第十四章 全等三角形（知识清单）数学人教版2024八年级上册

第十四章 全等三角形 【知识点01】全等图形 （一）全等图形概念：能 的图形叫做全等图形. （二）特征：（1） ；（2） ；（3） 、 。 【知识点02】全等三角形及其性质 （一）全等三角形概念：两个能 叫做全等三角形. （二）全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边 ，对应角 。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线 。（3）全等三角形的周长相等，面积 。 【知识点03】全等三角形的判定 （一）判定定理 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“ ”或“SSS"（基本事实）； （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“ ”或“SAS’（基本事实）； （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“ ”或“ASA'’（基本事实）； （4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“ ”或“AAS"； （5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“ ”或“HL”。 【知识点04】角的平分线的性质 1．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离 ． 2．角的平分线的判定 （1）内容：角的内部到角的 在角的平分线上． （2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 易错点1 三角形全等中动点多结论问题 易错点总结 1.忽略动点位置变化：未考虑动点在不同阶段形成的三角形形状差异，直接套用全等判定，导致漏解或错解。 2.条件关联错误：误将动态过程中暂时成立的等量关系当作恒定条件，忽略时间范围、线段长度限制等隐含约束。 注意事项 1.分阶段分析：按动点运动轨迹划分区间，明确各阶段图形构成，逐一验证全等条件。 2.强化临界值意识：关注动点与顶点、线段端点重合等临界位置，标注时间或长度的有效范围。 例题：如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是（    ）    A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④ 易错点2 利用三角形全等求解动点边、角问题 易错点总结 1.动态边角对应混淆：未明确动点移动时边角对应关系，误用“SSA”等不成立的判定，导致全等误判。 2.忽略运动限制：未考虑动点运动的时间、范围边界，遗漏特殊位置（如端点重合）的边角情况。 注意事项 1.固定对应关系：通过标记顶点字母或用变量表示边长，确保全等判定中边角对应准确。 2.明确运动边界：计算动点到达关键位置的时间或距离，限定有效范围，避免超界错误。 例题：如图，在中，，是线段上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．当时，的度数为 ． 易错点3 利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题 易错点总结 1.分类标准混乱：未按动点位置或全等判定条件分层分类，导致重复讨论或遗漏情况。 2.忽视分类前提：在不同分类中混用条件，如未保证对应顶点一致就套用全等结论。 注意事项 1. 明确分类依据：按动点所在线段、对应边/角关系等单一标准分类，确保逻辑清晰。 2. 验证分类独立性：每类需单独验证全等条件，标注适用范围，避免跨类混淆。 例题：如图，在长方形中，，，延长到点E，使．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿方向向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为 ． 易错点4 利用三角形全等求证线段之间的关系问题 易错点总结 1.全等目标不明：未明确需证线段所属三角形，盲目构造全等，导致线段关联断裂。 2.转化逻辑混乱：通过全等得到边角关系后，无法正确转化为目标线段间的和差、相等关系。 注意事项 1.锁定关联三角形：分析待证线段位置，确定需构造或证明全等的三角形，明确对应顶点。 2.分步转化关系：先通过全等得等量边角，再结合图形性质（如中点、和差）推导线段关系，每步标注依据。 例题：【问题背景】如图1，在中，已知，，是的高，，，过点的直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为秒． 【思考尝试】 （Ⅰ）请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________． （Ⅱ）当为多少时，的面积为？ 【深入探究】 （Ⅲ）如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由：此时的值为多少？ （Ⅳ）请利用备用图探究，当点在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由． 易错点5 利用三角形全等求证角之间的关系问题 易错点总结 1.角的对应错位：未明确全等三角形中角的对应关系，误将非对应角当作等角，导致结论错误。 2.忽略角的和差转化：得到全等角后，未结合图形中角的和差、邻补角等关系推导目标角关系。 注意事项 1.标注对应角：用符号或字母明确全等三角形的对应角，避免混淆位置不同的角。 2.结合图形性质：通过全等得等角后，利用角平分线、对顶角等性质，分步推导角的和、差、倍、分关系。 例题：在中，，，点D为上一动点．    (1)如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足，．求证：； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)由（1）我们知道，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作于F，连接AF．那么的度数是否发生变化？请证明你的结论． 一、单选题 1．如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④若在线段上有一动点，使得，则；其中正确的序号是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①②④ 2．如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（    ）秒时，与全等． A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12 二、填空题 3．如图，在中，为中点，为边上的动点，连接，交的延长线于点，若，则的值是 ．    