第1章 有理数 章节（11知识点回顾+22题型巩固）同步讲义与测试 2025-2026学年七年级数学上册（浙教版2024）

第1章 有理数 章节（11知识点回顾+22题型巩固） 目录 知识梳理 1.自然数、分数、小数的意义 2.具有相反意义的量及其表示 3.正数和负数 4.有理数的有关概念 5.有理数的分类 6.数轴的概念 7.数轴上的点与有理数的对应关系 8.相反数 9.绝对值 10.利用数轴比较有理数的大小 11.利用法则比较有理数的大小 题型巩固 一、正负数的定义 二、相反意义的量 三、正负数的实际应用 四、有理数的定义 五、0的意义 六、有理数的分类 七、带“非”字的有理数 八、数轴的三要素及其画法 九、用数轴上的点表示有理数 十、数轴上点的平移（动点问题） 十一、相反数的定义 十二、数轴上找原点 十三、数轴上整点覆盖问题 十四、数轴上的规律探究 十五、化简多重符号 十六、绝对值的几何意义 十七、求一个数的绝对值 十八、绝对值非负性 十九、绝对值的其他应用 二十、利用数轴比较有理数的大小 二十一、有理数大小比较 二十二、有理数大小比较的实际应用 知识梳理 知识点1.自然数、分数、小数的意义 1.自然数的作用： （1）计数，计量人或物的数量； （2）测量，如长度、高度、质量等； （3）标号或排序，如城市的公共汽车路线、门牌号码、邮编、身份证号码等。 注意： 并不是所有的小数都能化为分数，如小学学过的π 就不能化为分数。 2.分数、小数的关系： （1）分数可以看作两个整数相除，因此分数都可以化为小数 （有限小数或无限循环小数）； （2）有限小数、无限循环小数都可以化为分数。如 知识点2.具有相反意义的量及其表示 1.具有相反意义的量包括两层含义： （1）具有相反意义；（2）具有数量。 常见的表示相反意义的词语 增加├ ←→┤ 减少 零上├ ←→┤ 零下 前进├ ←→┤ 后退 向东├ ←→┤ 向西 上升├ ←→┤ 下降等 示例1 具有相反意义的量 具有相反意义的量的特点 特点 解读与举例 成对性 单独一个量不能成为具有相反意义的量，如上升10米。 同类性 具有相反意义的量必须是同类量，如向东走20米与盈利20元就不是具有相反意义的量。 不唯一性 具有相反意义的量，不要求数量相等，如与盈利300元具有相反意义的量不唯一，可以是亏损400元，也可以是亏损100元等。 2.具有相反意义的量的表示 为了区别具有相反意义的量，通常把一种意义的量用以前学 过的数或者带有“+ ”（正号）的数表示；把另外一种与它意义 相反的量用带有“-”（负号）的数表示。 注意：表示具有相反意义的量时，一定要说明数量和单位。 知识点3.正数和负数 数的分类 定义 举例 注意 正数 大于零的数。 正数前的“+ ”常省略不写。 负数 用大于零的数前面放 上负号“-”来表示的数。 负数前的“-”不能省略不写。 0 （1）0是正数与负数的分界； （2）0不仅可以表示“没有”，还可以表示某种量的基准，如0 ℃ 表示实际温度为冰点时的计量结果。 0既不是正数，也不是负数。 示例2 正数和负数 知识点4.有理数的有关概念 1.整数：正整数、零和负整数统称整数，如−3，−2，−1 ，0，1，2，3等。 说明： 整数分为奇数和偶数。奇数和偶数中也有负数，如−6 ，−4，−2是偶数，−5，−3，−1 是奇数。 2.分数：正分数、负分数统称分数，如2，0.2，−1.25，− 等。 3.有理数：整数和分数统称有理数。 (任何一个有理数都可以写成(,是整数,≠0)的形式) 4.部分常用的数： （1）正整数:如1，2，3，⋯ 。 负整数:如−1，−2，−3，⋯ 。 （2）正分数:如,，0.1，5.32，0.3⋅，⋯ 。 负分数:如−，−，−0.1,−5.32,−0.3⋅ ,…。 （3）非负数:正数和0。 非正数:负数和0。 非负整数:正整数和0。（即自然数） 知识点5.有理数的分类 1.按定义分类 2.按性质符号分类 知识点6.数轴的概念 1.数轴的概念：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫作数轴。 2.数轴的三要素：数轴是一条可以向两个方向无限延伸的直线，其中原点、单位长度和正方向称为数轴的三要素。在同一数轴中，数轴的三要素一经确定，就不得改变。（（1）数轴是一条直线，可以向两方无限延伸，但直线不一定是数轴；（2）同一条数轴上的单位长度必须一致） 示例1 数轴 3.数轴的画法： 步骤 画法 图形 一画 画一条直线（一般画成水平的）。 二取 在直线上任取一点O 作为原点，表示数0。 三定 规定直线的一个方向（一般取从左到右的方向）为正方向，用箭头表示，相反的方向为负方向。 四标 取适当的长度为单位长度。从原点开始向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，⋯ ；从原点开始向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示−1，−2，−3，⋯ 。 知识点7.数轴上的点与有理数的对应关系 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点表示的数不都是有理数。 示例2 用数轴上的点表示有理数 （1）定正负：原点右侧的点表示正数，左侧的点表示负数，原点表示数0； （2）定距离：从原点出发，确定原点到这点的距离。 知识点8.相反数 1.相反数：如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数（相反数是成对出现的（0除外））。注意，0的相反数是0。（相反数等于它本身的数只有0） 示例3 相反数 2.相反数的几何意义 在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 示例4 相反数的几何意义 注意：任何一个数都有唯一的相反数。 知识点9.绝对值 1.绝对值的概念：把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值。（由于绝对值是距离，所以绝对值具有非负性） 2.表示方法：一个数的绝对值表示为||，读作“ 的绝对值”。 示例 绝对值 说明：一个数在数轴上对应的点到原点的距离越远，绝对值越大；到原点的距离越近，绝对值越小。反之 也成立。（绝对值最小的数是0） 3. 绝对值的性质 （1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的 相反数；零的绝对值是零。 ①如果>0，那么||= ； ②如果<0，那么||=−；简记为∣∣= ③如果=0，那么||=0 。 （2）互为相反数的两个数的绝对值相等。即若,b 互为相反数，则||=|b|。（拓展：任何数的绝对值都不小于它本身，即||≥） 教材延伸 （1）绝对值是它本身的数是非负数，即若||=，则≥0 ；绝对值是其相反数的数是非正数，即若||=−，则≤0 。 （2）绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数，即若|x|= (>0)，则x=±，如|x|=2，则x=±2 。 （3）若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，即若||=|b|,则=b或=−b 。 知识点10.利用数轴比较有理数的大小 内容 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 示例 利用数轴比较有理数大小的步骤 （1）画数轴并描点； （2）定顺序：确定各点在数轴上的左右顺序； （3）判大小：根据右边的数总比左边的数大确定大小。 知识点11.利用法则比较有理数的大小 符号法则 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 同号两数比较大小的法则 两个正数比较大小，绝对值大的数大。 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。 利用绝对值比较两个负数大小的步骤 题型巩固 题型一、正负数的定义 1．在，0，，4这些数中，是负数的是（   ） A． B．0 C． D．4 【答案】A 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了有理数中的负数，正数前带有“”号的是负数；根据负数的含义即可求解． 【详解】解：根据负数的含义知：是负数； 故选：A． 2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）在一次立定跳远测试中，若以为基准．小温的成绩是，记为，小州的成绩是，记为 m． 【答案】 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了正数和负数．在一对具有相反意义的量中，先规定其中超过基准量的一个为正，则另一个不到基准量的就用负表示，即可解决． 【详解】解：“正”和“负”相对， 所以小温跳出了比基准量多，记为， 那么小州跳出了，比基准量少，应记作． 故答案为：． 题型二、相反意义的量 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如果零上记作，那么零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答即可． 【详解】解：∵零上记作， ∴零下记作， 故选：． 4．（1）某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？ （2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量记作，那么表示什么？ （3）某大米包装袋上标注着“净含量：”，这里的“”表示什么？ 【答案】（1）圈；（2）乒乓球的质量低于标准质量；（3）最多超出标准质量，最少少于标准质量 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】（1）根据正负数表示相反意义的两种量可知：逆时针记为正，则顺时针记为负，解答即可； （2）超出标准质量记为正，低于标准质量记为负，直接得出结论即可； （3）明确正和负表示的意义，根据题意作答即可． 【详解】解：（1）如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈， 则沿顺时针方向转了12圈记作圈； （2）超出标准质量记作， 则表示乒乓球的质量低于标准质量； （3）每袋大米的标准质量应为，但实际每袋大米可能有的误差，即最多超出标准质量，最少少于标准质量． 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对相反意义的量，先规定其中一个为正，则另一个用负表示． 题型三、正负数的实际应用 5．世界上关于负数的最早应用出现在中国古代的《九章算术》中．《九章算术》中虽然使用了“正负术”一词，但并未给出负数的正式定义．刘徽在为《九章算术》作注时，才对负数的定义进行了明确的阐述．《九章算术》中有所记载，若在粮谷计算中，益实三斗（增加3斗）记为斗，那么损实十斗（减少10斗）记为（    ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】C 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若益实用“”表示，那么损实就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若在粮谷计算中，益实三斗（增加3斗）记为斗，那么损实十斗（减少10斗）记为斗， 故选：C． 6．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）古人云“三十而立”，如果以岁为基准，张三岁记为岁，那么李四岁记为 岁． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据正负数的意义即可得到答案． 【详解】解：∵以岁为基准，张三岁记为岁，， ∴李四岁比岁小岁，记作岁， 故答案为：． 题型四、有理数的定义 7．在，3.14，，，π中，有理数的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【知识点】有理数的定义 【分析】此题考查了有理数．整数和分数统称为有理数，根据有理数的定义进行解答即可． 【详解】解：在，3.14，，，π中，，3.14，，是有理数，共4个， 故选：B． 8．把下列各数填入相应的大括号里． ，，0，2，，3.14，，． (1)正数：{ …}； (2)负数{ …}； (3)整数：{ …}； (4)分数：{ …}； (5)非负数：{ …}． 