湖南省常德市临澧县第一中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题（永通班）

临澧一中2026届高三 入学 考试试卷 数 学 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，，则　　 A．， B． C． D．， 2．已知为虚数单位，若，则　　 A． B．2 C． D． 3．已知，，，则　　 A． B． C． D． 4．函数的部分图象大致为（    ）. A． B． C． D． 5．函数是定义在R上的偶函数，且，若，， 则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 6．已知函数，若，都有 成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若函数在区间上是减函数，且，，，则（ ） A． B． C．1 D．2 8．若正实数是方程的根，则（    ） A． B．1 C．2 D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知且，则下列不等式恒成立的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为2 10．给出下列命题，其中正确的命题有（    ） A．函数的零点所在区间为 B．若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是； C．函数与函数是相同的函数； D．若函数满足，则 11．关于函数，下列判断正确的是（    ） A．是的极大值点 B．函数有且只有1个零点 C．对不等式在上恒成立 D．对任意两个正实数，且，若，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12．若，则__________． 13．已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是__________． 14．已知实数、满足，则________． （在“”、“” 、“” 、“” 、“”中选一个填在横线处） 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．（本小题满分13分） 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为． （1）求； （2）若，且的周长为5，设为边中点，求． 16．（本小题满分15分） 已知等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）设等比数列满足，，设，数列的前项和为，求的最大值． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，且． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 18．（本小题满分17分） 己知双曲线（）的离心率为， 右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为 （1）求双曲线C的方程； （2）证明：直线AB的斜率k为定值； （3）O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程． 19．（本小题满分17分） 已知函数 （1）若在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求a的值； （2）若，证明：； （3）若在上有且仅有一个极值点，求正实数a的取值范围． 临澧一中2026届高三 入学 考试试卷 数 学 (参考答案) 1．B 2．B 3．D 4．D 5．C 6．B 7．A 8．A 9． 10． 11． 12． 13．， 14． 15．（1）依题意，，所以， 由正弦定理可得，， 由余弦定理，，解得， 因为，所以； （6分） （2）依题意，，因为，解得， 因为， 所以， 所以． （13分） 16．（1）设等差数列的公差为，则， 又，，得，；（4分） （2）在等比数列中，，，则， ，． （8分） ， 则 ． （11分） ， 当时，，单调递增，当时，，单调递增， 且，， 当时，，当时，， 当时，有最大值且最大值为． （15分） 17．（1）证明：由题意，则， 因为，，所以，， 因为平面平面，平面平面， 且，平面，所以平面，因为平面， 所以，且，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面；（7分） （2）如图，以为原点，，所在直线分别为轴，轴，在平面内过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 则，0，，，2，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量， 则，令，得， 设平面的法向量， 则，令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为． （15分） 18．（1）右焦点的坐标为，C的一条渐近线方程为（1分） 即所以（2分） 又，解得（3分） 所以双曲线C的方程为（4分） （2）设，，则两式相减并整理得， （6分） 因为线段AB的中点为，则（8分） 所以因为，所以， 所以直线AB的斜率k为定值2．（10分） （3）设直线，联立消y得（10分） 因为，所以（11分） ，（12分） （13分） 点O到直线AB的距离为（14分） 所以…（15分） 整理得，解得（舍去），（16分） 又因为，所以直线AB的方程为（17分） 19．（1） （1分），又， 所以曲线在点处的切线方程为（2分） 当时，，当时， 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（3分） 解得或（4分） （2）当时， 于是，（6分） 构造则 令可得令可得 所以在上单调递增，在上单调递减．（8分） 于是所以于是不等式获证．（9分） （3） （10分） 令（11分） 当时，，所以在上单调递增， （12分） 若则此时 所以在上单调递减，无极值. （13分） 若，，当时， 又在上单调递增，所以使得 且当时，当时， 所以当，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以为的唯一极值点（16分） 综上所述，正实数a的取值范围为（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $$