专题03 等腰三角形定义的五种常见题型（压轴题专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题03 等腰三角形定义的五种常见模型 典例详解 类型一、等腰三角形的三线合一 类型二、等腰三角形的动点问题 类型三、等腰三角形的存在性问题 类型四、等腰三角形的边角分类讨论问题 类型五、等腰三角形的分割问题 压轴专练 类型一、等腰三角形的三线合一 定义 在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高这三条线是同一条线（互相重合）。 关键细节 适用前提：必须是 “等腰三角形”（即有两条边相等的三角形），且三线针对的是 “顶角” 和 “底边”： “顶角”：等腰三角形中两腰的夹角（而非底角）； “底边”：等腰三角形中不相等的那条边（两腰之外的边）。 具体表现： 若△ABC 是等腰三角形，AB=AC（腰），BC 为底边，∠A 为顶角，则： 顶角∠A 的平分线，底边 BC 上的中线（即连接顶点 A 与 BC 中点的线），底边 BC 上的高（即从顶点 A 向 BC 作的垂线），这三条线完全重合（是同一条线段）。 作用 在几何证明或计算中，可通过 “三线合一” 实现 “一线推三线”： 若已知等腰三角形中 “顶角的平分线”，则可直接得出它也是 “底边上的中线” 和 “底边上的高”； 若已知 “底边上的高”，则可直接得出它也是 “顶角的平分线” 和 “底边上的中线”，反之亦然。 特殊情况 等边三角形（三边都相等的三角形）是特殊的等腰三角形，因此它的每一个角的平分线、对边上的中线、对边上的高都满足 “三线合一”（因为等边三角形的每个角都是 “顶角”，每条边都是 “底边”）。 简言之，“三线合一” 是等腰三角形中顶角与底边关联的三条重要线段的重合特性，是解决等腰三角形相关问题的重要工具。 例1．（23-24八年级上·西藏拉萨·期中）如图，在中，平分为垂足，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1-1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，，面积是20，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 变式1-2．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在中，，是的中点，直线是线段的垂直平分线，是上的一个动点，的面积为，，则的最小值为 ． 变式1-3．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，，点F是的中点，求证：． 类型二、等腰三角形的动点问题 核心思路 明确动点背景：确定动点的运动轨迹（如线段、射线、坐标轴等）、起点、终点、速度，进而用含时间t的代数式表示动点的位置或相关线段长度。 锁定目标三角形：明确哪个三角形可能为等腰三角形，设出三角形的三个顶点（其中至少一个是动点）。 分类讨论等腰情况：根据等腰三角形 “两边相等” 的性质，分三种可能： 腰 1 = 腰 2（如AB = AC）； 腰 1 = 底（如AB = BC）； 腰 2 = 底（如AC = BC）。 列方程求解：根据线段长度关系（或坐标距离公式）列方程，结合动点运动范围（时间t ≥0，且不超过终点时间）排除无效解。 例2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是 ． 变式2-1．（19-20八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，是延长线上的一点，，动点从点出发，沿以的速度移动，动点从点出发，沿以的速度移动．如果点同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 变式2-2．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 变式2-3．（24-25八年级上·天津河西·期末）如图，在中，，，，平分交斜边于点，动点从点出发，沿着三角形的边由到，再向终点运动． (1)点在上运动的过程中，当与的面积相等时，求的长度； (2)点在线段和线段上运动的过程中，若是等腰三角形，求度数； 类型三、等腰三角形的存在性问题 等腰三角形的存在性可转化为几何图形的交点问题： 设两个定点为 A、B，动点为 P（在某直线 l 上运动），则△ABP 为等腰三角形的三种情况对应： AB = AP：以 A 为圆心、AB 为半径的圆与直线 l 的交点； AB = BP：以 B 为圆心、AB 为半径的圆与直线 l 的交点； AP = BP：线段 AB 的垂直平分线与直线 l 的交点。 这三类交点的总数量（排除无效解后） 即为等腰三角形的存在数。当这三类交点不重合、不共线、且在动点运动范围内时，数量达到最大。 例3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）已知的三边长分别为2、2、3，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）条． A．3 B．4 C．5 D．6 变式3-1．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 变式3-2．（21-22八年级上·广东韶关·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画（　　） A．9个 B．7个 C．6个 D．5个 变式3-3．（22-23八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．    类型四、等腰三角形的边角分类讨论问题 等腰三角形的边角分类讨论，核心是针对 “腰与底”“顶角与底角” 的不确定性进行梳理，具体如下： 一、边的分类讨论 因 “腰与底” 未明确时存在两种可能性，需按以下逻辑分类： 分类依据：已知两边长度但未明确哪条是腰、哪条是底时，需分两种情况 —— 以较长边为腰，或以较短边为腰。 验证标准：每种情况需满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），不满足则为无效情况。 二、角的分类讨论 因 “顶角与底角” 未明确时存在两种可能性，需按以下逻辑分类： 分类依据：已知一个角的度数但未明确是顶角还是底角时，需分两种情况 —— 已知角为顶角，或已知角为底角。 