精品解析：2025年宁夏银川外国语实验学校中考数学三模试卷　

2025年宁夏银川外国语实验学校中考数学三模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（    ） A. B. C. 2 D. 3 2. 截至2025年4月9日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售及海外）已破156亿元，暂列全球影史票房榜第5位，将15600000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵 横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查 B. 一组数据3，6，6，7，9的中位数是6 C. 从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000 D. 一组数据1，2，3，4，5的方差是10 6. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，半径为5的，直径垂直于与，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 下面的三个问题中都有两个变量： ①某水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，小时后，这个水池有水； ②某电信公司手机的类收费标准为：每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元计．若一个月的通话时间为，应缴费用为元； ③用长度为1的铁丝围成一个矩形，设矩形的面积为，其中一边长． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 因式分解：________． 10. 若二次根式有意义，则x的取值范围是__________． 11. 年是农历乙巳年，1月5日，中国邮政《乙巳年》特种邮票全国首发，贵州贵阳因有“蛇场”命名地，特同步在贵阳黔灵山公园举行首发活动，为庆贺蛇年新春拉开了序幕．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的）经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在左右，若一张邮票的面积是，则邮票上蛇形图案的面积约为______． 12. 若是关于x的方程的解，则的值为______． 13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________． 14. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位；参考数据：，，，） 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是．若函数的图象经过点和的中点，则的值是__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C在第一象限，点，，，且．将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C的纵坐标为_________． 三、解答题：本题共10小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 图①．图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，故段的端点都在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法． （1）在图①中画，使的面积是10； （2）在图②中画四边形，使四边形是轴对称图形； （3）在图③中的线段上找一点P，使． 20. 某区域快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 机器人台数（台） 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差 A型号 和 b B型号 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中_____________，_______________； （2）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． （3）若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率． 21. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 22. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 23. 已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F． （1）求证：AC与⊙O相切； （2）当BD＝6，sinC时，求⊙O的半径． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点 （1）求反比例函数的表达式． （2）在y轴正半轴上有一动点，过点E作平行于x轴的直线，交反比例函数的图象于点C，交直线于于点 ①当时，求线段CD的长； ②当点E在点下方时，若结合函数图象，求出n的值． 25. 为了贯彻落实国家“把课间还给学生”的政策，某校积极开展丰富多样的课间活动，“台阶跳”是同学们喜欢的一种课间锻炼方式．如图，是一段台阶的示意图，其中每阶台阶的高度为0.15米，宽度为0.3米．一位同学站在0处，面对台阶起跳，起跳的轨迹可以近似看成一条抛物线，通过测量可知该同学在跳出0.5米后达到最高点，此时距离地面的高度也为0.5米，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，米．（脚的长度忽略不计） （1）求该同学起跳轨迹的函数表达式； （2）该同学能否跳到第一阶台阶上，请说明理由； （3）若该同学想跳到第二阶台阶上，且起跳轨迹不变，则该同学至少应该向前移动多少米？（结果保留根号） 26. 类比探究题： 【建立模型】（1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． 【应用模型】（2）如图2，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系． 【拓展拔高】（3）如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，则y与x的函数关系是_______，最大值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年宁夏银川外国语实验学校中考数学三模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（    ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴．逐个求出每个选项的值与原点的距离，再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ， 数3与原点的距离最远， 故选：D． 2. 截至2025年4月9日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售及海外）已破156亿元，暂列全球影史票房榜第5位，将15600000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：． 故选：A． 3. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵 横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，根据从左边看到的平面图形即可求解，掌握物体三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：由几何体可得，从左边看到的平面图形为， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，乘法公式，单项式乘以单项式，掌握运算法则是解题的关键． 分别根据合并同类项，完全平方公式，单项式乘以单项式运算法则判断即可． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意． B、，故B错误，不符合题意． C、，故C错误，不符合题意． D、，故D正确，符合题意． 故选：D 5. 下列说法正确的是（ ） A. 了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查 B. 一组数据3，6，6，7，9的中位数是6 C. 从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000 D. 一组数据1，2，3，4，5的方差是10 【答案】B 【解析】 【详解】选项A，了解飞行员视力的达标率应使用全面调查，此选项错误； 选项B，一组数据3，6，6，7，9的数的个数是奇数，故中位数是处于中间位置的数6，此选项正确； 选项C，从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量应该是200，此选项错误； 选项D，一组数据1，2，3，4，5的平均数=（1+2+3+4+5）=3，方差=［（1－3）2+（2－3）2+（3－3）2+（4－3）2+（5－3）2］=2，此选项错误． 