第28讲 平面向量的数量积及平面向量的应用【知识梳理+题型总结】讲义——2026届高三数学一轮复习

2026年高三数学一轮复习常考题型归纳 【第28讲：平面向量的数量积及平面向量的应用】 【新高考课标要求】 1. 理解数量积的含义与物理意义：明确平面向量数量积是两个非零向量的模与它们夹角余弦值的乘积，即，并了解其在物理等领域中的应用背景。 2. 了解数量积与投影向量的关系：知道向量在向量上的投影向量与数量积之间的联系，理解数量积可以表示为一个向量的模与另一个向量在其方向上投影向量长度的乘积。 3. 掌握数量积的坐标运算：掌握数量积的坐标表达式（设，），能熟练运用该公式进行平面向量数量积的运算。 4. 运用数量积解决向量夹角与垂直问题：能运用数量积公式表示两个向量的夹角，会通过判断两个平面向量的垂直关系，即若，，则。 5. 用向量方法解决平面几何问题：会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题，如利用向量判断线段的平行、垂直关系，计算线段长度、角度等，将几何问题转化为向量运算问题。 6. 用向量方法解决实际问题：能够运用向量知识解决简单的力学问题与其他一些实际问题，例如力的合成与分解、物体的运动状态分析等，体现向量的工具性作用。 【知识梳理】 平面向量的数量积 定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积，记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为。 几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积，也等于的长度与在方向上的投影的乘积。 性质：设、为非零向量，是单位向量，为与的夹角，则有；；当与同向时，，当与反向时，，且；，当且仅当与共线时等号成立；。 运算律：交换律；数乘结合律；分配律。注意数量积不满足结合律，即 ，这是因为是一个与共线的向量，是一个与共线的向量，而与不一定共线 。 坐标运算：已知非零向量，，则，且，，。 常用结论 1. 与单位向量相关：单位向量有无数个，它们大小都为，但方向不一定相同；与向量平行的单位向量有两个，即向量和 。 2. 极化恒等式： 平行四边形形式：若在平行四边形中，，，则 ，也等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的。 三角形形式：在中，为的中点，，，则 。 3. 向量模长的常用处理方式： 公式法：利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算。 坐标法：若，则 。 4. 向量夹角相关结论：设，为非零向量，其夹角为。 数量积大于说明不共线的两向量的夹角为锐角（当与共线同向时，数量积也大于 ）；数量积等于说明不共线的两向量的夹角为直角；数量积小于说明不共线的两向量的夹角为钝角（当与共线反向时，数量积也小于 ）。 若，，则 。 5. 向量垂直的充要条件：对于非零向量，， ，若用坐标表示，当，时， 。但要注意数量积的运算是对非零向量而言的，若，虽然有，但不能说 。 6. 向量数量积与向量投影：向量在向量方向上的投影向量为 ，投影数量为 ，当为锐角时，投影数量是正数；当为钝角时，投影数量是负数；当为直角时，投影数量是 。 微点提醒 1. 向量夹角范围：向量夹角的范围是，特别注意当两向量共线同向时，夹角；共线反向时，夹角 。在利用向量夹角相关结论解题时，需准确判断夹角的情况。 2. 数量积运算注意事项： 进行数量积运算时，要注意向量夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补，避免出现错误。例如在三角形中，两向量的夹角可能与三角形内角并不直接相等。 数量积运算不满足消去律，即由不能必然推出 。这是因为，此时有可能 。 等式两边不能随意约去一个向量，即若向量、、满足，则不一定有 。 3. 解决几何图形中向量问题：解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算。通常先建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系；最后把运算结果“翻译”成几何关系 。 4. 向量在物理中的应用注意：在将向量知识应用于物理问题（如力的合成与分解、速度的合成与分解等）时，要准确分析物理情境，明确各向量之间的关系，注意向量的方向与物理量方向的对应，以及大小的对应关系。 平面向量的应用 平面几何中的应用：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来。用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”为： 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题。 把运算结果“翻译”成几何关系。 物理中的应用：速度、力是向量，都可以转化为向量问题，力的合成与分解符合平行四边形法则。例如，两个人共提一个行李包，可通过向量运算分析拉力与夹角的关系；物体在多个力作用下的运动，可利用向量求合力等。 【课前自测】【真题感悟】 一、单选题 1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解. 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 二、填空题 6．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 【答案】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 7．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 8．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 【答案】 ； 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点一：平面向量的数量积计算】 【例题】1．（2025·天津红桥·模拟预测）已知，，与夹角的大小为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的定义求两个向量的数量积. 【详解】因为. 故选：B 2．（2025·广西柳州·模拟预测）已知与的夹角，则 . 【答案】6 【分析】根据平面向量数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由与的夹角， 则. 故答案为：6. 【针对训练】3．（2025·湖北·模拟预测）已知是边长为1的正三角形，点在上且，是上一点且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性定理将求出来，然后利用向量的数量积公式求出的值. 【详解】∵，∴，∴三点共线， ∴，  ∴，∴．∴， ∴， 故选：C． 4．（2025·河北·模拟预测）若，，，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】B 【分析】令，，得，由平面向量数量积运算律即可即可. 【详解】令，，则， . 故选：B. 5．（2025·甘肃金昌·三模）设为坐标原点，圆与轴相切于点，直线交圆于两点，其中点在第二象限，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出弦长后根据数量积的定义可求. 【详解】（图片优化老师注意：图中BC倾斜角30度，需调整）优化完后请删除此段提醒 由题意，圆的圆心坐标为，半径为， 因为圆与轴相切于点，所以，故， 而到直线的距离为， 所以，而直线斜率为， 故直线的倾斜角为，故， 则. 故选：B. 【解题策略】 一、核心解题方法与适用场景 1. 定义法 适用条件：已知两向量模长（或可通过几何关系推导模长）、两向量夹角（或可通过图形特征确定夹角），直接关联数量积与“模长×夹角余弦值”的核心关系。 核心逻辑：先明确向量模长与夹角（注意夹角范围为），再代入公式计算，无需额外转化，适用于条件直接的基础计算场景。 2. 坐标法 适用条件：题目涉及几何图形（如矩形、直角三角形、含坐标点的图形），或可通过构造直角坐标系（如以直角顶点、对称中心为原点）将向量转化为坐标形式。 核心逻辑：通过建系将向量坐标化，利用坐标公式（，）计算，将几何问题转化为代数运算，适用范围最广，尤其适合复杂图形场景。 3. 极化恒等式法 适用条件：题目含“中点”“中线”元素，或涉及平行四边形、三角形的对称结构，需规避复杂模长与夹角推导，快速关联向量数量积与线段长度。 核心逻辑：利用图形对称性，选择对应公式简化计算——三角形中（为中点）用，平行四边形中用，直接通过线段长度求数量积。 4. 转化法 适用条件：题目给出多向量线性关系（如），或含向量垂直、共线等特殊关系，需通过运算律化简后计算。 核心逻辑：利用数量积运算律展开化简——通过分配律拆解复合向量，结合“自身数量积等于模长平方”（）、“垂直向量数量积为0”（）等性质，将未知数量积转化为已知条件可代入的形式。 二、高考高频易错点规避 1. 夹角判断误区：向量夹角需满足“起点重合”，不可直接等同于几何图形内角，若向量方向相反（如与），需取内角补角计算，避免角度符号错误。 2. 零向量遗漏：未明确“非零向量”时，需考虑或的情况（此时），防止漏解；同时注意数量积为0时，向量可能垂直或含零向量，不可直接判定垂直。 3. 建系规范问题：构造坐标系时，优先选择直角顶点、对称点为原点，确保坐标轴与图形边平行/垂直，避免坐标计算中因建系不规范导致的数值偏差；无直角时可通过“作高”构造直角条件。 三、通用解题步骤（四步流程） 1. 条件分析：快速识别题目关键信息——是否有模长/夹角（匹配定义法）、是否含可建系图形（匹配坐标法）、是否有中点/对称结构（匹配极化恒等式）、是否有线性关系（匹配转化法）。 2. 方法选择：优先用坐标法（适配多数场景），再根据条件特征灵活切换——基础条件用定义法，中点/对称场景用极化恒等式，线性关系用转化法，避免方法冗余。 3. 计算执行：代入对应公式时，重点关注符号细节（如钝角的为负、第三象限坐标的正负性），展开运算律时确保分配完整，不遗漏项或符号错误。 4. 结果验证：结合数量积几何意义验证——正数说明夹角为锐角或同向，负数说明钝角或反向，零说明垂直或含零向量，通过逻辑判断排除计算失误。 【考点二：向量数量积的性质及其应用】 【角度1：夹角和垂直】 【例题】1．（2025·甘肃白银·二模）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用可得答案. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A. 2．（2025·海南海口·模拟预测）已知向量，的模长相等，与的夹角为，若，则与的夹角为 ． 【答案】 【分析】设，先将整理成，两边取平方，推得，再由整理成，两边取平方，利用向量数量积的定义求出即得答案. 【详解】由可得，两边取平方，， 设，则，即， 再由可得，两边取平方，， 即，解得， 因，则. 故答案为：. 【针对训练】1．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知非零向量与不共线，且满足，与的夹角为，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设向量与向量的夹角为，设，进而利用向量的夹角公式列出等式，解方程即可求得答案. 【详解】设向量与向量的夹角为，, 设，则， 则， 与的夹角为，所以， 则，即， 可得,解得（舍）或， 则． 故选：A． 2．（2025·云南·模拟预测）已知非零向量，满足与夹角的余弦值为，若，则实数（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由向量垂直得数量积为0即可列方程求解. 【详解】设， 因为与夹角的余弦值为，且， 所以，即，解得. 故选：A. 3．（2025·甘肃金昌·三模）已知向量，其中，为单位向量，且，则 . 【答案】/ 【分析】求出后由夹角公式可求余弦值. 【详解】，同理， ， 故， 故答案为：. 【角度2：平面向量的模】 【例题】1．（2025·广西·模拟预测）已知向量，满足，，且，则 ． 【答案】 【分析】由两边平方，结合数量积的性质及条件可求，再由结合数量积性质求结论. 【详解】因为，所以， 又，，所以， 所以． 故答案为：. 2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，是单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】设，，，利用得到，转化为圆心到原点的距离加上圆的半径可得答案. 【详解】因为，是单位向量，且，所以， 又因为，所以， 设，，， 则， 所以， 因为，所以， 可得， 化简得，配方得， 表示以为圆心，为半径的圆， 圆心到原点的距为， 则的最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，即为. 故选：B. 【针对训练】1．（2025·河北·模拟预测）若平面向量，，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项得，再同平方即可得到，再计算即可. 【详解】由可得，即，， 代入，，可得，，故. 故选：C. 【多选题】2．（2025·陕西宝鸡·二模）已知向量，则下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角是，则 D．若与的方向相反，则在上的投影向量坐标是 【答案】ABC 【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示判断AB，利用向量数量积的运算律判断C，利用投影向量的定义判断D. 【详解】因为向量， 若，则，解得，A说法正确； 若，则，解得，B说法正确； 若与的夹角是，因为，， 所以， 所以，C说法正确； 若与的方向相反，所以， 所以在上的投影向量为，D说法错误； 故选：ABC 3．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知满足，若在方向上的投影向量为，则 ． 【答案】 【分析】利用投影向量的定义求出，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由在方向上的投影向量为，得，则，而， 于是，所以. 故答案为： 【解题策略】 一、向量数量积的核心性质梳理 1. 与模长相关的性质：对任意向量，（即）；对任意两向量，，（当且仅当与共线时等号成立）。 2. 与夹角相关的性质：设，为非零向量，夹角为（），则；且（与同向时），（），（与反向时）。 3. 与投影相关的性质：向量在方向上的投影数量为，投影向量为；数量积等于与在方向上投影数量的乘积，或与在方向上投影数量的乘积。 4. 与特殊向量相关的性质：若为单位向量，则（为与的夹角）；零向量与任意向量的数量积为，即。 二、各性质的应用思路（结合高考与模拟题场景） 1. 与模长相关性质的应用：求向量模长、最值 应用场景：题目要求计算向量模长（如），或求与模长相关的最值（如的最小值），常结合向量线性关系或已知数量积条件。 解题思路： 求模长：利用，将所求模长平方后转化为数量积运算，即。若为复合向量（如），则展开为，代入已知条件计算后开方。 求最值：将模长表达式转化为关于某一变量（如向量夹角、参数）的函数，结合确定取值范围，进而求最值。 高考与模拟题适配重点：新高考中常结合“向量线性组合”考查，如已知，，，求；或结合三角函数求最值，如已知，夹角为，求的最大值。 2. 与夹角相关性质的应用：判断夹角类型、求夹角大小 应用场景：题目要求判断两向量夹角是锐角、直角还是钝角，或直接计算两向量夹角的余弦值、角度，常给出向量坐标或模长与数量积条件。 解题思路： 判断夹角类型：先排除零向量情况（若未明确非零，需先说明），再根据的符号判断——且与不共线（避免同向时误判为锐角），则夹角为锐角；，则夹角为直角；且与不共线（避免反向时误判为钝角），则夹角为钝角。 求夹角大小：先确定，为非零向量，计算，与，代入，结合确定角度（特殊角直接对应，非特殊角保留余弦值或用反三角函数表示）。 高考与模拟题适配重点：高频考查“坐标型向量夹角计算”（如已知，，求夹角），或“结合几何图形判断夹角”（如在三角形中，判断与的夹角类型）。 3. 与投影相关性质的应用：求投影数量、关联几何长度 应用场景：题目要求计算某向量在另一向量方向上的投影数量，或利用投影与数量积的关系求几何图形中的线段长度（如三角形的高），常出现在几何背景题中。 解题思路： 求投影数量：明确投影方向（如在方向上的投影），直接代入公式，若已知向量坐标，可先计算数量积与再求解。 关联几何长度：将几何中的“线段投影长度”转化为向量投影，如三角形中，边上的高可表示为在方向上投影数量的绝对值，结合面积公式关联计算。 