【答案】(1)2，3.14， (2)，，， (3)，0，2 (4)，，3.14，， (5)0，2，3.14， 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查了有理数的意义，熟练掌握正数、负数、整数、分数、非负数的意义是解此题的关键． （1）根据正数的意义即可得解； （2）根据负数的意义即可得解； （3）根据整数的意义即可得解； （4）根据分数的意义即可得解； （5）根据非负数的意义即可得解． 【详解】（1）解：正数：{2，3.14，}； （2）解：负数{，，，}； （3）解：整数：{，0，2}； （4）解：分数：{，，3.14，，}； （5）解：非负数：{0，2，3.14，}． 题型五、0的意义 9． 0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（   ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 【答案】B 【知识点】0的意义 【分析】本题主要考查了有理数，0是有理数中的重要数字等知识点，根据0在不同问题中的实际含义解答即可，熟练掌握有理数0的性质是解决此题的关键． 【详解】A．是一个确定的温度，本选项说法正确，不符合题意； B．海拔表示与海平面一样的高度‌，原选项说法错误，符合题意； C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻，本选项说法正确，不符合题意； D．在二进制中，0是基本的数字表示，本选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）给出下列说法：①0是整数；②是负分数；③不是正数；④既是整数，又是自然数；⑤和1都是整数．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②⑤ 【知识点】0的意义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数分类，根据有理数的定义进行分类即可． 【详解】解：①0是整数，故①正确； ②是负分数，故②正确； ③4.2是正数，故③错误； ④是整数，不是自然数，故④错误； ⑤和1都是整数，故⑤正确． 故答案为：①②⑤． 题型六、有理数的分类 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）关于，，，，，这六个数，下列说法正确的是（   ） A．和都是负整数 B．和都是正数 C．和都是负分数 D．是正整数 【答案】C 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握“整数包括正整数、负整数和零；分数包括正分数和负分数；需注意小数形式的数若可化为分数则属于分数”是解题的关键. 【详解】选项A：是负整数，但可化为，属于负分数，故A错误，不符合题意. 选项B：既不是正数也不是负数，故B错误，不符合题意. 选项C：（即）和均为负分数，故C正确，符合题意. 选项D：是带分数，属于正分数而非整数，故D错误，不符合题意. 故答案为：C. 12．把下列各数分别填入相应的横线上：2，，，0，，，． (1)正数集合：_________________________________________． (2)有理数集合：_________________________________________． 【答案】(1)2，， (2)2，，，0，， 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握相关定义是解此题的关键． （1）根据正数的定义解答即可； （2）根据有理数的定义解答即可． 【详解】（1）解：正数集合：2，，； （2）解：有理数集合：2，，，0，，． 题型七、带“非”字的有理数 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）有下列各数：，，，，，，，．其中非正数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】带“非”字的有理数 【分析】本题考查了非正数的概念，熟练掌握“非正数包括负数和”是解题的关键． 根据“非正数包括负数和”将这组数据分类即可求解． 【详解】解：非正数包括负数和0．题目中的数依次为： （正数，不符合） （负数，符合） （负数，符合） （正数，不符合） （符合） （即，负数，符合） （正数，不符合） （正数，不符合） 符合条件的数有、、、，共4个， 故答案为：D． 14．将下列各数填入相应的括号里： ，，，，，，，，，，． 非负分数集合{___________…}；整数集合{___________…}； 有理数集合{___________…}；非正整数集合{___________…}． 【答案】，，；，，；，，，，，，，，；， 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题主要考查了有理数及其分类．根据分数、整数、负数、正数和有理数的概念分析判断即可． 【详解】解： 非负分数集合{，，，…}； 整数集合{，，，…}； 有理数集合{，，，，，，，，，…}； 非正整数集合{，，…}． 题型八、数轴的三要素及其画法 15．下列数轴画得正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查了数轴的画法，根据数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A．单位长度不统一，故该选项不正确，不符合题意； B．没有原点，故该选项不正确，不符合题意； C．正确，故该选项符合题意； D.没有原点，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 16．数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴.（填数轴的三要素） 【答案】 原点 正方向 单位长度 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】根据数轴的三要素填空即可． 【详解】解：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 故答案为：原点，正方向，单位长度． 