第二章《一元二次方程》单元试题 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

九年级数学课后练习卷 第二章 一元二次方程 综合练习 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．4x2＝7x﹣3 C．（x+1）2＝x2 D．2x+7＝4 2．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+6＝0时可配方得（　　） A．（x﹣3）2＝3 B．（x+3）2＝3 C．（x+3）2＝6 D．（x﹣3）2＝6 3．若关于x的一元二次方程（m+1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣2 B．m≥﹣2 C．m＞﹣2且m≠﹣1 D．m≥﹣2且m≠﹣1 4．△ABC的三边长都是方程x2﹣3x+2＝0的解，则△ABC的周长是（　　） A．4 B．5 C．3或5或6 D．3或4或5或6 5．已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 6．电影《哪吒之魔童闹海》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若设票房每日增长率为x，则根据题意可列方程为（　　） A．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10 B．3（1+x）2＝10 C．3+3（1+x）2＝10 D．3（1+x）＝10 7．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝20，则m＝（　　） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 8．若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣4x+1＝0有两个不相等实数根，则a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a＜5且a≠2 C．a＜6且a≠2 D．a＜6 9．若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则2b2﹣8c+1的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．2 10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ②若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则； ③存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c； ④若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立． 其中正确的有（　　） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．若关于x的方程（a﹣1）2x+5＝0是一元二次方程，则a的值是 　 　 ． 12．已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则m＝ 　 　 ． 13．若一元二次方程x2+3x+k+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 　 　 ． 14．若α，β是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则α2﹣α﹣3β的值为　 　 ． 15．已知菱形ABCD边长为5，面积为24，其两条对角线的长分别是一元二次方程x2+bx+c＝0的两根，则这个一元二次方程为 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解方程： （1）x2﹣7x﹣18＝0； （2）2x2+6＝7x． 17．解关于x的方程：x（x+4m）＝4m（x+1）． 18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（b﹣c）＝0，其中，a，b，c分别是△ABC的三边长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，求证：△ABC是等腰三角形； （2）如果△ABC是等边三角形，解该一元二次方程． 19．阅读材料： ＝（x+2）2﹣9 ＝（x+2+3）（x+2﹣3） ＝（x+2）2﹣9 上面的方法称为多项式的配方法，根据以上材料，解答下列问题： （1）求多项式x2+6x﹣10的最小值； （2）若b，c满足b2+4b+|c﹣2|＝﹣4，求cb． 20．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣12＝0． （1）当b＝4时，求方程的解． （2）若x＝3是方程的一个解，求b的值和方程的另一个解． 21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x＝1是一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m﹣1＝0的一个根．求方程的另一个根． 22．已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）设方程的两个实数根是a，b，若y＝a2﹣2a﹣2b（b﹣2）﹣3，试求y的取值范围． 23．根据以下素材，探索完成任务． 如何选择购买方案 素材1 某校30位同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A、B、C三个场馆，且购买2张A场馆门票和3张B场馆门票共需220元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元，C场馆门票每张15元． 素材2 由于场地原因，每位同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 （1）求A场馆和B场馆门票的价格； 任务2 设计购买方案 （2）在出发前，班长统计大家的参观意向，有一些同学的意向不确定，通过几次举手表决，发现每次统计的结果想参观B场馆的人数都是想参观A场馆人数的2倍，且想参观A场馆的人数不少于3人，而想参观C场馆的人数多于想参观A场馆的人数，由于班级可用经费仅有750元，请你帮班长算一算能符合上述条件的所有购买方案； 任务3 选择最优购买方案 （3）如果仅从经费的使用情况角度来分析，你觉得选择任务2中的哪个方案更好，请说明理由． 24．阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根分别为x1，x2，那么由求根公式可推出，.已知关于x的方程x2﹣（2m+4）x+m2﹣4＝0有两个实根x1，x2，请根据上述结论，解决下面问题： （1）当方程的一个根x1＝8时，求方程的另一个根x2； （2）若，求m的值； （3）若，求x1•x2的值． 25．