大题仿真卷01（专项训练，ABC三组夺分卷）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

大题仿真卷01（A组+B组+C组） （模式：5道解答题 满分：78分 限时：75分钟） 1．在三棱锥中，平面平面，，， (1)若O是棱的中点，证明：平面，并求三棱锥的体积； (2)求二面角的大小． 【详解】（1）连接，因为，所以⊥， 因为平面平面，交线为， 平面， 所以⊥平面， 因为，所以⊥，，， 故， ，由勾股定理得， 又⊥平面， 三棱锥的体积； （2）由（1）知，⊥平面，平面， 所以⊥，⊥，又⊥，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 又平面的一个法向量为， 故， 由图可知，二面角为锐角， 故二面角的大小为. 2．已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 【详解】（1）由函数在单调递增， 所以 （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 即在上恰有一个实数解. 等价于在上恰有一个实数解. 在上恰有一个实数解. 令，则在上恰有一个实数解. 画出关于的二次函数在上的图像可知，时只有一个交点； . 3．某科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示： 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 (1)求成对数据的相关系数； (2)求特征量关于的回归方程，并据此估算特征量时的值； (3)设特征量作为随机变量服从正态分布，其中为5次试验中的平均数，为5次试验中的方差．求．（本题所有答数精确到0.01．） 【详解】（1）由条件可知，，， ， ， ， 所以； （2）， ， 所以， 当时，； （3），所以,， ，， 所以. 4．已知椭圆的方程为、分别为椭圆的左、右焦点.双曲线的实轴为椭圆的长轴，的虚轴为椭圆的短轴.过作直线交椭圆于、两点. (1)已知的周长为，圆的焦距为，求曲线及的方程； (2)设.已知椭圆的上顶点为是上的一个动点，若是等腰三角形，且是该三角形的腰，求点的坐标; (3)设.已知直线与轴不垂直，弦的中点为，直线与双曲线交于、两点，求四边形面积的最小值. 【详解】（1）由椭圆定义得，， 的周长为，故. ，， . （2），，故. 若，设，则，解得， 点的坐标为. 若，设，则，解得或（舍），点的坐标为. 综上, 点的坐标为.     （3）由题知：，. 直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由得， ，故. 点在直线上，， 直线的方程为，即. 由得， 由得，且. 设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为， 直线的方程可化为，.     点在线段的两端，， 点在直线上， ， 四边形的面积为， . 令，， 在上单调递增， 当时，. 5．设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． (1)判断是否为上的函数，说明理由； (2)若实数满足：为上的函数，求t的取值范围； (3)已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立 【详解】（1）函数，求导得， ，恒成立， 所以是上的函数. （2）由为上的函数，， 得， 取，得，反之当时，在恒成立， 令，求导得，且的为离散的点， 因此为严格减函数，又，则， 又， 所以t的取值范围是：且. （3）（充分性）对任意与恒成立，则对任意正整数，有：， 因此为上的函数，即充分条件成立； （必要性）即对任意正整数，有①， 记函数的最大值为， 先证明恒成立， 反证法，假设存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与①矛盾，因此假设错误，即； 再证明恒成立， 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知，但，则， 于是， 对任意，可取一个与有关的正整数，使得， 由②知：，因此必要性成立， 所以原命题正确． 1．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F，G分别为PD，AB，AC的中点. (1)求证：平面平面PBC； (2)若， （i）求点F到平面AEG的距离. （ii）画出四边形ABCD的斜二测直观图，并求斜二测直观图面积 【详解】（1）由分别为的中点，得，而平面，平面， 则平面，延长交于点，连结，由，得， 由是的中点，得是的中点，又是的中点， 则，而平面，平面， 因此平面，又平面，且， 所以平面平面. （2）（i）设点到平面的距离为，取的中点，连结， 则，且， 由平面，得平面，由， 得， 在△中,，则， 又，于是，解得， 所以点F到平面AEG的距离. （ii）取直角梯形底边的中点，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 作坐标系，使，在上取点，使，且为的中点， 在轴上取点，使，过作轴，且使， 连接，则梯形是直角梯形的斜二测直观图，如图， 梯形的面积. 2．已知函数，其中（常数且）． (1)若函数的图象过点，求关于的不等式的解集； (2)若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围. 【详解】（1）若函数的图象过点，则， 解得，舍去，所以， 由得， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）， 若存在，使得数列是等比数列， 则，可得， 由可得， 令，， 当时，，所以， 可得在上单调递减，所以， 则实数的取值范围. 3．下表是某景点在某APP平台10天预定票销售情况： 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量y（万张） 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 0.50 (1)由于系统故障，该APP平台在第10天时的销售量数据异常，现剔除第10天数据，求y关于t的线性回归方程，并用回归方程修正第十天的销售数据；（回归系数与销售数据都精确到0.0001） (2)为招揽游客，现推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中X张盖有纪念章（可兑换纪念品），X的分布如下：．求X的期望与方差； (3)在（2）的条件下，小明购买了一份团体票，从中随机抽取2张，恰有1张有纪念章，求此情况发生的概率． 附：对于一组数据、、…、，其回归方程为，其中回归系数，． 【详解】（1）设回归方程为，则，， 又，， 所以，，即， 当时，万张； （2）由分布列知，； （3）记“从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张有纪念章”为事件， “该份团体票中共有张有纪念章”为事件，则，，， 则，即所求概率为； 4．在平面直角坐标系中，椭圆，左右焦点分别是，，点A是椭圆上的任意一点，A到原点O的距离最大为． (1)若面积的最大值为1，求椭圆的表达式； (2)若，过点A（异于顶点）作长轴的垂线，垂足为M，连接AO并延长交椭圆于另一点B，连接BM交椭圆于另一点C，证明：； (3)在（2）的条件下，过点A作不经过的直线l，其斜率为k，交椭圆于另一点D，到直线l的距离为d．如果直线、l、的斜率依次成等差数列，求d的取值范围． 【详解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的方程为 （2）设，则， 由，得，直线的斜率分别为， 则，， 因此，即，所以. （3）当直线的方程为，由，得， ，即， 椭圆左、右焦点，设, 由直线的斜率依次成等差数列，得， 又，则， 化简并整理得:，若，则直线：过点，不符合题意， 则，即，此时，整理得， 因此，解得，记点到直线的距离为， 则， 令，在上单调递减，则， 所以d的取值范围是. 5．已知. (1)若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)已知实数，若点是曲线上两点，直线AB的斜率为，求证：. 【详解】（1）的定义域为， 由，得， 因为是函数的一个极值点， 所以，即，解得， 则，， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则是的极小值点， 又， 则切线方程为，整理得. （2）的定义域为，， 令，其对称轴为， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即或时， （i）当时，的两根为， 且， 则当或时，，； 当时，， . （ii）当时，的对称轴，且， 则在上恒成立，即在上恒成立. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （3）已知，则， 则， 则， 要证，即证， 即证， 令，则只需证， 先证，即证， 令，则， 所以在上单调递增，则，即； 再证，即证， 令，则， 所以在上单调递增，则，即. 综上，得证. 1．在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解.刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对50位同学进行了问卷调查，得到如下2x2列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从50位同学中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6. (1)请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； (2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言.设这3人中男生人数为，求的分布及期望值. 附：. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【详解】（1）因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6， 所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人. 不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生15人. 列联表补充如下， 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 15 25 男生 20 5 25 总计 30 20 50 根据列联表中的数据，计算可得， 故有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关. （2）由题意，按分层抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为 表示从这6人中随机选出3人中男生的人数，所以的所有可能取值为. 则， ， . 所以的分布列为 1 2 3 数学期望. 2．如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为线段的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的正弦值. 【详解】（1）连接交于点是的中点，是中点.. 又平面平面平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系.则， . 设平面的法向量为，则 令，则. 是平面的一个法向量.， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为. 3．已知函数，其中，a，b为实常数且． (1)若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； (2)若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 【详解】（1）由题设， 所以恒成立，则，又， 所以的最小值为4，显然， 又，当且仅当时取等号，则，即， 所以，经检验满足题设，故； （2）由题设，即在R上恒成立， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，故. 4．在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆的左焦点，若与椭圆上任一点距离的最大值为. (1)求椭圆的离心率； (2)若为椭圆的上顶点，为椭圆上的点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的的个数，并说明理由. (3)若斜率为的直线交椭圆于､两点，为以线段为直径的圆上一点，求的最大值. 【详解】（1）依题意有，解得. 所以离心率. （2）不妨设直线方程为，代入， 整理得，可得，所以， 将带入得， 由得， 所以， 解得 所以满足条件的的个数是3个. （3）设直线，设， 联立，得， 所以，所以. 所以，所以的中点为， 所以 又的轨迹是以为圆心，半径的圆， 所以. 令， 记， 又，所以时，. 5．已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． (1)当时，判断点是否为平衡点； (2)当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； (3)求所有实数a和b，使得点是平衡点． 【详解】（1）由题设，而， 当，则，即，故， 所以点是平衡点； （2）由题设，若是平衡点，则，即， 此时恒成立，则； （3）由题意，对于，都有， 当，即时，在上单调递增，则， 所以，易知，显然不满足前提； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； 当，即时，在上单调递减，则， 所以，易知，显然不满足前提； 综上，时，；时，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题仿真卷01（A组+B组+C组） （模式：5道解答题 满分：78分 限时：75分钟） 1．在三棱锥中，平面平面，，， (1)若O是棱的中点，证明：平面，并求三棱锥的体积； (2)求二面角的大小． 2．已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 3．某科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示： 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 (1)求成对数据的相关系数； (2)求特征量关于的回归方程，并据此估算特征量时的值； (3)设特征量作为随机变量服从正态分布，其中为5次试验中的平均数，为5次试验中的方差．求．（本题所有答数精确到0.01．） 4．已知椭圆的方程为、分别为椭圆的左、右焦点.双曲线的实轴为椭圆的长轴，的虚轴为椭圆的短轴.过作直线交椭圆于、两点. (1)已知的周长为，圆的焦距为，求曲线及的方程； (2)设.已知椭圆的上顶点为是上的一个动点，若是等腰三角形，且是该三角形的腰，求点的坐标; (3)设.已知直线与轴不垂直，弦的中点为，直线与双曲线交于、两点，求四边形面积的最小值. 5．设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． (1)判断是否为上的函数，说明理由； (2)若实数满足：为上的函数，求t的取值范围； (3)已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立 1．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F，G分别为PD，AB，AC的中点. (1)求证：平面平面PBC； (2)若， （i）求点F到平面AEG的距离. （ii）画出四边形ABCD的斜二测直观图，并求斜二测直观图面积 2．已知函数，其中（常数且）． (1)若函数的图象过点，求关于的不等式的解集； (2)若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围. 3．下表是某景点在某APP平台10天预定票销售情况： 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量y（万张） 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 0.50 (1)由于系统故障，该APP平台在第10天时的销售量数据异常，现剔除第10天数据，求y关于t的线性回归方程，并用回归方程修正第十天的销售数据；（回归系数与销售数据都精确到0.0001） (2)为招揽游客，现推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中X张盖有纪念章（可兑换纪念品），X的分布如下：．求X的期望与方差； (3)在（2）的条件下，小明购买了一份团体票，从中随机抽取2张，恰有1张有纪念章，求此情况发生的概率． 附：对于一组数据、、…、，其回归方程为，其中回归系数，． 4．在平面直角坐标系中，椭圆，左右焦点分别是，，点A是椭圆上的任意一点，A到原点O的距离最大为． (1)若面积的最大值为1，求椭圆的表达式； (2)若，过点A（异于顶点）作长轴的垂线，垂足为M，连接AO并延长交椭圆于另一点B，连接BM交椭圆于另一点C，证明：； (3)在（2）的条件下，过点A作不经过的直线l，其斜率为k，交椭圆于另一点D，到直线l的距离为d．如果直线、l、的斜率依次成等差数列，求d的取值范围． 5．已知. (1)若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)已知实数，若点是曲线上两点，直线AB的斜率为，求证：. 1．在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解.刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对50位同学进行了问卷调查，得到如下2x2列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从50位同学中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6. (1)请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； (2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言.设这3人中男生人数为，求的分布及期望值. 附：. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 2．如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为线段的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的正弦值. 3．已知函数，其中，a，b为实常数且． (1)若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； (2)若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆的左焦点，若与椭圆上任一点距离的最大值为. (1)求椭圆的离心率； (2)若为椭圆的上顶点，为椭圆上的点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的的个数，并说明理由. (3)若斜率为的直线交椭圆于､两点，为以线段为直径的圆上一点，求的最大值. 5．已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． (1)当时，判断点是否为平衡点； (2)当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； (3)求所有实数a和b，使得点是平衡点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$