验证标准： 需满足三角形内角和为 180°； 底角必为锐角（因两底角和小于 180°，故每个底角小于 90°），若已知角为钝角，则只能是顶角。 三、综合边角关系的分类讨论 当同时涉及边和角（如已知一边和一角）时，需结合 “等边对等角”“等角对等边” 将问题转化为纯边或纯角问题，再按上述边或角的分类逻辑进行讨论，同样以三边关系、内角和及底角性质为验证依据。 分类讨论核心步骤 明确不确定元素（是腰与底不明确，还是顶角与底角不明确）； 按可能情况分类（如腰为某边 / 底为某边，或已知角为顶角 / 底角）； 用三边关系（边）、内角和及底角性质（角）验证，排除无效情况； 整合所有有效结果。 例4．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，，，点是三边上的动点．当为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 变式4-1．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是 ． 变式4-2．（24-25七年级下·辽宁阜新·阶段练习）已知等腰三角形的两边长满足，则该等腰三角形的周长为 ． 变式4-3．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）等腰三角形中，周长为． (1)如果腰长是底边长的倍，求各边长； (2)如果一边长为，求另两边长． 类型五、等腰三角形的分割问题 例5．（23-24八年级上·福建莆田·阶段练习）定义：一个三角形，若过一个顶点的线段将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段． 例如：如图1，在中， ∵于D，且， ∴是直角三角形，是等腰三角形， ∴是等直三角形， 是的一条等直分割线段． (1)如图2，已知中，，是的垂直平分线，请说明是的一条等直分割线段． (2)若是一个等直三角形，恰好有两条等直分割线，和均小于，求证：是等腰三角形． 变式5-1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． (1)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线． (2)如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并在图中标注底角的度数． 变式5-2．（2022八年级上·江苏·专题练习）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． (1)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E．求证：是的一条等腰分割线． (2)在中，为的等腰分割线， ，，请你画出所有可能的图形并求出的度数． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知实数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是（  ） A．18 B．25 C．29 D．25或29 2．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 3．（24-25七年级下·上海·期末）在中， (1)若，，求的度数； (2)若是等腰三角形，，求的度数． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中） 如图， 在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点，垂足为E，连接，交于点H．求证：垂直平分． 7．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，在中，，，，M在上，且，过点A（与在同侧）作射线，若动点P从点A出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点P运动时间为t秒． (1)经过______秒时，是等腰直角三角形？ (2)经过______秒时，？判断这时的与的位置关系，说明理由； (3)经过几秒时，？说明理由． 8．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）已知等腰三角形． (1)若其两边长分别为2和3，求的周长； (2)若一腰上的中线将此三角形的周长分为9和18，求的腰长． 9．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）概念学习：如果一个三角形被一条线段分割后，得到两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形. (1)【概念应用】如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点D，且是的一条特异线，则_______度； (2)【类比猜想】如图2，已知是特异三角形，且，为钝角，直接写出所有可能的的度数. 10．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，AD为的等腰分割线． (1)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E．求证：是的一条等腰分割线． (2)在中，为的等腰分割线，，，请你直接写出所有可能的度数． 11．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由： (1)； (2)点A在的垂直平分线上． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 等腰三角形定义的五种常见模型 典例详解 类型一、等腰三角形的三线合一 类型二、等腰三角形的动点问题 类型三、等腰三角形的存在性问题 类型四、等腰三角形的边角分类讨论问题 类型五、等腰三角形的分割问题 压轴专练 类型一、等腰三角形的三线合一 定义 在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高这三条线是同一条线（互相重合）。 关键细节 适用前提：必须是 “等腰三角形”（即有两条边相等的三角形），且三线针对的是 “顶角” 和 “底边”： “顶角”：等腰三角形中两腰的夹角（而非底角）； “底边”：等腰三角形中不相等的那条边（两腰之外的边）。 具体表现： 若△ABC 是等腰三角形，AB=AC（腰），BC 为底边，∠A 为顶角，则： 顶角∠A 的平分线，底边 BC 上的中线（即连接顶点 A 与 BC 中点的线），底边 BC 上的高（即从顶点 A 向 BC 作的垂线），这三条线完全重合（是同一条线段）。 作用 在几何证明或计算中，可通过 “三线合一” 实现 “一线推三线”： 若已知等腰三角形中 “顶角的平分线”，则可直接得出它也是 “底边上的中线” 和 “底边上的高”； 若已知 “底边上的高”，则可直接得出它也是 “顶角的平分线” 和 “底边上的中线”，反之亦然。 特殊情况 等边三角形（三边都相等的三角形）是特殊的等腰三角形，因此它的每一个角的平分线、对边上的中线、对边上的高都满足 “三线合一”（因为等边三角形的每个角都是 “顶角”，每条边都是 “底边”）。 简言之，“三线合一” 是等腰三角形中顶角与底边关联的三条重要线段的重合特性，是解决等腰三角形相关问题的重要工具。 例1．（23-24八年级上·西藏拉萨·期中）如图，在中，平分为垂足，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质定理，根据等腰三角形三线合一的性质可判断（1）（2）（3），根据角平分线的性质定理可判断（4）． 【详解】解：∵平分， ∴，，， 故（1）（2）（3）正确， ∵平分， ∴， ∴ 故（4）正确， 综上，一共有4个正确， 故选：D 变式1-1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，，面积是20，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，，由于，点D为边的中点，故，根据三角形的面积公式求出，根据的垂直平分线可知，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵在中，，D为边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短时，． 故答案为：． 变式1-2．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在中，，是的中点，直线是线段的垂直平分线，是上的一个动点，的面积为，，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】连接，由三线合一及线段中点的定义可得，，由三角形的面积公式可得，由此即可求出的长，由“直线是的垂直平分线”可得点关于直线的对称点为点，由“轴对称的性质——最短路线问题”可知，的长即为的最小值． 【详解】解：如图，连接， ，是的中点， ，， ， ， 直线是的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点，， ∴，当点M在上时取得最小值 的长为的最小值， 的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三线合一，三角形的面积公式等知识点，找出点关于直线的对称点为点以及熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 变式1-3．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，，点F是的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，由，，推导出，可根据证明，则，即可由点是的中点，根据等腰三角形的“三线合一”证明． 【详解】证明：， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点， ． 类型二、等腰三角形的动点问题 核心思路 明确动点背景：确定动点的运动轨迹（如线段、射线、坐标轴等）、起点、终点、速度，进而用含时间t的代数式表示动点的位置或相关线段长度。 锁定目标三角形：明确哪个三角形可能为等腰三角形，设出三角形的三个顶点（其中至少一个是动点）。 分类讨论等腰情况：根据等腰三角形 “两边相等” 的性质，分三种可能： 腰 1 = 腰 2（如AB = AC）； 腰 1 = 底（如AB = BC）； 腰 2 = 底（如AC = BC）。 列方程求解：根据线段长度关系（或坐标距离公式）列方程，结合动点运动范围（时间t ≥0，且不超过终点时间）排除无效解。 例2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设运动的时间为x秒，由题意可得，，，从而可得一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设运动的时间为x秒， 由题意可得：，，， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 变式2-1．（19-20八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，是延长线上的一点，，动点从点出发，沿以的速度移动，动点从点出发，沿以的速度移动．如果点同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 【答案】或10 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，一元一次方程解决实际问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 根据点P，Q的移动时间与速度，表示出，的长，分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，根据建立方程求解即可． 【详解】解：点P，Q移动时， ，． 分两种情况： ①当点在线段上时， 若是等腰三角形，则， 即， 解得，； ②当点在的延长线上时， ， 若是等腰三角形，又， 则是等边三角形， ∴， 即， 解得，； 综上所述，当或时，是等腰三角形． 故答案为：或10． 变式2-2．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握等腰三角形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键． 