高考与模拟题适配重点：模拟题中常结合“三角形高、平行四边形高”考查，高考题中偶见与“物理做功”结合（功是力与位移的数量积，本质是力在位移方向上的投影与位移大小的乘积）。 4. 与特殊向量相关性质的应用：单位向量运算、零向量特殊处理 应用场景：题目涉及单位向量（如求与某向量平行的单位向量），或需利用零向量数量积为的性质解题（如已知，判断与的关系）。 解题思路： 单位向量运算：与平行的单位向量为（），计算时先求，再分同向、反向两种情况；涉及单位向量数量积时，利用简化运算。 零向量处理：若题目未明确“非零向量”，需考虑或的情况（此时）；若已知，变形为，需分或两种情况讨论，避免漏解。 高考与模拟题适配重点：常以“多选题选项”形式考查，如判断“与平行的单位向量有两个”“若，则”等表述的正误。 三、应用中的核心注意事项 1. 符号把控：计算数量积、投影数量时，需关注向量夹角的余弦值符号（钝角为负、锐角为正），以及向量坐标的正负（如第三象限向量坐标均为负，数量积可能为正），避免符号错误导致结果偏差。 2. 共线排除：判断锐角、钝角时，必须排除两向量共线的情况（同向时，反向时），否则会将“同向”误判为锐角、“反向”误判为钝角。 3. 几何关联：结合几何图形应用时，需先将几何元素（如边、角）转化为向量，明确向量的起点、方向（如与方向相反，数量积为负），再关联对应性质解题，避免几何关系与向量关系混淆。 四、通用解题流程 1. 性质匹配：分析题目条件（模长、数量积、坐标、几何图形），确定适配的数量积性质（如求模长匹配“模长相关性质”，求夹角匹配“夹角相关性质”）； 2. 条件转化：将已知条件转化为性质所需的关键量（如求夹角需转化出，，），若为几何题，先建立向量与几何元素的对应关系； 3. 代入运算：根据性质公式代入计算，注意符号、共线等特殊情况的处理； 4. 结果验证：结合性质的几何意义或代数逻辑验证结果（如夹角余弦值绝对值不超过1，模长为非负数），排除错误。 【考点3：平面向量的综合应用】 【例题】1．（2025·广西·模拟预测）已知向量，，设函数． (1)化简并写出的最小正周期； (2)在中，角对的边分别为，若，，的面积为，是线段的中点，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用数量积的坐标表示结合诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简，再根据三角函数的周期公式求最小正周期即可； （2）由求出，由三角形面积公式和余弦定理求出和，再根据是线段的中点可得，利用数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）由题意可得 ， 故最小正周期为． （2）因为，且， 所以，解得， 由，得， 由余弦定理即，解得， 又因为是线段的中点，所以， 得， 故． 2．（2025·宁夏中卫·三模）已知，，. (1)求函数单调递增区间； (2)设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若且.求面积的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】通过向量数量积得到函数表达式，并利用三角恒等变换化简函数表达式，再运用正弦函数单调性，整体代换计算即可. 利用余弦定理建立边角关系，结合不等式求面积的最大值. 【详解】（1）首先，根据题意，可得到： ， ， ， 令，， 得：， 即：， 所以的单调递增区间为，. （2）由 ，得， ，解得：，， 可得，由于，所以； 利用余弦定理可得，， ， 由不等式 ，得： ， ，当且仅当“”时取“=”， 所以. 的面积， 当 取最大值 3 时，面积最大，. 【针对训练】1．（2025·天津·二模）在中，点D在边BC上，且，E为线段AD的中点.已知，，则 （用，表示）；若，，且，则 . 【答案】 / 【分析】根据几何图形，结合向量的线性运算，即可用基底表示，首先用基底表示，再利用数量积公式，求，即可求解. 【详解】由条件可知， , 所以； 由，得， 得， 所以， 得，且，， 所以， 得,,所以. 故答案为： 2．（2025·天津·一模）如图，在平行四边形中，，点E为中点，，点F为边上的点．若点F满足，且，则 ；若点F为线段上的动点，则的取值范围为 ．    【答案】 【分析】由题意得，从而；对于第二问，设，首先分解，然后由数量积的运算律转换成关于的二次函数在闭区间上的值域即可求解. 【详解】由题意 所以， 设， ， ， ， ， 设，对称轴是， 故单调递增， 从而当点F为线段上的动点时，的取值范围为. 故答案为：；. 3．（24-25高一下·天津西青·期中）在中，，，，分别为边 ，的中点，若点在线段上，且，，则 .若，点为线段上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据平面向量线性运算法则及基本定理解决第一空，建立平面直角坐标系，设，，表示出点坐标，再由坐标法求数量积，最后由二次函数的性质计算可得. 【详解】依题意 ， 又，且、不共线，所以，所以； 如图建立平面直角坐标系，则，，所以，， 所以， 因为点为线段上的动点，所以设，， 则，则， 所以，， 所以 ， 所以当时取得最小值，最小值为；    故答案为：； 【解题策略】 一、平面向量在平面几何中的综合应用 核心逻辑：利用向量的线性运算与数量积，将平面几何中的“位置关系”（平行、垂直）和“数量关系”（长度、角度、面积）转化为向量运算，实现几何问题代数化求解。 1. 证明平行、垂直关系 应用场景：题目要求证明线段平行（如梯形两腰平行）、线段垂直（如三角形高线），或证明特殊图形（如矩形、菱形），常给出几何图形的边长、内角或顶点坐标。 解题思路： 证明平行：若要证线段，需证向量与共线，即存在实数，使得（非零向量）；若已知坐标，可通过向量坐标成比例验证（如，，则）。 证明垂直：若要证线段，需证向量；若已知向量模长与夹角，可通过数量积定义验证；若已知坐标，直接计算坐标数量积（）。 高考与模拟题适配重点：新高考常结合“三角形中位线平行”“矩形邻边垂直”考查，如在中，、分别为、中点，证明；或已知平行四边形顶点坐标，证明其为矩形。 2. 计算长度、角度、面积 应用场景：题目要求计算几何图形的边长（如三角形边长）、内角（如菱形内角）、面积（如三角形、平行四边形面积），常关联向量模长、数量积或投影。 解题思路： 计算长度：将线段长度转化为向量模长，利用计算；若为复合向量（如），则先展开模长平方（），再代入已知条件开方。 计算角度：利用数量积与夹角的关系，先求对应向量的数量积及模长，代入，结合确定角度（如三角形内角、菱形邻角）。 计算面积：三角形面积（、为两边对应向量，为夹角），可通过（由数量积求）计算；平行四边形面积（叉积绝对值，坐标形式为）。 高考与模拟题适配重点：高频考查“三角形面积计算”（如已知，，求面积），或“菱形内角与面积关联”（如已知菱形边长及两邻边向量数量积，求面积）。 二、平面向量与函数、三角函数的综合应用 核心逻辑：将向量关系转化为函数表达式（如含参数的二次函数、三角函数），利用函数的单调性、最值、奇偶性等性质求解，体现向量的“工具性”与“代数性”结合。 1. 与函数结合求最值、参数范围 应用场景：题目给出向量的线性组合（如，为参数），或向量数量积含参数（如），要求求最值（如的最小值）或参数范围（如数量积大于0时的范围）。 解题思路： 步骤1：将向量表达式转化为函数形式——若涉及模长，先平方转化为数量积（如）；若涉及数量积，直接展开为关于参数的函数（如一次函数、二次函数）。 步骤2：分析函数类型求范围——若为二次函数，利用二次函数顶点式（，）求最值；若为一次函数，结合参数定义域（如）求范围；若含绝对值，利用绝对值不等式（）辅助求解。 高考与模拟题适配重点：常结合“向量线性插值”考查，如已知、为非零向量，，求的最小值；或已知，，求的最小值。 2. 与三角函数结合求解析式、最值 应用场景：题目中向量坐标含三角函数（如，），要求求数量积的三角函数解析式（如），或求三角函数的最值、周期、单调性。 解题思路： 步骤1：计算向量数量积，化简为三角函数表达式——利用数量积坐标公式展开（如），结合三角恒等变换（二倍角公式、和差公式）将表达式化为“”或“”的形式。 步骤2：利用三角函数性质求解——根据化简后的解析式，求最值（如的最大值为）、周期（）、单调区间（结合正弦/余弦函数的单调区间求解）。 高考与模拟题适配重点：新高考高频考点，如已知，，求的最小正周期与最大值；或结合三角形内角范围（）求单调区间。 【拓展：平面向量与三角形的“四心”】 【一：平面向量与三角形的“重心”】 【例题】1．（2025高三·全国·专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质即可判断. 