22.1.1 二次函数-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

第二十二章 二次函数 单 元 备 课 第二十二章 本单元所需课时数 12课时 课标要求 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系。 3.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题。 4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 教材分析 本章内容是学生已经学习了一次函数和正比例函数的基础上展开的，中间有一段时间的间隔，注意复习已学函数和坐标中点的特征。在整个学习过程中体现类比、数形结合和归纳的思想。 主要内容 本章的主要内容是二次函数的图象、性质及应用。主要包括三节：第22.1节“二次函数”主要介绍二次函数的概念、图象和性质，第22.2节“二次函数与一元二次方程”是在研究二次函数与一元二次方程的联系，第22.3节“实际问题与二次函数”是用二次函数的图象和性质解决实际问题。 教学目标 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 2.能用描点法画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。 3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a（x-h）2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的定点坐标，能说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题。 4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 5.知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。 课时分配 22.1 二次函数的图象与性质 6课时 22.2 二次函数与一元二次方程 1课时 22.3 实际问题与二次函数 3课时 教学活动 小结 2课时 教与学建议 1.注意复习已学的一次函数，对称的坐标表示，配方法等相关知识。 2.关注数形结合的研究方法。 3.加强对实际问题的分析。 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 课题 二次函数 课型 新授课 教学内容 教材第28-29页的内容（二次函数的概念、图象和性质） 教学目标 1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式。 2．会利用二次函数的概念解决问题。 3．列二次函数表达式解决实际问题。 教学重难点 教学重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 教学难点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 教具学具 黑板 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【探究1】探究教材引言问题 【师生活动】 老师提示：设正方体的棱长为x，表面积为y，它们有什么联系呢？ 学生回答：y=6x2. 老师引导：对于上面的式子，x取一个值，y是不是都有一个值与之对应？ 学生肯定回答后，老师追问：反过来，对于y的每一个值，x都有唯一的值与之对应吗？ 学生回答、交流，老师总结：y是x的函数，具体关系可表示为y=6x2。 【探究2】探究教材问题1 分析：每个队要与其他（n-1）个球队各比赛一场，那么n个球队要比赛n（n-1）场比赛，但甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛总场数是n（n-1），从而m=n（n-1），即m=n2-n. 【师生活动】借鉴探究一中的活动进行，最终得出m是n的函数。 【探究3】探究教材问题2 分析：这种产品的原产量是20t，一年后的产量是20（1+x）t，在经过一年后的产量是20（1+x）（1+x）t，即两年后的产量y=20（1+x）2，即y=20x2+40x+20. 【师生活动】借鉴探究一中的活动进行，最终得出y是x的函数。 老师提问：对上面问题中的函数进行观察，有什么共同点？ 学生从自变量的个数，式子的次数等方面入手，讨论交流，发表自己的意见。 老师点评，总结。 2.类比探究，归纳概念 在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的。一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 【例题】 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。若设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。 分析：如果不降低售价，该商品每件利润是10－8=2(元)，一天总的利润是(10－8)×100=200(元)。若每件商品降价x元，则每件商品的利润是(10－8－x)元，一天可销售约(100＋100x)件商品。 解：y=x(20－2x)，即 y=－2x2＋20x（0≤x≤2）。 3.学以致用，应用新知 考点1 二次函数的定义 【例1】下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c 答案：C 考点2 二次函数的一般形式 【例2】已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝　 　，一次项系数b＝　 　，常数项c＝　 　． 答案：3 ﹣5 1 考点3 根据实际问题列二次函数关系式 【例3】如图，某公园内有一块长为100m、宽为80m的矩形场地，计划修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进种植花卉．设修建的道路宽为xm，如果种植花卉的面积为ym2，那么y与x之间的函数关系式为（　　） A. y＝8000﹣100x﹣80x B．y＝（100﹣x）（80﹣x）+x2 C. y＝（100﹣x）（80﹣x） D. y＝100x+80x 答案：C 4.随堂训练，巩固新知 （1）当x＝-3时，函数y＝2-3x-x2的值为________． （2）当x＝________时，函数y＝x2＋5x-5的函数值为1. （3）如果函数y＝(k＋2)xk2－2是y关于x的二次函数，则k的值为多少？ （4）一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x＋1)cm的小长方形．剩余部分的面积为ycm2. 写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？ 当x的值为2或4时，相应的剩余部分面积是多少？ 参考答案 1.2 解析：把x＝－3直接代入函数的表达式得y＝2－3×(－3)－(－3)2＝2＋9－9＝2.即函数的值为2. 2.-6或1 解析：令y＝1，即x2＋5x－5＝1，解这个一元二次方程得x1＝－6，x2＝1.即x＝－6或1. 3.根据题意知解得∴k＝2. 4.(1)y＝122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144，∴y是x的二次函数． (2)当x＝2或4时，相应的y的值分别为132cm2或104cm2. 5.课堂小结，自我完善 （1）请叙述二次函数的定义． （2）许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。 6.布置作业 课本P29练习第1-2题，P41习题22.1第1-2题。 二次函数的概念是通过具体问题引入的。 关键是让学生明白2点：（1）每个队比赛（n-1）场，比赛的场次是n（n-1）的一半。 一年后的产量可以表示为20+20x，也可以表示为20（1+x），用后者更易于表示出再经过一年后的产量。 学生已经具备有关一元二次方程一般形式的知识，并且学过了一次函数的意义，可以对二次函数的意义有进一步的理解。能根据给出的函数解析式判断一个函数是不是二次函数。 利润=(售价－进价)×销售量。 注意此时x的值不可以任意取，0≤x≤2。 能根据给出的函数解析式判断一个函数是不是二次函数。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 求函数值实际上就是求代数式的值；求二次函数自变量的值实际上就是解一元二次方程。 紧扣定义中的两个特征：①a≠0；②自变量最高次数为2的二次三项式ax2＋bx＋c。 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 二次函数 通过具体问题引入二次函数的概念，类比一元二次方程和一次函数进行探究学习 教后反思 教学过程中，强调判断一个函数为二次函数的三个条件，可对比已学过的一次函数，进一步巩固函数的有关知识。研究学习的套路跟一元二次方程和一次函数一致。 学科网（北京）股份有限公司 $$