设运动的时间为，则，，由是以为底的等腰三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，则，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， 解得，． 故答案为：4． 变式2-3．（24-25八年级上·天津河西·期末）如图，在中，，，，平分交斜边于点，动点从点出发，沿着三角形的边由到，再向终点运动． (1)点在上运动的过程中，当与的面积相等时，求的长度； (2)点在线段和线段上运动的过程中，若是等腰三角形，求度数； 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，熟练掌握相关性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据题意可推出上的高和上的高相等，所以； （2）根据题意可分为三种情况，对三种情况分类讨论即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵平分， ∴点D到和的距离相等， ∴当时，与的面积相等； （2）解：如图1， 当时，（点P在处）， ∴， 当时，（点P在处）， ∴， ∵， ∴， 当时，（点P在处时）， ∵， ∴， 综上所述：或或或． 类型三、等腰三角形的存在性问题 等腰三角形的存在性可转化为几何图形的交点问题： 设两个定点为 A、B，动点为 P（在某直线 l 上运动），则△ABP 为等腰三角形的三种情况对应： AB = AP：以 A 为圆心、AB 为半径的圆与直线 l 的交点； AB = BP：以 B 为圆心、AB 为半径的圆与直线 l 的交点； AP = BP：线段 AB 的垂直平分线与直线 l 的交点。 这三类交点的总数量（排除无效解后） 即为等腰三角形的存在数。当这三类交点不重合、不共线、且在动点运动范围内时，数量达到最大。 例3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）已知的三边长分别为2、2、3，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）条． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，依据等腰三角形的定义画出图形，即可判断． 【详解】解：设，， ∵， ∴有以下四种情况， ①以点B为圆心，以为半径画弧交于D，作直线，如图1所示： 则， ∴直线将分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形； ②以点C为圆心，以为半径画弧交于E，作直线，如图2所示： 则， ∴直线将分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形； ③作线段的垂直平分线交于点F，作直线，如图3所示： 则， ∴直线将分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形； ④作线段的垂直平分线交于点H，作直线，如图4所示： 则， ∴直线将分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形． 综上所述：这样的直线最多可以画4条， 故选：B． 变式3-1．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，正确利用图形分类讨论，得出等腰三角形是解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：当以为等腰三角形的腰时，当以为等腰三角形的底时，找出满足题意的直线，得到答案． 【详解】解：根据题意， 当以为等腰三角形的腰时： 如图， 如图， 如图， 当以为等腰三角形的底时： 如图，， 综上，有，，，四条直线满足题意， 故选：． 变式3-2．（21-22八年级上·广东韶关·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画（　　） A．9个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】B 【分析】分六种情况讨论即可得解． 【详解】解：①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； 　　　　 ④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形； ⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形； ⑥作BC或AC的垂直平分线交AC于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形． 　　　　 综上，可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画7各个， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，主要考查学生的理解能力和动手操作能力． 变式3-3．（22-23八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．    【答案】4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 类型四、等腰三角形的边角分类讨论问题 等腰三角形的边角分类讨论，核心是针对 “腰与底”“顶角与底角” 的不确定性进行梳理，具体如下： 一、边的分类讨论 因 “腰与底” 未明确时存在两种可能性，需按以下逻辑分类： 分类依据：已知两边长度但未明确哪条是腰、哪条是底时，需分两种情况 —— 以较长边为腰，或以较短边为腰。 验证标准：每种情况需满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），不满足则为无效情况。 二、角的分类讨论 因 “顶角与底角” 未明确时存在两种可能性，需按以下逻辑分类： 分类依据：已知一个角的度数但未明确是顶角还是底角时，需分两种情况 —— 已知角为顶角，或已知角为底角。 验证标准： 需满足三角形内角和为 180°； 底角必为锐角（因两底角和小于 180°，故每个底角小于 90°），若已知角为钝角，则只能是顶角。 三、综合边角关系的分类讨论 当同时涉及边和角（如已知一边和一角）时，需结合 “等边对等角”“等角对等边” 将问题转化为纯边或纯角问题，再按上述边或角的分类逻辑进行讨论，同样以三边关系、内角和及底角性质为验证依据。 