【点睛】此题考查了数轴，属于基础知识，要记住：原点，正方向，单位长度被称为数轴的三要素． 题型九、用数轴上的点表示有理数 17．如图，将刻度尺倒放在数轴上，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为 ． 【答案】2.6 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握用数轴表示有理数是解题的关键. 【详解】解：刻度尺上“”对应数轴的， “”对应数轴的 则刻度尺上“”对应数轴上的数为： 故答案为：． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有理数a，b，其中数a在如下图所示的数轴上的对应点为M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3.5． (1)________，________． (2)写出绝对值小于a的所有整数和大于b的所有负整数． (3)在数轴上标出表示，0，，b的点，并用“>”连接起来． 【答案】(1)2 ， (2)绝对值小于a的所有整数为，0，1；大于b的所有负整数为 (3)数轴上表示见解析， 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】（1）根据数轴确定数a的值，再由b与原点的距离得出b的值. （2）根据绝对值、整数、负整数的概念求出满足条件的数. （3）在数轴上标出各点并比较大小. 【详解】（1）解：由数轴可知，点M对应的数为2，所以,因为b是负数，且与原点的距离为3.5，所以. 故答案为：2，. （2）解：因为，所以绝对值小于2的整数为； 因为,所以大于b的负整数为. （3）解：在数轴上表示各数，如图： 由数轴可知：. 题型十、数轴上点的平移（动点问题） 19．已知在数轴上有三个点，点A表示的数是，点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数． (1)在数轴上把三点表示出来，并比较这三个点表示的数的大小；（用“＜”号连接） (2)直接写出如何移动点C，可以使它到点A和点B的距离相等． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，运用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出点B表示的数是0，点C表示的数是再在表示数轴表示各个数，最后比较大小，即可作答． （2）依题意，点C向左移动1个单位长度后，即移动后点C表示的数是即可满足到点A和点B的距离相等． 【详解】（1）解：∵点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数， ∴点B表示的数是0，点C表示的数是 ∵点A表示的数是， 则三点在数轴上表示如图所示． 根据数轴上左边的数小于右边的数可知，． （2）解：∵点B表示的数是0，点C表示的数是点A表示的数是 ∴点C向左移动1个单位长度后，即移动后点C表示的数是可以使它到点A和点B的距离相等． 题型十一、相反数的定义 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）在，，，中，互为相反数的是（   ） A．0与2 B．与2 C．2与 D．与 【答案】C 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了根据相反数的定义，互为相反数的两个数绝对值相等且符号相反，它们的和为0，据此求解即可. 【详解】解：A：0与2.和为0+2=2≠0，不互为相反数. B：与2.和为，不互为相反数. C：2与−2。和为，且绝对值均为2，符号相反，符合相反数的定义. D：与−2。和为，不互为相反数. 故选：C． 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）求下列各数的相反数． 4，6，0，，+37，，0.001． 【答案】4的相反数是；6的相反数是；0的相反数是0；的相反数是；的相反数是；的相反数是；0.001的相反数是 【知识点】相反数的定义 【分析】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键. 本题直接利用相反数的定义得出答案. 【详解】解：4的相反数是； 6的相反数是； 0的相反数是0； 的相反数是； 的相反数是； 的相反数是； 0.001的相反数是． 题型十二、数轴上找原点 22．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，如果有理数表示的点到原点距离是有理数表示的点到原点距离的3倍，那么点中 可能是数轴的原点． 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上找原点 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离计算，根据题意可得原点一定在数a和数b之间，则可得到数形结合进而求出a，再结合数轴即可得到答案． 【详解】解：∵有理数a表示的点到原点距离是有理数b表示的点到原点距离的3倍，且两个数之间的距离为4， ∴当原点在数a左侧或者原点在数b右侧时都不符合题意， ∴原点一定在数a和数b之间， ∴， ∴， ∴， ∴a表示的数为，b表示的数为1， ∴只有C可能是数轴的原点， 故答案为：C． 23．（25-26七年级上·全国·周测）如下图，点A表示，点B表示4． (1)在数轴上标出原点． (2)有一点C到原点与到点B的距离相等，写出点C表示的数，并在数轴上表示出来． 【答案】(1)见解析 (2) 点表示的数为，见解析 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上找原点 【分析】本题考查了数轴的相关知识，包括确定原点位置以及根据点与点之间的距离关系确定点所表示的数并在数轴上表示． （1）已知点表示，点表示，根据原点是数轴上表示的点即可解答； （2）根据点到原点与到点的距离相等，点表示，可得点表示的数为，即可解答． 【详解】（1）解：点表示，点表示． 原点位于点右边个单位长度处． 如图所示， （2）解：点到原点与到点的距离相等，点表示． 点到原点的距离为即点表示的数为． 在数轴上标出点如图， 题型十三、数轴上整点覆盖问题 24．