故答案选B． 【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差公式是：s2[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2]．也考查了统计的有关概念． 6. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 7. 如图，半径为5的，直径垂直于与，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，扇形面积公式等；由垂径定理得，矩形的判定及性质，，由平行四边形的判定及性质得，由扇形的面积公式即可求解；掌握垂径定理及扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：直径垂直于与， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ； 故选：A． 8. 下面的三个问题中都有两个变量： ①某水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，小时后，这个水池有水； ②某电信公司手机的类收费标准为：每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元计．若一个月的通话时间为，应缴费用为元； ③用长度为1的铁丝围成一个矩形，设矩形的面积为，其中一边长． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】①根据小时后，这个水池的蓄水量等于原来的蓄水量加上后来增加的进水量判断即可； ②根据应缴费用等于月租费加上通话费判断即可； ③根据矩形的面积公式判断即可． 本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 【详解】解：①由题意得，，故变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示； ②由题意得，，故变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示； ③用长度为1的铁丝围成一个矩形，设矩形的面积为，其中一边长． 则，此函数是二次函数，不能用如图所示的图象表示． 所以变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②． 故选：A 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 因式分解：________． 【答案】x（y-1）2 【解析】 【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解：xy2-2xy+x =x（y2-2y+1） =x（y-1）2， 故答案为：x（y-1）2． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 10. 若二次根式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】x≥ 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴5x-1≥0， 解得，x≥， 故答案为：x≥． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 11. 年是农历乙巳年，1月5日，中国邮政《乙巳年》特种邮票全国首发，贵州贵阳因有“蛇场”命名地，特同步在贵阳黔灵山公园举行首发活动，为庆贺蛇年新春拉开了序幕．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的）经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在左右，若一张邮票的面积是，则邮票上蛇形图案的面积约为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，几何概率，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 已知这个点落在蛇形图案上的频率稳定在左右，根据频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：由频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为， 所以邮票上蛇形图案的面积约为， 故答案为：． 12. 若是关于x的方程的解，则的值为______． 【答案】2019 【解析】 【分析】把代入方程求出，代入原式计算即可求出值． 此题考查了一元二次方程的解，解答本题的关键要明确：方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：把代入方程得：， 则原式， 故答案为： 13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】首先利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可． 【详解】解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°， ∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补． 14. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位；参考数据：，，，） 【答案】32m 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点作于点，作于点，先求解，，再证明，再利用锐角的正切可得，从而可得答案. 【详解】解：过点作于点，作于点 由题意得：， 在中， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， 在中. ， 答：该风力发电机塔杆的高度为. 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是．若函数的图象经过点和的中点，则的值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线的性质，平移的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．过点D作轴，过点F作轴，轴，由题意可知：，设，可以推出，，列式计算即可得到k值． 【详解】解：如图，过点D作轴，过点F作轴，轴， 由题意可知：， 设， ， 的中点F， 是的中位线， ， ， ， 解得， ∵反比例函数图象在第一象限， ， 故答案为：3． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C在第一象限，点，，，且．将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C的纵坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的知识，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键． 作出旋转后的图形，再根据三角函数求出旋转后点的坐标即可． 【详解】解：由题意知，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，每旋转4次则回到原位置， ∵， ∴第2025次旋转结束时，图形旋转了． 过点作于点E，过点作于点D，如图 有 ∵点，，，且． ∴，， ∴，， ∴，即，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点的纵坐标为． 故答案为． 三、解答题：本题共10小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算．先根据负整数指数幂、零次幂、特殊角的锐角三角函数值等化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键． 19. 图①．图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，故段的端点都在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法． （1）在图①中画，使的面积是10； （2）在图②中画四边形，使四边形是轴对称图形； （3）在图③中的线段上找一点P，使． 【答案】（1）解：如图，为所求作． （2）解：如图，矩形为所求作． （3）解：如图点为所求作． 【解析】 【分析】（1）以为底，根据面积可确定高，即可求作； （2）以为一边，作出矩形即可； （3）取，，连接交于，即可求作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 【小问3详解】 解：取，， 连接交于， ， ， ， 点为所求作． 【点睛】本题考查了根据要求作图，掌握图形特征，找出作法是解题的关键． 20. 