分类讨论核心步骤 明确不确定元素（是腰与底不明确，还是顶角与底角不明确）； 按可能情况分类（如腰为某边 / 底为某边，或已知角为顶角 / 底角）； 用三边关系（边）、内角和及底角性质（角）验证，排除无效情况； 整合所有有效结果。 例4．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，，，点是三边上的动点．当为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形．熟练掌握等腰三角形的性质，分情况讨论，作出图形，是解题的关键． 作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1，点P在上时， ， 顶角为； ②点P在上时， ∵， ∴， 如图2，若为顶角， 则顶角； 如图3，若为底角， 取， 则顶角为， 综上所述，顶角为或或． 故答案为: 或或． 变式4-1．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，采用分类讨论的思想解题，是解决本题的关键． 分两种情况讨论：当等腰三角形的顶角是锐角或者当等腰三角形的顶角是钝角，分别进行求解即可得到答案． 【详解】解：当等腰三角形的顶角是锐角时，如图： 则， ， 等腰三角形的顶角为； 当等腰三角形的顶角是钝角时，如图： 则， ， ， ， 等腰三角形的顶角为， 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为：或， 故答案为：或． 变式4-2．（24-25七年级下·辽宁阜新·阶段练习）已知等腰三角形的两边长满足，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】22 【分析】先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系判断出等腰三角形的腰与底边长，进而可得出结论．本题主要考查了绝对值非负性，等腰三角形的性质以及三角形三边关系，解题的关键是分类讨论，此题难度不大． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得，， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9， ， 不能组成三角形， ②4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9， 能组成三角形， 周长． 综上所述，这个等腰三角形的周长为22． 故答案为：22． 变式4-3．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）等腰三角形中，周长为． (1)如果腰长是底边长的倍，求各边长； (2)如果一边长为，求另两边长． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】本题考查了等腰三角形概念，三角形的三边关系定理，解一元一次方程的应用．注意：求出的边长应符合三角形的三边关系定理． （1）设底边，则腰长，根据三角形的周长公式，列出方程，即可求解； （2）分为长为边是等腰三角形的腰和长为边是等腰三角形的底边，两种情况，进行分析，结合三角形的三边关系进行验证，即可求解． 【详解】（1）解：设底边，则腰长， ∵三角形的周长是， ∴， ∴， 则， 即等腰三角形的三边长是，，． （2）解：当长为边是等腰三角形的腰时， 设底边为， 则， 解得：， 此时，等腰三角形的三边长是，，， ∵， 故三条边的边长为，，时，不构成三角形； 当长为边是等腰三角形的底边时， 设等腰三角形的腰为， 则， 解得：， 三角形的三边长是，，， ∵， 故三条边的边长为，，时，构成三角形； 故如果一边长为时，另两边长，． 类型五、等腰三角形的分割问题 例5．（23-24八年级上·福建莆田·阶段练习）定义：一个三角形，若过一个顶点的线段将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段． 例如：如图1，在中， ∵于D，且， ∴是直角三角形，是等腰三角形， ∴是等直三角形， 是的一条等直分割线段． (1)如图2，已知中，，是的垂直平分线，请说明是的一条等直分割线段． (2)若是一个等直三角形，恰好有两条等直分割线，和均小于，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，以及等直三角形的定义，解题关键是读懂题目中给的等直三角形定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质． （1）根据等直分割线的定义解答即可； （2）根据等直三角形可得：，，，，结合等腰三角形的判定和性质即可解答． 【详解】（1）证明：如图： 是的垂直平分线， ，则是等腰三角形， 是直角三角形 是的一条等直分割线段； （2）如图，，是的两条等直分割线 ，，， ，， ，， ， ， 是等腰三角形． 变式5-1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． (1)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线． (2)如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并在图中标注底角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质．掌握等腰三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得出，即得出，为等腰三角形，根据三角形外角的性质得出，结合题意得出，即证为等腰三角形，得出结论； （2）分类讨论：①当是的腰时和②当是的底时，分别画图求解即可． 【详解】（1）证明：∵线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴，为等腰三角形， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴为等腰三角形， ∴是的一条等腰分割线； （2）解：分类讨论：①当是的腰时， 此时，，如图； ②当是的底时， 此时，，如图． 变式5-2．（2022八年级上·江苏·专题练习）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． (1)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E．