4．如图，已知点B是边上的动点（不与A、C重合），在的同侧作等边和等边，连接交于点H，交于G，交于F，连接，则当最小时， ． 三、解答题 5．如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？ 6．如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等； (4)若，求． 7．如图，在中，，，为上一动点，连接，，垂足为．过点作于点． (1)如图1，连接，试说明． (2)如图2，连接，交于点，与全等吗？请说明理由． (3)在（2）的条件下，若的面积为2，求的面积． 8．已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点，重合），以为边作，，．连接． (1)发现问题：如图1，当点在边上时， ①请写出和之间的数量关系式为_____，位置关系为_____； ②求证：； (2)尝试探究：如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时， ①中，，之间的数量关系式为_____． ②并进行证明． 9．如图所示，直线交轴于点，交轴于点满足． (1)求点、的坐标； (2)如图1，若的坐标为，且于点交于点． ①求证：． ②试求点的坐标． (3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 10．【问题情境】如图，在平面直角坐标系中，点，且，连接，，点P、点Q是x轴上的动点，且．连接，过O点作于点E，交直线于点D，连接，试问在运动过程中，与是否存在某种特定的数量关系． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)【深入探究】如图1，当点P、点Q在线段上，且P点在Q点的左侧时． ①求证：； ②试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】当点P在B点右侧，点Q在x轴负半轴上运动时，若，用表示______（不需证明） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 全等三角形 【知识点01】全等图形 （一）全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形. （二）特征：（1）形状相同；（2）大小相等；（3）对应边相等、对应角相等。 【知识点02】全等三角形及其性质 （一）全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. （二）全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 【知识点03】全等三角形的判定 （一）判定定理 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； （4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； （5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 【知识点04】角的平分线的性质 1．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2．角的平分线的判定 （1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 易错点1 三角形全等中动点多结论问题 易错点总结 1.忽略动点位置变化：未考虑动点在不同阶段形成的三角形形状差异，直接套用全等判定，导致漏解或错解。 2.条件关联错误：误将动态过程中暂时成立的等量关系当作恒定条件，忽略时间范围、线段长度限制等隐含约束。 注意事项 1.分阶段分析：按动点运动轨迹划分区间，明确各阶段图形构成，逐一验证全等条件。 2.强化临界值意识：关注动点与顶点、线段端点重合等临界位置，标注时间或长度的有效范围。 例题：如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是（    ）    A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积、全等三角形综合问题 【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长至，使，易证得，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可对③进行判断；由，，，易证得，可得，即可对④进行判断． 【详解】解：∵是中线， ∴ ∴与的面积相等，故①正确， 延长至，使，如图    ∵，， ∴， ∴ 则在中， ∴，故②正确， 点是线段AD上的一个动点（点不与点，重合），连接，，如图，    ∵ ∴ 又∵与的面积相等 ∴的面积和的面积相等，故③不正确， 点，是，所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，如图，    由，，， ∴， ∴ ∴ 故④正确， 故选：B． 易错点2 利用三角形全等求解动点边、角问题 易错点总结 1.动态边角对应混淆：未明确动点移动时边角对应关系，误用“SSA”等不成立的判定，导致全等误判。 2.忽略运动限制：未考虑动点运动的时间、范围边界，遗漏特殊位置（如端点重合）的边角情况。 注意事项 1.固定对应关系：通过标记顶点字母或用变量表示边长，确保全等判定中边角对应准确。 2.明确运动边界：计算动点到达关键位置的时间或距离，限定有效范围，避免超界错误。 例题：如图，在中，，是线段上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．当时，的度数为 ． 【答案】/90度 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 由，证明，再证明 ，得，即可解决问题． 【详解】解∶ ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即的度数为． 故答案为： 易错点3 利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题 易错点总结 1.分类标准混乱：未按动点位置或全等判定条件分层分类，导致重复讨论或遗漏情况。 2.忽视分类前提：在不同分类中混用条件，如未保证对应顶点一致就套用全等结论。 注意事项 1. 明确分类依据：按动点所在线段、对应边/角关系等单一标准分类，确保逻辑清晰。 2. 验证分类独立性：每类需单独验证全等条件，标注适用范围，避免跨类混淆。 例题：如图，在长方形中，，，延长到点E，使．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿方向向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为 ． 