山西省忻州市部分学校2025-2026学年高三8月阶段性测试数学试题

2025年8月高三年级阶段性测试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置。 2.进择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区城均无效。 4,考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合M={-2<x≤3引，N={0<x<5},则MUN= A.{0<x≤3} B.{-2<x<5}C.{0<x<3} D.{-2<x<0 2.已知复数子=-3-4i,则= A.3 B.4 C.5 D.6 3.一组数据按从小到大排列为：1,2,4,6,7,10，m,这组数据的第60百分位数等于这 组数据的平均数，则m为 A.19 B.17 C.15 D.12 4.直线y=x+1与圆x2+y2=4交于A,B两点，则|AB= A.√5 B.万 c.4 D.35 5.函数f(x)=x+m2+3x-1在R上单调递增的必要不充分条件为 A.（-3,3) B.[-3,3] C.（-6,3) D.（6,3] 6.已知a>0,b>0,且9是3和3的等比中项，则上+25的最小值是 A. B.36 C.9 D.49 7.已知a为悦角，且Lso(a-)-oin(B-a)-号，则am受- A B. c D. 3-4 【高三数学第1页（共4页）】 26003C C③扫描全能王 3亿人意雀用的月理Ap明 &已如R,B是双曲线号茶=阳>Qb>0的两个焦点，以线段F5为边作正三角形M55, 若边M的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是 A.5+1 B.5+2 2 C.√5+1 D.4+2W5 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.己知等差数列{a,}的前n项和为Sn,若S5>0,S6<0,则下列结论正确的是 A.数列{a}是递增数列 B.ais>0 C.当Sn取得最大值时，n=18 D.lasl>laol 10.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C,则下列结论成立的是 A.若A>B,则sinA>sinB B.在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立 C.若a=6 =-c cos4 cosB0sC,则a=b=c D.若A=30°，b=4,a=3,则△ABC只有一解 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，E,F,G分别是AB,BC,CC的中点， 点P在线段BD上，BP∥平面EFG,则以下正确的是 A.D1C与EF所成角为60° B.点P为线段BD1的中点 C.三棱锥P-EFG的体积为号 D.平面EFG截正方体所得截面的面积为3√5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知向量a=(3,5),b=(-l,3),且(a+kb)1b,则k= 3.已灰高藏闪-22，者-小心小则实题的取篮国为一 14.设A(名，y),B(x2,2)为平面上两点，定义d(A,B)=书-+以-y2,已知点P为抛物 线C:x=上的-个动点，点2是直线：y=2(x-4)上的-个动点，则d(B,)的最小值 为一 【高三数学第2页（共4页）】 26003C C③扫描全能王 3亿人意雀用的月理Ape 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知函数f()=Asin(ox+p)A>0,w>0,0<p< 的部分图象如图所示 6 (1)求f(x)的解析式： (2)求函数f(x)在x∈ 上的最大值，并确定此时x的值， 16.(本小题满分15分) 如图，在正四棱锥S-ABCD中，已知SA=AB=√2，SO⊥平面ABCD,点O在平面ABCD内， 点P在棱SD上. (1)若点P是SD的中点，证明：平面SAD⊥平面PAC: (2)若乎=历，求二面角S-4C-P的余弦值. 【高三数学第3页（共4页）】 26003C C③扫描全能王 3亿人意程用的月理Ap明 17.(本小题满分15分) 如图，精圆c:三+长-1a>b>0的离心率为e- ,左、右焦点分别为F,E,左、右 2 顶点分别为A,B,椭圆上有一动点D(异于A,B),点E为线段AD的中点，点O为坐标原 点.直线x=2与直线OE相交于点M,已知△DA5的面积有最大值为5+！ 2 (1)当点M的坐标为(2，-2)时，求AD: (2)证明：MF⊥AD. 18.(本小题满分17分) 某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为10%，现进行多批次抽检，假设各零部件是 否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取4件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率： (2)若从另一批产品中随机抽取3件，记抽到的零部件的正品数与次品数的差的绝对值为X, 求X的分布列与期望： (3)若从某一批次产品中随机抽取件，记抽到的零部件的次品数为Y,且Y为奇数的概率 为Pa,求使pn<0.495的n的最大值.（注：lg2≈0.301） 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ax2+(x2-2x+2)e. (1)求曲线y=∫(x)在点(0，∫(0)处的切线方程： (2)若x=0为函数∫(x)的极小值点，求a的取值范围； (3)曲线y=∫(x)上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值；若不 存在，说明理由. 【高三数学第4页（共4页)】 26003C CS扫描全能王 3亿人题夜用的月mAp2025年8月高三年级阶段性测试 数学·参考答案 题号 1 3 4 5 6 答案 B C A C D C 题号 7 8 9 10 11 答案 B C BC ABC ABD 1.B 【详解】因为M={x-2<x≤3，N={0<x<5},所以MUN={x-2<x<5}故选：B 2.C 【详解】z=(-3-41)P=-(-3-41)i=-4+3i,则2=V(4}2+32=5.故选：C 3.A 【详解】位置i=0.6×7=4.2,根据百分位数的计算规则，第60百分位数是第5个数据，即7， 因为这组数据的第60百分位数等于他们的平均数，所以1+2+4+6+7+10+m=7,解得m=19. 1 故选：A 4.C 【详解】由已知圆x2+y2=4,圆心为(0,0)，半径r=2,所以圆心到直线y=x+1的距离 d= 2 V12+(-1)2 =2,所以4=2P-=4故选：C. 5.D 【详解】函数f(x)=x+mx2+3x-1在R上单调递增，所以f'(x)=3x2+2mx+3≥0在R上恒 成立，即△=4m2-4×3×3=4(m2-9上0，解得-3≤m≤3，所以A是充分不必要条件，B是 充要条件，C是既不充分也不必要条件，D是必要不充分条件故选：D. 6.C 【详解】由题可知，9是3“和3的等比中项，因此92=3“.3， 化简得3=3，即a+b=4,则(a+b)=1, 因t日空-a+或日)-北：2825628) 25axb=2×25=10, a>0,6>0,六由整本不等式可知22+名≥222×日 当且仅当经-名即a子6号时取等号。 b 3 则+-26+29}26+10=9. 【高三数学参考答案第1页（共7页）】 26003C 当且仅当 名即a-子，69时取等号综上，空的最小值为9故迹：c 25a_b日 b a 3 a b 7.B 【详解】sinBeos(a-P）-eosBsin(B-a)=-sinpcos(a-P)+coBsin(a-B)=sina=5, 4 3 a是锐角，则cosa=i-sin'a=亏，an =sina= 21+cos1 32 故选：B. 5 8.C 【详解】因为|FE=2c,所以正三角形MEE的边长为2c.所以点M在y轴上，且|MO上√3c, 前以以Q到所以的中点4号+） 因为ME的中点在双曲线上， 3c2 所以4a4c2-a1.化简得e(e-刂小-3e=4(e2-小，继续化简得e-8e2+4=0, 解得e-8±45-4牡25所以解得e=V4+25=5+1.故选：C 2 9.BC 【详解】因为S,-a+a,)=354>056=184+a）=18a+a）50, 所以a8>0,ag<0,所以此数列为递减数列，所以A错误，BC均正确： 由ag+ag<0,可得0<ag<-ag,即ag<ag,D错误故选：BC. 10.ABC 【详解】对于A,因为A>B台a>b台2 RsinA>2 RsinB一sin4>sinB,所以A正确， 对于B,在锐角△ABC中，A+B>交台>A>T-B>0, 22 2 因为y=sinx在0，习上单调递增，所以sinA>sm-B =cosB,所以B正确， 2 对于C,因为a b ,则sin4_sinB_sinC cosA cosB cosC cosA cosB cosC 即tm4=mB=mC,又么&Ce0,小，则有anA=anB=ianC>0,所以4品Ce到 又y=tmx在区间0，引 上单调递增，所以A=B=C,则a=b=c,所以C正确， 1 对于D,若A=30P,b=4,a=3,则snB=sin4_4 22 0 33 因为a<b,所以A<B,则B为锐角或钝角，即△ABC有两解，所以D错误.故选：ABC. 11.ABD 【高三数学参考答案第2页（共7页）】 26003C 【详解】对于A,连接AC,AD,因为E,F分别为AB,BC的中点，所以EFAC, 所以∠ACD即为DC与EF所成角的平面角，在△ACD中，AC=CD,=AD,故∠ACD,=60°， 所以DC与EF所成角为60°，故A正确： 对于B,连接AC,AB,BC1,因为AACC且A4=CC, 所以四边形ACC4为平行四边形，所以AC∥AC,又因为EF∥AC,所以EF∥AC, 又EFc平面EFG,AC文平面EFG,所以AC∥平面EFG,因为F,G分别为BC,CC的中点， 所以FGIIBC,又FGc平面EFG,BC文平面EFG,所以BC,∥平面EFG, 又AC∩BC=C,AC,BCC平面ABC1,所以平面ABC∥平面EFG, 因为BP∥平面EFG,BPBC=C,BP,BCC平面PBC1,所以平面PBC,∥平面EFG, 而BC,为平面PBC和平面ABC,的公共边，所以平面PBC和平面ABC,重合， 所以点P即为AC,B,D的交点，所以点P为线段B,D,的中点，故B正确： B 对于C,因为BP∥平面EFG,所以点B,P到平面EFG的距离相等， 所以m=em=北e8excG=号x1xIx1- ,故C错误； 对于D,分别取CD,AD,A4的中点为H,I,J,连接GH,HI,W,JE,JG,A,B, 在正方体ABCD-ABGD中，ACWG,AC∥EF,所以JGIEF,所以E,F,G,J四点共面， 同理可证：E,F,G,J,H,I共面，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中， EF=VP+1?=√反.同理可求：FG=GH=H=J=JE=√2， 所以平面EFG截正方体所得截面为正六边形EFGHIJ,边长为√2， 面积为6××V2x2×si血60°=35，故D正确故选：ABD 2. 【详解】因为a=(3,5),b=(-1,3),所以a+kh=(3-k,5+3k).因为(a+b)⊥b, 所以（口+）6=k-3+36+上0，解得k=名故答案为：-号 【高三数学参考答案第3页（共7页）】 26003C 3. 【祥装1作指版代-2么的图象如下图所示 由图可知，f(x)在R上是减函数.因为f(22-1)>f(t+2),所以22-1<t+2,即22-t-3<0, 即(2-3+)<0，解得-1<1<，所以实数的取值范围为-引故答案为：（》】 14. 15 【详解】由 2 消去y整理得x2-x+4=0,则△=(-1)2-16<0，所以直线1与抛 y=2(x-4) 物线C无交点，如图过点P作PNIx轴交I于点N,过点2作QE⊥PN交PN于点E, 则d(P,Q)=PE+Eg≥PE+EN=|PN(当2、N重合时取等号)，设P(n,2n2), 公+42)，所以pN--a+4-(气-+营当且仅当时取等写。 所以d(P,Q)的最小值为故答案为： 4 15.【详解】1)由题图知A-2,子-号，则后=4 3 ,0= 3分 3 汉f(}-2n[3(}]-2sin(+p小-0，mp-}-0.5分 0<<2,-4p 4 =0，即= 4 六网的解折式为闪=2如侵x+号 7分 2)由①知/=2+引x[引 3x+元s3 0s3x+ 44 12分 【高三数学参考答案第4页（共7页）】 26003C 当经x+即x时，=2. 3 13分 6 16.【详解】(1)由题意可得正四棱锥所有棱长均为√2，而P是SD的中点， 所以CP⊥SD,AP⊥SD, 2分 又因为AP∩CP=P,且AP,CPC平面PAC,所以SD⊥平面PAC,4分 又因为SDc平面SAD,所以平面SAD⊥平面PAC. 5分 (2)如图，连接OB,易知OB,OC,OS两两互相垂直，分别以OB,OC,OS为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O-z, 则A(0,-1,0),C(01,0),S(0,0,1),D(-1,0,0),可得AC=(0,2,0),SD=(-1,0,-1).7分 由丽0，得亚-（0-》所以P(0引进面亚-(》 9分 设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),则 nAP=-4x+y+42=0 n.AC=2y=0 令z=1,则x=3,所以平面PAC的一个法向量为n=(3,0,1)。 