求证：是的一条等腰分割线． (2)在中，为的等腰分割线， ，，请你画出所有可能的图形并求出的度数． 【答案】(1)见解析； (2)图见解析，的度数为或或． 【分析】（1）证明、是等腰三角形即可； （2）根据等腰分割线的定义，画出图形即可；分三种情形：当时，当时，当时，利用等腰三角形的性质，分别求解． 【详解】（1）证明：如图2中， ∵是线段的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，即是等腰三角形， ∴是是一条等腰分割线； （2）解：∵线段即为所求分割线， ∴和都是等腰三角形， ①如图3，，而， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图4，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ③如图5，，， ∴，， ∵， ∴， 综上所述，∠B的度数为或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等腰分割的定义等知识，解题的关键是理解等腰分割的定义，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知实数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是（  ） A．18 B．25 C．29 D．25或29 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，非负数的性质，先根据绝对值和算术平方根的非负性求出a，b，再分a为底边长，a为腰长两种情况，判断是否能构成三角形，进而计算周长． 【详解】解： ，，， ，， ，， 当a为底边长时，三条边长分别为7，11，11，，能构成三角形，此时周长为：， 当a为腰长时，三条边长分别为7，7，11，，能构成三角形，此时周长为：， 因此周长是25或29， 故选D． 2．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，由此可得，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当三点共线且时最短，根据三角形的面积公式可求出的长，即的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 如图，当三点共线且时， ，此时最小，即的值最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·上海·期末）在中， (1)若，，求的度数； (2)若是等腰三角形，，求的度数． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了等腰三角形、三角形的内角和定理，正确分三种情况讨论是解题关键． （1）根据三角形的内角和定理先求出，然后计算的度数即可 （2）分①，②，③，三种情况，根据等腰三角形的定义、三角形的内角和定理即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，则， 当时，； 当时，， 综上所述，的度数为或或． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查角平分线定义，平行线的性质，等角对等边，等腰三角形的性质： （1）根据角平分线及平行线推出，即可得到． （2）根据平行线的性质求出，再利用等腰三角形的性质求出的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，F是的中点， ∴． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中） 如图， 在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，，则，求出，由垂直平分，可得，则，由，计算求解即可； （2）由，可得，，由的周长为，，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为，， ∴， 解得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点，垂足为E，连接，交于点H．求证：垂直平分． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的内角和定理求出，然后根据等腰三角形的三线合一即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵的平分线交于点，， ∴，，， ∴， ， ∴，即平分， 又∵， ∴垂直平分（等腰三角形的三线合一）． 7．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，在中，，，，M在上，且，过点A（与在同侧）作射线，若动点P从点A出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点P运动时间为t秒． (1)经过______秒时，是等腰直角三角形？ (2)经过______秒时，？判断这时的与的位置关系，说明理由； (3)经过几秒时，？说明理由． 【答案】(1)6 (2)2； (3)8秒 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质和三角形全等的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键． （1）利用等腰直角三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质即可解答； （3）根据直角三角形两个锐角互余，可证明，进一步证明，即证明，即得出答案． 【详解】（1）解：当是等腰直角三角形时，， ∴， 故答案为：6； （2）解：当时，根据全等三角形的性质得： ,， 则， ∴ 故答案为：2； ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：当时，如图，设交点为O， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∴． 8．