【答案】1或7 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 分和两种情况分别根据全等三角形的判定定理以及行程问题解答即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∴，， 若，则当时， 根据可得， ∴，解得； 若，则当时， 根据可得， ∴，解得：． 综上，当和全等时，t的值为1或7． 故答案为：1或7． 易错点4 利用三角形全等求证线段之间的关系问题 易错点总结 1.全等目标不明：未明确需证线段所属三角形，盲目构造全等，导致线段关联断裂。 2.转化逻辑混乱：通过全等得到边角关系后，无法正确转化为目标线段间的和差、相等关系。 注意事项 1.锁定关联三角形：分析待证线段位置，确定需构造或证明全等的三角形，明确对应顶点。 2.分步转化关系：先通过全等得等量边角，再结合图形性质（如中点、和差）推导线段关系，每步标注依据。 例题：【问题背景】如图1，在中，已知，，是的高，，，过点的直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为秒． 【思考尝试】 （Ⅰ）请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________． （Ⅱ）当为多少时，的面积为？ 【深入探究】 （Ⅲ）如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由：此时的值为多少？ （Ⅳ）请利用备用图探究，当点在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）， （Ⅳ） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、几何问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （Ⅰ）根据题意列代数式即可； （Ⅱ）分点在线段上，点在延长线上两种情况计算即可； （Ⅲ）由得到，根据得到，再根据得到，得出，即可得到； （Ⅳ）证明，即可得到． 【详解】解：（Ⅰ）由题意得， ，， 故答案为：； （Ⅱ）由题意得，当点在线段上时，， ， ， ， ； 当点在延长线上时， ， ， ； 当为或时，的面积为； （Ⅲ），， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （Ⅳ），理由如下， 如图，， ， ， , ，， ， ， ， ， ． 易错点5 利用三角形全等求证角之间的关系问题 易错点总结 1.角的对应错位：未明确全等三角形中角的对应关系，误将非对应角当作等角，导致结论错误。 2.忽略角的和差转化：得到全等角后，未结合图形中角的和差、邻补角等关系推导目标角关系。 注意事项 1.标注对应角：用符号或字母明确全等三角形的对应角，避免混淆位置不同的角。 2.结合图形性质：通过全等得等角后，利用角平分线、对顶角等性质，分步推导角的和、差、倍、分关系。 例题：在中，，，点D为上一动点．    (1)如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足，．求证：； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)由（1）我们知道，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作于F，连接AF．那么的度数是否发生变化？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，不变化，理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行推导． （1）根据，得出，即可根据证明； （2）易得，根据，得出，则，进而得出，则，即可求证； （3）过点A作的垂线交于点E，易得，，即可得出，通过求证得出，则是等腰直角三角形，即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，不变化，理由如下：    过点A作的垂线交于点E ∵ ∴ ∴ 同理 ∵ ∴ 同（1）理得 在和中 ， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴． 一、单选题 1．如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④若在线段上有一动点，使得，则；其中正确的序号是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉角平分线的性质和全等三角形的性质，以及分类讨论思想的应用． 【详解】解：、分别是与的角平分线，， ， ，①正确； ， ， 过点作，，， 、分别是与的角平分线， ∴， 是的平分线，②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，故③错误； 当时，线段上只存在一个动点F， 使得，且， 当时，线段上存在两个动点F， 使得，F如图中，， 当平分时，， ∴， 在△BDP和△中， ， ∴， ∴， 当不平分时，显然， ∴④不一定成立，故④错误； ∴正确的是①②． 故选：A． 2．如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（    ）秒时，与全等． A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图1，Q在上，点P在上时，作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，， ∵， ∴， 当， 则， ∴， 解得：； ③如图3，当点Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当， 则， 即， 解得：； 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等， 故选D． 二、填空题 3．如图，在中，为中点，为边上的动点，连接，交的延长线于点，若，则的值是 ．    【答案】5 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，由平行线的性质可得，由证明，得到，最后由即可得到答案． 【详解】解：， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：5． 4．如图，已知点B是边上的动点（不与A、C重合），在的同侧作等边和等边，连接交于点H，交于G，交于F，连接，则当最小时， ． 【答案】 【分析】由题意可证得，在上截取可证，推出，当时，最小，据此即可求解． 【详解】解：由题意得： ∴ 即： ∵ ∴ ∴ 在上截取 ∴ ∴， ∴ 即： ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ 当时，最小 此时， ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，考查了学生的推理论证能力． 