【详解】由，得， 设边的中点为，则， 所以，因此三点共线， 所以点的轨迹一定通过的重心. 故选：C. 【针对训练】2．（2025高一·全国·专题练习）已知是的重心，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据三角形重心的性质得到和的表达式，然后通过向量的数量积运算，将展开并进行化简，最终求出结果. 【详解】是的重心，，， 又，，， . 故答案为：. 【二：平面向量与三角形的“内心”】 【例题】1．（2025高三·全国·专题练习）已知,,是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足，，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】本题可通过向量的线性运算，将的表达式进行变形，再根据向量共线的性质即可确定点的轨迹经过的特殊点. 【详解】设的中点为， 则， ∵， ∴， 而， ∴三点共线， 所以点的轨迹一定经过的重心， 故选：C. 【针对训练】2．（2025高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则 . 【答案】 【分析】根据为的内心，可以得到等式，由，，分别表示，，得到关于，，的等式，令两个等式相对应的系数相等即可. 【详解】插入分点，得， 即， 又，从而有，得， 所以， 故答案为：. 【三：平面向量与三角形的“外心”】 【例题】1．（2025高三·全国·专题练习）已知是的外心，若，则 ． 【答案】/ 【分析】由，分别与向量点积，即可得到从而求出的值. 【详解】由，又是的外心， 得即 从而有 所以，． 故答案为：. 【针对训练】2．（24-25高一下·安徽·阶段练习）在中，，点是外心，点是的中点，则为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可将向量数量积转化到向量上去，再代入数据即可计算得出结论. 【详解】因为点是外心，点是的中点， 所以，点是各边垂直平分线的交点， 则 . 故选：B. 【四：平面向量与三角形的“垂心”】 【例题】1.（23-24高一下·浙江·阶段练习）在等腰中，，若点M为的垂心，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】合理作图，建立平面直角坐标系，利用垂心的性质得到之间的关系，进而求出，再利用二倍角公式求出，最后求出即可. 【详解】 如图，在等腰中，找底边的中点， 作，，交点即为垂心， 以为原点建立平面直角坐标系， 设，，故，，， 故，，， 故， 设，故，则， 故， 又，故，而，则，解得， 故，故，解得，可得， 易得，，可得，可得，解得， 由三线合一性质得平分，故，而， 由二倍角公式得，故，故C正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是建立平面直角坐标系，然后表利用垂心的性质结合二倍角公式求出，最后得到即可． 【针对训练】2．（23-24高一下·广东汕尾·期末）在中，，点为的垂心，且满足，，则（    ） A． B．－1 C． D． 【答案】D 【分析】一方面：根据已知得出，另一方面：由三点共线的推论即可列式求解. 【详解】由题意可知是以A为顶角的等腰三角形， 如图所示：，，则， 在直角三角形中，，即. 设， 则， ， 所以，所以. 故选：D. 【解题策略】 一、与重心（G）相关的题型 核心向量性质：重心是三角形三条中线的交点，且分中线比为（顶点到重心:重心到对边中点），其向量本质特征为： 1. 对任意，； 2. 若为中点，则； 3. 坐标性质：若、、，则。 1. 常考题型：重心的向量线性表示与计算 应用场景：题目给出三角形顶点坐标或向量关系，要求用已知向量表示重心相关向量（如），或计算重心对应的向量数量积、模长。 解题思路： 线性表示：利用“重心分中线为”或（为中点），将重心向量转化为顶点向量的线性组合； 坐标计算：若已知顶点坐标，先求重心坐标，再将向量坐标化，代入数量积或模长公式计算。 高考与模拟题适配重点：新高考高频考查“线性表示与模长结合”，如2024年新高考Ⅱ卷模拟题：已知中，，，，，，求（为重心）；或已知、、，求。 2. 易错点提醒 混淆重心分中线的比例：需牢记“顶点到重心是份，重心到对边中点是份”，避免将误写为； 坐标计算遗漏平均：重心坐标是三个顶点坐标的算术平均，不可仅用两个顶点坐标计算。 二、与垂心（H）相关的题型 核心向量性质：垂心是三角形三条高线的交点，其向量本质特征为“高线对应的向量垂直”，即： 1. 对任意，、、（垂心与顶点的连线垂直于对边）； 2. 若为锐角三角形，垂心在三角形内部，且（拓展性质，需结合向量垂直推导）。 1. 常考题型：垂心的垂直关系（数量积为0）应用 应用场景：题目明确“为垂心”，要求证明向量垂直、计算参数值（如已知，求），或判断垂心位置。 解题思路： 证明垂直/求参数：利用“垂心性质”，将向量用已知向量表示后展开数量积，令其等于0，建立方程求解； 坐标法辅助：若已知三角形顶点坐标，先求两条高线的直线方程，联立得垂心坐标，再转化为向量运算。 高考与模拟题适配重点：高考常以“参数求解”形式考查，如2023年浙江卷真题：已知中，为垂心，，且，，求；或模拟题：已知为垂心，，，求。 2. 易错点提醒 忽略三角形形状：钝角三角形的垂心在外部，此时仍成立，但向量方向需结合图形判断，避免坐标符号错误； 误用拓展性质：仅适用于锐角三角形，钝角三角形需重新推导，不可直接套用。 三、与外心（O）相关的题型 核心向量性质：外心是三角形外接圆的圆心，即三边垂直平分线的交点，其向量本质特征为“外心到三个顶点的距离相等（均为外接圆半径）”，即： 1. 对任意，； 2. 对边中点与外心的连线垂直于对边，即（模长平方相等），且（为中点）。 1. 常考题型：外心的模长相等（）应用 应用场景：题目明确“为外心”，要求计算外接圆半径、向量数量积（如），或证明模长关系。 解题思路： 计算模长/数量积：利用“”，将数量积转化为，而（圆心角是圆周角的2倍），结合三角形内角关系求解； 模长平方相等：将展开为，即，体现垂直平分线性质。 高考与模拟题适配重点：高频考查“数量积与圆周角结合”，如2024年新高考Ⅰ卷模拟题：已知为外心，，，求；或真题：已知为外心，，，求。 2. 易错点提醒 圆心角与圆周角关系：仅当与在同侧时成立，异侧时为，需结合图形判断； 模长平方展开错误：，不可直接拆分为（虽结果相同，但推导需用平方差公式）。 四、与内心（I）相关的题型 核心向量性质：内心是三角形三条角平分线的交点，也是内切圆的圆心，其向量本质特征与“角平分线”“内切圆半径”相关，即： 1. 内心到三边距离相等（均为内切圆半径）； 2. 向量线性表示：若、、，则（核心公式，系数为对应边长）； 3. 单位向量结合：（、为、方向的单位向量）。 1. 常考题型：内心的向量线性表示与面积关联 应用场景：题目明确“为内心”，要求用边长表示内心向量（如）、计算内切圆半径，或结合面积公式求解。 解题思路： 线性表示：利用“”，将目标向量（如）用、表示，需结合、代换； 面积关联：三角形面积（为内切圆半径），可通过向量数量积求（），进而求。 高考与模拟题适配重点：模拟题常考“线性表示与边长结合”，如已知中，、、（直角三角形），为内心，求；或高考真题变形：已知为内心，，、、，求。 2. 易错点提醒 线性表示系数：“”中系数为“对边边长”（对应，即的对边），不可与“邻边边长”混淆； 单位向量方向：是方向的单位向量，需除以，避免遗漏模长计算。 五、通用解题策略（结合“四心”共性） 1. 定义优先：遇到“四心”问题，先回忆对应“心”的核心向量性质（如重心的、垂心的），以此为解题起点； 2. 坐标法兜底：若向量关系复杂，优先建立平面直角坐标系（如以中点为原点，为轴），将“四心”坐标求出（重心用平均坐标、垂心用高线联立、外心用垂直平分线联立、内心用角平分线公式），再转化为代数运算； 3. 数量积与模长联动：“四心”问题常涉及数量积（垂心）与模长（外心），需灵活运用与，将几何关系转化为向量运算； 4. 真题结论迁移：高考对“四心”的考查集中在“性质直接应用”（如重心的线性表示、垂心的数量积为0），较少涉及复杂推导，可直接迁移已总结的核心性质解题。 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·全国·模拟预测）已知向量．则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D．7 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，为CD的中点，若，则（   ） A．1 B． C． D．2 3．（2025·湖南永州·模拟预测）已知，求与在上的投影长度的比值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 5．（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知向量，满足，且，若，则（    ） A． B． C．2 D． 7．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 8．（2025·广东佛山·三模）如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（    ） A． B． C．8 D． 9．（2025·江西新余·模拟预测）已知非零向量满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·辽宁·三模）已知向量，向量在向量上的投影的数量为．若，则实数的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 11．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知，，在上的投影的数量为，则（   ） A．6 B． C． D． 二、多选题 12．（2025·河北保定·三模）已知平面向量．与的夹角为，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 三、填空题 13．（2024·上海·三模）已知向量、满足，，，则 ． 14．（24-25高一下·江苏泰州·期中）已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 ． 四、解答题 15．（2025·湖北·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，向量，. (1)求； (2)若.求的面积 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B A C B C A B A 题号 11 12 答案 C BC 1．A 【分析】由投影向量计算公式可得答案. 【详解】向量在向量上的投影向量是. 故选：A． 2．A 【分析】利用平行四边形的性质，将与用和表示出来，然后根据向量数量积的运算律进行展开，最后结合已知条件求解AB的长度. 【详解】用和表示与，在平行四边形中，. 因为为的中点，所以，又因为在平行四边形中，则. 那么，，，所以.   已知，，则. 可得：.   已知，，设， 则， 即，. 所以.   因为，即，得，则或. 因为AB为平行四边形的边，长度不为，所以舍去，故.   故选：A. 3．B 【分析】首先根据向量数量积公式求出，再根据向量投影公式求出在上的投影长度，最后求它们的比值． 【详解】因为． 所以． 所以向量在上的投影长度为， 故与在上的投影长度的比值为． 故选：B 4．A 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 5．C 【分析】根据已知向量，，利用向量减法求出和，再通过点积计算求出，通过模长计算求出和，利用向量夹角的余弦公式求解. 【详解】， . . . . . . 故选：C. 6．B 【分析】由，利用向量数量积的运算即可求解. 【详解】由题意有 ，解得， 故选：B. 7．C 【分析】设，从而得到，结合已知有，应用三角形面积公式得，最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值. 【详解】设，则， 所以，解得， ，则， ，当且仅当时，等号成立， 的最小值为． 故选：C 8．A 【分析】由，根据等面积可得，由及向量数量积几何意义求解即可. 【详解】由已知条件可知，，因此． 故． 故选：A 9．B 【分析】将已知条件平方，化简可得，利用该结论依次判断各个选项. 【详解】由于，则， 又由可得， 即，即， 对于选项，，故错误； 对于选项，由于，则，即， 所以，故正确； 对于选项，，故错误； 对于选项，，故错误． 故选：． 10．A 【分析】根据向量在向量上的投影及向量垂直，利用数量积运算及向量的模计算即可. 【详解】因为向量在向量上的投影的数量为， 所以，即， 又，所以， 又，所以， 所以，解得， 故选：A 11．C 【分析】根据投影数量求出数量积，故可求. 【详解】因为在上的投影的数量为，故，故， 故， 故选：C. 12．BC 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算逐项求解判断. 【详解】对于A，因为，即不存在实数使，所以与不共线，故A不正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以故C正确； 对于D，在上的投影向量为.故D不正确. 故选：BC. 13． 【分析】由，根据数量积的运算律即可求解. 【详解】由题意有， 解得，所以. 故答案为：. 14． 【分析】根据已知可得出.进而作图推得，点的轨迹为以为圆心的圆.过点，作，垂足为，交圆于点，结合图象分析即可得出即为的最小值.根据已知条件计算即可得出答案. 【详解】由已知可得，所以. 设，，，，，， 则，，， 所以有，，则， 所以点的轨迹为以为圆心的圆. 过点，作，垂足为，交圆于点， 根据图象可得出即为的最小值. 在中，有，， 所以有. 又，所以. 故答案为：. 15．(1) (2). 【分析】（1）根据数量积的坐标表示可得，利用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和定理、和差公式及辅助角公式即可求解； （2）利用向量的线性运算可得，结合题意由、向量数量积及面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以， 所以， ，即， 又，故，即. （2），所以， ， , 又,即, , 或（舍）, 故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2026年高三数学一轮复习常考题型归纳 【第28讲：平面向量的数量积及平面向量的应用】 【新高考课标要求】 1. 理解数量积的含义与物理意义：明确平面向量数量积是两个非零向量的模与它们夹角余弦值的乘积，即，并了解其在物理等领域中的应用背景。 2. 了解数量积与投影向量的关系：知道向量在向量上的投影向量与数量积之间的联系，理解数量积可以表示为一个向量的模与另一个向量在其方向上投影向量长度的乘积。 3. 掌握数量积的坐标运算：掌握数量积的坐标表达式（设，），能熟练运用该公式进行平面向量数量积的运算。 4. 运用数量积解决向量夹角与垂直问题：能运用数量积公式表示两个向量的夹角，会通过判断两个平面向量的垂直关系，即若，，则。 5. 用向量方法解决平面几何问题：会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题，如利用向量判断线段的平行、垂直关系，计算线段长度、角度等，将几何问题转化为向量运算问题。 6. 用向量方法解决实际问题：能够运用向量知识解决简单的力学问题与其他一些实际问题，例如力的合成与分解、物体的运动状态分析等，体现向量的工具性作用。 【知识梳理】 平面向量的数量积 定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积，记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为。 几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积，也等于的长度与在方向上的投影的乘积。 性质：设、为非零向量，是单位向量，为与的夹角，则有；；当与同向时，，当与反向时，，且；，当且仅当与共线时等号成立；。 运算律：交换律；数乘结合律；分配律。注意数量积不满足结合律，即 ，这是因为是一个与共线的向量，是一个与共线的向量，而与不一定共线 。 坐标运算：已知非零向量，，则，且，，。 常用结论 1. 与单位向量相关：单位向量有无数个，它们大小都为，但方向不一定相同；与向量平行的单位向量有两个，即向量和 。 2. 极化恒等式： 平行四边形形式：若在平行四边形中，，，则 ，也等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的。 三角形形式：在中，为的中点，，，则 。 3. 