配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为10＝32+12．再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y）是整数），所以M也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”　 　 ；并判断40是否为“完全数”　 　 ； （2）若二次三项式x2﹣4x+8（x是整数）是“完全数”，可配方成（x﹣m）2+n2（m，n为常数），则mn的值为 　 　 ； 探究问题： （1）已知“完全数”x2+y2﹣4x+2y+5（x，y是整数）的值为0，则x+y的值为 　 　 ； （2）已知S＝x2+4y2+2x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完全数”，试求出符合条件的k值． 拓展结论：已知实数x，y满足﹣x2+3x+y﹣2＝0，求x+y的最小值是 　 　 ． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C C A B C B D 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．﹣1． 12．2． 13．k． 14．7． 15．x2﹣14x+38＝0． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）∵x2﹣7x﹣18＝0， ∴（x﹣9）（x+2）＝0， 则x﹣9＝0 或 x+2＝0， ∴x1＝9，x2＝﹣2； （2）∵2x2+6＝7x， 整理，得2x2﹣7x+6＝0， 则a＝2，b＝﹣7，c＝6， ∴Δ＝b2﹣4ac＝49﹣4×2×6＝1＞0， ∴， ∴x1＝2，． 17．解：原方程移项可得：x2+4mx＝4mx+4m，即x2＝4m， 当m＜0时，4m＜0，因为实数的平方都大于等于0，所以此时方程x2＝4m无实数根； 当m＝0时，方程为x2＝0，解得：x1＝x2＝0； 当m＞0时，x2＝4m，解得：，； 综上，当m＜0时，方程无实数根；当m＝0时，x1＝x2＝0；当m＞0时，，． 18．（1）证明：把x＝﹣1代入方程得： a+c﹣2b+b﹣c＝0，整理，得a＝b， ∴△ABC是等腰三角形． （2）解：∵△ABC为等边三角形， ∴a＝b＝c． ∴方程（a+c）x2+2bx+（b﹣c）＝0可化为x2+x＝0． 解得x1＝0，x2＝﹣1． 19．解：（1）x2+6x﹣10 ＝x2+6x+9﹣19 ＝（x+3）2﹣19， ∴（x+3）2﹣19≥﹣19， ∴当x＝﹣3时，多项式x2+6x﹣10有最小值，最小值为﹣19； （2）∵b2+4b+|c﹣2|＝﹣4， ∴（b+2）2+|c﹣2|＝0， ∵（b+2）2≥0，|c﹣2|≥0， ∴b+2＝0，c﹣2＝0， ∴b＝﹣2，c＝2， ∴． 20．解：（1）当b＝4，原方程为x2+4x﹣12＝0， Δ＝42+4×12＝64， x， 解得x1＝﹣6，x2＝2； （2）设方程的另一个解为m，由根与系数的关系可知：3m＝﹣12， 解得m＝﹣4， 3+（﹣4）＝﹣b，解得b＝1， ∴方程的另一个根为﹣4，b＝1． 21．（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（m+4），c＝2m﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（m+4）]2﹣4×1•（2m﹣1） ＝m2+20， ∴m2≥0， ∴Δ＞0， ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵x＝1是一元二次方程一个根， ∴1﹣（m+4）+2m﹣1＝0， 解得m＝4， 此时，原一元二次方程为x2﹣8x+7＝0， 解得x1＝1，x2＝7， 所以方程的另一个根为x＝7． 22．解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴m≤2， ∴m的范围是m≤2； （2）由条件可知，， ∴y＝a2﹣2a﹣2b（b﹣2）﹣3 ＝a2﹣2a﹣2（b2﹣2b）﹣3 ， ∵m≤2， ∴y≤﹣2． 23．（1）解：设A场馆和B场馆门票的价格分别为x元/张、y元/张， 购买2张A场馆门票和3张B场馆门票共需220元， 购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元， 依题意列二元一次方程得：， 解得， 即A场馆和B场馆门票的价格分别为50元/张、40元/张， 答：A场馆和B场馆门票的价格分别为50元/张、40元/张； （2）设采购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票2a张，购买C场馆门票（30﹣a﹣2a）张． ∵想去A场馆的人数不少于3人， ∴a≥3， ∵想参观C场馆的人数多于想参观A场馆的人数， ∴根据题意列一元一次不等式得，30﹣2a﹣a＞a， 整理得，4a＜30， 解得， 依题意列一元一次不等式得：50a+40×2a+15×（30﹣3a﹣a）≤750， 解得， ∴， ∵a是整数， ∴a取3或4， ∴有两种购买方案， 方案一：购买A场馆门票3张，则购买B场馆门票6张，购买C场馆门票21﹣3＝18张； 方案二：购买A场馆门票4张，则购买B场馆门票8张，购买C场馆门票18﹣4＝14张； （3）选方案一，理由如下， 理由：方案一：50×3+40×6+15×（21﹣3）＝660（元）， 方案二：50×4+40×8+15×（18﹣4）＝730（元）， ∵660＜730， ∴选择方案一省钱． 24．解：（1）由题意，∵x2﹣（2m+4）x+m2﹣4＝0， ∴x1+x2＝2m+4． 又∵x1＝8， ∴x2＝2m﹣4． ∴x1•x2＝8（2m﹣4）． 又∵x1•x2＝m2﹣4， ∴m2﹣4＝8（2m﹣4）． ∴m＝2或m＝14． ∴x2＝0或24． （2）由题意得，m2﹣4）＝90， ∴m＝﹣11或m＝3． 又∵Δ＝（2m+4）2﹣4（m2﹣4）＝4m2+16m+16﹣4m2+16＝16m+32≥0， ∴m≥﹣2． ∴m＝3． （3）由题意得，． 又∵， ∴|2m+4|＝﹣8，m2﹣4≠0，且m≥﹣2． ∴m＝1或m＝﹣6（不合题意，舍去）． ∴x1•x2＝m2﹣4＝﹣3． 25．解：解决问题： （1）4是“完全数”，理由：因为＝22+02； 40是“完全数”，理由：因为40＝62+22； 故答案为：4（答案不唯一），是； （2）∵x2﹣4x+8＝（x﹣m）2+n2（m，n为常数）， ∴x2﹣4x+4+4＝（x﹣2）2+4， ∴m＝2，n＝±2， ∴mn＝±4， 故答案为：±4； 探究问题： （1）∵x2+y2﹣4x+2y+5＝（x﹣2）2+（y+1）2＝0， ∴x＝2，y＝﹣1， ∴x+y＝2﹣1＝1． 故答案为：1； （2）S＝x2+4y2+2x﹣12y+k＝（x+1）2+（2y﹣3）2+k﹣10， 由题意得：k﹣10＝0， ∴k＝10； 拓展结论：﹣x2+3x+y﹣2＝0， ∴y＝x2﹣3x+2， ∴x+y ＝x+x2﹣3x+2 ＝（x﹣1）2+1≥1； ∴当x＝1时，x+y的最小值为1． 故答案为：1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$