（25-26七年级上·全国·周测）一滴墨水滴在了数轴上，根据图中的数据可判断被墨迹盖住的整数有 个． 【答案】24 【知识点】数轴上整点覆盖问题 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，求出到的整数个数是解题的关键． 由图可知被墨迹盖住的数在到之间，找出到的整数个数并计数即可得到答案． 【详解】解：被墨迹盖住的整数有：，共个 故答案为： 25．（24-25七年级上·全国·课后作业）数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个． 【答案】 201 200 【知识点】数轴上整点覆盖问题 【分析】本题考查数轴上的整点覆盖问题，此题要找出变化的规律，分两种情况：①当线段长为1厘米时，如果它的两个端点正好与一个单位长度的两个整数点重合，就能覆盖住这两个点，以此类推，n厘米长的线段可盖住个点；②长为1厘米的线段两端与一个单位长度的两个整数点不重合时，就只能覆盖住一个整数点，类似第一种情况，则n厘米长的线段可盖住n个点． 【详解】解：2米厘米； （1）当长度为2米的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，线段覆盖住的整点个数为个； （2）若2米的线段的两端点不与两个整数点重合，则它可覆盖住的整数点个数为200个； 故答案为：201，200 题型十四、数轴上的规律探究 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴以及数字变化规律，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 根据每次翻转后点的变化规律进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，在翻转的过程中，点对应的数依次为空、空、 故每次翻转为一个循环组 ， 翻转次后，点不在数轴上． 故选：A． 题型十五、化简多重符号 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各数：，，，．其中负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查多重符号的化简，需根据符号法则逐一化简各数，再判断是否为负数. 【详解】解：，是负数； ，是正数； ，是负数； ，是正数； 综上，负数有、，共2个； 故答案为：B. 28．（25-26七年级上·全国·随堂练习）化简下列各数：，，，． 【答案】7，，， 【知识点】化简多重符号 【分析】本题主要考查相反数，化简多重符号，关键是掌握相反数的定义．根据相反数的定义即可得出答案． 【详解】解：，，， 题型十六、绝对值的几何意义 29．如，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查绝对值，分类讨论是解题的关键．根据题意利用分类讨论的数学思想进行解决即可． 【详解】解：，且， 故， 则， 当时， 解得， 若，则，舍去； 当时， 则为非负数， ，满足要求． ． 故选B． 30．（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 【答案】（1）或 （2） 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值等于一个正数的数有两个是解决本题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知，，结合a，b异号，可知或 （2）根据绝对值的性质，可知，，而，即可确定出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 又∵a，b异号， ∴或． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 题型十七、求一个数的绝对值 31．的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数可得：，所以． 【详解】解：． 故选：B． 32．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习） ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值．根据负数的绝对值是它的相反数，正数和0的绝对值是它本身解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型十八、绝对值非负性 33．已知，求的值． 【答案】，，． 【知识点】绝对值非负性 【分析】解：本题考查了非负数的性质，根据几个非负数的和等于，那么这几个非负数都等于，得到，，，解之即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，． 题型十九、绝对值的其他应用 34．河北某交警每天都开车在南北走向的鼓楼大街上巡逻，假定从出发点开始，向南为正，向北为负，他这天下午巡逻记录里程如下（单位：）： ，，，，，，． (1)这位交警在第几个路段行车里程最远？为多少千米？ (2)若汽车耗油量为，这天下午汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)最后一个路段， (2)升 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值的其他应用 【分析】（1）先利用绝对值求出每段路的行车里程，再比较大小，即可求解； （2）计算出每段路的行车里程和每千米的耗油量，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ，，，，，，， ， 最后一个路段行车里程最远为． （2）解：由题意得 （）； 答：这天下午汽车共耗油升. 【点睛】本题考查了绝对值的实际应用，理解绝对值的定义是解题的关键． 题型二十、利用数轴比较有理数的大小 35．如图，数轴上点M所表示的数可能是（   ） A．1.5 B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，掌握原点左边的点表示负数、右边的点表示正数且右边的大于左边是解题的关键．根据数轴上的点表示数的方法得到点M表示的数大于且小于，然后进行判断即可． 