向量模长的常用处理方式： 公式法：利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算。 坐标法：若，则 。 4. 向量夹角相关结论：设，为非零向量，其夹角为。 数量积大于说明不共线的两向量的夹角为锐角（当与共线同向时，数量积也大于 ）；数量积等于说明不共线的两向量的夹角为直角；数量积小于说明不共线的两向量的夹角为钝角（当与共线反向时，数量积也小于 ）。 若，，则 。 5. 向量垂直的充要条件：对于非零向量，， ，若用坐标表示，当，时， 。但要注意数量积的运算是对非零向量而言的，若，虽然有，但不能说 。 6. 向量数量积与向量投影：向量在向量方向上的投影向量为 ，投影数量为 ，当为锐角时，投影数量是正数；当为钝角时，投影数量是负数；当为直角时，投影数量是 。 微点提醒 1. 向量夹角范围：向量夹角的范围是，特别注意当两向量共线同向时，夹角；共线反向时，夹角 。在利用向量夹角相关结论解题时，需准确判断夹角的情况。 2. 数量积运算注意事项： 进行数量积运算时，要注意向量夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补，避免出现错误。例如在三角形中，两向量的夹角可能与三角形内角并不直接相等。 数量积运算不满足消去律，即由不能必然推出 。这是因为，此时有可能 。 等式两边不能随意约去一个向量，即若向量、、满足，则不一定有 。 3. 解决几何图形中向量问题：解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算。通常先建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系；最后把运算结果“翻译”成几何关系 。 4. 向量在物理中的应用注意：在将向量知识应用于物理问题（如力的合成与分解、速度的合成与分解等）时，要准确分析物理情境，明确各向量之间的关系，注意向量的方向与物理量方向的对应，以及大小的对应关系。 平面向量的应用 平面几何中的应用：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来。用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”为： 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题。 把运算结果“翻译”成几何关系。 物理中的应用：速度、力是向量，都可以转化为向量问题，力的合成与分解符合平行四边形法则。例如，两个人共提一个行李包，可通过向量运算分析拉力与夹角的关系；物体在多个力作用下的运动，可利用向量求合力等。 【课前自测】【真题感悟】 一、单选题 1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 二、填空题 6．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 7．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ． 8．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点一：平面向量的数量积计算】 【例题】1．（2025·天津红桥·模拟预测）已知，，与夹角的大小为，则（    ） A．3 B． C． D． 2．（2025·广西柳州·模拟预测）已知与的夹角，则 . 【针对训练】3．（2025·湖北·模拟预测）已知是边长为1的正三角形，点在上且，是上一点且，则（    ） A． B． C． D．1 4．（2025·河北·模拟预测）若，，，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 5．（2025·甘肃金昌·三模）设为坐标原点，圆与轴相切于点，直线交圆于两点，其中点在第二象限，则（    ）. A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心解题方法与适用场景 1. 定义法 适用条件：已知两向量模长（或可通过几何关系推导模长）、两向量夹角（或可通过图形特征确定夹角），直接关联数量积与“模长×夹角余弦值”的核心关系。 核心逻辑：先明确向量模长与夹角（注意夹角范围为），再代入公式计算，无需额外转化，适用于条件直接的基础计算场景。 2. 坐标法 适用条件：题目涉及几何图形（如矩形、直角三角形、含坐标点的图形），或可通过构造直角坐标系（如以直角顶点、对称中心为原点）将向量转化为坐标形式。 核心逻辑：通过建系将向量坐标化，利用坐标公式（，）计算，将几何问题转化为代数运算，适用范围最广，尤其适合复杂图形场景。 3. 极化恒等式法 适用条件：题目含“中点”“中线”元素，或涉及平行四边形、三角形的对称结构，需规避复杂模长与夹角推导，快速关联向量数量积与线段长度。 核心逻辑：利用图形对称性，选择对应公式简化计算——三角形中（为中点）用，平行四边形中用，直接通过线段长度求数量积。 4. 转化法 适用条件：题目给出多向量线性关系（如），或含向量垂直、共线等特殊关系，需通过运算律化简后计算。 核心逻辑：利用数量积运算律展开化简——通过分配律拆解复合向量，结合“自身数量积等于模长平方”（）、“垂直向量数量积为0”（）等性质，将未知数量积转化为已知条件可代入的形式。 二、高考高频易错点规避 1. 夹角判断误区：向量夹角需满足“起点重合”，不可直接等同于几何图形内角，若向量方向相反（如与），需取内角补角计算，避免角度符号错误。 2. 零向量遗漏：未明确“非零向量”时，需考虑或的情况（此时），防止漏解；同时注意数量积为0时，向量可能垂直或含零向量，不可直接判定垂直。 3. 建系规范问题：构造坐标系时，优先选择直角顶点、对称点为原点，确保坐标轴与图形边平行/垂直，避免坐标计算中因建系不规范导致的数值偏差；无直角时可通过“作高”构造直角条件。 三、通用解题步骤（四步流程） 1. 条件分析：快速识别题目关键信息——是否有模长/夹角（匹配定义法）、是否含可建系图形（匹配坐标法）、是否有中点/对称结构（匹配极化恒等式）、是否有线性关系（匹配转化法）。 2. 方法选择：优先用坐标法（适配多数场景），再根据条件特征灵活切换——基础条件用定义法，中点/对称场景用极化恒等式，线性关系用转化法，避免方法冗余。 3. 计算执行：代入对应公式时，重点关注符号细节（如钝角的为负、第三象限坐标的正负性），展开运算律时确保分配完整，不遗漏项或符号错误。 4. 结果验证：结合数量积几何意义验证——正数说明夹角为锐角或同向，负数说明钝角或反向，零说明垂直或含零向量，通过逻辑判断排除计算失误。 【考点二：向量数量积的性质及其应用】 【角度1：夹角和垂直】 【例题】1．（2025·甘肃白银·二模）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·海南海口·模拟预测）已知向量，的模长相等，与的夹角为，若，则与的夹角为 ． 【针对训练】1．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知非零向量与不共线，且满足，与的夹角为，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南·模拟预测）已知非零向量，满足与夹角的余弦值为，若，则实数（  ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃金昌·三模）已知向量，其中，为单位向量，且，则 . 【角度2：平面向量的模】 【例题】1．（2025·广西·模拟预测）已知向量，满足，，且，则 ． 2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，是单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．1 【针对训练】1．（2025·河北·模拟预测）若平面向量，，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【多选题】2．（2025·陕西宝鸡·二模）已知向量，则下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角是，则 D．若与的方向相反，则在上的投影向量坐标是 3．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知满足，若在方向上的投影向量为，则 ． 【解题策略】 一、向量数量积的核心性质梳理 1. 