12分 易知平面S4C的一个法向量为OB=(1,0,0), 13分 设二面角S4C-P的平面角为0，则cos0=cos<OB,n> OB.n 310 1V32+12 10 故二面角SACP的余弦值为3@ .15分 10 17.【详解1G①由愿意得a=c,e+eb-1+ 2 2,a2=b2+c2,解得a2=2,=c2=l, 故椭圆C的方程为号+了-1 2分 当点M坐标为(2，-2)时，kMs=-1, 3分 设E(,-x),则D2x,+V2,-2x) 4分 代入圆方程5→，4城1得0（合去，即D停29 6分 又450），故aD=20 400.7分 【高三数学参考答案第5页（共7页）】 26003C (2)设直线AD:x=y-√2，与椭圆C方程联立得yo= 2W2.V2r2-2W2 2+2 ，.10分 t2+2 又4川9 则oE:y=-2,M(2-),又B(,0), 12分 故直线MF的斜率kMs 0-(-) 14分 1-2 所以kk=(-)=-山，故ME上AD。 15分 18.【详解】(1)由已知该批零部件次品率为10%，正品率为1-10%=90%， 因为从该批零部件中随机抽取4件，抽到的零部件中正品数多于次品数， 所以次品数为0件或1件，… 2分 所以所求概率为C×0.9+C4×0.1×0.93=0.9477. .4分 (2)设抽取的零部件次品数为5，则X=3-5-引=3-2， 所以X可能的取值为1,3,5~B(3,0.1), .6分 P(X=1)=P(5=1）+P(5=2)=Cg×0.1×0.92+C×0.12×0.9=0.27,7分 P(X=3)=P(5=0)+P(5=3)=C×0.93+C×0.13=0.73, 8分 所以X的分布列为 3 D 0.27 0.73 E(X)=1×0.27+3×0.73=2.46 .9分 (3)由题意得Y~B(n,0.1),Y为奇数的概率为pn,则Y为偶数的概率为1-Pn,设p=0.1, 则[(1-p)+p]=Cp°(1-p)°+Cp(1-p)+Cp(1-p)-2++Cp, [(1-p)-p]”=Cp(1-p)-Cp(1-p)-+Cp(1-p)-2++c(-p), 以上两式相减得1-1-2p°=2p,所以n,=1-,2p=0.5×1-0.8） 14分 2 由Pn<0.495得1-0.8"<0.99，所以0.8">0.01，n(3g2-1)>-2, 2 所以n< 1-31g21-3×0.301 ≈20.6，所以n的最大值为20. 17分 19.【详解】(1)f'(x)=2ax+(x2-2x+2+2x-2)e*=2ax+x2e,f(0)=0,f(0)=2, 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=2. 2分 (2)f'(x)=2ar+x2e*=x(2a+xe）, 3分 ①若a=0,则f'(x)=xc≥0，f(x)单调递增，无极值，不符合题意. 4分 ②若a<0,则当x<0时，2a+xe<0,f'(x)=x(2a+xe)>0,所以x=0不可能为极小值 【高三数学参考答案第6页（共7页）】 26003C 点，不符合题意. .6分 ③若a>0,令g(x)=xe*,，则g(x)=(x+1)e,当x>-1时，g(x)>0,即g(x)在(-l,+o)上 单调递增，当x<-1时，g(x)<0,即g(x)在(0，-)上单调递减， .7分 则g=g-)=。又80)=0，当x<0时，日gk0. 8分 若a>0,则2a+e>0,当x<0时，f()=x2a+)k0,当x>0时，f(倒>0，所以x=0 为函数f(x)的极小值点，符合题意. ……n9分 若0<a≤名因为8)在-L0上单调递增，8)的值从-增到0， 所以直线y=-2a与曲线y=g(x)在[-1,0)上的图象有公共点， 即存在x∈[-1,0)使得2a+xe=0,… .10分 当x<x<0时，xe>xe=-2a,即2a+xe*>0, 所以存在x∈[-1,0)，使得当<x<0时，∫(x)<0, 当x>0时，∫'(x)>0,此时x=0为函数f(x)的极小值点，符合题意. 综上，a∈(0，+o). …………12分 (3)不存在，理由如下 假定曲线y=(x)上存在两个不同的点关于y轴对称，设其坐标分别为(6，y),（-4,y),t≠0， 则有f)=f(-),即at2+(e2-2t+2)e=a(-)2+[(-)2-2(-)+2e', …14分 化简得(2-21+2）e'=[(-)}2-2(-)+2e.… .15分 令h(x)=(x2-2x+2)e，,则h()=h(-t),由h'(x)=x2e≥0知函数h(x)在R上单调递增， 由h(t)=h(-t)得t=-t,即t=0,这与t≠0矛盾， 所以曲线y=∫(x)上不存在两个不同的点关于y轴对称. …17分 【高三数学参考答案第7页（共7页）】 26003C