第一章 勾股定理 单元练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第一章 勾股定理 练习题 一、单选题 1．若a，b，c为一组勾股数，则下列各组数中仍为勾股数的是（   ） A．a， B． C． D． 2．下列长度（单位：）的各组线段中，能组成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．2，2，2 C．3，4，5 D．6，6，8 3．如图，等腰，斜边，分别以的边为直径画半圆，所得两个月形图案和的面积之和是（   ） A． B． C． D． 4．如图，玻璃杯的底面直径为，高为，有一根长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，为上一点．若，的面积为90，则的长为（   ） A．9 B．12 C．14 D．24 7．如图，正方形面积，，则正方形的边长为（   ） A．12 B．13 C．5 D．25 8．如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 9．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，平分交于点，过点作于点，连接．则下列结论： ①垂直平分；        ②的周长为8； ③的长是；        ④的面积为． 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．已知三角形的三边分别为，则最长边上的高等于 ． 12．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，则的值是 ． 13．某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜，示意图如图所示．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为 ． 14．如图，在中，的垂直平分线交于点O，D为外一点，，且，连接，则线段长为 ，线段的最大值为 15．如图，在中，，是边上一点，连接，在的左侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 三、解答题 16．如下图，某开发区有一块四边形空地，现计划在这块空地上种植草皮，经测量，，，，，．若种植每平方米草皮需要元，则在这块空地上种植草皮共需要多少元？ 17．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线对称的； (2)在直线上画一点，使得的值最大； (3)请判断的形状并求出边上的高线的长度． 18．如图，一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙． (1)这架云梯的顶端距地面有多高？ (2)如果云梯的顶端下滑了，那么它的底部在水平方向也滑动了吗？ 19．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 20．如图，在中，于点，，． (1)求的长； (2)若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 勾股定理 练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C B D C D C D 1．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股数的定义，若原数满足，则各选项需验证是否满足类似关系． 【详解】解：原勾股数满足．若每个数均乘以2，得到，则： ， 等式成立，故仍为勾股数，故选项C成立，符合题意； A：．例如，原勾股数代入后为，但，不成立； B：．以代入得，但，不成立； D：．以代入得，但，不成立； 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A：，此选项不符合题意； B：，此选项不符合题意； C：，此选项符合题意； D：，此选项不符合题意； 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，由勾股定理可得，然后确定出，从而求解，掌握勾股定理定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点, ∵等腰，斜边， ∴， ∵以等腰的边为直径画半圆， ∴ ，， ， ∴， ∴所得两个月形图案和的面积之和为， ∵的面积， ∴所得两个月形图案和的面积之和为， 故选：． 4．C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据吸管露出杯口外的长度最少，则需在杯内最长，然后用勾股定理即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴吸管露出杯口外的长度至少为， 故选：． 5．B 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，由勾股定理及其逆定理判定是等腰直角三角形成为解题的关键． 如图：连接，先运用勾股定理求出的三边的长度，再运用勾股定理逆定理得出是等腰直角三角形，进而得出的度数即可． 【详解】解：如图：连接， ∵每个小正方形的边长都是1， ∴， ∵10+10=20， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 6．D 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据的面积为90，可求出，再由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：∵的面积为90，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D 7．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的面积，掌握直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和是解题的关键．根据直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式，不难发现：，从而得到答案． 【详解】解：，， 直角三角形中以直角边的平方与斜边的平方分别为144和169， 根据勾股定理，另一条直角边的平方为， ， 正方形的边长为5， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线段最短、勾股定理以及三角形的面积，作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：作于点D，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵当时，最小， ∴， ∴， 解得， 即的最小值是4.8． 故选：D． 9．C 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、勾股定理是解题的关键．由题意易得，由折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意，得， 由翻折的性质得， 设，则， 在直角三角形中，， 即， 解得， ∴， ∴． 故选：C． 10．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形面积，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．根据角平分线的定义和垂线的定义，易证，可判断①结论；由勾股定理求出，再结合全等三角形的性质，可判断②结论；设，利用勾股定理解方程，可判断③结论；根据等高三角形面积之比等于高所在的边之比，可判断④结论． 【详解】解：平分 ， ， ， 又， ， ，， 垂直平分，①结论正确； 在中，，，， ， ， ，， ， 的周长，②结论正确； 设，则 在中，， ， 解得：， 的长是，③结论正确； 在中，，，， ， 和是等高三角形， ， ，④结论正确， 故选：D． 11． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形等面积公式的运用，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据题干条件和勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，再利用等面积公式即可求出答案； 【详解】解：设三角形的最长边上的高的长度是h， 三角形的三边分别为， ∴， ∴三角形是直角三角形（斜边长是）， ∵， ∴解得， ∴最长边上的高等于； 故答案为：； 12． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和勾股定理，利用对应边和对应角分别相等的全等三角形性质，可以得到正方形的边长为，然后，在中，运用勾股定理可得． 【详解】解：由题意可知，四个直角三角形全等，，， ，， 同理，可得， 在中，应用勾股定理得到： ． 故答案为：． 13．10 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题关键．将棱镜侧面展开，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图，将棱镜侧面展开， 根据题意，可得，， ， 所以，这圈金属丝的长度至少为． 故答案为：10． 14． 【分析】本题考查垂直平分线的性质，勾股定理，三点共线，三角形的内角与边的关系，掌握知识点是解题的关键．连接，证明，，由勾股定理，可得，求出，则；在上取一点，使，连接，，由得到，则，四边形为平行四边形，得到，当、、三点共线时最大，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵的垂直平分线交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时最大， 故答案为：． 15．48 【分析】过点A作于点M，过点C作于点N，过点B作于点H，利用平行线间的距离处处相等，等腰三角形的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了平行线间的距离处处相等，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点M，过点C作于点N，过点B作于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：48． 16．（元） 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，连接，利用勾股定理可求，利用勾股定理的逆定理可以判断为直角三角形，根据三角形的面积公式即可求出四边形空地的面积，再根据种植每平方米草皮需要元，即可求出所需费用． 【详解】解：如下图所示，连接， ， 为直角三角形， ，， ， ， ，， ， 为直角三角形，且， 这块空地的面积为 ， 在这块空地上种植草皮共需要元． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形， 【分析】本题考查作图--轴对称变换，勾股定理及其逆定理，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可在网格中画出关于直线对称的； （2）延长交直线于点，根据两点之间线段最短可使得的值最大； （3）根据网格利用勾股定理逆定理即可判断的形状并求出边上的高线的长度． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点即为所求； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下∶ ∵ ，，， ， ， 边上的高线． 18．(1) (2)不是，滑动了 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）根据变化前后云梯的总长度不变，求出此时云梯地端与墙的距离，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意和勾股定理，得：这架云梯的顶端距地面的高度为； 答：这架云梯的顶端距地面有； （2）云梯的顶端下滑了，则：此时云梯的顶端距地面的高度为， ∴此时云梯底端离墙， ∴它的底部在水平方向滑动了； 故它的底部在水平方向滑动了． 19．(1)见解析 (2)新路比原路少0.2千米 【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案． 【详解】（1）证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少0.2千米． 20．(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题的关键是分类讨论和熟练全等三角形的相关知识． （1）结合已知条件，利用勾股定理即可求得； （2）①由勾股定理得，并利用证得，有，即可求得； ②分两种情况：当点在线段上时，由面积比得，求得，并得到和，可得，利用等角对等边即可求得；当在线段的延长线上时．由面积比得，可求得，同理，即可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：； （2）解：①在中，由勾股定理得：． ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②分两种情况： 如图，当点在线段上时． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在线段的延长线上时． ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得： ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$