与模长相关的性质：对任意向量，（即）；对任意两向量，，（当且仅当与共线时等号成立）。 2. 与夹角相关的性质：设，为非零向量，夹角为（），则；且（与同向时），（），（与反向时）。 3. 与投影相关的性质：向量在方向上的投影数量为，投影向量为；数量积等于与在方向上投影数量的乘积，或与在方向上投影数量的乘积。 4. 与特殊向量相关的性质：若为单位向量，则（为与的夹角）；零向量与任意向量的数量积为，即。 二、各性质的应用思路（结合高考与模拟题场景） 1. 与模长相关性质的应用：求向量模长、最值 应用场景：题目要求计算向量模长（如），或求与模长相关的最值（如的最小值），常结合向量线性关系或已知数量积条件。 解题思路： 求模长：利用，将所求模长平方后转化为数量积运算，即。若为复合向量（如），则展开为，代入已知条件计算后开方。 求最值：将模长表达式转化为关于某一变量（如向量夹角、参数）的函数，结合确定取值范围，进而求最值。 高考与模拟题适配重点：新高考中常结合“向量线性组合”考查，如已知，，，求；或结合三角函数求最值，如已知，夹角为，求的最大值。 2. 与夹角相关性质的应用：判断夹角类型、求夹角大小 应用场景：题目要求判断两向量夹角是锐角、直角还是钝角，或直接计算两向量夹角的余弦值、角度，常给出向量坐标或模长与数量积条件。 解题思路： 判断夹角类型：先排除零向量情况（若未明确非零，需先说明），再根据的符号判断——且与不共线（避免同向时误判为锐角），则夹角为锐角；，则夹角为直角；且与不共线（避免反向时误判为钝角），则夹角为钝角。 求夹角大小：先确定，为非零向量，计算，与，代入，结合确定角度（特殊角直接对应，非特殊角保留余弦值或用反三角函数表示）。 高考与模拟题适配重点：高频考查“坐标型向量夹角计算”（如已知，，求夹角），或“结合几何图形判断夹角”（如在三角形中，判断与的夹角类型）。 3. 与投影相关性质的应用：求投影数量、关联几何长度 应用场景：题目要求计算某向量在另一向量方向上的投影数量，或利用投影与数量积的关系求几何图形中的线段长度（如三角形的高），常出现在几何背景题中。 解题思路： 求投影数量：明确投影方向（如在方向上的投影），直接代入公式，若已知向量坐标，可先计算数量积与再求解。 关联几何长度：将几何中的“线段投影长度”转化为向量投影，如三角形中，边上的高可表示为在方向上投影数量的绝对值，结合面积公式关联计算。 高考与模拟题适配重点：模拟题中常结合“三角形高、平行四边形高”考查，高考题中偶见与“物理做功”结合（功是力与位移的数量积，本质是力在位移方向上的投影与位移大小的乘积）。 4. 与特殊向量相关性质的应用：单位向量运算、零向量特殊处理 应用场景：题目涉及单位向量（如求与某向量平行的单位向量），或需利用零向量数量积为的性质解题（如已知，判断与的关系）。 解题思路： 单位向量运算：与平行的单位向量为（），计算时先求，再分同向、反向两种情况；涉及单位向量数量积时，利用简化运算。 零向量处理：若题目未明确“非零向量”，需考虑或的情况（此时）；若已知，变形为，需分或两种情况讨论，避免漏解。 高考与模拟题适配重点：常以“多选题选项”形式考查，如判断“与平行的单位向量有两个”“若，则”等表述的正误。 三、应用中的核心注意事项 1. 符号把控：计算数量积、投影数量时，需关注向量夹角的余弦值符号（钝角为负、锐角为正），以及向量坐标的正负（如第三象限向量坐标均为负，数量积可能为正），避免符号错误导致结果偏差。 2. 共线排除：判断锐角、钝角时，必须排除两向量共线的情况（同向时，反向时），否则会将“同向”误判为锐角、“反向”误判为钝角。 3. 几何关联：结合几何图形应用时，需先将几何元素（如边、角）转化为向量，明确向量的起点、方向（如与方向相反，数量积为负），再关联对应性质解题，避免几何关系与向量关系混淆。 四、通用解题流程 1. 性质匹配：分析题目条件（模长、数量积、坐标、几何图形），确定适配的数量积性质（如求模长匹配“模长相关性质”，求夹角匹配“夹角相关性质”）； 2. 条件转化：将已知条件转化为性质所需的关键量（如求夹角需转化出，，），若为几何题，先建立向量与几何元素的对应关系； 3. 代入运算：根据性质公式代入计算，注意符号、共线等特殊情况的处理； 4. 结果验证：结合性质的几何意义或代数逻辑验证结果（如夹角余弦值绝对值不超过1，模长为非负数），排除错误。 【考点3：平面向量的综合应用】 【例题】1．（2025·广西·模拟预测）已知向量，，设函数． (1)化简并写出的最小正周期； (2)在中，角对的边分别为，若，，的面积为，是线段的中点，求的值． 2．（2025·宁夏中卫·三模）已知，，. (1)求函数单调递增区间； (2)设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若且.求面积的最大值. 【针对训练】1．（2025·天津·二模）在中，点D在边BC上，且，E为线段AD的中点.已知，，则 （用，表示）；若，，且，则 . 2．（2025·天津·一模）如图，在平行四边形中，，点E为中点，，点F为边上的点．若点F满足，且，则 ；若点F为线段上的动点，则的取值范围为 ．    3．（24-25高一下·天津西青·期中）在中，，，，分别为边 ，的中点，若点在线段上，且，，则 .若，点为线段上的动点，则的最小值为 . 【解题策略】 一、平面向量在平面几何中的综合应用 核心逻辑：利用向量的线性运算与数量积，将平面几何中的“位置关系”（平行、垂直）和“数量关系”（长度、角度、面积）转化为向量运算，实现几何问题代数化求解。 1. 证明平行、垂直关系 应用场景：题目要求证明线段平行（如梯形两腰平行）、线段垂直（如三角形高线），或证明特殊图形（如矩形、菱形），常给出几何图形的边长、内角或顶点坐标。 解题思路： 证明平行：若要证线段，需证向量与共线，即存在实数，使得（非零向量）；若已知坐标，可通过向量坐标成比例验证（如，，则）。 证明垂直：若要证线段，需证向量；若已知向量模长与夹角，可通过数量积定义验证；若已知坐标，直接计算坐标数量积（）。 高考与模拟题适配重点：新高考常结合“三角形中位线平行”“矩形邻边垂直”考查，如在中，、分别为、中点，证明；或已知平行四边形顶点坐标，证明其为矩形。 2. 计算长度、角度、面积 应用场景：题目要求计算几何图形的边长（如三角形边长）、内角（如菱形内角）、面积（如三角形、平行四边形面积），常关联向量模长、数量积或投影。 解题思路： 计算长度：将线段长度转化为向量模长，利用计算；若为复合向量（如），则先展开模长平方（），再代入已知条件开方。 计算角度：利用数量积与夹角的关系，先求对应向量的数量积及模长，代入，结合确定角度（如三角形内角、菱形邻角）。 计算面积：三角形面积（、为两边对应向量，为夹角），可通过（由数量积求）计算；平行四边形面积（叉积绝对值，坐标形式为）。 高考与模拟题适配重点：高频考查“三角形面积计算”（如已知，，求面积），或“菱形内角与面积关联”（如已知菱形边长及两邻边向量数量积，求面积）。 二、平面向量与函数、三角函数的综合应用 核心逻辑：将向量关系转化为函数表达式（如含参数的二次函数、三角函数），利用函数的单调性、最值、奇偶性等性质求解，体现向量的“工具性”与“代数性”结合。 1. 与函数结合求最值、参数范围 应用场景：题目给出向量的线性组合（如，为参数），或向量数量积含参数（如），要求求最值（如的最小值）或参数范围（如数量积大于0时的范围）。 解题思路： 步骤1：将向量表达式转化为函数形式——若涉及模长，先平方转化为数量积（如）；若涉及数量积，直接展开为关于参数的函数（如一次函数、二次函数）。 步骤2：分析函数类型求范围——若为二次函数，利用二次函数顶点式（，）求最值；若为一次函数，结合参数定义域（如）求范围；若含绝对值，利用绝对值不等式（）辅助求解。 高考与模拟题适配重点：常结合“向量线性插值”考查，如已知、为非零向量，，求的最小值；或已知，，求的最小值。 2. 与三角函数结合求解析式、最值 应用场景：题目中向量坐标含三角函数（如，），要求求数量积的三角函数解析式（如），或求三角函数的最值、周期、单调性。 解题思路： 步骤1：计算向量数量积，化简为三角函数表达式——利用数量积坐标公式展开（如），结合三角恒等变换（二倍角公式、和差公式）将表达式化为“”或“”的形式。 步骤2：利用三角函数性质求解——根据化简后的解析式，求最值（如的最大值为）、周期（）、单调区间（结合正弦/余弦函数的单调区间求解）。 高考与模拟题适配重点：新高考高频考点，如已知，，求的最小正周期与最大值；或结合三角形内角范围（）求单调区间。 【拓展：平面向量与三角形的“四心”】 【一：平面向量与三角形的“重心”】 【例题】1．（2025高三·全国·专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【针对训练】2．