【详解】解：∵点M表示的数大于且小于， ∴A、B、D三选项错误，C选项正确． 故选：C． 36．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）在数轴上表示下列各数，，0，，．并把它们用“<”连接． 【答案】数轴见解析，． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查了数轴表示数、数轴上比较数的大小、数的化简等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先把各数化简，然后在数轴上表示，最后根据大小比较原则排序即可． 【详解】解：由，，则在数轴上表示如下： ， 所以． 题型二十一、有理数大小比较 37．比较大小： ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】此题考查了有理数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解本题的关键．利用两个负数比较大小的方法判断即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， 故答案为：． 38．比较下列各对数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查绝对值，以及有理数的大小比较，解题的关键在于正确掌握有理数的大小比较方法． （1）根据正数大于负数进行判断，即可解题； （2）根据两个负数绝对值大的反而小进行判断，即可解题； （3）根据两个负数绝对值大的反而小进行判断，即可解题； （4）先利用绝对值求出，再根据正数大于负数进行判断，即可解题． 【详解】（1）解：因为正数大于负数， 所以； （2）解：因为，，且， 所以； （3）解：因为，，且， 所以； （4）解：因为，， 所以． 题型二十二、有理数大小比较的实际应用 39．下表是几种气体在1标准大气压下的沸点（保留整数）： 气体 氮气 氧气 氦气 二氧化碳 沸点（） 其中沸点最低的气体是（    ） A．氮气 B．氧气 C．氦气 D．二氧化碳 【答案】C 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题主要考查有理数的大小比较．根据“两个负数比较，绝对值越大反而小”即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴沸点最低的气体是氦气． 故选：C. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数 章节（11知识点回顾+22题型巩固） 目录 知识梳理 1.自然数、分数、小数的意义 2.具有相反意义的量及其表示 3.正数和负数 4.有理数的有关概念 5.有理数的分类 6.数轴的概念 7.数轴上的点与有理数的对应关系 8.相反数 9.绝对值 10.利用数轴比较有理数的大小 11.利用法则比较有理数的大小 题型巩固 一、正负数的定义 二、相反意义的量 三、正负数的实际应用 四、有理数的定义 五、0的意义 六、有理数的分类 七、带“非”字的有理数 八、数轴的三要素及其画法 九、用数轴上的点表示有理数 十、数轴上点的平移（动点问题） 十一、相反数的定义 十二、数轴上找原点 十三、数轴上整点覆盖问题 十四、数轴上的规律探究 十五、化简多重符号 十六、绝对值的几何意义 十七、求一个数的绝对值 十八、绝对值非负性 十九、绝对值的其他应用 二十、利用数轴比较有理数的大小 二十一、有理数大小比较 二十二、有理数大小比较的实际应用 知识梳理 知识点1.自然数、分数、小数的意义 1.自然数的作用： （1）计数，计量人或物的数量； （2）测量，如长度、高度、质量等； （3）标号或排序，如城市的公共汽车路线、门牌号码、邮编、身份证号码等。 注意： 并不是所有的小数都能化为分数，如小学学过的π 就不能化为分数。 2.分数、小数的关系： （1）分数可以看作两个整数相除，因此分数都可以化为小数 （有限小数或无限循环小数）； （2）有限小数、无限循环小数都可以化为分数。如 知识点2.具有相反意义的量及其表示 1.具有相反意义的量包括两层含义： （1）具有相反意义；（2）具有数量。 常见的表示相反意义的词语 增加├ ←→┤ 减少 零上├ ←→┤ 零下 前进├ ←→┤ 后退 向东├ ←→┤ 向西 上升├ ←→┤ 下降等 示例1 具有相反意义的量 具有相反意义的量的特点 特点 解读与举例 成对性 单独一个量不能成为具有相反意义的量，如上升10米。 同类性 具有相反意义的量必须是同类量，如向东走20米与盈利20元就不是具有相反意义的量。 不唯一性 具有相反意义的量，不要求数量相等，如与盈利300元具有相反意义的量不唯一，可以是亏损400元，也可以是亏损100元等。 2.具有相反意义的量的表示 为了区别具有相反意义的量，通常把一种意义的量用以前学 过的数或者带有“+ ”（正号）的数表示；把另外一种与它意义 相反的量用带有“-”（负号）的数表示。 注意：表示具有相反意义的量时，一定要说明数量和单位。 知识点3.正数和负数 数的分类 定义 举例 注意 正数 大于零的数。 正数前的“+ ”常省略不写。 负数 用大于零的数前面放 上负号“-”来表示的数。 负数前的“-”不能省略不写。 0 （1）0是正数与负数的分界； （2）0不仅可以表示“没有”，还可以表示某种量的基准，如0 ℃ 表示实际温度为冰点时的计量结果。 0既不是正数，也不是负数。 示例2 正数和负数 知识点4.有理数的有关概念 1.整数：正整数、零和负整数统称整数，如−3，−2，−1 ，0，1，2，3等。 说明： 整数分为奇数和偶数。奇数和偶数中也有负数，如−6 ，−4，−2是偶数，−5，−3，−1 是奇数。 2.分数：正分数、负分数统称分数，如2，0.2，−1.25，− 等。 3.有理数：整数和分数统称有理数。 (任何一个有理数都可以写成(,是整数,≠0)的形式) 4.部分常用的数： （1）正整数:如1，2，3，⋯ 。 负整数:如−1，−2，−3，⋯ 。 （2）正分数:如,，0.1，5.32，0.3⋅，⋯ 。 负分数:如−，−，−0.1,−5.32,−0.3⋅ ,…。 （3）非负数:正数和0。 非正数:负数和0。 非负整数:正整数和0。（即自然数） 知识点5.有理数的分类 1.按定义分类 2.按性质符号分类 知识点6.数轴的概念 1.数轴的概念：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫作数轴。 2.数轴的三要素：数轴是一条可以向两个方向无限延伸的直线，其中原点、单位长度和正方向称为数轴的三要素。在同一数轴中，数轴的三要素一经确定，就不得改变。（（1）数轴是一条直线，可以向两方无限延伸，但直线不一定是数轴；（2）同一条数轴上的单位长度必须一致） 示例1 数轴 3.数轴的画法： 步骤 画法 图形 一画 画一条直线（一般画成水平的）。 二取 在直线上任取一点O 作为原点，表示数0。 三定 规定直线的一个方向（一般取从左到右的方向）为正方向，用箭头表示，相反的方向为负方向。 四标 取适当的长度为单位长度。从原点开始向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，⋯ ；从原点开始向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示−1，−2，−3，⋯ 。 知识点7.数轴上的点与有理数的对应关系 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点表示的数不都是有理数。 示例2 用数轴上的点表示有理数 （1）定正负：原点右侧的点表示正数，左侧的点表示负数，原点表示数0； （2）定距离：从原点出发，确定原点到这点的距离。 知识点8.相反数 1.相反数：如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数（相反数是成对出现的（0除外））。注意，0的相反数是0。（相反数等于它本身的数只有0） 示例3 相反数 2.相反数的几何意义 在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 示例4 相反数的几何意义 注意：任何一个数都有唯一的相反数。 知识点9.绝对值 1.绝对值的概念：把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值。（由于绝对值是距离，所以绝对值具有非负性） 2.表示方法：一个数的绝对值表示为||，读作“ 的绝对值”。 示例 绝对值 说明：一个数在数轴上对应的点到原点的距离越远，绝对值越大；到原点的距离越近，绝对值越小。反之 也成立。（绝对值最小的数是0） 3. 绝对值的性质 （1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的 相反数；零的绝对值是零。 ①如果>0，那么||= ； ②如果<0，那么||=−；简记为∣∣= ③如果=0，那么||=0 。 （2）互为相反数的两个数的绝对值相等。即若,b 互为相反数，则||=|b|。（拓展：任何数的绝对值都不小于它本身，即||≥） 教材延伸 （1）绝对值是它本身的数是非负数，即若||=，则≥0 ；绝对值是其相反数的数是非正数，即若||=−，则≤0 。 （2）绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数，即若|x|= (>0)，则x=±，如|x|=2，则x=±2 。 （3）若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，即若||=|b|,则=b或=−b 。 知识点10.利用数轴比较有理数的大小 内容 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 示例 利用数轴比较有理数大小的步骤 （1）画数轴并描点； （2）定顺序：确定各点在数轴上的左右顺序； （3）判大小：根据右边的数总比左边的数大确定大小。 知识点11.利用法则比较有理数的大小 符号法则 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 同号两数比较大小的法则 两个正数比较大小，绝对值大的数大。 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。 利用绝对值比较两个负数大小的步骤 题型巩固 题型一、正负数的定义 1．在，0，，4这些数中，是负数的是（   ） A． B．0 C． D．4 2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）在一次立定跳远测试中，若以为基准．小温的成绩是，记为，小州的成绩是，记为 m． 题型二、相反意义的量 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如果零上记作，那么零下记作（    ） A． B． C． D． 4．（1）某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？ （2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量记作，那么表示什么？ （3）某大米包装袋上标注着“净含量：”，这里的“”表示什么？ 题型三、正负数的实际应用 5．世界上关于负数的最早应用出现在中国古代的《九章算术》中．《九章算术》中虽然使用了“正负术”一词，但并未给出负数的正式定义．刘徽在为《九章算术》作注时，才对负数的定义进行了明确的阐述．《九章算术》中有所记载，若在粮谷计算中，益实三斗（增加3斗）记为斗，那么损实十斗（减少10斗）记为（    ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 6．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）古人云“三十而立”，如果以岁为基准，张三岁记为岁，那么李四岁记为 岁． 题型四、有理数的定义 7．在，3.14，，，π中，有理数的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8．把下列各数填入相应的大括号里． ，，0，2，，3.14，，． (1)正数：{ …}； (2)负数{ …}； (3)整数：{ …}； (4)分数：{ …}； (5)非负数：{ …}． 题型五、0的意义 9． 0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（   ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）给出下列说法：①0是整数；②是负分数；③不是正数；④既是整数，又是自然数；⑤和1都是整数．