三、解答题 5．如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）证明，利用全等三角形的对应角相等得到，进而利用三角形的内角和定理和等量代换进行角度运算可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 6．如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等； (4)若，求． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当或时，与全等 (4) 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的性质、一元一次方程的应用、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由于是角平分线，则，； （2）由于，所以与之比就等于与之比，而与之比为2； （3）根据全等三角形的性质得到，得到，．，再分两种情况，利用全等三角形的性质求解即可； （4）过点A作交于N，如图，由（1）得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动， ∴，． ∴， ∴， ∴在运动过程中，不管t取何值，都有； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，运动时间为t， ∴，． ∴， ∴， ①当M在线段上时，， 当时与全等时， ∴， 解得； ②当M在线段延长线上时，， 当时与全等时， ∴， 解得：， ∴当或时，与全等． （4）解：过点A作交于N，如图， 由（1）得， 又∵，， ∴； ∴． 7．如图，在中，，，为上一动点，连接，，垂足为．过点作于点． (1)如图1，连接，试说明． (2)如图2，连接，交于点，与全等吗？请说明理由． (3)在（2）的条件下，若的面积为2，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了三角形全等．熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形面积计算公式，是解题的关键． （1）根据已知证明，，即得； （2）根据，，得，结合，证明； （3）由（2）可得，，得出，由（1）得，即得的面积为4． 【详解】（1）证明：， ， ∵ ， ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ， ， ， ， 即； （2）全等，理由如下： 证明：，， ， 在和中， ， ； （3）解：如图，连接， ， ， ∴ ∵ ∴ 由（1） ∴ 8．已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点，重合），以为边作，，．连接． (1)发现问题：如图1，当点在边上时， ①请写出和之间的数量关系式为_____，位置关系为_____； ②求证：； (2)尝试探究：如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时， ①中，，之间的数量关系式为_____． ②并进行证明． 【答案】(1)①，；②见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）①证明，得出，，再求出，即可得解；②由全等三角形的性质即可得解； （2）①结合图形进行猜想即可得解；②证明，得出即可得证． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②证明：由①可得：， ∴； （2）解：①中，，之间的数量关系式为； ②证明如下：由题意可得：， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 9．如图所示，直线交轴于点，交轴于点满足． (1)求点、的坐标； (2)如图1，若的坐标为，且于点交于点． ①求证：． ②试求点的坐标． (3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)①见解析；② (3)的值不发生改变，等于4 【分析】本题主要考查平面直角坐标系和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）根据平方根和平方的非负性即可求出答案； （2）①根据坐标得到，再通过等角的余角相等证明和，即可证明结论； ②由①得到，即可求出答案； （3）连接，证明，得到他们的面积相等，即可得到，即可求出答案． 【详解】（1）解： ； ； 点的坐标为，点的坐标为； （2）①证明：点的坐标为，点的坐标为， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； ②解：， ， 点的坐标为； （3）解：的值不发生改变，等于4， 理由如下：如图，连接， 为的中点，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． 10．【问题情境】如图，在平面直角坐标系中，点，且，连接，，点P、点Q是x轴上的动点，且．连接，过O点作于点E，交直线于点D，连接，试问在运动过程中，与是否存在某种特定的数量关系． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)【深入探究】如图1，当点P、点Q在线段上，且P点在Q点的左侧时． ①求证：； ②试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】当点P在B点右侧，点Q在x轴负半轴上运动时，若，用表示______（不需证明） 【答案】(1)； (2)①见解析；②，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据非负性即可求解； （2）①根据，，由此即可求解；②如图所示，过点作的垂线交延长线于点，可证，得到，，再证，得到，由此即可求解； （3）第一种情况，如图所示，过点作的垂线交于点，可证，得到，，再证，得到，由即可求解；第二种情况，如图所示，过点作的垂线交延长线于点，方法同第一种情况；由此即可求解． 【详解】（1）解：已知， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作的垂线交延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴； （3）解：或，理由如下， 第一种情况，如图所示，过点作的垂线交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，过点作的垂线交延长线于点， 同理可证，，得到， 同理可证，，得到； 综上所述，或， 故答案为：或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$