某区域快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 机器人台数（台） 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差 A型号 和 b B型号 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中_____________，_______________； （2）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． （3）若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率． 【答案】（1），； （2） 解：合理化建议： 型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数高于型号智能机器人，所以购买型号智能机器人． （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、统计表，求中位数与众数，画树状图求概率． 由统计表可知，型机器人每天分拣快递数量的众数是，把型机器人每天可分拣快递的数量从小到大排列，其中第名和第名都是万件，所以型机器人分拣快递数量的中位数是； 根据型号机器人分拣快递的平均数高于型机器人，建议购买型机器人； 画树状图，由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种，所以抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率是． 【小问1详解】 解：由统计表可知，型机器人每天分拣快递数量的众数是， 由条形统计图可知， 型机器人每天可分拣快递的数量从小到大排列为：、、、、、、、、、， 其中第名和第名都是万件， 型机器人分拣快递数量的中位数是， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：画树状图如下图所示， 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种， （抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人）． 21. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，且， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）证明，且，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论； （2）证明，，，可得，求解，可得，结合，再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键． 22. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】（1）选用A种食品4包，B种食品2包 （2）选用A种食品3包，B种食品4包 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用A种食品4包，B种食品2包． 【小问2详解】 解：设选用A种食品包，则选用B种食品包， 根据题意，得． ∴． 设总热量为，则． ∵， ∴w随a的增大而减小． ∴当时，w最小． ∴． 答：选用A种食品3包，B种食品4包． 23. 已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F． （1）求证：AC与⊙O相切； （2）当BD＝6，sinC时，求⊙O的半径． 【答案】（1） 证明：连接OE， ∵AB=BC且D是BC中点， ∴BD⊥AC， ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABE=∠DBE， ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB， ∴∠OEB=∠DBE， ∴OE∥BD， ∴OE⊥AC， ∴AC与⊙O相切； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接OE，只需证明OE⊥AC即可； （2）在△BCD中，根据BD=6，sinC=可求BC=AB=10，设⊙O 的半径为r，则AO=10-r，在Rt△AOE中，根据sinA=sinC=，可求r的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵BD=6，sinC=，BD⊥AC， ∴BC=10， ∴AB=4， 设⊙O 的半径为r，则AO=10-r， ∵AB=BC=10， ∴∠C=∠A ∴sinA=sinC=， ∵AC与⊙O相切于点E， ∴OE⊥AC。 ∴sinA=， ∴r=． 【点睛】本题主要考查了切线的判定及三角函数的应用，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点 （1）求反比例函数的表达式． （2）在y轴正半轴上有一动点，过点E作平行于x轴的直线，交反比例函数的图象于点C，交直线于于点 ①当时，求线段CD的长； ②当点E在点下方时，若结合函数图象，求出n的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】根据直线与反比例函数的图象交于点，得到，求得，解方程即可得到结论； ①当时，解方程得到，，求得； ②当时，，得到，得到，，求得，根据，得到方程，于是得到结论． 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数的图象交于点， ， ， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图， ①当时，由，得， 由，得， ，， ； ②当时，， ， ， ， 由，得， 由，得， ，， ， ， ， 解得舍去负值 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象，反比例函数的图象和性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 25. 为了贯彻落实国家“把课间还给学生”的政策，某校积极开展丰富多样的课间活动，“台阶跳”是同学们喜欢的一种课间锻炼方式．如图，是一段台阶的示意图，其中每阶台阶的高度为0.15米，宽度为0.3米．一位同学站在0处，面对台阶起跳，起跳的轨迹可以近似看成一条抛物线，通过测量可知该同学在跳出0.5米后达到最高点，此时距离地面的高度也为0.5米，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，米．（脚的长度忽略不计） （1）求该同学起跳轨迹的函数表达式； （2）该同学能否跳到第一阶台阶上，请说明理由； （3）若该同学想跳到第二阶台阶上，且起跳轨迹不变，则该同学至少应该向前移动多少米？（结果保留根号） 【答案】（1）； （2） 该同学能跳到第一阶台阶上，理由如下： 当时，， 当时，． 该同学可以跳到第一阶台阶上． （3）米． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设顶点式，再把代入进行计算，即可作答． （2）理解题意，把和代入进行计算，即可作答． （3）理解题意，当时，代入，解得（较大的的值即为的长，另一个值已舍去）．作图且运用数形结合思想得移动距离，至少平移的距离为（米），即可作答． 【小问1详解】 解：由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设函数表达式为． 把代入，得， 解得， 该同学起跳轨迹的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意，令，即第二阶台阶的高为0.3米， 当时，代入， 可得， 解得（较大的的值即为的长，另一个值已舍去）． 如图1， 移动距离（米）， 至少平移的距离为（米）． 该同学至少应该向前移动米． 26. 类比探究题： 【建立模型】（1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． 【应用模型】（2）如图2，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系． 【拓展拔高】（3）如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，则y与x的函数关系是_______，最大值为______． 【答案】 （1）∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）； （3）， 【解析】 【分析】（1）证明即可证明； （2）过作轴于点，证明，即可得到，，再根据求解即可； （3）证明即可得到y与x的函数关系，然后根据关系式求最大值即可． 【详解】（1）略 （2）过作轴于点， ∵点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y， ∴，，， ∵以为直角边作等腰直角，使， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴y与x的函数关系为； （3）∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵现将沿直线折叠， ∴， ∵过点P作的角平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∵，， ∴当时，为最大值， 故答案为：，． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角坐标系，二次函数最值，根据一线三垂直模型构造全等或相似是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $