26.1 第2课时 正弦、余弦-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(冀教版)河北专版

26.1 相似多边形和图形的位似 课题 第2课时 正弦和余弦 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P107-109 教学目标 1．初步了解锐角三角函数的定义，理解在锐角的正弦（sinA）以及余弦（cosA）的意义. 2．能根据定义求一个锐角的正弦、余弦值. 了解锐角正弦、余弦和正切之间的关系. 3. 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数. 教学重难点 重点：正确理解正弦、余弦概念，会根据直角三角形的边长求一个锐角的三角函数值. 难点：理解在直角三角形中，对于任意一个锐角，它的对边与斜边(邻边与斜边)的比值是固定值. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 【复习回顾】 问题：还记得上节课学习的正切吗？ 预设答案：如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tan A，即 复习回顾上节课学习的内容，为本节课要学的新知识作铺垫，让学生体会知识的连贯性. 2.实践探究，学习新知 【探究】 1.如图，在Rt△ABC，Rt△AB1C1和Rt△AB2C2中，∠ACB=∠AC1B1=∠AC2B2=90°． 求证：. 证明：∵∠ACB=∠AC1B1=90°，　　　　 　　　　∠A=∠A， ∴ Rt△ABC∽Rt△AB1C1． ∴，即. 同理可得，. ∴. 试着类比上述方法证明试着类比上述方法证明. 小结：当锐角A的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A的对边与邻边的比值总是固定值． 【归纳】 在直角三角形中，当锐角A的大小确定后，无论这个直角三角形的大小怎样变化，均有如下结论： ① 这个角的对边与斜边的比值总是一个固定值. ②这个角的邻边与斜边的比值总是一个固定值. 正弦： 如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sin A，即 余弦： 同理，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cos A，即 对于锐角A的每个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是锐角A的函数．同理，cos A，tan A也是锐角A的函数. 锐角A的正弦、余弦、正切就叫做锐角A的三角函数． 注意： ①正弦、余弦、正切都是一个比值，没有单位； ②正弦值、 余弦值、正切值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关； ③sin A，cos A，tan A都是一个整体符号，不能写成sin·A， cos·A，tan·A； ④当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如tan∠ABC. 大家谈谈： (1) ∠B的正弦和余弦分别是哪两边的比值？ (2)由a<c，b<c.说一说sin A和cos A的值与“1”的关系？ 学生发表自己的想法. 教师活动：教师结合正弦、余弦的概念分析，得出0<sinA<1，0<cosA<1. 学生活动：学生画含有30°，45°，60°角的直角三角形，分别求出sin30°，sin45°，sin60°的值，以此类推求出30°，45°，60°角的所有三角函数值. 归纳： (1)当锐角α的大小变化时，sin α，cos α，tan α是否变化? (2)对于锐角α的每一个确定的值,sin α,cos α和tan α是否有唯一的值和它对应? (3)sin α,cos α和tan α是不是α的函数? 总结: 我们把锐角α正弦、余弦和正切统称为α的三角函数. 为方便起见,今后将(sin α)2，(cos α)2，(tan α)2分别记作sin2α，cos2α，tan2α. 【课本例题】 例1 （1）2sin30°+3tan30°-tan45°； （2）（sin 45°）2+tan 60°sin 60°. 解：（1）原式=2×3× =1+ = （2）原式=()2+× = =2 经历探究、猜想、证明的过程，体会数形结合的思想，进一步提高学生利用数学思想分析问题和解决问题的能力. 通过归纳明确正弦、余弦的定义及注意事项. 过学生自己动手画图、验证，得出结论，能加强学生记忆，促进理解. 通过归纳明确30°，45°，60°角的三角函数值，并通过观察、探究找出互余两角的正余弦值的关系. 本题主要考查特殊角的正弦余弦值，解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值.通过例题的解答，让学生加深了对概念的理解。同时突出了本节教学的重点 . 3.学以致用，应用新知 考点1 正弦 练习1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，那sin B的值是（     ） A.2 B. C. D. 答案：D 变式训练1 如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则sin B的值是（　　） A.1 B. C. D. 答案：D 考点2 余弦 练习2 在中，，若，则的值是（      ） A. B B.2 C. D. 答案：D 变式训练2 如图，在中，已知，cos A=，AC=4，那么AB的长为（       ） A.3 B.5 C. D. 答案：C 巩固求正弦、余弦的方法，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 4.随堂训练，巩固新知 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sin A的值为（　　） A． B． C． D． 答案：D 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cos A的值等于（　　） A． B． C． D． 答案：D 3. 求图中各直角三角形锐角的正弦、余弦值． 解：如图①：∵AC=1，BC=3， ∴AB==， sin A===；cos A==， sin B==，cos B===； 如图②，∵DF=4，EF=3，∴DE=， ∴sin F==，cos F=，sin D=，cos D=． 4. 在Rt△ABC中，∠B=90°，AC：AB=3：1，求sin C， cos C，tan C． 解：∵AC：AB=3：1， ∴可设AB=x，则AC=3x， 根据勾股定理，得BC==2x， ∴sin C==，cos C===， tan C===． 5.如图，在Rt△ABC中，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，且a：b：c=5：12：13．试求最小角的三角函数值． 解：∵a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且a：b：c=5：12：13， ∴设a=5x，b=12x，c=13x， ∴∠A最小， ∴sin A===， cos A===，tan A===． 5. 计算： (1)sin30°＋cos45°； (2) sin260°＋cos260°－tan45°． 解：（1）原式=； （2）原式=()2＋()2－1＝－1＝0. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 5.课堂小结，自我完善 本节学了哪些内容？你有哪些认识和收获？ 1．正弦、余弦、锐角三角函数的概念. 2．特殊角的三角函数值. 3．正切、正弦、余弦值与角度的大小变化的关系. 4．根据边长求三角函数值，根据三角函数值求边长. 梳理知识结构，形成系统，学会方法. 6.布置作业 课本P108练习，习题A组，P109习题B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 26.1 锐角三角函数 第2课时 正弦、余弦 1.正弦 定义： 2.余弦 定义： 3.特殊角的正弦值、余弦值： 提纲掣领，重点突出. 教后反思 从特殊到一般的学习方法，利用特殊角来探究锐角的三角函数，通画图，找出边的长度、角的度数，计算相关方面进行探究，学生发现：特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出相关边的长度，然后就问：三角函数与直角三角形的边、角有什么关系，三角函数与三角形的形状大小有关系吗？整堂课都在愉快的氛围中进行.多数学生都能积极动脑积极参与思考.教学中，要关注学生的情感态度，对那些积极动脑，热情参与的同学，都给予了鼓励和表扬，促使学生的情感和兴趣始终保持最佳状态，从而保证施教活动的有效性.  反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$