其中正确的有 ．（填序号） 题型六、有理数的分类 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）关于，，，，，这六个数，下列说法正确的是（   ） A．和都是负整数 B．和都是正数 C．和都是负分数 D．是正整数 12．把下列各数分别填入相应的横线上：2，，，0，，，． (1)正数集合：_________________________________________． (2)有理数集合：_________________________________________． 题型七、带“非”字的有理数 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）有下列各数：，，，，，，，．其中非正数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．将下列各数填入相应的括号里： ，，，，，，，，，，． 非负分数集合{___________…}；整数集合{___________…}； 有理数集合{___________…}；非正整数集合{___________…}． 题型八、数轴的三要素及其画法 15．下列数轴画得正确的是（    ） A． B． C． D． 16．数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴.（填数轴的三要素） 题型九、用数轴上的点表示有理数 17．如图，将刻度尺倒放在数轴上，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为 ． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有理数a，b，其中数a在如下图所示的数轴上的对应点为M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3.5． (1)________，________． (2)写出绝对值小于a的所有整数和大于b的所有负整数． (3)在数轴上标出表示，0，，b的点，并用“>”连接起来． 题型十、数轴上点的平移（动点问题） 19．已知在数轴上有三个点，点A表示的数是，点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数． (1)在数轴上把三点表示出来，并比较这三个点表示的数的大小；（用“＜”号连接） (2)直接写出如何移动点C，可以使它到点A和点B的距离相等． 题型十一、相反数的定义 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）在，，，中，互为相反数的是（   ） A．0与2 B．与2 C．2与 D．与 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）求下列各数的相反数． 4，6，0，，+37，，0.001． 题型十二、数轴上找原点 22．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，如果有理数表示的点到原点距离是有理数表示的点到原点距离的3倍，那么点中 可能是数轴的原点． 23．（25-26七年级上·全国·周测）如下图，点A表示，点B表示4． (1)在数轴上标出原点． (2)有一点C到原点与到点B的距离相等，写出点C表示的数，并在数轴上表示出来． 题型十三、数轴上整点覆盖问题 24．（25-26七年级上·全国·周测）一滴墨水滴在了数轴上，根据图中的数据可判断被墨迹盖住的整数有 个． 25．（24-25七年级上·全国·课后作业）数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个． 题型十四、数轴上的规律探究 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 题型十五、化简多重符号 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各数：，，，．其中负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．（25-26七年级上·全国·随堂练习）化简下列各数：，，，． 题型十六、绝对值的几何意义 29．如，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（   ） A．2 B． C． D． 30．（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 题型十七、求一个数的绝对值 31．的值是（   ） A．2 B． C． D． 32．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习） ． 题型十八、绝对值非负性 33．已知，求的值． 题型十九、绝对值的其他应用 34．河北某交警每天都开车在南北走向的鼓楼大街上巡逻，假定从出发点开始，向南为正，向北为负，他这天下午巡逻记录里程如下（单位：）： ，，，，，，． (1)这位交警在第几个路段行车里程最远？为多少千米？ (2)若汽车耗油量为，这天下午汽车共耗油多少升？ 题型二十、利用数轴比较有理数的大小 35．如图，数轴上点M所表示的数可能是（   ） A．1.5 B． C． D． 36．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）在数轴上表示下列各数，，0，，．并把它们用“<”连接． 题型二十一、有理数大小比较 37．比较大小： ． 38．比较下列各对数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 题型二十二、有理数大小比较的实际应用 39．下表是几种气体在1标准大气压下的沸点（保留整数）： 气体 氮气 氧气 氦气 二氧化碳 沸点（） 其中沸点最低的气体是（    ） A．氮气 B．氧气 C．氦气 D．二氧化碳 学科网（北京）股份有限公司 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