）该班级胜负场数分别是场和场； （2）该班级这场比赛中至少投中了个分球． 【解析】 【分析】（1）设胜了场，负了场，根据场比赛中获得总积分为分可列方程组，求解即可． （2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，根据所得总分不少于分，列出相应的不等式，从而可以求出答案． 【小问1详解】 解：设胜了场，负了场， 根据题意得：， 解得， 答：该班级胜负场数分别是场和场； 【小问2详解】 设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球， 根据题意得：， 解得， 答：该班级这场比赛中至少投中了个分球． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式． 23. 如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求度数； （2）求证：≌； （3）猜想线段，，的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案； （2）根据（1）中结论得到，利用定理证明≌； （3）延长交于，分别证明≌、≌，根据全等三角形的性质证明结论． 【小问1详解】 解：， ， 、是的角平分线， ，， ， ； 【小问2详解】 证明：由可知：， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ≌； 【小问3详解】 解：， 证明如下：延长交于， 平分， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 24. 若关于x的一元一次不等式组的解集为且，则称这样的不等式组为“对称不等式组”如关于的不等式组的解集为，其中，所以该不等式组为“对称不等式组”请同学们根据“对称不等式组”的定义完成以下问题： （1）判断下列不等式组中哪些是“对称不等式组”_________（请填序号） ① ② ③ （2）若关于x的不等式组为“对称不等式组”且在解集范围内有2025个整数解，求整数a，b的值． （3）若关于x的不等式组为“对称不等式组”且恰好有7个整数解，求a，b的值或取值范围． 【答案】（1）② （2）， （3）或，且 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）根据“对称不等式组”的定义进行判断即可． （2）根据“对称不等式组”的定义，得到，然后根据整数解的个数得到，，求出整数a，b即可． （3）分为和两种情况，根据“对称不等式组”的定义得到，然后根据整数解的个数求出a的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵不等式组无解， ∴①不是“对称不等式组”； 解不等式组的，且， ∴②是“对称不等式组”； 解不等式组的，但是前边没有等于， ∴③是“对称不等式组”； 故答案为：②； 【小问2详解】 解：解不等式组得， 又∵不等式组是“对称不等式组”， ∴， 又∵解集范围内有2025个整数解， ∴ 整数为到， 即，， 解得，； 【小问3详解】 当时，解不等式组得， ∵不等式组为“对称不等式组”， ∴， 解得， 又∵恰好有7个整数解， ∴， 解得， 当时，解不等式组得， ∴， 解得， 又∵恰好有7个整数解， ∴， 解得， 综上所述，或，且． 25. 一线三垂直模型是初中数学中常见的几何模型，这个模型的关键是抓住“同一直线”和“三个垂直”的特点，通常需要构造三垂直证明三角形全等从而探究出线段的长度，位置关系等问题． （1）如图1，于点D，，于点E，，求证：； （2）如图2，，，连接，过点A作直线于点F交于点G，若G为的中点，求证：； （3）如图3，，且，，连接，记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，且，． ①求； ②如图3，，的平分线，交于点O，若，的周长为18．求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）① ② 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． （1）可证得从而 根据得出 ，从而，进一步得出结论； （2）延长至， 使，连接，可证得，从而，进而证得，从而得到结论； （3）①作交延长线于，作交的延长线于，可证得，进而得出 ②可得出，根据角平分线的性质得出，进而得出的值，从而得出，从而得出 ，从而 ，进一步得出结果． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 证明：如图， 延长至，使，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①如图， 作交延长线于，作交的延长线于， ， 同理（1）（2）可得， ， ， ， ； ②∵，且，， ， ， ， ， ， 的平分线，交于点， ∴平分 设点O到的距离为，则点O到的距离为， ∴， 同理可得， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市立信中学2024-2025学年第二学期期末考试 初一数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，请在答题卡中填涂符合题意的选项，共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 东方财富网2025年5月21日预计，2025年中国新能源汽车产销量超1800万辆，将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 以下调查中，适合全面调查的是（ ）． A. 了解全国中学生的视力情况 B. 检测“神舟十六号”飞船的零部件 C. 检测台州的城市空气质量 D. 调查某池塘中现有鱼的数量 6. 如图，直线，直线c与直线a，b分别交于点P，Q，于点P，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（　　） A. 112° B. 110° C. 108° D. 106° 8. 一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（　　） A. B. C. D. 9. 已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流给及对应的边或角添加等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（ ） ①若第3轮甲添加，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的_________性． 12. 如果，那么代数式的值为______． 13. 如图，BE是△ABC的角平分线，AD是△ABC的高，∠ABC=60°，则 ∠AOE=_____． 14. 如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则______． 15. 关于x的不等式的解集是，则a的值为_______； 16. 如图，已知 AF AB ， FAB 60 ， AE AC ， EAC 60 ， CF 和 BE 交于 O 点，则下列结论：① CF BE ；② AMO ANO ；③ OA 平分FOE ；④ COB 120，其中正确的有__________. 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 19. （1）先化简，再求值：，其中； （2）已知多项式与的乘积中不含项和x项，试求m和n的值． 20. “校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有　 　人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为　 　度； (2)请补全条形统计； (3)若该中学共有学生1200人，估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数． 21. 如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加． （1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？ （2）投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内含分线投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球只有分球和分球，所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？ 23. 如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求度数； （2）求证：≌； （3）猜想线段，，的数量关系，并证明． 24. 若关于x的一元一次不等式组的解集为且，则称这样的不等式组为“对称不等式组”如关于的不等式组的解集为，其中，所以该不等式组为“对称不等式组”请同学们根据“对称不等式组”的定义完成以下问题： （1）判断下列不等式组中哪些是“对称不等式组”_________（请填序号） ① ② ③ （2）若关于x的不等式组为“对称不等式组”且在解集范围内有2025个整数解，求整数a，b的值． （3）若关于x的不等式组为“对称不等式组”且恰好有7个整数解，求a，b的值或取值范围． 25. 一线三垂直模型是初中数学中常见的几何模型，这个模型的关键是抓住“同一直线”和“三个垂直”的特点，通常需要构造三垂直证明三角形全等从而探究出线段的长度，位置关系等问题． （1）如图1，于点D，，于点E，，求证：； （2）如图2，，，连接，过点A作直线于点F交于点G，若G为的中点，求证：； （3）如图3，，且，，连接，记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，且，． ①求； ②如图3，，的平分线，交于点O，若，的周长为18．求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $