第五章 平行四边形（复习讲义）数学鲁教版五四制八年级上册

第五章 平行四边形（复习讲义） 1.理解平行四边形的概念，探索平行四边形的中心对称性质，探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离。 2.探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。 3.探索并证明三角形的中位线定理。 4.了解多边形的外角，探索并掌握多边形内角和与外角和公式。 知识点 重点归纳 常见易错点 平行四边形的概念 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 概念既可以作为平行四边形的性质用，也可以作为判定用 平行四边形的性质 ①平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 ②平行四边形的对边相等 ③平行四边形的对角相等 ④平行四边形的对角线互相平分 不能灵活运用 两条平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离 不能找到便于计算的点 平行四边形的判定 ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形。 不能灵活选用判定定理 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 不能灵活添加辅助线 多边形的内角和与外角和 ①n边形的内角和等于（n-2）·180° ②多边形的外角和都等于360° 用错公式 平面图形的镶嵌 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌 平面镶嵌在同一顶点处的各角之和必须等于  题型一 平行四边形的性质 【例1】如图，小斌用一根长的绳子围成一个平行四边形场地，其中，则下列说法正确的个数为(    ) ；；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B  【解析】本题主要考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等． 四边形是平行四边形， ，， 周长为， ， ， ， ，． 故只有正确． 故选B． 【变式1-1】如图，在中，平分交于，于，已知，则          ． 【答案】  【解析】平行四边形的对角相等 在中，，， ， 又平分， ， ． 故答案是． 【变式1-2】如图，▱的对角线，交于点，已知，，，则的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】平行四边形的对角线互相平分 解：四边形是平行四边形， ，，， 的周长． 故选：． 题型二 利用平行四边形的性质证明三角形全等 【例2】（2024湖北中考）已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 【答案】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//DC，AB=DC， ∴∠BAE=∠DCF， 在△AEB和△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（SAS）， ∴BE=DF． 【解析】平行四边形的对边平行且相等． 【变式2-1】如图，在▱中，，，垂足分别为，求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，． ，， 在和中 ≌， ．  【解析】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定和性质．解决本题即需证明≌． 要证明，可通过证明它们所在的三角形全等来实现，即证明≌． 【变式2-2】已知：如图，点为▱的对角线的中点，经过点的直线分别交的延长线，的延长线于点，， 求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 又， 易证， ， 又， ， 即．  【解析】本题利用了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质求解． 题型三 平行四边形中与面积有关的问题 【例3】如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题主要考查平行四边形的性质，通过仔细观察分析图中阴影部分，可得出每组全等三角形中有一个带阴影，所以阴影部分的面积是平行四边形的面积的一半．由于在平行四边形中，对边分别平行且相等，对角线相互平分，图中的线条把平行四边形分成组全等三角形． ． 故选C． 【变式3-1】如图所示，在▱中，，分别是，边上的点与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为          ． 【答案】  【解析】解：如图所示，连接， 四边形是平行四边形， ， ， ， 即． 同理． ，， ． 【变式3-2】点是平行四边形的对称中心，，、分别是边上的点，且；、分别是边上的点，且；若，分别表示和的面积，则，之间的等量关系是__________． 【答案】  【解析】如图， ，， ，． 点是▱的对称中心， ， 即与之间的等量关系是． 故答案为． 题型四 平行四边形性质的综合应用 【例4】如图，的顶点在等边的边上，点在的延长线上，为的中点，连接若，，求的长． 【答案】四边形是平行四边形， ，，， ，， ，， ， 是等边三角形，为的中点， ，， 延长交于点， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， ，， ，， 是等边三角形， ， ， 【解析】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质。 【变式4-1】如图所示，在▱中，为的中点，的延长线交的延长线于点，若，，求的度数． 【答案】解：四边形是平行四边形， ，， ． 为的中点，． 又， ． ，． ． ， 是等腰三角形． ．  【解析】见答案 题型五 平行四边形的判定 【例5】已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，且求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：， ， 在和中， ， ≌， ， ， 四边形是平行四边形．  【解析】由≌得出AB=CD，又AB∥CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证。 或者由≌得出BO=DO，又AO=CO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得证。 【变式5-1】如图，分别延长平行四边形的边、至点、点，连接、，其中求证：四边形为平行四边形． 【答案】证明：四边形是平行四边形 ，， ，且， ≌ ， ，且 四边形是平行四边形  【解析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 由平行四边形的性质可得，，，由“”可证≌，可得，，可得，则可得结论． 【变式5-2】在四边形中：，从以上选择两个条件使四边形为平行四边形的选法共有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B  【解析】解：根据平行四边形的判定，符合条件的有种，分别是：、、、． 故选：． 【变式5-3】如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，添加一个条件使四边形是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】由题目的已知条件可知添加，即可证明≌，从而进一步证明，且，进而证明四边形为平行四边形． 正确选项是． 理由如下： ， 在与中， ≌ ， ， ， 四边形为平行四边形． 故选：． 题型六 三角形的中位线 【例6】已知的周长为，点，，分别为三条边的中点，求的周长。 【答案】、、分别为三边的中点， 、、都是的中位线， ，，， 故的周长． 【解析】三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【变式6-1】（2025广东中考）如图，点，，分别是ABC各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵点D，E，F分别是ABC各边上的中点， ∴DE，DF是ABC的中位线 ∴DE∥AC，DF∥AB ∴∠DEB=∠A=70° ∵DF∥AB ∴∠EDF=∠DEB=70° 故选：C． 【变式6-2】如图所示，，两点被池塘隔开，在外取一点，连接，，分别取它们的中点，若测得，则，两点间的距离为          __． 【答案】  【解析】，分别为，的中点， 是的中位线， ．， ，即，两点间的距离为． 【变式6-3】如图，，，分别为，的中点，若，，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】连接并延长，交于． ， ，． 是的中点， ． ． ，． 是的中点， 是三角形的中位线． ． ． ． 故选D． 题型七 多边形的内角和与外角和 【例7】（2025甘肃平凉中考）如图，一个多边形纸片的内角和为，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【解析】n边形的内角和等于（n-2）·180°， 设原多边形的边数为n， 则可得180（n-2）=1620， 解得n=11， 按图示的剪法剪去一个内角后， 新多边形的边数比原多边形的边数多1，为12， 故选：A． 【变式7-1】如图是由射线，，，，组成的平面图形，若，，求的度数. 【答案】解：如图， 由多边形的外角和等于可知，， 又， ， ， 又， ， 【解析】根据多边形的外角和等于，即可得到的度数，进而得出的度数，再根据平行线的性质进行解答即可． 【变式7-2】1.如果一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】多边形的内角和公式是，多边形的外角和是。列方程求解。 设这个多边形的边数为， 根据题意，得， 解得， 所以这个多边形的边数是． 故选： 题型八 平面图形的镶嵌 【例8】如图所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是    边形． A. 四 B. 五 C. 六 D. 八 【答案】C  【解析】是三个完全相同的正多边形拼成的镶嵌， 每个内角度数， 那么边数为：． 故这种多边形是正六边形． 故选C． 【变式8-1】用正三角形和正六边形铺地板，在一个顶点处三角形、六边形的个数比为(    ) A. ： B. ： C. ：或： D. ： 【答案】C  【解析】平面镶嵌在同一顶点处的各角之和必须等于 正六边形的角度为，正三角形的内角为， ， 当时，，即正三角形和正六边形的个数之比为：； 当时，，即正三角形和正六边形的个数之比为：． 故选C． 【变式8-2】为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，使每一部分都铺成如图所示的形状，且由块地砖组成，问：每块地砖的长与宽分别为多少？ 【答案】设每块地砖的长与宽分别为，． 由题意：， 解得． 答：每块地砖的长与宽分别为，． 【解析】本题考查二元一次方程组的应用，平面镶嵌等知识 基础巩固通关测 1.在平行四边形中，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】此题主要考查平行四边形的性质：邻角互补；平行四边形的两组对角分别相等． 在▱中， ， ， ，的度数之比为：， ，， ． 故选C． 2.（2025湖北中考）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识 ∵平行四边形ABCD的对角线交点在原点， ∴OA=OC， 点A与点C关于坐标原点O中心对称， 点A的坐标为（-1，2）， 点C的坐标是（1，-2）， 故选：C． 3.如图，▱的对角线，交于点，已知，，，则的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：四边形是平行四边形， ，，， 的周长． 故选：． 4.若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个内角是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】设这个正多边形的边数为n ， ， ． 则这个正多边形的每一个内角为． 故选D． 5.如图所示，一个角的三角形纸片，剪去这个角后，得到一个四边形，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】根据三角形的内角和定理得： 三角形纸片去掉的角后的两角的度数为， 在所剩四边形中， ． 故选：． 6.如图，在中，，，，分别是边，，的中点，若，则四边形的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 点是的中点，，， ， 是边的中点， ， 、分别是边、的中点， ， 同理，， 四边形的周长， 故选D． 7.边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】由题意得：正六边形的每个内角都等于，正五边形的每个内角都等于， ， ， ， 故选A． 8.如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了平行四边形的判定定理有关知识，若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，不能证明对角线互相平分，只有可以．故选D 9.如图，在中，对角线，相交于点，，． 则AD与的距离为 ． 【答案】 【解析】四边形是平行四边形， ，， 在中，， ， ．  ∴AD与BC的距离为8 10.如图，中，对角线、相交于点，交于点，连接，若的周长为，则的周长为 . 【答案】14 【解析】四边形是平行四边形， ，，， 平行四边形的周长为， ， ， 是线段的垂直平分线， ， 的周长． 11.如图，两条射线，点，分别在射线，上，只需添加一个条件，即可证明四边形是平行四边形，这个条件可以是          写出一个即可． 【答案】或答案不唯一  【解析】解：在四边形中，， 再加条件或，四边形是平行四边形． 故答案为：或答案不唯一． 12.已知的周长为，连结的三边中点构成第个三角形，再连结第个三角形的三边中点构成第个三角形，依此类推，第个三角形的周长是 . 【答案】 【解析】周长为，因为每条中位线均为其对应边的长度的，所以： 第个三角形对应周长为； 第个三角形对应的周长为； 第个三角形对应的周长为； 以此类推，第个三角形对应的周长为； 所以第个三角形对应的周长为． 13.已知一个多边形的每个内角都比相邻外角的倍还多，求这个多边形的边数． 【答案】解：设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于， 由题意，得， 解得． 即多边形的每个外角为． 又多边形的外角和为， 多边形的外角个数， 多边形的边数为， 这个多边形的边数是．  【解析】本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，运用方程求解 14.如图，▱中，为对角线和的交点，，，垂足分别为、求证：． 【答案】证明：． 理由如下： 四边形是平行四边形， ． 又，， ． 又， ≌． ．  【解析】根据平行四边形的性质得，根据，得，结合对顶角相等得≌，从而证明． 本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键． 15.如图，，，，在一条直线上，已知，，，连接求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：，， ，． ， ， ， 在和中， ， ≌， ． 又， 四边形是平行四边形．  【解析】先利用平行线的性质可得角相等，然后利用证明两个三角形全等，利用全等三角形的性质可得，利用，从而可得结论． 16.如图，在中，，，若是的中位线，延长交的平分线于点，求线段的长。 【答案】在中，，，， ， 是的中位线， ，， ， 是的平分线， ， ， ， ． 【解析】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识。根据三角形中位线定理求出，得到，再证明，由此即可解决问题． 17.如图所示，线段，相交于点，，，，分别为，的中点，连接，求证：． 【答案】证明：， D. 在和中， ． ． ，分别为，的中点， ． ， 四边形是平行四边形． ．  【解析】见答案 18.我们探究过三角形内角和等于，四边形内角和等于，请解决下面的问题： 如图，，则______直接写出结果； 连接、，若、、、分别是四边形的四个内角的平分线； 如图，如果，那么的度数为______直接写出结果； 如图，若，与平行吗？请写出理由． 【答案】解：； 故答案为：； ，理由如下： 、、、分别是四边形的四个内角的平分线， ，，，， ， 在中，， 在中，， ， ； ， ， ． 在中，， ，， ， ， ．  【解析】，， ． 、、、分别是四边形的四个内角的平分线， ，，，， ， 在中，， 在中，， ， ； ， ． 19.如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动，到点即停止点从点向点以的速度运动，到点即停止直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，已知，两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形 【答案】解：设后，四边形或四边形是平行四边形， 根据题意可得，，，． 若四边形是平行四边形，则， ，解得， 后四边形是平行四边形． 若四边形是平行四边形，则， ，解得， 后四边形是平行四边形． 综上所述，或后，两个四边形中有一个是平行四边形． 【解析】若四边形是平行四边形，则，进而求出运动的时间 若四边形是平行四边形，则，进而求出运动的时间． 能力提升进阶练 1.在平行四边形中，若与的角平分线交于点，则的形状是(    ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】B  【解析】如图， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， 是直角三角形， 故选B． 2.如图，在中，，点在上，如果，那么等于(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能求出和的度数是解此题的关键四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 3.如图，过平行四边形对角线交点的直线交于点，交于点，若，，，则四边形的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】四边形是平行四边形， ，，，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 四边形的周长是， 故选B． 4.一个多边形截去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是(    ) A. B. C. D. 或或 【答案】D  【解析】解：边形的内角和为． 一个多边形截去一个角后，它的边可能增加了一条，可能不变，也可能减少了一条． 由，解得， 则原多边形的边数是或或． 故选D． 5.如图所示，在五边形中，，，分别平分，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：五边形的内角和等于，， ． ，的平分线在五边形内相交于点， ． ． 6.（2025安徽中考）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（   ） A．四边形的周长 B．的大小 C．四边形的面积 D．线段的长 【答案】C 【解析】连接EG， 在ABCD中，E，G分别为AD，BC中点， ∴AD∥BC且AD=BC，，， ∴AE∥BG且AE=BG， 四边形ABGE是平行四边形， ∴AB∥EG， 同理EG∥CD，且EG=AB=CD． ∵AF=CH，∠A=∠C，AE=CG（E、G为中点，AD=BC ）， 在AEF和CGH中， ， AEF≌CGH（SAS）， 同理可证DEH≌BGF（SAS）． 四边形EFGH的面积=ABCD的面积-2SAEF-2SDEH， 由全等可知SAEF=SCGH，SDEH=SBGF， 且AEF与DEH的面积和为ABCD面积的一半（因E是中点等关系 ）， 四边形EFGH的面积始终为ABCD面积的一半，是定值． 选项A：EF、FG等边长随F、H移动变化，周长不定，错误． 选项B：∠EFG随F位置改变，错误． 选项D：FH长度随F、H移动改变，错误． 综上，四边形EFGH的面积是定值， 故选：C． 7.如图，▱的对角线，相交于点，是中点，且，则▱的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长， 故选B． 8.如图所示，已知是等边三角形，点是边上一个动点点不与，重合，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，过点作的平行线交于点，连接，下列四个结论中：旋转角为；为等边三角形；四边形为平行四边形；其中正确的结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】解：将绕点顺时针旋转一定角度后得到， ≌， ，， ， 是等边三角形， ， ， 旋转角为正确；为等边三角形正确； ≌， ． 又， ， ， 又， 四边形是平行四边形，故四边形为平行四边形正确； ， 点不一定是的中点， 不一定等于，故AE错误， 故选：． 9.如图，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，为坐标原点，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是          ． 【答案】  【解析】，， 又四边形为平行四边形， ，， 点的横坐标是，纵坐标是， ． 10.（2024广州中考） 如图，ABCD中，，点在的延长线上，，若平分，则______． 【答案】5 【解析】在ABCD中，BC=2， ∴AD=BC=2，BC∥AD， ∴∠CBA=∠BAE， ∵BA平分∠EBC， ∴∠CBA=∠EBA， ∴∠BAE=∠EBA， ∴BE=AE=3， ∴DE=AD+AE=2+3=5， 故答案为：5． 11.如图，▱的对角线相交于点，且，过点作，交于点如果的周长为，那么▱的周长是          ． 【答案】  【解析】解：是平行四边形， ， ， ． 的周长， 平行四边形的周长是． 故答案为． 12.如图，在平面直角坐标系中，，，，在坐标系中找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标是__________________________． 【答案】或或  【解析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可以分以下三种情况分别求出点的坐标： 当，时，点的坐标为； 当，时，点的坐标为； 当，时，点的坐标为． 故D点坐标为或或 故答案为：或或 13.在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积等于          ． 【答案】或  【解析】第一种情况，如图 过作于， 在中，，， ， 由勾股定理，， 在中，， ， ， 平行四边形的面积， 第二种情况，如图 过作交的延长线于点， 在中，，， ， 由勾股定理，， 在中，， ， ， 平行四边形的面积， 故答案为：或． 14.如图，是的边的中点，平分，于点，且，，，则的长是 。 【答案】16  【解析】 延长线段交于． 平分， ， 在与中， ， ，， 又是的边的中点， ， ． 15.如图，的度数 【答案】 如图，连接，则 ，， ， ， ， ．   【解析】本题考查三角形内角和定理以及多边形内角和定理，作出辅助线，把六个角的和转化为三角形的内角和以及四边形的内角和是解题的关键． 16.如图，将的边延长至点，使，连接，是边的中点，连接． 求证：四边形是平行四边形； 若，，，求的长． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ，是边的中点， ，， 四边形是平行四边形； 解：过点作于点， 四边形是平行四边形，， ， ，， ，，， ，则．  【解析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识 17.如图，点在▱内部，，． 求证：≌； 设▱的面积为，四边形的面积为，求的值． 【答案】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 同理得， 在和中， ， ≌； 点在▱内部， ， 由知：≌， ， ， ▱的面积为，四边形的面积为， ．  【解析】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质 18.如图，在等边中，点在的延长线上，连接，，直线交射线于点，过点作交直线于点，过点作交射线于点． 四边形是平行四边形吗？请说明理由； 求证：； 若，，求、的长． 【答案】解：四边形是平行四边形， 理由：，， 四边形是平行四边形； 四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在与中，， ≌， ， ； ，， ，，， ， ， ，， ，， ， ． 综上，，．  【解析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质 19.如图，在等腰三角形中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． 观察猜想． 图中，线段、的数量关系是______，的大小为______． 探究证明 把绕点顺时针方向旋转到如图所示的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由； 拓展延伸 把绕点在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值． 【答案】解：；； 是等边三角形． 理由如下：由旋转可得，， 又，， 在和中 ， ，， 点、、分别为、、的中点． ，，，， ，，， ， ， ， 是等边三角形； 根据题意得，，即， ， 的面积， 的面积的最大值为．  【解析】本题是三角形的一个综合题，主要考查了等边三角形的判定，三角形的中位线定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质． ，， ， 点、、分别为、、的中点， ，，，， ，，， ， ， ， 故答案为：；； 见答案； 见答案． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 平行四边形（复习讲义） 1.理解平行四边形的概念，探索平行四边形的中心对称性质，探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离。 2.探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。 3.探索并证明三角形的中位线定理。 4.了解多边形的外角，探索并掌握多边形内角和与外角和公式。 知识点 重点归纳 常见易错点 平行四边形的概念 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 概念既可以作为平行四边形的性质用，也可以作为判定用 平行四边形的性质 ①平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 ②平行四边形的对边相等 ③平行四边形的对角相等 ④平行四边形的对角线互相平分 不能灵活运用 两条平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离 不能找到便于计算的点 平行四边形的判定 ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形。 不能灵活选用判定定理 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 不能灵活添加辅助线 多边形的内角和与外角和 ①n边形的内角和等于（n-2）·180° ②多边形的外角和都等于360° 用错公式 平面图形的镶嵌 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌 平面镶嵌在同一顶点处的各角之和必须等于  题型一 平行四边形的性质 【例1】如图，小斌用一根长的绳子围成一个平行四边形场地，其中，则下列说法正确的个数为(    ) ；；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【变式1-1】如图，在中，平分交于，于，已知，则          ． 【变式1-2】如图，▱的对角线，交于点，已知，，，则的周长为(    ) A. B. C. D. 题型二 利用平行四边形的性质证明三角形全等 【例2】（2024湖北中考）已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 【变式2-1】如图，在▱中，，，垂足分别为，求证：． 【变式2-2】已知：如图，点为▱的对角线的中点，经过点的直线分别交的延长线，的延长线于点，， 求证：． 题型三 平行四边形中与面积有关的问题 【例3】如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 【变式3-1】如图所示，在▱中，，分别是，边上的点与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为          ． 【变式3-2】点是平行四边形的对称中心，，、分别是边上的点，且；、分别是边上的点，且；若，分别表示和的面积，则，之间的等量关系是__________． 题型四 平行四边形性质的综合应用 【例4】如图，的顶点在等边的边上，点在的延长线上，为的中点，连接若，，求的长． 【变式4-1】如图所示，在▱中，为的中点，的延长线交的延长线于点，若，，求的度数． 题型五 平行四边形的判定 【例5】已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，且求证：四边形是平行四边形． 【变式5-1】如图，分别延长平行四边形的边、至点、点，连接、，其中求证：四边形为平行四边形． 【变式5-2】在四边形中：，从以上选择两个条件使四边形为平行四边形的选法共有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【变式5-3】如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，添加一个条件使四边形是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是(    ) A. B. C. D. 题型六 三角形的中位线 【例6】已知的周长为，点，，分别为三条边的中点，求的周长。 【变式6-1】（2025广东中考）如图，点，，分别是ABC各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图所示，，两点被池塘隔开，在外取一点，连接，，分别取它们的中点，若测得，则，两点间的距离为          __． 【变式6-3】如图，，，分别为，的中点，若，，则的长是(    ) A. B. C. D. 题型七 多边形的内角和与外角和 【例7】（2025甘肃平凉中考）如图，一个多边形纸片的内角和为，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【变式7-1】如图是由射线，，，，组成的平面图形，若，，求的度数. 【变式7-2】1.如果一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数是(    ) A. B. C. D. 题型八 平面图形的镶嵌 【例8】如图所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是    边形． A. 四 B. 五 C. 六 D. 八 【变式8-1】用正三角形和正六边形铺地板，在一个顶点处三角形、六边形的个数比为(    ) A. ： B. ： C. ：或： D. ： 【变式8-2】为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，使每一部分都铺成如图所示的形状，且由块地砖组成，问：每块地砖的长与宽分别为多少？ 基础巩固通关测 1.在平行四边形中，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 2.（2025湖北中考）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3.如图，▱的对角线，交于点，已知，，，则的周长为(    ) A. B. C. D. 4.若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个内角是(    ) A. B. C. D. 5.如图所示，一个角的三角形纸片，剪去这个角后，得到一个四边形，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，，，分别是边，，的中点，若，则四边形的周长为(    ) A. B. C. D. 7.边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（ ） A. B. C. D. 9.如图，在中，对角线，相交于点，，． 则AD与的距离为 ． 10.如图，中，对角线、相交于点，交于点，连接，若的周长为，则的周长为 . 11.如图，两条射线，点，分别在射线，上，只需添加一个条件，即可证明四边形是平行四边形，这个条件可以是          写出一个即可． 12.已知的周长为，连结的三边中点构成第个三角形，再连结第个三角形的三边中点构成第个三角形，依此类推，第个三角形的周长是 . 13.已知一个多边形的每个内角都比相邻外角的倍还多，求这个多边形的边数． 14.如图，▱中，为对角线和的交点，，，垂足分别为、求证：． 15.如图，，，，在一条直线上，已知，，，连接求证：四边形是平行四边形． 16.如图，在中，，，若是的中位线，延长交的平分线于点，求线段的长。 17.如图所示，线段，相交于点，，，，分别为，的中点，连接，求证：． 18.我们探究过三角形内角和等于，四边形内角和等于，请解决下面的问题： 如图，，则______直接写出结果； 连接、，若、、、分别是四边形的四个内角的平分线； 如图，如果，那么的度数为______直接写出结果； 如图，若，与平行吗？请写出理由． 19.如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动，到点即停止点从点向点以的速度运动，到点即停止直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，已知，两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形 能力提升进阶练 1.在平行四边形中，若与的角平分线交于点，则的形状是(    ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 2.如图，在中，，点在上，如果，那么等于(    ) A. B. C. D. 3.如图，过平行四边形对角线交点的直线交于点，交于点，若，，，则四边形的周长为(    ) A. B. C. D. 4.一个多边形截去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是(    ) A. B. C. D. 或或 5.如图所示，在五边形中，，，分别平分，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 6.（2025安徽中考）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（   ） A．四边形的周长 B．的大小 C．四边形的面积 D．线段的长 7.如图，▱的对角线，相交于点，是中点，且，则▱的周长为(    ) A. B. C. D. 8.如图所示，已知是等边三角形，点是边上一个动点点不与，重合，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，过点作的平行线交于点，连接，下列四个结论中：旋转角为；为等边三角形；四边形为平行四边形；其中正确的结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9.如图，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，为坐标原点，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是          ． 10.（2024广州中考） 如图，ABCD中，，点在的延长线上，，若平分，则______． 11.如图，▱的对角线相交于点，且，过点作，交于点如果的周长为，那么▱的周长是          ． 12.如图，在平面直角坐标系中，，，，在坐标系中找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标是__________________________． 13.在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积等于          ． 14.如图，是的边的中点，平分，于点，且，，，则的长是 。 15.如图，的度数 16.如图，将的边延长至点，使，连接，是边的中点，连接． 求证：四边形是平行四边形； 若，，，求的长． 17.如图，点在▱内部，，． 求证：≌； 设▱的面积为，四边形的面积为，求的值． 18.如图，在等边中，点在的延长线上，连接，，直线交射线于点，过点作交直线于点，过点作交射线于点． 四边形是平行四边形吗？请说明理由； 求证：； 若，，求、的长． 19.如图，在等腰三角形中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． 观察猜想． 图中，线段、的数量关系是______，的大小为______． 探究证明 把绕点顺时针方向旋转到如图所示的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由； 拓展延伸 把绕点在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$