（2025高一·全国·专题练习）已知是的重心，，，，则 ． 【二：平面向量与三角形的“内心”】 【例题】1．（2025高三·全国·专题练习）已知,,是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足，，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【针对训练】2．（2025高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则 . 【三：平面向量与三角形的“外心”】 【例题】1．（2025高三·全国·专题练习）已知是的外心，若，则 ． 【针对训练】2．（24-25高一下·安徽·阶段练习）在中，，点是外心，点是的中点，则为（    ） A．4 B． C． D． 【四：平面向量与三角形的“垂心”】 【例题】1.（23-24高一下·浙江·阶段练习）在等腰中，，若点M为的垂心，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】2．（23-24高一下·广东汕尾·期末）在中，，点为的垂心，且满足，，则（    ） A． B．－1 C． D． 【解题策略】 一、与重心（G）相关的题型 核心向量性质：重心是三角形三条中线的交点，且分中线比为（顶点到重心:重心到对边中点），其向量本质特征为： 1. 对任意，； 2. 若为中点，则； 3. 坐标性质：若、、，则。 1. 常考题型：重心的向量线性表示与计算 应用场景：题目给出三角形顶点坐标或向量关系，要求用已知向量表示重心相关向量（如），或计算重心对应的向量数量积、模长。 解题思路： 线性表示：利用“重心分中线为”或（为中点），将重心向量转化为顶点向量的线性组合； 坐标计算：若已知顶点坐标，先求重心坐标，再将向量坐标化，代入数量积或模长公式计算。 高考与模拟题适配重点：新高考高频考查“线性表示与模长结合”，如2024年新高考Ⅱ卷模拟题：已知中，，，，，，求（为重心）；或已知、、，求。 2. 易错点提醒 混淆重心分中线的比例：需牢记“顶点到重心是份，重心到对边中点是份”，避免将误写为； 坐标计算遗漏平均：重心坐标是三个顶点坐标的算术平均，不可仅用两个顶点坐标计算。 二、与垂心（H）相关的题型 核心向量性质：垂心是三角形三条高线的交点，其向量本质特征为“高线对应的向量垂直”，即： 1. 对任意，、、（垂心与顶点的连线垂直于对边）； 2. 若为锐角三角形，垂心在三角形内部，且（拓展性质，需结合向量垂直推导）。 1. 常考题型：垂心的垂直关系（数量积为0）应用 应用场景：题目明确“为垂心”，要求证明向量垂直、计算参数值（如已知，求），或判断垂心位置。 解题思路： 证明垂直/求参数：利用“垂心性质”，将向量用已知向量表示后展开数量积，令其等于0，建立方程求解； 坐标法辅助：若已知三角形顶点坐标，先求两条高线的直线方程，联立得垂心坐标，再转化为向量运算。 高考与模拟题适配重点：高考常以“参数求解”形式考查，如2023年浙江卷真题：已知中，为垂心，，且，，求；或模拟题：已知为垂心，，，求。 2. 易错点提醒 忽略三角形形状：钝角三角形的垂心在外部，此时仍成立，但向量方向需结合图形判断，避免坐标符号错误； 误用拓展性质：仅适用于锐角三角形，钝角三角形需重新推导，不可直接套用。 三、与外心（O）相关的题型 核心向量性质：外心是三角形外接圆的圆心，即三边垂直平分线的交点，其向量本质特征为“外心到三个顶点的距离相等（均为外接圆半径）”，即： 1. 对任意，； 2. 对边中点与外心的连线垂直于对边，即（模长平方相等），且（为中点）。 1. 常考题型：外心的模长相等（）应用 应用场景：题目明确“为外心”，要求计算外接圆半径、向量数量积（如），或证明模长关系。 解题思路： 计算模长/数量积：利用“”，将数量积转化为，而（圆心角是圆周角的2倍），结合三角形内角关系求解； 模长平方相等：将展开为，即，体现垂直平分线性质。 高考与模拟题适配重点：高频考查“数量积与圆周角结合”，如2024年新高考Ⅰ卷模拟题：已知为外心，，，求；或真题：已知为外心，，，求。 2. 易错点提醒 圆心角与圆周角关系：仅当与在同侧时成立，异侧时为，需结合图形判断； 模长平方展开错误：，不可直接拆分为（虽结果相同，但推导需用平方差公式）。 四、与内心（I）相关的题型 核心向量性质：内心是三角形三条角平分线的交点，也是内切圆的圆心，其向量本质特征与“角平分线”“内切圆半径”相关，即： 1. 内心到三边距离相等（均为内切圆半径）； 2. 向量线性表示：若、、，则（核心公式，系数为对应边长）； 3. 单位向量结合：（、为、方向的单位向量）。 1. 常考题型：内心的向量线性表示与面积关联 应用场景：题目明确“为内心”，要求用边长表示内心向量（如）、计算内切圆半径，或结合面积公式求解。 解题思路： 线性表示：利用“”，将目标向量（如）用、表示，需结合、代换； 面积关联：三角形面积（为内切圆半径），可通过向量数量积求（），进而求。 高考与模拟题适配重点：模拟题常考“线性表示与边长结合”，如已知中，、、（直角三角形），为内心，求；或高考真题变形：已知为内心，，、、，求。 2. 易错点提醒 线性表示系数：“”中系数为“对边边长”（对应，即的对边），不可与“邻边边长”混淆； 单位向量方向：是方向的单位向量，需除以，避免遗漏模长计算。 五、通用解题策略（结合“四心”共性） 1. 定义优先：遇到“四心”问题，先回忆对应“心”的核心向量性质（如重心的、垂心的），以此为解题起点； 2. 坐标法兜底：若向量关系复杂，优先建立平面直角坐标系（如以中点为原点，为轴），将“四心”坐标求出（重心用平均坐标、垂心用高线联立、外心用垂直平分线联立、内心用角平分线公式），再转化为代数运算； 3. 数量积与模长联动：“四心”问题常涉及数量积（垂心）与模长（外心），需灵活运用与，将几何关系转化为向量运算； 4. 真题结论迁移：高考对“四心”的考查集中在“性质直接应用”（如重心的线性表示、垂心的数量积为0），较少涉及复杂推导，可直接迁移已总结的核心性质解题。 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·全国·模拟预测）已知向量．则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D．7 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，为CD的中点，若，则（   ） A．1 B． C． D．2 3．（2025·湖南永州·模拟预测）已知，求与在上的投影长度的比值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 5．（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知向量，满足，且，若，则（    ） A． B． C．2 D． 7．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 8．（2025·广东佛山·三模）如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（    ） A． B． C．8 D． 9．（2025·江西新余·模拟预测）已知非零向量满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·辽宁·三模）已知向量，向量在向量上的投影的数量为．若，则实数的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 11．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知，，在上的投影的数量为，则（   ） A．6 B． C． D． 二、多选题 12．（2025·河北保定·三模）已知平面向量．与的夹角为，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 三、填空题 13．（2024·上海·三模）已知向量、满足，，，则 ． 14．（24-25高一下·江苏泰州·期中）已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 ． 四、解答题 15．（2025·湖北·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，向量，. (1)求； (2)若.求的面积 1 学科网（北京）股份有限公司 $$