25.6 第2课时 利用相似三角形的性质测量距离-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(冀教版)河北专版

25.6 相似三角形的应用 课题 第2课时 利用相似三角形测距离 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P90-92 教学目标 1.能够利用相似三角形的知识,求出不能直接测量的物体的宽度和距离,培养学生的建模能力,增强学生的核心素养. 2.通过利用相似的性质解决实际问题,培养学生的几何直观与推理能力,发展学生的应用意识. 3.通过小组合作解决实际问题,培养学生的动手操作能力和交流与合作的意识,积累活动经验,增强核心素养. 教学重难点 重点：利用相似三角形的性质求不能直接测量的距离. 难点：将实际问题抽象成数学问题. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 如图，是一条河，直接测量河的宽度不太容易操作，你还记得如何用相似三角形的知识测量旗杆的高度？像测量旗杆的高度一样，一些不能直接测量的物体的长度或高度，我们可以借助于相似三角形的知识解决. 这节课我们来说测量一下河的宽度. 教师抛出问题，激发学生思考，从而调动学生学习的积极性，为下面的学习奠定基础. 2.实践探究，学习新知 【探究】 如图,在一条小河的北岸A处有一古塔,南岸C处有一观景台.为求古塔和观景台之间的距离,请你设计测量方案,并说明方案的可行性. 小组活动,讨论方案,然后展评. 【归纳总结】 求不能直接测量的两点(或建筑物)之间的距离,常构造相似三角形求解(如图). 【例题】 例1 如图,△ABC为一块铁板余料.已知BC=120 mm,高AD=80 mm.要用这块余料裁出一个正方形材料,且使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,这个正方形的边长应为多少毫米? 思考: (1)图中△AHG与△ABC是否相似?为什么? (2)相似三角形的对应高之间有什么性质? (3)图中△AHG与△ABC的高之间与正方形的边长有什么关系? (4)在求解几何计算题时,我们常用什么数学思想方法? (5)你能通过设未知数,利用方程思想求解图中正方形的边长吗? 师生活动：小组合作探究,教师巡视,适当给予提示,小组展评. 解:设裁出的正方形为EFGH,△ABC的高AD与HG交于点K,则AK为△AHG的高. ∵HG∥EF, ∴∠AHG=∠B. 又∵∠BAC为公共角， ∴△AHG∽△ABC. ∴=. ∵四边形EFGH为正方形， ∴AK=AD-HG. ∴=. 设HG=x mm,则=. 解得x=48. 答:裁出的正方形的边长为48 mm. 思考:若上题条件不变,将正方形改为长方形,且HG=2HE,你能求这个长方形的边长吗?试一试. 引导学生想办法求河两岸两点之间的距离,先让学生设计方案(有难度,教师巡视给予提示),然后根据方案说明其可行性,最后总结方法.通过让学生经历将实际问题数学化的过程培养学生的建模能力,同时让学生经历发现问题,并提出问题、分析问题、解决问题的全过程,培养学生的解题能力. 通过问题串的引领,帮助学生找到解题方法,并总结几何计算的常用数学思想方法:方程思想,让学生在学到知识的同时学到数学思想方法.通过问题的变式,将此类题变式提升,培养学生类比解题的能力. 3.学以致用，应用新知 考点1 测河宽 练习1  如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找一点C，连接CD，CE，测得CD=30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC=5 m，过点A作AB∥DE，交EC的延长线于B，测得AB=6 m，求池塘的宽DE． 解：∵AB⊥DE， ∴△ABC~△DEC， ∴， ∴， 解得DE=36(m). 答：池塘的宽为36 m. 变式训练1 如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使AB与河岸垂直，在近岸取点C，E，使BC⊥AB，CE⊥BC，AE与BC交于点D．已测得BD=40 m，DC=20 m，EC=24 m，则河宽AB为______． 答案：48 m 考点2 三角形内接矩形 练习2 有一块三角形余料ABC，它的边BC=100 mm，高AD=60 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，求加工成的正方形零件的边长． 解：∵正方形边长QM在BC上， ∴PN∥BC， ∵AD⊥BC， ∴AE⊥PN， ∴△APN~△ABC， ∴， 设ED=x， 则PN=MN=ED=x， ∴， ∴x=37.5 mm， ∴加工成的正方形零件的边长为37.5 mm. 变式训练2 清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点）直行8里有一塔（点），自西门（点）直行2里至点，切城角（点）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 ________里． 答案：8 巩固利用相似三角形求河宽的方法，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 巩固利用相似三角形求内接矩形的方法，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 4.随堂训练，巩固新知 1.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何?”它的意思是：如图，分别是正方形的边的中点，，，过点，且步，步， 那么该正方形城邑边长约为（    ）步 A．300 B．260 C．225 D．185 答案：A 2.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8 cm，底边BC长10 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为(     ) A．40 cm2 B．20 cm2 C．25 cm2 D．10 cm2 答案：B 3.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米． 答案：22.5 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 本节课我们研究了相似三角形在实际生活中的应用,请同学们带着以下问题进行总结: (1)本节课你学到了哪些知识?目前为止利用相似三角形的知识可以解决哪些问题? (2)本节课学习经历了怎样的过程?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验? 通过反思数学思想方法与活动经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考. 6.布置作业 课本P92习题 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 25.6 相似三角形的应用 第2课时 利用相似三角形测距离 提纲掣领，重点突出. 教后反思 相似应用最广泛的是测量学中的应用，在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造和实物所在三角形相似的三角形，而且要能测量已知三角形的各条线段的长，运用相似三角形的性质列出比例式求解．会构造与实物相似的三角形，通过对实际问题的分析和解决，让学生充分感受到数学与现实世界的联系，最大限度地调动学生学习的积极性和主动性． 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$