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）已知等腰三角形． (1)若其两边长分别为2和3，求的周长； (2)若一腰上的中线将此三角形的周长分为9和18，求的腰长． 【答案】(1)的周长为8或7 (2)这个等腰三角形的腰长为12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中线. （1）分类讨论：当该等腰三角形的腰长为2，底边长为3时和当该等腰三角形的腰长为3，底边长为2时，先利用三角形三边关系验证是否成立，再求周长即可． （2）已知给出的9和18两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为x，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：分类讨论：当该等腰三角形的腰长为2，底边长为3时， ∵， ∴该等腰三角形成立， ∴此时这个等腰三角形的周长为； 当该等腰三角形的腰长为3，底边长为2时， ∵， ∴该等腰三角形成立， ∴此时这个等腰三角形的周长为． 综上可知这个等腰三角形的周长为7或8． （2）设三角形的腰为x，如图： 是等腰三角形，，是边上的中线， ∴ 则有、或、， 分下面两种情况： 当，即， ∴， 此时，即， ∴三边长分别为6，6，15， ∵，不符合三角形的三边关系， ∴舍去； 当，即， ∴， 此时，即， ∴三边长分别为12，12，3． 综上可知：这个等腰三角形的腰长为12． 9．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）概念学习：如果一个三角形被一条线段分割后，得到两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形. (1)【概念应用】如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点D，且是的一条特异线，则_______度； (2)【类比猜想】如图2，已知是特异三角形，且，为钝角，直接写出所有可能的的度数. 【答案】(1) (2)的度数为或或或 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理及外角性质等知识，理解题中定义和等腰三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据题中定义得，是等腰三角形，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质，结合三角形的内角和定理求解即可； （2）分①当为这个三角形的特异线时，②当为这个三角形的特异线时，③当为这个三角形的特异线时，三种情况，分别利用等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理及外角性质求解即可． 【详解】（1）解：是的一条特异线， ，是等腰三角形， ，，， 的角平分线是， ， 是等腰锐角三角形， ， 内角和为， ， ， ， 故答案为：； （2）解：的度数为或或或． 理由：是特异三角形， ∴分以下几种情况： ①当为这个三角形的特异线时， 和都是等腰三角形， I、当，时，如图， 则， ，此时； II、当，时， 同理，， ， ， ， ，与三角形内角和定理矛盾， 不成立； III、当，时，同理，不成立； IV、当，时，如图， 则， ， ， ， 此时； V、当，时， 则， 此时，不符合题意，舍去； VI、当，时， 则，此时，不合题意，舍去； VII、当，时， 则，， 则，此时； VIII、当，时， 同理，， ， ，， ，与三角形内角和定理矛盾， 不成立； VIII、当，时， 同理，不成立； ②当为这个三角形的特异线时， 和都是等腰三角形， 为钝角，，， ，， ， ， （不符合题意）； ③当为这个三角形的特异线时， 和都是等腰三角形， 为钝角， ，， ，， 设，则， ，， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或或或． 10．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，AD为的等腰分割线． (1)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E．求证：是的一条等腰分割线． (2)在中，为的等腰分割线，，，请你直接写出所有可能的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题关键． （1）由垂直平分线的性质，得到，进而得到是等腰三角形，，再结合三角形外角的性质，得到，证明是等腰三角形，即可证明结论； （2）根据等腰分割线的定义，得到和都是等腰三角形，再根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，利用等边等对角，三角形内角和定理以及外角的性质分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵是线段的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，即是等腰三角形， ∴是是一条等腰分割线； （2）解：∵， ∴是等腰三角形， ∵线段为的等腰分割线， ∴也是等腰三角形， ①如图3，当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ②如图4，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ③如图5，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的度数为或或． 11．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由： (1)； (2)点A在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后利用垂直于同一条直线的两条直线平行，即可解答； （2）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用等角对等边可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵，为边的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$